专题4.24 方程思想解决线段问题（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题4.24 方程思想解决线段问题（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共32页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

专题4.24 方程思想解决线段问题（专项练习）
一、解答题
1．如图，点 A，M，B，C，N，D 在一条直线上，若 AB：BC：CD=2：3：2， AB 的中点 M 与 CD 的中点 N 的距离是 11cm，求 AD 的长．



2．如图,数轴上两点A、B所表示的数分别为-3、1.
(1)写出线段AB的中点M所对应的数；
(2)若点P从B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动,运动时间为秒:
①用含的代数式表示点P所对应的数；
②当BP=2AP时,求值．



3．如图，线段AB被点C，D分成了3∶4∶5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40 cm，求AB的长．



4．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．

（1）求线段MN的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；
（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？


5．如图，长度为的线段的中点为，点将线段分成两部分，且，则线段的长度为________．



6．如图，，两点将线段分成三部分，为线段的中点，．求：

（1）线段的长；
（2）线段的长．


7．已知:如图，点为线段的中点，点为线段上的点，点为线段的中点，

（1）若线段，，，求的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段的长；
（3）如图2，若，，求线段的长.




8．如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是﹣4，﹣2，3．

（1）若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动　 　个单位；
（2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒a个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒：
①点A、B、C表示的数分别是　 　、　 　、　 　　（用含a、t的代数式表示）；
②若点B与点C之间的距离表示为d1，点A与点B之间的距离表示为d2，当a为何值时，5d1﹣3d2的值不会随着时间t的变化而改变，并求此时5d1﹣3d2的值．


9．已知数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，点A在原点的左侧且到原点的距离是4，点B在原点的右侧，且到原点的距离是点A到原点的距离的4倍．
（1）a＝　 　，b＝　 　，AB＝　 　；
（2）动点M、N分别从点A、B的位置同时开始在数轴上做没有折返的运动，已知动点M的运动速度是1个单位长度/秒，动点N的运动速度是3个单位长度/秒．
①若点M和点N相向而行，经过几秒点M与点N相遇？
②若点M和点N都向左运动，经过几秒点N追上点M？
③若点M和点N的运动方向不限，经过几秒M、N相距6个单位长度？



10．阅读理解：
某节数学课上，钱老师在复习数轴上的点与数之间的关系时，给出了新的定义：
若A，B，C是数轴上的三个点，如果点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，那么我们就称C是的黄金点．
例如，如图①，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的黄金点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D是的黄金点．

（知识运用）
（1）如图②，E、F为数轴上两点，点E所表示的数为，点F所表示的数为2．数________所表示的点是的黄金点．

（2）如图③，若数所表示的点G是的黄金点，当点M在点N的右侧，且点N所表示的数为时，此时点M所表示的数为___________．

（3）如图④，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为50．现有一只电子蜗牛P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的黄金点．（请直接写出答案）




11．如图1所示，在数轴上有两个边长相同的正方形．已知正方形的顶点A，B分别对应．正方形的顶点M，N分别对应4，5．现正方形以每秒1个单位的速度向右运动，正方形以每秒0.5个单位的速度也向右运动．

（1）2秒后，点B对应的数是_______，点M对应的数是_______．
（2）设运动时间为t（秒）
①经过多少时间后正方形刚好追上正方形（即边与边重合）？
②正方形从刚好赶上正方形到完全超过需要多少时间？
（3） 如图2，在运动过程中，两个正方形重合部分的面积（阴影面积）与空白部分面积的和之比为，此时点B对应的数是________（直接写出答案）．

12．如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16．若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．设运动的时间为t秒，请解决下列问题：

（1）当时，A点表示的数为_________，此时_________；
（2）当运动到（单位长度）时，求运动时间t的值；
（3）P是线段上一点，当点B运动到线段上时，若关系式成立，请直接写出此时线段的长：________．


13．如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题：

（1）当AC＞BC时，点D在线段　 上； 当AC＝BC时，点D与　 　重合；当AC＜BC时，点D在线段　 　上；
（2）若AC＝18cm,BC＝10cm,若∠ACB=90°,有一动点P从C点出发，在线段CB上向点B运动，速度为2cm/s, 设运动时间是t（s）, 求当t为何值，三角形PCD 的面积为10？
（3）若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的长度．


14．如图，相距千米的两地间有一条笔直的马路，地位于两地之间且距地千米，小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时千米的速度向地匀速运动，当到达地后立即以原来的速度返回，到达地停止运动，设运动时间为t (时)，小明的位置为点.

