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专题4.5 直线、射线、线段（专项练习2）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题4.5 直线、射线、线段（专项练习2）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共234页。试卷主要包含了线段之间的数量关系，与线段有关的动点问题，两点之间线段最短，两点之间的距离，最短路径问题等内容，欢迎下载使用。
专题4.5 直线、射线、线段（专项练习2）
一、 单选题
知识点九、线段之间的数量关系
1．如图，C，D是线段AB上两点，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是AC的中点，则AC的长等于（ ）
A．3 cm B．6 cm C．11 cm D．14 cm
2．如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2（MC-DN）；④2MN=AB-CD．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
3．下列说法正确的是（ ）
A．画直线
B．延长线段至点，使
C．连接两点的线段，就是两点之间的距离
D．如果线段，那么点一定是线段的中点
4．已知线段、，，如果将移动到的位置，使点与点重合，与叠合，这时点的位置必定是（ ）
A．点在线段上、之间） B．点与点重合
C．点在线段的延长线上 D．点在线段的延长线上
知识点十、与线段有关的动点问题
5．如图，AB=30，C为射线AB上一点，BC比AC的4倍少20，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC=2AC；②运动过程中，QM的长度保持不变；③AB=4NQ；④当BQ=PB时，t=12，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点.点沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过10秒）.若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（ ）
A．秒或秒 B．秒或秒或或秒
C．3秒或7秒 D．3秒或或7秒或秒
7．如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当PB＝BQ时，t＝12，其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
知识点十一、两点之间线段最短
9．下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两颗树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
10．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短 D．经过两点，有且仅有一条直线
11．曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
12．下面说法:①若线段AC=BC,则C是线段AB的中点;②两点之间,直线最短;③延长直线AB;④若一个角既有余角又有补角,则它的补角一定比它的余角大.其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
知识点十二、两点之间的距离
13．如图，点是线段上一点，为的中点，且，.若点在直线上，且，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
14．下列说法：①经过一点有无数条直线；②两点之间线段最短；③经过两点，有且只有一条直线；④若线段AM等于线段BM，则点M是线段AB的中点；⑤连接两点的线段叫做这两点之间的距离．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如果线段AB=4cm，BC=3cm，那么A、C两点的距离为（ ）
A．1cm
B．7cm
C．1cm或7cm
D．无法确定
16．如图，有理数 a，b，c，d 在数轴上的对应点分别是 A，B，C，D，若 a+c=0， 则 b+d（ ）
A． 大于 0 B．小于 0 C．等于 0 D．不确定
知识点十三、最短路径问题
17．如图，某公司有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工10人，15人，45人，且这三个区在一条大道上(A，B，C三点共线)，已知AB＝150m，BC＝90m．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在( )
A．点A B．点B C．点A，B之间 D．点C
18．如图，小明用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一小部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）．
A．两点之间，射线最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线
19．如图，从A到B最短的路线是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，是某住宅小区平面图，点是某小区“菜鸟驿站”的位置，其余各点为居民楼，图中各条线为小区内的小路.从居民楼点到“菜鸟驿站”点的最短路径是（）
A． B．
C． D．
二、 填空题
知识点九、线段之间的数量关系
21．如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为_____cm．
22．如图，、两点将线段分成三部分，为线段的中点，，则线段______.
23．如图，在数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A、D两点表示的数的分别为-5和6，那么该数轴上点C表示的整数是____．
24．如图，点C，M，N在线段AB上，且M是AC的中点，CN：NB=1：2，若AC=12，MN=15，则线段AB的长是_______.
知识点十、与线段有关的动点问题
25．已知线段 AB=30cm，点 P 沿线段 AB 自点 A 向点 B 以 2cm/s 的速度运动，同时点 Q 沿线段 BA 自点 B 向点 A 以 3cm/s 的速度运动，则______秒钟后，P、Q 两点相距 10cm．
26．如图，长方形中，=4cm,=3cm,为的中点.动点从点出发，以每秒1cm的速度沿运动，最终到达点.若点运动的时间为秒，则当=________ 时，的面积等于4.5.
27．如图，点C在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另一条线段长的2倍，则称点C是线段的“巧点”，若已知线段，点C是线段的“巧点”，则=__________．
28．如图，甲、乙两个动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环形运动，乙点按逆时针方向环形运动．若甲的速度是乙的速度的倍．则它们第次相遇在边_________上．
知识点十一、两点之间线段最短
29．如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因_____．
30．、两地之间弯曲的公路改直，能够缩短路程，其根据的道理是________.
31．用两个钉子就可以把木条钉在墙上，其依据是_____；将弯曲的河道改直，可以缩短航程，其依据是_____．
32．如图，是从甲地到乙地的四条道路，其中最短的路线是_____，理由是_____．
知识点十二、两点之间的距离
33．已知，如图，点M，N分别是线段AB，BC的中点，且，线段，则线段BD的长为________.
34．如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB＝8cm，BC＝6cm，若M、N分别为AB、BC的中点，那么M、N两点之间的距离为____．
35．已知A、B、C三点在同一直线上，若AB=20，AC=30，则BC的长为__________．
36．线段，在直线上截取线段，为线段的中点，为线段的中点，那么线段__________．
知识点十三、最短路径问题
37．将图中的树叶沿虚线剪掉一部分，发现剩下的树叶的周长比原来的周长要小，能正确解释这一现象的数学道理是______．
38．把原来弯曲的河道改直，两地间河道的长度就发生了变化，请你用数学知识解释这一现象产生的原因______．
39．如图，AC⊥BC，AC=6，BC=8，AB=10，则点B到AC的距离为_____．
40．已知，如图，在直线l的两侧有两点A、B在直线上画出点P，使PA+PB最短，画法：______．
三、 解答题
知识点九、线段之间的数量关系
41．已知C为线段AB的中点，D在线段BC上，且AD=7，BD=5.求线段CD的长度.
知识点十、与线段有关的动点问题
42．如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）若，求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？
知识点十一、两点之间线段最短
43．如图，已知平面上有四个村庄，用四个点，，，表示．
（1）连接，作射线，作直线与射线交于点；
（2）若要建一供电所，向四个村庄供电，要使所用电线最短，则供电所应建在何处？请画出点的位置并说明理由．
知识点十二、两点之间的距离
44．如图，线段，点E，F分别是线段AB，CD的中点， cm，求线段AB，CD的长.
知识点十三、最短路径问题
45．如图是某风景区的旅游线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程(单位:km)，一学生从A处出发，以2km/h的速度步行游览，每个景点的逗留时间为0.5h.
(1)当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时，共用了3h，求CE的长；
(2)若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点逗留的时间不变，且在最短时间内看完三个景点回到A处，请你为他设计一个步行路线，并说明这样设计的理由(不考虑其他因素).
参考答案
1．B
【分析】
由CB＝4cm，DB＝7cm求得CD=3cm，再根据D是AC的中点即可求得AC的长
【详解】
∵C，D是线段AB上两点，CB＝4cm，DB＝7cm，
∴CD＝DB﹣BC＝7﹣4＝3（cm），
∵D是AC的中点，
∴AC＝2CD＝2×3＝6（cm）．
故选：B．
【点拨】此题考察线段的运算，根据图形确定线段之间的数量关系即可正确解答.
2．D
【分析】
根据M、N分别是线段AD、BC的中点，可得AM=MD，CN=BN.
