语文版（中职）拓展模块6.4 数列知识的应用教案

环节

教学内容

师生互动

设计意图

导

入

数学来源于生活，又在生活和生产实践中有着广泛的应用．等差数列与等比数列，就是在科学与工农业生产中经常会碰到的知识．这节课我们就一起来探讨几个应用题．

教师提出本节课要解决的问题．

引导学生从生活中的实际问题出发，发现问题，分析问题，解决问题．

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课

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课

例1　某林场计划造林0.5 km2，以后每年比上一年多造林0.1 km2，问6年后林场共造林多少？

解  依题意，林场每年造林数成等差数列{an}，其中 a1 = 0.5，d =0.1，n =6．

所以

S6 = 0.5×6 + ×0.1

    = 4.5．

即6年后林场共造林4.5 km2．

建模求解应用题的步骤：

（1）阅读题目，确定数列类型；

（2）寻求已知量；

（3）确定所求量；

（4）利用公式列等式；

（5）解答；

（6）写出答案．

例2  某种电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的174元降到58元，这种产品平均每次降价的百分率是多少？

解  设平均每次降价的百分率是x，则每次降价后的单价是原价的(1－x)倍．这样，将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个等比数列，记为{a n}，其中

 a 1 = 174，a 14= 58，n =4，q =1－x．

由等比数列的通项公式，得

58 = 174×(1－x)4-1．

整理，得

   (1－x)3 = ，

1－x = ≈0.693．

因此

x≈1－0.693≈ 31%．

即这种电子产品平均每次降价的百分率大约是31%．

注意：

1．要准确判定数列类型；

2．要分清已知量和待求量．

例3  一对夫妇为了5年后能购买一辆车，准备每年到银行去存一笔钱．假设银行储蓄年利率为5%，按复利计算，为了使5年后本利和共有10万元，问他们每年约需存多少钱？（精确到1元）

解  设每年他们存入x元，一年后存的本利和为

x (1 + 5%)，

两年后的本利和为

x(1 + 5%)+ x(1 + 5%)2，

……

5年后的本利和为

x (1+5% )+ x (1+5%)2 +…+ x (1+5%)5．

依题意，列方程得

x (1+5% )+ x (1+5%)2 +…+ x (1+5%)5

= 100 000，

即1.05 x× = 100 000．

解此方程，得 x ≈ 17 236 元．

所以每年约需存入17 236元．

教师引导学生阅读题目，找出关键语言、关键数据．

教师引导学生得出：本题实质上是一个等差数列求和的问题．

学生在教师的指引下，将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系．

教师板书解题步骤．

通过例题，教师引导学生归纳应用题的解题步骤．

教师引导学生建模：

（1）分清是等差数列还是等比数列；

（2）分清是求通项问题还是求和问题．

学生分组合作探究．

老师巡视指导．

对学生解题过程中普遍遇到的难点，师生合作完成．

请学生在黑板上做题．

师生统一订正．

通过例题，再次强调解应用题需要注意的问题．

教师首先帮助学生理解“复利”的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同．

教师引导学生将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题．

教师引导学生先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案．

解应用题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型．

在构建数学模型的过程中，要求学生对数学知识具有检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成从实际问题向数学问题的转化．

构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数学运算能力．

解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识，又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差（比）数列模型，再综合其他相关知识来解决问题．这些都有利于学生数学能力的提高．

强化转化思想、方程思想的应用．

小

结

等差数列和等比数列知识在社会学、经济学等方面有着广泛的应用．

解决数列实际问题的步骤是：

读题，确定数列类型→寻求已知量→确定所求量→利用公式列等式→解答→写出答案．

学生回顾解决应用题的方法，畅谈本节课的收获．

教师引导梳理，总结本节课的知识点和解题方法．

教师鼓励学生积极回答，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力．

作

业

教材P25，习题7，9．

学生课后完成．

巩固拓展．