(1)当时，求点间的距离
(2)当小明距离地千米时，直接写出所有满足条件的值
(3)在整个运动过程中，求点与点的距离(用含t的代数式表示)


15．尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图。尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.初中阶段同学们首次接触的尺规作图是“作一条线段等于已知线段”.

图1

图2

备用图
（1）如图1，在线段外有一点，现在利用尺规作图验证“两点之间线段最短”，.请根据提示，用尺规完成作图，并补充验证步骤.
第一步，以为圆心，为半径作弧，交线段于点，则_____________；
第二步，以为圆心，为半径作弧，交线段于点，则_____________；
则____________________________________________
故：.
（2） 如图2，在直线上，从左往右依次有四个点，，，，且，.现以为圆心，半径长为作圆，与直线两个交点中右侧交点记为点.再以为圆心；相同半径长作圆，与直线两个交点中左侧交点记为点.若，，三点中，有一点分另外两点所连线段之比为，求半径的长.

16．已知式子是关于的二次多项式，且二次项的系数为，在数轴上有点、、三个点，且点、、三点所表示的数分别为、、，如下图所示已知．
（1）=_______；=_______；=________．

（2）若动点、分别从、两点同时出发，向右运动，且点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，求的值．
（3）点、分别自、同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点自点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为（秒），时，数轴上的有一点与点的距离始终为2，且点在点的左侧，点为线段上一点（点不与点、重合），在运动的过程中，若满足（点不与点重合），求出此时线段的长度．



17．已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且|a－b|＝7
（1）若b＝－3，则a的值为__________；
（2）若OA＝3OB，求a的值；
（3）点C为数轴上一点，对应的数为c．若O为AC的中点，OB＝3BC，求所有满足条件的c的值．




18．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．
（1）若AB＝15，DE＝6，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的长；
（2） 若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式＝，求的值．
































参考答案
1．15.4cm．
【分析】根据线段中点的性质，可得MB，BC，根据线段的和差，可得关于x的方程，根据解方程，可得x，根据线段的和差，可得答案．
解：设AB＝2xcm，BC＝3xcm，CD＝2xcm．
∵M是AB的中点，∴MB＝xcm．
∵N是CD的中点，∴NC＝xcm．
∵MN＝11cm，∴x+3x+x＝11．解得：x＝2.2．
AD＝2x+3x+2x＝7x＝15.4（cm）．
答：AD 的长为15.4cm．
【点拨】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出关于x的方程是解题的关键．
2．（1）-1；（2）①1-2x；②x=或x=4．
.【分析】（1）根据中点的公式计算可得；
（2）①根据两点间的距离公式求解可得；②分P运动到A、B之间和运动到BA的延长线上两种情况，根据“BP=2AP”列出方程，解之可得．
解：（1）线段AB的中点M所对应的数为 =-1；
（2）①点P对应的数为1-2x；
②若P运动到A、B之间，则1-（1-2x）=2[1-2x-（-3）]，解得x=；
若P运动到BA的延长线上时，则1-（1-2x）=2[-3-（1-2x）]，解得x=4．
综上，当BP=2AP时，x=或x=4．
【点拨】本题考查数轴，掌握数轴上两点的距离公式：若点A表示a，点B表示b时，AB=|xb-xa|．
3．AB＝60 cm
【分析】先设AB的长为x，再根据题意线段AB被点C、D分成了3：4：5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40cm，结合图得出MC=AC，DN=DB，再由MC+CD+DN=40，解得x的值即可．
解：设AB的长为xcm，
∵线段AB被点C、D分成了3：4：5三部分，
∴AC=x，CD=x，DB=x，
又∵AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40cm，
∴MC=x，DN=x，
∴x+x+x=40，
解得x=60，
∴AB的长60cm．
【点拨】本题考查了比较线段的长短，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
4．（1）8厘米；（2）a；（3）t=4或或．
【分析】（1）（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（3）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．
解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，
∴MN=CM+CN=8厘米；
（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC，CN=BC，
∴MN=CM+CN=AC+BC=a；
（3）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得
10﹣2t=6﹣t，解得t=4；
②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t﹣10=16﹣3t，解得t=；
③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t=3t﹣16，解得t=；
④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10=t﹣6，解得t=4（舍），
综上所述：t=4或或．
【点拨】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
5．
【分析】先由中点的定义求出AM，BM的长，再根据MC：CB=1：2的关系，求MC的长，最后利用AC=AM+MC得其长度．
解：∵线段AB的中点为M，
∴AM=BM=6cm
设MC=x，则CB=2x，
∴x+2x=6，解得x=2
即MC=2cm．
∴AC=AM+MC=6+2=8cm．
故答案为：8cm．
【点拨】本题主要考查了两点间的距离，在解题时要能根据两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
6．（1）；（2）
【分析】（1）设，，，则根据列式计算即可.
（2）由为线段的中点，且根据（1）知的长为，即可求出的长．
解：（1）设，，．
则有，
解得．
则．
所以的长为．
（2）因为为线段的中点，
所以．
所以
【点拨】本题考查的是两点之间的距离，熟知各线段之间的和及倍数关系是解答此题的关键．
7．(1)20；(2)6；(3)5.1.
【分析】(1)因为，根据绝对值和平方的非负性可以得出，即可求出的值.
(2)由(1)知，AB=16，CE=4，点为线段的中点，则能求出AC,AE, 点为线段的中点,即可求出DE.
(3)因为，设BE=x，即可以表示出AD=2x=DE，所以列方程即可以求解.
解：(1)∵
∴，
，，.
(2) 由(1)知：，
∵点为线段的中点
∴
又∵点为线段的中点
∴.
∴
(3)由题知：设BE=，则AD=DE =2x