由①知，当AD=BM，可得AM=BD，故而得到AM=MD=DB，即AB=3BD；
由②知，当AC=BD时，可得到MC=DN，又AM=MD，CN=BN，可解得AM=BN；
由③知，AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；
由④知，AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN
逐一分析，继而得到最终选项.
【详解】
解：∵M，N分别是线段AD，BC的中点，
∴AM=MD，CN=NB.
①∵AD=BM，
∴AM+MD=MD+BD，
∴AM=BD.
∵AM=MD，AB=AM+MD+DB，
∴AB=3BD.
②∵AC=BD，
∴AM+MC=BN+DN.
∵AM=MD，CN=NB，
∴MD+MC=CN+DN，
∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，
∴MC=DN，
∴AM=BN.
③AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；
④AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN.
综上可知，①②③④均正确
故答案为：D
【点拨】本题主要考查线段长短比较与计算，以及线段中点的应用.
3．B
【分析】
根据线段，两点间的距离和直线的概念进行判断即可．
【详解】
A、画线段AB=10cm，故本选项错误；
B、延长线段至点，使，正确
C、连接两点的线段的长度是两点之间的距离，故本选项错误；
D、A点不一定在BC上，故本选项错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了线段，两点间的距离和直线的概念，掌握这些知识点是解题关键．
4．A
【分析】
根据题意画出符合已知条件的图形，根据图形即可得到点B的位置．
【详解】
解：将移动到的位置，使点与点重合，与叠合，如图，
点在线段上、之间），
故选：．
【点拨】本题考查了比较两线段的大小的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
5．C
【解析】
【分析】
根据AB=30，BC比AC的4倍少20可分别求出AC与BC的长度；分别表示出BM、BQ，由QM=BM+BQ即可得QM的值；由N为QM的中点得NQ=QM可得NQ的值；当BQ=PB时，可得30-2t=t，此时t=10秒，综上所述即可得结论．
【详解】
∵AB=30，BC比AC的4倍少20，
∴AC=10，BC=20，
∴BC=2AC，①正确；
∵P、Q两点的运动速度分别为2单位/秒和1单位/秒的速度，
∴BP=30-2t，BQ=t，
∵M为BP的中点，N为QM的中点，
∴PM=MB=15-t，MQ=MB+BQ=15，NQ=7.5，
∴运动过程中，QM的长度保持不变，AB=4NQ，②③正确；
∵PB=30-2t，BQ=t，当BQ=PB时，，
∴30-2t=t，
解方程得：t=10，④错误；
∴①②③项结论正确．
故选C．
【点拨】本题考查线段中点的性质，两点间的距离，解题的关键是运用数形结合的思想推出相关线段之间的关系式.
6．B
【分析】
根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用路程÷速度=时间即可得出结论．
【详解】
解：∵数轴上的点和点分别表示0和10
∴OA=10
∵是线段的中点，
∴OB=AB=
①当点P由点O向点A运动，且未到点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程OP=OB－PB=3
∴点P运动的时间为3÷2=s；
②当点P由点O向点A运动，且已过点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程OP=OB+PB=7
∴点P运动的时间为7÷2=s；
③当点P由点A向点O运动，且未到点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB－PB=13
∴点P运动的时间为13÷2=s；
④当点P由点A向点O运动，且已过点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB＋PB=17
∴点P运动的时间为17÷2=s；
综上所述：当时，则运动时间的值为秒或秒或或秒
故选B．
【点拨】此题考查的是数轴与动点问题和线段的和与差，掌握各线段的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
7．C
【分析】
根据AC比BC的多5可分别求出AC与BC的长度，然后分别求出当P与Q重合时，此时t=30s，当P到达B时，此时t=15s，最后分情况讨论点P与Q的位置．
【详解】
解：设BC＝x，
∴AC＝x+5
∵AC+BC＝AB
∴x+x+5＝30，
解得：x＝20，
∴BC＝20，AC＝10，
∴BC＝2AC，故①成立，
∵AP＝2t，BQ＝t，
当0≤t≤15时，
此时点P在线段AB上，
∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t，
∵M是BP的中点
∴MB＝BP＝15﹣t
∵QM＝MB+BQ，
∴QM＝15，
∵N为QM的中点，
∴NQ＝QM＝，
∴AB＝4NQ，
当15＜t≤30时，
此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∵M是BP的中点
∴BM＝BP＝t﹣15
∵QM＝BQ﹣BM＝15，
∵N为QM的中点，
∴NQ＝QM＝，
∴AB＝4NQ，
当t＞30时，
此时点P在Q的右侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∵M是BP的中点
∴BM＝BP＝t﹣15
∵QM＝BQ﹣BM＝15，
∵N为QM的中点，
∴NQ＝QM＝，
∴AB＝4NQ，
综上所述，AB＝4NQ，故②正确，
当0＜t≤15，PB＝BQ时，此时点P在线段AB上，
∴AP＝2t，BQ＝t
∴PB＝AB﹣AP＝30﹣2t，
∴30﹣2t＝t，
∴t＝12，
当15＜t≤30，PB＝BQ时，此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∴2t﹣30＝t，
t＝20，
当t＞30时，此时点P在Q的右侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∴2t﹣30＝t，
t＝20，不符合t＞30，
综上所述，当PB＝BQ时，t＝12或20，故③错误；
故选：C．
【点拨】本题考查两点间的距离，解题的关键是求出P到达B点时的时间，以及点P与Q重合时的时间，涉及分类讨论的思想．
8．B
【分析】
根据线段中点的性质，做出线段AD，按要求标出各点大致位置，列出EB，BC的表达式，即可求出线段EC．
【详解】
设运动时间为t，
则AB=2t，BD=10-2t，
∵C是线段BD的中点，E为线段AB的中点，
∴EB= =t，BC= =5-t，
∴EC=EB+BC=t+5-t=5cm，
故选：B．
【点拨】此题考查对线段中点的的理解和运用，涉及到关于动点的线段的表示方法，难度一般，理解题意是关键．
9．C
【详解】
试题分析：直接利用直线的性质以及两点确定一条直线的性质分析得出答案．
解：（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上，根据是两点确定一条直线；
（2）从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，根据是两点之间线段最短；
（3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，根据是两点确定一条直线；
（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程，根据是两点之间线段最短．
故选C．
考点：直线的性质：两点确定一条直线．
10．C
【详解】
用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，
∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，
∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选C．
【点拨】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．
11．A
【分析】
由题意，可以使路程变长，就用到两点间线段最短定理．
【详解】
解： 公园湖面上架设曲桥，可以增加游客在桥上行走的路程，从而使游客观赏湖面景色的时间变长， 其中数学原理是：两点之间，线段最短.
故选A.
【点拨】本题考查线段的性质，两点之间线段最短，属基础题.
12．B
【分析】
根据两点间的距离，中点的定义及余角和补角的知识进行各选项的判断即可．
【详解】
①如图，AC=BC，但C不是线段AB的中点，故①不正确；
②两点之间线段最短，故②不正确；
③直线向两边无限延伸，不能延长，故③不正确；
④一个角有余角，说明这个角是锐角，所以它的补角一定比它的余角大，故④正确．
故选B．
【点拨】本题考查了两点间的距离、直线及余角和补角的知识，解答本题需要同学们熟练掌握基本知识．
13．D
【分析】
分类讨论，①当点E在线段AB上时，②当点E在线段BA的延长线上时，分别画出图形，计算即可得出答案．
【详解】
∵为的中点，BD=5cm，
∴BC=10cm，CD=5cm，
∵AB=12cm，
∴AD=7cm，AC=2cm，
①如图：当点E在线段AB上时，
∵AE=3，
∴DE=7-3=4cm，
②如图：当点E在线段BA的延长线上时，
∵AE=3cm，
∴DE=7+3=10cm.