【点拨】本题主要考查的是线段中点的性质，正确的计算和熟练地运用数形结合的思想推出线段之间的关系.
8．（1）1或9（2）①﹣4﹣at；﹣2+2t；3+5t；②19.
【分析】（1）由AB=2，结合数轴即可得出点C向左移动的距离；
（2）①结合路程=时间×速度写出答案；
②先求出d1=3t+5，d2=（a+2）t+2，从而得出5d1﹣3d2=（9﹣3a）t+19，进一步根据题意即可求出结果.
解：（1）由数轴可知：A、B两点的距离为2，B点、C点表示的数分别为：﹣2、3，
所以当C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍时，需将点C向左移动1或9个单位；
故答案是：1或9；
（2）①点A表示的数是﹣4﹣at；点B表示的数是﹣2+2t；点C所表示的数是3+5t．
故答案是：﹣4﹣at；﹣2+2t；3+5t；
②∵点A以每秒a个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，
∴d1=3t+5，d2=（a+2）t+2，
∴5d1﹣3d2=5（3t+5）﹣3[（a+2）t+2]=（9﹣3a）t+19，
∵5d1﹣3d2的值不会随着时间t的变化而改变，∴9﹣3a=0，解得a=3，
故当a为3时，5d1﹣3d2的值不会随着时间t的变化而改变，此时5d1﹣3d2的值为19．
【点拨】考查了数轴与绝对值以及整式的加减运算，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
9．（1）-4，16，20；（2）①5秒，②10秒，③秒或秒或7秒或13秒
【分析】（1）根据数轴上点的位置及两点之间的距离解答即可．
（2）①相遇问题，两者的路程和等于两点间的距离；
②追及问题，两者的路程差等于两点的距离；
③分类讨论，根据相向运动及同时向左运动，然后分相遇前和相遇后，根据数轴上两点间距离，列方程求解即可．
解：（1）已知AB两点对应的数分别为a，b，
∵A在原点的左侧，且距离为4，
∴a＝-4．
当B在原点的右侧，且到原点的距离是A到原点距离的4倍，
∴b＝|a|×4＝16，
∴AB＝|AO|+|OB|
＝4+16
＝20．
即a＝-4，b＝16，AB＝20．
故答案为：-4，16，20．
（2）①若M，N相向而行，设x秒相遇，
则1×x+3x＝20，解得x＝5．
∴5秒M与N相遇．
答：5秒M与N相遇．
②当M，N都向左运动，
设x秒相遇，
则3×x-x×1=20，解得x＝10．
答：10秒点N追上点M．
③当M，N运动方向不限时，
设y秒M，N相距6个单位长度．
有两种情况：①当M，N相向运动，相遇前相距6个单位长度．
则20﹣y×1﹣y×3＝6，解得y＝，
当M，N相向运动，相遇后相距6个单位长度．
则y×1+y×3=20+6，
解得y=
②当M，N都向左运动，N追上M前相距6个单位长度．
则3y+6-1×y=20，解得y=7．
当M，N都向左运动，N追上M后相距6个单位长度．
则3y-1×y=20+6，解得y=13，
综上所述，当M，N相向运动时秒或秒时，M，N相距6个单位；当M，N均向左运动时，7秒或13秒时M，N相距6个单位．
【点拨】本题一元一次方程的应用和相遇知识点，利用数形结合思想解题是关键．
10．（1）0或8；（2）；（3）秒或秒或10秒
【分析】（1）设数x所表示的点是的黄金点，分x在E、F之间和x在F右侧两种情况分别列方程求解；
（2）设点M表示的数为y，根据点M在N右侧，以及黄金点的定义列出方程求解；
（3）根据三点中恰有一个点为其余两点的黄金点，分6种情况分别求解，再总结结果．
解：（1）设数x所表示的点是的黄金点，
当x在E、F之间时，
则x-（-4）=2（2-x）
解得：x=0，
当x在F右侧时，
则x-（-4）=2（x-2）
解得：x=8，
∴数0或8所表示的点是的黄金点；
（2）由题意可知，点M在点N,点G的右侧，设点M表示的数为y，
则y-=2[-（-1）]，
解得：y=，
∴M点表示的数为；
（3）设t秒后，P、A和B中恰有一个点为其余两点的黄金点，
点P表示的数为50-3t，
∵点P运动到点A停止，
则（50+10）÷3=20秒，即0≤t≤20，
若点P是[A，B]的黄金点，
则50-3t+10=2·3t，
解得：t=；
若点P是[B，A]的黄金点，
3t=2（50-3t+10），
解得：t=；
若点A是[P，B]的黄金点，
而PA＜AB，故不存在；
若点A是[B，P]的黄金点，
此时点P是AB中点，
∴3t=（50+10），
解得：t=10；
若点B是[P，A]的黄金点，
而BP＜AB，故不存在；
若点B是[A，P]的黄金点，
同理可得：t=10；
综上：秒或秒或10秒后，P、A和B中恰有一个点为其余两点的黄金点
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解黄金点的定义，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
11．（1）-1，4；（2）①12秒；②4秒；（3）10或12．
【分析】（1）数轴上点移动对应的数变化规律：左移减，右移加，结合路程=时间×速度即可得出答案；
（2）①根据点B、点M随运动时间为t（秒）变化规律表示出对应的数，根据边与边重合得点B、点M所对应的数相等列方程求解即可；
②同①求出点A、点N重合时，所需要时间即可解答；
（3）根据两个正方形重合部分的面积（阴影面积）与空白部分面积的和之比为，得出重合部分边长为，再分正方形在后和在面两种情况求出t，进而求出点B对应的数．
解：（1）∵点B分别对应．∴正方形以每秒1个单位的速度向右运动2秒后，运动路程为2个单位，此时点B对应的数是-3+2=-1；
同理可得：点M对应的数是3+1=4；
故答案为：-1，4；
（2）①设运动时间为t（秒），则点B在运动时所对应的数为：-3+t，点M在运动时所对应的数为：，
依题意得：，
解得：（秒）
②设运动时间为t（秒），则点A在运动时所对应的数为：-4+t，点N在运动时所对应的数为：，
依题意得：，
解得：（秒）
∴正方形从刚好赶上正方形到完全超过需要时间=16-12=4（秒）；
（3）因为两个正方形重合部分的面积（阴影面积）与空白部分面积的和之比为，而两块空白部分面积相等，所以阴影面积与每一块空白面积相等；故此时重合部分边长为，
当正方形在后时，点B在点M前个单位，则有：，解得：（秒），此时点B所对应的数为；
当正方形在前时，点B在点N前个单位，则有：，解得：（秒），此时点B所对应的数为；
故答案为：10或12．
【点拨】此题考查了实数与数轴，也考查了一元一次方程的应用（行程问题），根据点的远动路程确定其对应的数是解题关键，利用点的位置关系和点所对应的数相等列方程是难点．
12．（1），16；（2）或；（3）或
【分析】（1）用加上点运动1秒的路程可得点表示的数；分别求出、两点运动1秒后在数轴上表示的数，再利用两点间的距离公式即可求出；
（2）设运动秒时，（单位长度），然后分点在点的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可；
（3）随着点的运动，分别讨论当点和点重合、点在点和之间及点与点重合时的情况．
解：（1）当时，点表示的数为；
、两点运动1秒后在数轴上表示的数为，，
此时．
故答案为：，16；
（2）设运动秒时，（单位长度），
①当点在点的左边时，
由题意得：，
解得：；
②当点在点的右边时，
由题意得：，
解得：．
综上所述，当运动到（单位长度）时，运动时间的值为或；
（3）设线段未运动时点所表示的数为，点运动时间为，
则此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
，
，
，
，
，
，
即：，
①当点在点右侧时，
，
，
；
②当点在点左侧时，
，
，
；
的长有2种可能，即或．
故答案为：或．
【点拨】本题考查两点间的距离，并综合了数轴、一元一次方程的应用和线段长短的比较，难度较大，注意对第三问进行分情况讨论，不要漏解．
13．（1）AC，C，BC； (2) s；（3）CB的长度是4 cm 或28cm.
试题分析：（1）根据图形以及阅读材料所给的信息直接填空即可；(2)如图4，先表示PC=2t，由折中点的定义得AD=14，根据三角形的面积公式列式可求t的值；（3）分当点D在线段AC上与BC上两种情况求解即可.
试题解析：
(1)当AC>BC时，如图1，点D在线段AC上；