故选D.
【点拨】此题考查了两点间的距离求解，解答本题的关键是分类讨论点E的位置，有一定难度，注意不要遗漏．
14．C
【分析】
分别利用直线的性质以及两点之间距离和线段的性质分别判断得出即可．
【详解】
解：①经过一点有无数条直线，这个说法正确；
②两点之间线段最短，这个说法正确；
③经过两点，有且只有一条直线，这个说法正确；
④若线段AM等于线段BM，则点M不一定是线段AB的中点，因为A、M、B三点不一定在一条直线上，所以这个说法错误；
所以正确的说法有三个．
故选C．
【点拨】考核知识点：两点间距离.理解线段的意义是关键.
15．D
【解析】
【分析】
(1) 当A，B，C三点在一条直线上时,分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况讨论;
(2) 当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能.
【详解】
(1)当A，B，C三点在一条直线上时,分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况讨论.
①点B在A、C之间时，AC=AB+BC=4+3=7cm;
②点C在A、B之间时，AC=AB-BC=4-3=1cm.
所以A、C两点间的距离是7cm或1cm.
(2)当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能.
故选D.
【点拨】本题考查了两点间的距离及分类讨论的数学思想，属于基础题，关键是分类讨论A，B，C三点是否在一条直线上时.
16．B
【解析】
分析：由a+c=0可知a与c互为相反数，所以原点是AC的中点，利用b、d与原点的距离可知b+d与0的大小关系．
解析：∵a+c=0，
∴a，c互为相反数，
∴原点O是AC的中点，
∴由图可知：点D到原点的距离大于点B到原点的距离，且点D、B分布在原点的两侧，
故b+d＜0，
故选B.
17．D
【分析】
本题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，分别计算所有人的路程的和再判断．
【详解】
①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=150×15+45×240=13050（米）；
②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=10×150+90×45=5550（米）；
③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=10×240+15×90=3750（米）；
④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜150），则所有人的路程的和是：10m+15（150﹣m）+45（240﹣m）=13050－50m＞5550 ；
⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜90），则总路程为10（150+n）+15n+45（90﹣n）=5550－20n ＞3750，∴该停靠点的位置应设在点C．
故选D．
【点拨】本题为数学知识的应用，考查的知识点为两点之间线段最短．
18．C
【分析】
根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．
【详解】
小明用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一小部分，发现剩下树叶的周长比原树叶 的周长要小，能正确解释这一现象的是数学上的知识是“两点之间，线段最短”．
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是与线段、直线有关的几个基本事实，对它们的理解、应用并能加以区分是关键．
19．C
【分析】
根据两点之间线段最短判断路线即可．
【详解】
根据两点之间线段最短,可知从A点到E点最短路线是:A－F－E,则A到B最短路线是:A－F－E－B．
故选C．
【点拨】本题考查最短路径的应用,关键在于牢记基础知识．
20．D
【分析】
根据两点之间线段最短即可判断.
【详解】
从居民楼点A到“菜鸟驿站”点B的最短路径是A-E-B，故选D.
【点拨】此题主要考查点之间的距离，解题的关键是熟知两点之间线段最短.
21．1
【分析】
先根据中点定义求BC的长，再利用线段的差求CD的长．
【详解】
解：∵C为AB的中点，AB＝8cm，
∴BC＝AB＝×8＝4（cm），
∵BD＝3cm，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1（cm），
则CD的长为1cm；
故答案为1．
【点拨】此题主要考查线段的长度，解题的关键是熟知线段长度的运算关系.
22．1cm
【解析】
【分析】
根据、两点将线段分成三部分，设，然后表示出，再根据，求得x的值，进而求出AB的长；再计算出AE的长，然后利用AD﹣AE可得DE长.
【详解】
解：设
∵
∴
解得：
∴
∵为线段的中点
∴
故答案为：1cm
【点拨】本题考点为两点之间的距离，熟练掌握线段的性质是解答本题的关键.
23．4
【详解】
解：设BC=6x，∵2AB=BC=3CD，∴AB=3x，CD=2x，∴AD=AB+BC+CD=11x，∵A，D两点所表示的数分别是﹣5和6，∴11x=11，解得：x=1，∴AB=3，CD=2．
设点C表示的整数是a，∴6-a=2，解得a=4．故点C表示的整数是4．故答案为4．
点睛：题目考查了数轴的有关概念，利用数轴上的点、线段相关性质，考查学生对数轴知识的掌握情况，题目难易程度适中，适合学生课后训练．
24．39
【分析】
根据中点的定义可求出MC的长，根据MN=MC+CN可得CN的长，根据CN：NB=1：2，可求出NB的长，根据AB=AC+CN+NB即可得答案.
【详解】
∵M是AC的中点，AC=12，
∴MC=AC=6，
∵MN=MC+CN，MN=15，
∴CN=15-6=9，
∵CN：NB=1：2，
∴NB=18，
∴AB=AC+CN+NB=12+9+18=39.
故答案为39
【点拨】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．
25．4或8
【解析】
试题分析：设经过xs，P、Q两点相距10cm，由题意得
2x+3x+10=30或2x+3x-10=30，
解得：x=4或x=8．
则4秒或8秒钟后，P、Q两点的距离为10cm.
26．3或5.5
【解析】
【分析】
分P在AB上、P在BC上、P在CE上三种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：①当P在AB上时，
∵△APE的面积等于4.5，
∴x•3=4.5，
x=3；
②当P在BC上时，
∵△APE的面积等于4.5，
∴S矩形ABCD-S△CPE-S△ADE-S△ABP=4.5，
∴3×4-××2-×2×3-×4×（x-4）=4.5，
x=5.5；
③当P在CE上时，
（4+3+2-x）×3=4.5，
x=6<4+3（不合题意,舍去），
故答案为：3或5.5 ．
【点拨】本题考查的是三角形的面积计算，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
27．或或10
【分析】
当点C是线段AB的“巧点”时，可能有BC=2AC、AC=2BC和AB=2AC=2BC三种情况，分类讨论计算即可．
【详解】
当点C是线段的“巧点”时，可能有、、
三种情况，
①时，，
②时，，
③时，．
故答案为：，或10．
【点拨】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．
28．AB
【分析】
因为甲的速度是乙的速度的3倍，所以第1次相遇，甲走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，4次一个循环，从而不难求得它们第2019次相遇位置.
【详解】
每次相遇的位置依次是：DC、AD、BA、BC，依此循环.
故它们第2019次相遇位置与第三次相同，在AB边上.
【点拨】本题难度中等，主要考查学生对规律的总结能力，发现规律是解题的关键.
29．两点之间线段最短
【分析】
根据线段的性质解答即可．
【详解】
解：为抄近路践踏草坪原因是：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【点拨】本题考查线段的性质：两点之间线段最短；三角形三边关系．
30．两点之间，线段最短
【分析】
根据线段的性质进行解答即可．
【详解】
解：、两地之间弯曲的公路改直，能够缩短路程，其根据的道理是两点之间，线段最短.