当AC=BC时，如图2，点D与C重合；

当AC
因此，本题正确答案是：AC，C，BC.
（2）如图4，根据题意得：PC=2t，

∵AC=18，BC=10 cm，
∴AC+BC=18+10=28 cm，
∵D点是折中点，
∴AD=14cm，
∴CD=18-14=4cm，
∵∠ACB=90°，
∴，
即，
解得，
则当t为秒时，三角形PCD的面积为10cm2；
(3)分两种情况：
①点D在线段AC上时，如图5，

∵E为线段AC中点,EC=8 cm,
∴AC=2CE=16cm，
∵CD=6cm，
∴AD=AC-CD=16-6=10cm，
∵D为折中点，
∴AD=CD+BC，
∴BC=AD-CD=10-6=4cm；
②点D在线段BC上,如图6,

∵E为线段AC中点，EC=8cm，
∴AC=2CE=16cm，
∴AD=AC+CD=16+6=22cm，
∴BD=AC+CD=22cm，
∴BC=BD+CD=22+6=28cm.
综上所述，CB的长度是4 cm 或28 cm.
14．（1）1.5k；（2）；（3）5，20-5t
【分析】(1)根据速度，求出t=0.5时的路程，即可得到P、C间的距离；
(2)分由A去B，B返回A两种情况，各自又分在点C的左右两侧，分别求值即可；
(3)PA的距离为由A去B，B返回A两种情况求值.
解：(1)由题知:
当时,，即


当小明由A地去B地过程中：
在AC之间时， （小时），
在BC之间时， （小时），
当小明由B地返回A地过程中：
在BC之间时， （小时），
在AC之间时， （小时），
故满足条件的t值为：
(3)当小明从A运动到B的过程中，AP=vt= 5t,
当小明从B运动到A的过程中，AP= 20-vt= 20- 5t.
【点拨】此题考查线段的和差的实际应用，掌握题中运用的行程题的公式，正确理解题意即可正确解题.
15．（1）作图见解析；AM；BN；AM ； BN ；MN（2）6、10、、34.
【分析】（1）根据尺规作图的步骤按步骤进行操作，根据线段的数量关系进行判断即可.
（2）根据题目中的线段间的关系，分类进行讨论，分别为当P点在Q、F之间时，当Q点在P、F之间时，当F点在P、Q之间时，分别根据线段间的数量关系求解即可.
解：如图：

（1）第一步，以为圆心，为半径作弧，交线段于点，则AM；
第二步，以为圆心，为半径作弧，交线段于点，则BN；
则AMBNMN
故：.
（2）
当P点在QF之间，①PF=2QP时，
∵=4，
∴,
∵OP=r,
∴，
同理可得OQ=8-r
∴QP=
∵,
∴PF=8-r+6=14-r，
2（2r-8）=14-r,
解得：r=6.

②PQ=2PF
∵,
∴OF=14，
∵OP=r，
∴PF=14-r,
∵,
∴OQ=r-8
∴，
同理
∴QP=8+2×（8-r）=24-2r
∴24-2r=14-r
解得r=10.
当Q点在中间时，即QF=2PQ

∵=4，
∴,
∵,
∴PQ=8-2r，
QF=6+r
6+r=8-2r
∴r=.
当F点在Q、P之间，QF=2FP时

∵=4，
∴,
∵,
∴FP=r-OF=r-14，
QF=r+6，
∴r+6=2（r-14），
解得r=34
故答案是：6、10、、34.
【点拨】本题考查了尺规作图，根据线段关系求线段的长度，解决本题的关键是正确理解题意，根据题意分类进行讨论探究.
16．（1）16，20，-8；（2）；（3）1或0.5
【分析】（1）先根据多项式的定义、系数定义求出a、b的值，再根据数轴的定义及即可求出c的值；
（2）设运动时间为t秒，先求出CP、OQ的长，再根据线段的和差求出的长，然后根据线段的中点定义求出EF的长，从而即可得出答案；
（3）设点T所表示的数为x，先求出点所表示的数，再用含t，x的式子表示的长，代入即可求出PT的值．
解：（1）由题意得：
则