【点拨】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
31．两点确定一条直线， 两点之间，线段最短．
【分析】
根据直线的性质：两点确定一条直线以及利用线段的性质进行解答．
【详解】
用两个钉子把木条钉在墙上时，木条就被固定住，其依据是两点确定一条直线．
将弯曲的河道改直，可以缩短航程，其依据是：两点之间，线段最短．
故答案为两点确定一条直线，两点之间，线段最短．
【点拨】此题主要考查了直线、线段的性质，熟记相关的性质是解题的关键．
32．甲经A到乙， 两点之间，线段最短
【解析】
【分析】
根据线段的性质，可得答案．
【详解】
由图可得：最短的路线为甲经A到乙，因为两点之间，线段最短．
故答案为：甲经A到乙；两点之间，线段最短．
【点拨】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
33．3
【分析】
根据等式的性质，可得AB与BD的关系，CD与BD的关系，根据线段中点的性质，可得AM与BM的关系，DN与NC的关系，根据线段的和差，可得BD的长，根据线段的和差，可得答案．
【详解】
∵，∴AB=4BD，CD=3BD．
点M、N分别是线段AB、BC的中点，AM=BM=2BD，DB=BN=NC．
由线段的和差，得MN=MB+BN=3BD=9．
所以BD=3．
故答案为3．
【点拨】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．
34．7cm或1cm
【分析】
分点B在线段AC上和点C在线段AB上两种情况，根据线段中点的性质进行计算即可．
【详解】
解：如图1，当点B在线段AC上时，
∵AB=8cm，BC=6cm，M，N分别为AB，BC的中点，
∴MB=AB=4，BN=BC=3，
∴MN=MB+NB=7cm，
如图2，当点C在线段AB上时，
∵AB=8cm，BC=6cm，M，N分别为AB，BC的中点，
∴MB=AB=4，BN=BC=3，
∴MN=MB-NB=1cm，
综上可知，M、N两点之间的距离为7cm或1cm，
故答案为：7cm或1cm．
【点拨】本题考查的是两点间的距离，掌握线段中点的定义、灵活运用数形结合思想、分情况讨论思想是解题的关键．
35．10或50
【分析】
分类讨论：B在线段AC上，B在线段AC的反向延长线上，根据线段的和差，可得答案．
【详解】
当B在线段AC上时，
由线段的和差，得BC=AC-AB=30-20=10，
当B在线段AC的反向延长线上时，
由线段的和差，得BC=AC+AB=30+20=50，
故答案为：10或50．
【点拨】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，分讨论是解题关键．
36．1或2
【分析】
根据题意，可分为两种情况进行分析：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上；分别作出图形，求出答案，即可得到DE的长度.
【详解】
解：根据题意，
①当点C在线段AB上时；如图：
∵，，
又∵为线段的中点，为线段的中点，
∴，，
∴；
②当点C在线段AB的延长线上时；如图：
与①同理，可求，，
∴；
∴线段DE的长度为：1或2；
故答案为：1或2.
【点拨】本题考查了线段的中点，两点之间的距离，以及线段的和差关系，解题的关键是熟练掌握线段的中点，线段的和差关系进行解题.
37．两点之间线段最短
【分析】
分析剪前与剪后线段AB左侧的形状可以得解．
【详解】
解：如图，设虚线与树叶边缘交于A、B两点，
则剩下的树叶周长与原来的周长相差的只是线段AB左侧的部分，原来AB左侧是一条曲线，剪后AB左侧即为线段AB，
∵线段AB的长度小于原来AB之间曲线的长度，
∴剩下的树叶的周长比原来的周长要小，其原因即为两点之间线段最短，
故答案为两点之间线段最短．
【点拨】本题考查“两点之间线段最短”原理的应用，熟练地把实际问题与几何问题联系起来思考是解题关键．
38．两点之间，线段最短
【解析】
【分析】
直接利用线段的性质得出答案．
【详解】
解：把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度就发生了变化，
用数学知识解释这一现象产生的原因：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短
【点拨】此题主要考查了线段的性质，正确把握线段的性质是解题关键．
39．8
【解析】
试题解析：AC⊥BC，AC=6，BC=8，AB=10，则点B到AC的距离为8
40．连接AB交直线l于P
【分析】
连接AB交直线l于P，根据两点之间线段最短可得AB为PA+PB的最小值，即可得答案．
【详解】
如图，连接AB，交直线l于P，
∵两点之间线段最短，
∴AB为PA+PB的最小值，
故答案为：连接AB交直线l于P
【点拨】本题考查作图，熟练掌握两点之间线段最短是解题关键．
41．CD= 1.
【解析】
试题分析：根据已知可求得AB的长，从而可求得AC的长，再根据AD的长即可求得CD的长．
试题解析：∵AD=7，BD=5，
∴AB=AD+BD=12，
∵C是AB的中点，
∴AC=AB=6，
∴CD=AD﹣AC=7﹣6=1.
42．（1）MN=7cm；（2）MN=cm，无论点C在线段上移动到哪里，MN始终长为AB的一半
【分析】
（1）利用中点定义求出CM==4cm，CN==3cm，由点C在线段AB上，MN=CM+CN计算即可，
（2）利用（1）知CM=，CN=，由点C在线段AB上，MN=CM+CN=+=cm，无论点C在线段上移动到哪里，MN= AB．
【详解】
（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点
∴CM==4cm，CN==3cm，
∵点C在线段AB上，
∴MN=CM+CN=4+3=7cm，
（2）由（1）知CM=，CN=，
∵点C在线段AB上，
∴MN=CM+CN=+=cm，
∴无论点C在线段上移动到哪里，MN始终长为AB的一半．
【点拨】本题考查两中点间线段的长问题，掌握中点定义，灵活运用分点分得的线段与原长线段的关系解决问题．
43．（1）如图所示．见解析；（2）如图，见解析；供电所应建在与的交点处．理由：两点之间，线段最短．
【分析】
（1）根据射线、直线的定义进而得出E点位置；
（2）根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处．
【详解】
（1）如图所示：点E即为所求；
（2）如图所示：点M即为所求．
理由：两点之间，线段最短．
【点拨】本题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段距离最短．
44．16cm；20cm；
【分析】
先BD=x，则CD=5x，AB=4x，再根据点E，F分别是AB，CD的中点，得到EF=ED+DF=3.5x，根据EF=14，可得x的值，进而得到AB，CD的长．
【详解】
解：因为，设BD=x,则CD=5x,AB=4x,
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴EB= AB=2x,DF=CD=2.5x，
∴ED=x，
∴EF=ED+DF=3.5x，
又∵EF=14，
∴3.5x=14，
解得x=4，
∴CD=5x=20cm，AB=4x=16cm.
【点拨】此题考查两点间的距离，解题关键在于结合图形进行计算.
45．（1）0.4千米；（2）3.9小时
【详解】
试题分析：（1）根据路线A→D→C→E→A的总长及步行速度为2km/h，且每个景点的逗留时间为0.5h，即可求得结果；
（2）根据路线特征即可判断.
（1）由题意得CE=2×(3-2×0. 5)-1.6-1-1=0.4(千米)；
（2）若步行路线为A→D→C→B→E→A(或A→E→B→C→D→A)
则所用时间为(1.6+1+1.2+0.4+1)÷2+3×0.5=4.1小时，
若步行路线为A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A)
则所用时间为(1.6+1+0.4+0.4×2+1)÷2+3×0.5=3.9小时，
则最短步行路线为A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A).
考点：本题考查的是行程问题
点评：解答本题的关键是读懂题意，正确理解旅游线示意图，找准步行路线.
专题4.5 直线、射线、线段（专项练习2）
一、 单选题
知识点九、线段之间的数量关系
1．如图，C，D是线段AB上两点，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是AC的中点，则AC的长等于（ ）
A．3 cm B．6 cm C．11 cm D．14 cm
2．如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2（MC-DN）；④2MN=AB-CD．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
3．下列说法正确的是（ ）
A．画直线
B．延长线段至点，使
C．连接两点的线段，就是两点之间的距离
D．如果线段，那么点一定是线段的中点
4．已知线段、，，如果将移动到的位置，使点与点重合，与叠合，这时点的位置必定是（ ）
A．点在线段上、之间） B．点与点重合
C．点在线段的延长线上 D．点在线段的延长线上
知识点十、与线段有关的动点问题
5．如图，AB=30，C为射线AB上一点，BC比AC的4倍少20，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC=2AC；②运动过程中，QM的长度保持不变；③AB=4NQ；④当BQ=PB时，t=12，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点.点沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过10秒）.若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（ ）
A．秒或秒 B．秒或秒或或秒
C．3秒或7秒 D．3秒或或7秒或秒
7．如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当PB＝BQ时，t＝12，其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
知识点十一、两点之间线段最短
9．下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两颗树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
10．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短 D．经过两点，有且仅有一条直线
11．曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
12．下面说法:①若线段AC=BC,则C是线段AB的中点;②两点之间,直线最短;③延长直线AB;④若一个角既有余角又有补角,则它的补角一定比它的余角大.其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
知识点十二、两点之间的距离
13．如图，点是线段上一点，为的中点，且，.若点在直线上，且，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
14．下列说法：①经过一点有无数条直线；②两点之间线段最短；③经过两点，有且只有一条直线；④若线段AM等于线段BM，则点M是线段AB的中点；⑤连接两点的线段叫做这两点之间的距离．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如果线段AB=4cm，BC=3cm，那么A、C两点的距离为（ ）
A．1cm
B．7cm
C．1cm或7cm
D．无法确定
16．如图，有理数 a，b，c，d 在数轴上的对应点分别是 A，B，C，D，若 a+c=0， 则 b+d（ ）
A． 大于 0 B．小于 0 C．等于 0 D．不确定
知识点十三、最短路径问题
17．如图，某公司有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工10人，15人，45人，且这三个区在一条大道上(A，B，C三点共线)，已知AB＝150m，BC＝90m．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在( )
A．点A B．点B C．点A，B之间 D．点C
18．如图，小明用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一小部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）．
A．两点之间，射线最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线
19．如图，从A到B最短的路线是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，是某住宅小区平面图，点是某小区“菜鸟驿站”的位置，其余各点为居民楼，图中各条线为小区内的小路.从居民楼点到“菜鸟驿站”点的最短路径是（）
A． B．
C． D．
二、 填空题
知识点九、线段之间的数量关系
21．如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为_____cm．
22．如图，、两点将线段分成三部分，为线段的中点，，则线段______.
23．如图，在数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A、D两点表示的数的分别为-5和6，那么该数轴上点C表示的整数是____．
24．如图，点C，M，N在线段AB上，且M是AC的中点，CN：NB=1：2，若AC=12，MN=15，则线段AB的长是_______.
知识点十、与线段有关的动点问题
25．已知线段 AB=30cm，点 P 沿线段 AB 自点 A 向点 B 以 2cm/s 的速度运动，同时点 Q 沿线段 BA 自点 B 向点 A 以 3cm/s 的速度运动，则______秒钟后，P、Q 两点相距 10cm．
26．如图，长方形中，=4cm,=3cm,为的中点.动点从点出发，以每秒1cm的速度沿运动，最终到达点.若点运动的时间为秒，则当=________ 时，的面积等于4.5.
27．如图，点C在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另一条线段长的2倍，则称点C是线段的“巧点”，若已知线段，点C是线段的“巧点”，则=__________．
28．如图，甲、乙两个动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环形运动，乙点按逆时针方向环形运动．若甲的速度是乙的速度的倍．则它们第次相遇在边_________上．
知识点十一、两点之间线段最短
29．如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因_____．
30．、两地之间弯曲的公路改直，能够缩短路程，其根据的道理是________.
31．用两个钉子就可以把木条钉在墙上，其依据是_____；将弯曲的河道改直，可以缩短航程，其依据是_____．
32．如图，是从甲地到乙地的四条道路，其中最短的路线是_____，理由是_____．
知识点十二、两点之间的距离
33．已知，如图，点M，N分别是线段AB，BC的中点，且，线段，则线段BD的长为________.
34．如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB＝8cm，BC＝6cm，若M、N分别为AB、BC的中点，那么M、N两点之间的距离为____．
35．已知A、B、C三点在同一直线上，若AB=20，AC=30，则BC的长为__________．
36．线段，在直线上截取线段，为线段的中点，为线段的中点，那么线段__________．
知识点十三、最短路径问题
37．将图中的树叶沿虚线剪掉一部分，发现剩下的树叶的周长比原来的周长要小，能正确解释这一现象的数学道理是______．
38．把原来弯曲的河道改直，两地间河道的长度就发生了变化，请你用数学知识解释这一现象产生的原因______．
39．如图，AC⊥BC，AC=6，BC=8，AB=10，则点B到AC的距离为_____．
40．已知，如图，在直线l的两侧有两点A、B在直线上画出点P，使PA+PB最短，画法：______．
三、 解答题
知识点九、线段之间的数量关系
41．已知C为线段AB的中点，D在线段BC上，且AD=7，BD=5.求线段CD的长度.
知识点十、与线段有关的动点问题
42．如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）若，求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？
知识点十一、两点之间线段最短
43．如图，已知平面上有四个村庄，用四个点，，，表示．
（1）连接，作射线，作直线与射线交于点；
（2）若要建一供电所，向四个村庄供电，要使所用电线最短，则供电所应建在何处？请画出点的位置并说明理由．
知识点十二、两点之间的距离
44．如图，线段，点E，F分别是线段AB，CD的中点， cm，求线段AB，CD的长.
知识点十三、最短路径问题
45．如图是某风景区的旅游线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程(单位:km)，一学生从A处出发，以2km/h的速度步行游览，每个景点的逗留时间为0.5h.
(1)当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时，共用了3h，求CE的长；
(2)若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点逗留的时间不变，且在最短时间内看完三个景点回到A处，请你为他设计一个步行路线，并说明这样设计的理由(不考虑其他因素).
参考答案
1．B
【分析】
由CB＝4cm，DB＝7cm求得CD=3cm，再根据D是AC的中点即可求得AC的长
【详解】
∵C，D是线段AB上两点，CB＝4cm，DB＝7cm，
∴CD＝DB﹣BC＝7﹣4＝3（cm），
∵D是AC的中点，
∴AC＝2CD＝2×3＝6（cm）．
故选：B．
【点拨】此题考察线段的运算，根据图形确定线段之间的数量关系即可正确解答.
2．D
【分析】
根据M、N分别是线段AD、BC的中点，可得AM=MD，CN=BN.
由①知，当AD=BM，可得AM=BD，故而得到AM=MD=DB，即AB=3BD；
由②知，当AC=BD时，可得到MC=DN，又AM=MD，CN=BN，可解得AM=BN；
由③知，AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；
由④知，AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN
逐一分析，继而得到最终选项.