故答案为：；；；
（2）由（1）知，
设运动时间为t秒
如图，由题意得：



点为线段的中点，点为线段的中点





故的值为2；

（3）设点T所表示的数为x
由题意得：点P所表示的数为
点Q所表示的数为
点M所表示的数为
点N所表示的数为






整理得：
或
解得：或
故此时线段的长度为1或．
【点拨】本题考查了线段的中点定义、线段的和差、数轴的定义，较难的是题（3），依据题意，正确求出点所表示的数是解题关键．
17．（1）4；（2）a＝±5.25；（3）C点对应±2.8，±4．
【分析】（１）根据|a－b|＝7，a、b异号，即可得到a的值；
（２）分两种情况讨论，依据OA＝3OB，即可得到a的值；
（３）分四种情况进行讨论，根据O为AC的中点，OB＝3BC，即可求出所有满足条件的c的值．
解：（1）∵|a﹣b|＝14，
∴|a+3|＝14，
又∵a＞0，
∴a＝4，
故答案为：4；
（2）设B点对应的数为a+7．

3（a+7﹣0）＝0﹣a，
解得a＝﹣5．25；
设B点对应的数为a﹣7．

3[0﹣（a﹣7）]＝a﹣0，
解得a＝5．25，
综上所得：a＝±5．25；
（3）满足条件的C有四种情况：
①如图：3x+4x＝7，

解得x＝1，
则C对应﹣4；
②如图：x+2x+2x＝7，

解得x＝1．4，
则C对应﹣2．8；
③如图：x+2x+2x＝7，

解得x＝1．4，
则C对应2．8；
④如图：3x+4x＝7，

解得x＝1，
则C对应4；
综上所得：C点对应±2．8，±4．
【点拨】此题考查的是一元一次方程的应用和数轴的知识，用到知识点还有线段的中点，关键是根据线段的和差关系求出线段的长度．
18．（1）①AD的长为6.5；②AD的长为或；（2）的值为或
【分析】（1）根据已知条件得到BC＝5，AC＝10，
①由线段中点的定义得到CE＝2.5，求得CD＝3.5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD；
②如图2，当点F在点C的右侧时，如图3，当点F在点C的左侧时，由线段的和差即可得到结论；
（2）当点E在线段BC之间时，①如图4，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝x，表示出CD、BD，即可求解；②当点E在点A的左侧，如图5，与①类似的步骤可求解；③当点D、E都在点C的右侧，如图6，与①类似的步骤可求解，于是得到结论．
解：（1）∵AC＝2BC，AB＝15，
∴BC＝5，AC＝10，
①∵E为BC中点，
∴CE＝2.5，
∵DE＝6，
∴CD＝3.5，
∴AD＝AC﹣CD＝10﹣3.5＝6.5；
②如图2，当点F在点C的右侧时，

∵CF＝3，AC＝10，
∴AF＝AC+CF＝13，
∵AF＝3AD，
∴AD＝；
如图3，当点F在点C的左侧时，

∵AC＝10，CF＝3，
∴AF＝AC﹣CF＝7，
∴AF＝3AD，
∴AD＝＝；
综上所述，AD的长为或；
（2）①当点E在线段BC之间时，如图4，

设BC＝x，
则AC＝2BC＝2x，
∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，
∴DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，
∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，
∵，
∴，
∴y＝x，
∴CD＝1.5x﹣x＝x，BD＝3x﹣(0.5x+y)＝x，
∴＝＝；
②当点E在点A的左侧，如图5，

设BC＝x，则DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，
∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，
∵＝，BE＝EC+BC＝x+y，
∴，
∴y＝4x，
∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，
∴，
③点D、E都在点C的右侧时，如图6，

设BC＝x，则DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴DC＝EC-DE＝y-1.5x，
∴AD＝DC+AC＝y-1.5x+2x＝y+0.5x，
∵＝，BE＝EC-BC＝y-x，
∴，
∴y＝-4x（舍去）
综上所述的值为或．
【点拨】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段的中点，以及分类讨论的数学思想，比较难，分类讨论是解答本题的关键．