【详解】
解：∵M，N分别是线段AD，BC的中点，
∴AM=MD，CN=NB.
①∵AD=BM，
∴AM+MD=MD+BD，
∴AM=BD.
∵AM=MD，AB=AM+MD+DB，
∴AB=3BD.
②∵AC=BD，
∴AM+MC=BN+DN.
∵AM=MD，CN=NB，
∴MD+MC=CN+DN，
∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，
∴MC=DN，
∴AM=BN.
③AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；
④AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN.
综上可知，①②③④均正确
故答案为：D
【点拨】本题主要考查线段长短比较与计算，以及线段中点的应用.
3．B
【分析】
根据线段，两点间的距离和直线的概念进行判断即可．
【详解】
A、画线段AB=10cm，故本选项错误；
B、延长线段至点，使，正确
C、连接两点的线段的长度是两点之间的距离，故本选项错误；
D、A点不一定在BC上，故本选项错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了线段，两点间的距离和直线的概念，掌握这些知识点是解题关键．
4．A
【分析】
根据题意画出符合已知条件的图形，根据图形即可得到点B的位置．
【详解】
解：将移动到的位置，使点与点重合，与叠合，如图，
点在线段上、之间），
故选：．
【点拨】本题考查了比较两线段的大小的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
5．C
【解析】
【分析】
根据AB=30，BC比AC的4倍少20可分别求出AC与BC的长度；分别表示出BM、BQ，由QM=BM+BQ即可得QM的值；由N为QM的中点得NQ=QM可得NQ的值；当BQ=PB时，可得30-2t=t，此时t=10秒，综上所述即可得结论．
【详解】
∵AB=30，BC比AC的4倍少20，
∴AC=10，BC=20，
∴BC=2AC，①正确；
∵P、Q两点的运动速度分别为2单位/秒和1单位/秒的速度，
∴BP=30-2t，BQ=t，
∵M为BP的中点，N为QM的中点，
∴PM=MB=15-t，MQ=MB+BQ=15，NQ=7.5，
∴运动过程中，QM的长度保持不变，AB=4NQ，②③正确；
∵PB=30-2t，BQ=t，当BQ=PB时，，
∴30-2t=t，
解方程得：t=10，④错误；
∴①②③项结论正确．
故选C．
【点拨】本题考查线段中点的性质，两点间的距离，解题的关键是运用数形结合的思想推出相关线段之间的关系式.
6．B
【分析】
根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用路程÷速度=时间即可得出结论．
【详解】
解：∵数轴上的点和点分别表示0和10
∴OA=10
∵是线段的中点，
∴OB=AB=
①当点P由点O向点A运动，且未到点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程OP=OB－PB=3
∴点P运动的时间为3÷2=s；
②当点P由点O向点A运动，且已过点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程OP=OB+PB=7
∴点P运动的时间为7÷2=s；
③当点P由点A向点O运动，且未到点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB－PB=13
∴点P运动的时间为13÷2=s；
④当点P由点A向点O运动，且已过点B时，如下图所示，
此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB＋PB=17
∴点P运动的时间为17÷2=s；
综上所述：当时，则运动时间的值为秒或秒或或秒
故选B．
【点拨】此题考查的是数轴与动点问题和线段的和与差，掌握各线段的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
7．C
【分析】
根据AC比BC的多5可分别求出AC与BC的长度，然后分别求出当P与Q重合时，此时t=30s，当P到达B时，此时t=15s，最后分情况讨论点P与Q的位置．
【详解】
解：设BC＝x，
∴AC＝x+5
∵AC+BC＝AB
∴x+x+5＝30，
解得：x＝20，
∴BC＝20，AC＝10，
∴BC＝2AC，故①成立，
∵AP＝2t，BQ＝t，
当0≤t≤15时，
此时点P在线段AB上，
∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t，
∵M是BP的中点
∴MB＝BP＝15﹣t
∵QM＝MB+BQ，
∴QM＝15，
∵N为QM的中点，
∴NQ＝QM＝，
∴AB＝4NQ，
当15＜t≤30时，
此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∵M是BP的中点
∴BM＝BP＝t﹣15
∵QM＝BQ﹣BM＝15，
∵N为QM的中点，
∴NQ＝QM＝，
∴AB＝4NQ，
当t＞30时，
此时点P在Q的右侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∵M是BP的中点
∴BM＝BP＝t﹣15
∵QM＝BQ﹣BM＝15，
∵N为QM的中点，
∴NQ＝QM＝，
∴AB＝4NQ，
综上所述，AB＝4NQ，故②正确，
当0＜t≤15，PB＝BQ时，此时点P在线段AB上，
∴AP＝2t，BQ＝t
∴PB＝AB﹣AP＝30﹣2t，
∴30﹣2t＝t，
∴t＝12，
当15＜t≤30，PB＝BQ时，此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∴2t﹣30＝t，
t＝20，
当t＞30时，此时点P在Q的右侧，
∴AP＝2t，BQ＝t，
∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，
∴2t﹣30＝t，
t＝20，不符合t＞30，
综上所述，当PB＝BQ时，t＝12或20，故③错误；
故选：C．
【点拨】本题考查两点间的距离，解题的关键是求出P到达B点时的时间，以及点P与Q重合时的时间，涉及分类讨论的思想．
8．B
【分析】
根据线段中点的性质，做出线段AD，按要求标出各点大致位置，列出EB，BC的表达式，即可求出线段EC．
【详解】
设运动时间为t，
则AB=2t，BD=10-2t，
∵C是线段BD的中点，E为线段AB的中点，
∴EB= =t，BC= =5-t，
∴EC=EB+BC=t+5-t=5cm，
故选：B．
【点拨】此题考查对线段中点的的理解和运用，涉及到关于动点的线段的表示方法，难度一般，理解题意是关键．
9．C
【详解】
试题分析：直接利用直线的性质以及两点确定一条直线的性质分析得出答案．
解：（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上，根据是两点确定一条直线；
（2）从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，根据是两点之间线段最短；
（3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，根据是两点确定一条直线；
（4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程，根据是两点之间线段最短．
故选C．
考点：直线的性质：两点确定一条直线．
10．C
【详解】
用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，
∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，
∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选C．
【点拨】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．
11．A
【分析】
由题意，可以使路程变长，就用到两点间线段最短定理．
【详解】
解： 公园湖面上架设曲桥，可以增加游客在桥上行走的路程，从而使游客观赏湖面景色的时间变长， 其中数学原理是：两点之间，线段最短.
故选A.
【点拨】本题考查线段的性质，两点之间线段最短，属基础题.
12．B
【分析】
根据两点间的距离，中点的定义及余角和补角的知识进行各选项的判断即可．
【详解】
①如图，AC=BC，但C不是线段AB的中点，故①不正确；
②两点之间线段最短，故②不正确；
③直线向两边无限延伸，不能延长，故③不正确；
④一个角有余角，说明这个角是锐角，所以它的补角一定比它的余角大，故④正确．
故选B．
【点拨】本题考查了两点间的距离、直线及余角和补角的知识，解答本题需要同学们熟练掌握基本知识．
13．D
【分析】
分类讨论，①当点E在线段AB上时，②当点E在线段BA的延长线上时，分别画出图形，计算即可得出答案．
【详解】
∵为的中点，BD=5cm，
∴BC=10cm，CD=5cm，
∵AB=12cm，
∴AD=7cm，AC=2cm，
①如图：当点E在线段AB上时，
∵AE=3，
∴DE=7-3=4cm，
②如图：当点E在线段BA的延长线上时，
∵AE=3cm，
∴DE=7+3=10cm.
故选D.
【点拨】此题考查了两点间的距离求解，解答本题的关键是分类讨论点E的位置，有一定难度，注意不要遗漏．
14．C
【分析】
分别利用直线的性质以及两点之间距离和线段的性质分别判断得出即可．
【详解】
解：①经过一点有无数条直线，这个说法正确；
②两点之间线段最短，这个说法正确；
③经过两点，有且只有一条直线，这个说法正确；
④若线段AM等于线段BM，则点M不一定是线段AB的中点，因为A、M、B三点不一定在一条直线上，所以这个说法错误；
所以正确的说法有三个．
故选C．
【点拨】考核知识点：两点间距离.理解线段的意义是关键.
15．D
【解析】
【分析】
(1) 当A，B，C三点在一条直线上时,分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况讨论;
(2) 当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能.
【详解】
(1)当A，B，C三点在一条直线上时,分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况讨论.
①点B在A、C之间时，AC=AB+BC=4+3=7cm;
②点C在A、B之间时，AC=AB-BC=4-3=1cm.
所以A、C两点间的距离是7cm或1cm.
(2)当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能.
故选D.
【点拨】本题考查了两点间的距离及分类讨论的数学思想，属于基础题，关键是分类讨论A，B，C三点是否在一条直线上时.
16．B
【解析】
分析：由a+c=0可知a与c互为相反数，所以原点是AC的中点，利用b、d与原点的距离可知b+d与0的大小关系．
解析：∵a+c=0，
∴a，c互为相反数，
∴原点O是AC的中点，
∴由图可知：点D到原点的距离大于点B到原点的距离，且点D、B分布在原点的两侧，
故b+d＜0，
故选B.
17．D
【分析】
本题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，分别计算所有人的路程的和再判断．
【详解】
①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=150×15+45×240=13050（米）；
②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=10×150+90×45=5550（米）；
③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=10×240+15×90=3750（米）；
④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜150），则所有人的路程的和是：10m+15（150﹣m）+45（240﹣m）=13050－50m＞5550 ；
⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜90），则总路程为10（150+n）+15n+45（90﹣n）=5550－20n ＞3750，∴该停靠点的位置应设在点C．
故选D．
【点拨】本题为数学知识的应用，考查的知识点为两点之间线段最短．
18．C
【分析】
根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．
【详解】
小明用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一小部分，发现剩下树叶的周长比原树叶 的周长要小，能正确解释这一现象的是数学上的知识是“两点之间，线段最短”．
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是与线段、直线有关的几个基本事实，对它们的理解、应用并能加以区分是关键．
19．C
【分析】
根据两点之间线段最短判断路线即可．
【详解】
根据两点之间线段最短,可知从A点到E点最短路线是:A－F－E,则A到B最短路线是:A－F－E－B．
故选C．
【点拨】本题考查最短路径的应用,关键在于牢记基础知识．
20．D
【分析】
根据两点之间线段最短即可判断.
【详解】
从居民楼点A到“菜鸟驿站”点B的最短路径是A-E-B，故选D.
【点拨】此题主要考查点之间的距离，解题的关键是熟知两点之间线段最短.
21．1
【分析】
先根据中点定义求BC的长，再利用线段的差求CD的长．
【详解】
解：∵C为AB的中点，AB＝8cm，
∴BC＝AB＝×8＝4（cm），
∵BD＝3cm，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1（cm），
则CD的长为1cm；
故答案为1．
【点拨】此题主要考查线段的长度，解题的关键是熟知线段长度的运算关系.
22．1cm
【解析】
【分析】
根据、两点将线段分成三部分，设，然后表示出，再根据，求得x的值，进而求出AB的长；再计算出AE的长，然后利用AD﹣AE可得DE长.
【详解】
解：设
∵
∴
解得：
∴
∵为线段的中点
∴
故答案为：1cm
【点拨】本题考点为两点之间的距离，熟练掌握线段的性质是解答本题的关键.
23．4
【详解】
解：设BC=6x，∵2AB=BC=3CD，∴AB=3x，CD=2x，∴AD=AB+BC+CD=11x，∵A，D两点所表示的数分别是﹣5和6，∴11x=11，解得：x=1，∴AB=3，CD=2．
设点C表示的整数是a，∴6-a=2，解得a=4．故点C表示的整数是4．故答案为4．
点睛：题目考查了数轴的有关概念，利用数轴上的点、线段相关性质，考查学生对数轴知识的掌握情况，题目难易程度适中，适合学生课后训练．
24．39
【分析】
根据中点的定义可求出MC的长，根据MN=MC+CN可得CN的长，根据CN：NB=1：2，可求出NB的长，根据AB=AC+CN+NB即可得答案.
【详解】
∵M是AC的中点，AC=12，
∴MC=AC=6，
∵MN=MC+CN，MN=15，
∴CN=15-6=9，
∵CN：NB=1：2，
∴NB=18，
∴AB=AC+CN+NB=12+9+18=39.
故答案为39
【点拨】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．
25．4或8
【解析】
试题分析：设经过xs，P、Q两点相距10cm，由题意得
2x+3x+10=30或2x+3x-10=30，
解得：x=4或x=8．
则4秒或8秒钟后，P、Q两点的距离为10cm.
26．3或5.5
【解析】
【分析】
分P在AB上、P在BC上、P在CE上三种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：①当P在AB上时，
∵△APE的面积等于4.5，
∴x•3=4.5，
x=3；
②当P在BC上时，
∵△APE的面积等于4.5，
∴S矩形ABCD-S△CPE-S△ADE-S△ABP=4.5，
∴3×4-××2-×2×3-×4×（x-4）=4.5，
x=5.5；
③当P在CE上时，
（4+3+2-x）×3=4.5，
x=6<4+3（不合题意,舍去），
故答案为：3或5.5 ．
【点拨】本题考查的是三角形的面积计算，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
27．或或10
【分析】
当点C是线段AB的“巧点”时，可能有BC=2AC、AC=2BC和AB=2AC=2BC三种情况，分类讨论计算即可．
【详解】
当点C是线段的“巧点”时，可能有、、
三种情况，
①时，，
②时，，
③时，．
故答案为：，或10．
【点拨】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．
28．AB
【分析】
因为甲的速度是乙的速度的3倍，所以第1次相遇，甲走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，4次一个循环，从而不难求得它们第2019次相遇位置.
【详解】
每次相遇的位置依次是：DC、AD、BA、BC，依此循环.
故它们第2019次相遇位置与第三次相同，在AB边上.
【点拨】本题难度中等，主要考查学生对规律的总结能力，发现规律是解题的关键.
29．两点之间线段最短
【分析】
根据线段的性质解答即可．
【详解】
解：为抄近路践踏草坪原因是：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【点拨】本题考查线段的性质：两点之间线段最短；三角形三边关系．
30．两点之间，线段最短
【分析】
根据线段的性质进行解答即可．
【详解】
解：、两地之间弯曲的公路改直，能够缩短路程，其根据的道理是两点之间，线段最短.
【点拨】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
31．两点确定一条直线， 两点之间，线段最短．
【分析】
根据直线的性质：两点确定一条直线以及利用线段的性质进行解答．
【详解】
用两个钉子把木条钉在墙上时，木条就被固定住，其依据是两点确定一条直线．
将弯曲的河道改直，可以缩短航程，其依据是：两点之间，线段最短．
故答案为两点确定一条直线，两点之间，线段最短．
【点拨】此题主要考查了直线、线段的性质，熟记相关的性质是解题的关键．
32．甲经A到乙， 两点之间，线段最短
【解析】
【分析】
根据线段的性质，可得答案．
【详解】
由图可得：最短的路线为甲经A到乙，因为两点之间，线段最短．
故答案为：甲经A到乙；两点之间，线段最短．
【点拨】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
33．3
【分析】
根据等式的性质，可得AB与BD的关系，CD与BD的关系，根据线段中点的性质，可得AM与BM的关系，DN与NC的关系，根据线段的和差，可得BD的长，根据线段的和差，可得答案．
【详解】
∵，∴AB=4BD，CD=3BD．
点M、N分别是线段AB、BC的中点，AM=BM=2BD，DB=BN=NC．
由线段的和差，得MN=MB+BN=3BD=9．
所以BD=3．
故答案为3．
【点拨】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．
34．7cm或1cm
【分析】
分点B在线段AC上和点C在线段AB上两种情况，根据线段中点的性质进行计算即可．
【详解】
解：如图1，当点B在线段AC上时，
∵AB=8cm，BC=6cm，M，N分别为AB，BC的中点，
∴MB=AB=4，BN=BC=3，
∴MN=MB+NB=7cm，
如图2，当点C在线段AB上时，
∵AB=8cm，BC=6cm，M，N分别为AB，BC的中点，
∴MB=AB=4，BN=BC=3，
∴MN=MB-NB=1cm，
综上可知，M、N两点之间的距离为7cm或1cm，
故答案为：7cm或1cm．
【点拨】本题考查的是两点间的距离，掌握线段中点的定义、灵活运用数形结合思想、分情况讨论思想是解题的关键．
35．10或50
【分析】
分类讨论：B在线段AC上，B在线段AC的反向延长线上，根据线段的和差，可得答案．
【详解】
当B在线段AC上时，
由线段的和差，得BC=AC-AB=30-20=10，
当B在线段AC的反向延长线上时，
由线段的和差，得BC=AC+AB=30+20=50，
故答案为：10或50．
【点拨】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，分讨论是解题关键．
36．1或2
【分析】
根据题意，可分为两种情况进行分析：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上；分别作出图形，求出答案，即可得到DE的长度.
【详解】
解：根据题意，
①当点C在线段AB上时；如图：
∵，，
又∵为线段的中点，为线段的中点，
∴，，
∴；
②当点C在线段AB的延长线上时；如图：
与①同理，可求，，
∴；
∴线段DE的长度为：1或2；
故答案为：1或2.
【点拨】本题考查了线段的中点，两点之间的距离，以及线段的和差关系，解题的关键是熟练掌握线段的中点，线段的和差关系进行解题.
37．两点之间线段最短
【分析】
分析剪前与剪后线段AB左侧的形状可以得解．
【详解】
解：如图，设虚线与树叶边缘交于A、B两点，
则剩下的树叶周长与原来的周长相差的只是线段AB左侧的部分，原来AB左侧是一条曲线，剪后AB左侧即为线段AB，
∵线段AB的长度小于原来AB之间曲线的长度，
∴剩下的树叶的周长比原来的周长要小，其原因即为两点之间线段最短，
故答案为两点之间线段最短．
【点拨】本题考查“两点之间线段最短”原理的应用，熟练地把实际问题与几何问题联系起来思考是解题关键．
38．两点之间，线段最短
【解析】
【分析】
直接利用线段的性质得出答案．
【详解】
解：把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度就发生了变化，
用数学知识解释这一现象产生的原因：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短
【点拨】此题主要考查了线段的性质，正确把握线段的性质是解题关键．
39．8
【解析】
试题解析：AC⊥BC，AC=6，BC=8，AB=10，则点B到AC的距离为8
40．连接AB交直线l于P
【分析】
连接AB交直线l于P，根据两点之间线段最短可得AB为PA+PB的最小值，即可得答案．
【详解】
如图，连接AB，交直线l于P，
∵两点之间线段最短，
∴AB为PA+PB的最小值，
故答案为：连接AB交直线l于P
【点拨】本题考查作图，熟练掌握两点之间线段最短是解题关键．
41．CD= 1.
【解析】
试题分析：根据已知可求得AB的长，从而可求得AC的长，再根据AD的长即可求得CD的长．
试题解析：∵AD=7，BD=5，
∴AB=AD+BD=12，
∵C是AB的中点，
∴AC=AB=6，
∴CD=AD﹣AC=7﹣6=1.
42．（1）MN=7cm；（2）MN=cm，无论点C在线段上移动到哪里，MN始终长为AB的一半
【分析】
（1）利用中点定义求出CM==4cm，CN==3cm，由点C在线段AB上，MN=CM+CN计算即可，
（2）利用（1）知CM=，CN=，由点C在线段AB上，MN=CM+CN=+=cm，无论点C在线段上移动到哪里，MN= AB．
【详解】
（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点
∴CM==4cm，CN==3cm，
∵点C在线段AB上，
∴MN=CM+CN=4+3=7cm，
（2）由（1）知CM=，CN=，
∵点C在线段AB上，
∴MN=CM+CN=+=cm，
∴无论点C在线段上移动到哪里，MN始终长为AB的一半．
【点拨】本题考查两中点间线段的长问题，掌握中点定义，灵活运用分点分得的线段与原长线段的关系解决问题．
43．（1）如图所示．见解析；（2）如图，见解析；供电所应建在与的交点处．理由：两点之间，线段最短．
【分析】
（1）根据射线、直线的定义进而得出E点位置；
（2）根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处．
【详解】
（1）如图所示：点E即为所求；
（2）如图所示：点M即为所求．
理由：两点之间，线段最短．
【点拨】本题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段距离最短．
44．16cm；20cm；
【分析】
先BD=x，则CD=5x，AB=4x，再根据点E，F分别是AB，CD的中点，得到EF=ED+DF=3.5x，根据EF=14，可得x的值，进而得到AB，CD的长．
【详解】
解：因为，设BD=x,则CD=5x,AB=4x,
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴EB= AB=2x,DF=CD=2.5x，
∴ED=x，
∴EF=ED+DF=3.5x，
又∵EF=14，
∴3.5x=14，
解得x=4，
∴CD=5x=20cm，AB=4x=16cm.
【点拨】此题考查两点间的距离，解题关键在于结合图形进行计算.
45．（1）0.4千米；（2）3.9小时
【详解】
试题分析：（1）根据路线A→D→C→E→A的总长及步行速度为2km/h，且每个景点的逗留时间为0.5h，即可求得结果；
（2）根据路线特征即可判断.
（1）由题意得CE=2×(3-2×0. 5)-1.6-1-1=0.4(千米)；
（2）若步行路线为A→D→C→B→E→A(或A→E→B→C→D→A)
则所用时间为(1.6+1+1.2+0.4+1)÷2+3×0.5=4.1小时，
若步行路线为A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A)
则所用时间为(1.6+1+0.4+0.4×2+1)÷2+3×0.5=3.9小时，
则最短步行路线为A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A).
考点：本题考查的是行程问题
点评：解答本题的关键是读懂题意，正确理解旅游线示意图，找准步行路线.
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