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专题3.16 解一元一次方程100题（拓展篇）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题3.16 解一元一次方程100题（拓展篇）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共76页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
专题3.16 解一元一次方程100题（拓展篇）（专项练习）
一、解答题
1．已知关于x的方程m+＝4的解是关于x的方程的解的2倍，求m的值．
2．关于x的方程与的解互为相反数．
（1）求m的值；
（2）求这两个方程的解．
3．已知A＝2x2+mx﹣m，B＝3x2﹣mx+m．
（1）求A﹣B；
（2）如果3A﹣2B+C＝0，那么C的表达式是什么？
（3）在（2）的条件下，若x＝4是方程C＝20x+5m的解，求m的值．
4．已知关于x的方程2（x+1）﹣m=﹣的解比方程5（x﹣1）﹣1=4（x﹣1）+1的解大2．
（1）求第二个方程的解；
（2）求m的值．
5．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x＝4的解为2，且2＝4﹣2，则该方程2x＝4是差解方程．
请根据上边规定解答下列问题：
（1）判断3x＝4.5是否是差解方程；
（2）若关于x的一元一次方程6x＝m+2是差解方程，求m的值．
6．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．
如方程2x＝4和3x+6＝0为“兄弟方程”．
（1）若关于x的方程5x+m＝0与方程2x﹣4＝x+1是“兄弟方程”，求m的值；
（2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
（3）若关于x的方程2x+3m﹣2＝0和3x﹣5m+4＝0是“兄弟方程”，求这两个方程的解．
7． 已知关于x 的方程 的解比 的解小 ，求a 的值.
8． 如果关于的方程的解比方程的解大1，求式子的值.
9． a※b是新规定的这样一种运算法则：a※b=a2+2ab，例如3※（-2）=32+2×3×（-2）=-3
（1）试求（-2）※3的值
（2）若1※x=3，求x的值
（3）若（-2）※x=-2+x，求x的值．
10．（1）已知x=﹣2是方程的解．求代数式2m2﹣4m+1的值．
（2）x为何值时，代数式与代数的值互为相反数？
10． 已知方程1－与关于x的方程2－ax＝的解相同，求a的值．
12．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b=ab2+2ab+a．
如：1*3=1×32+2×1×3+1=16
（1）求2*（﹣2）的值；
（2）若2*x=m,（其中x为有理数），试比较m，n的大小；
（3）若[]=a+4，求a的值．
13．用◎定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a◎b=ab2+2ab+a，如：1◎2=1×22+2×1×2+l=9．
（1）求（﹣4）◎3；
（2）若（◎3）=8，求a的值．
14． 已知方程3（x﹣1）=4x﹣5与关于x的方程=x﹣1有相同的解，求a的值．
15． 已知是方程的解，求关于x的方程的解．
16．对于有理数a, b,规定一种新运算: a★b= 2ab-b.
(1)计算: (－3)★4=______________；
(2)若方程(x-4)★3=6，求x的值;
(3)计算: 5★[(-2)★3]的值.
16． 已知当x=-1时,代数式2mx3-3mx+6的值为7,若关于y的方程2my+n=11-ny-m的解为y=2,求n的值.
17． 已知关于 x 的方程 和 有相同的解，求 a 的值．
19．仔细观察下面的解法，请回答下列问题：
解方程：.
解：去分母，得.①
移项、合并同类项，得.②
解得.③
（1）上面的解法从__________开始出错；（填序号）
（2）若关于的方程；按上面的解法和正确的解法得到的解分别为，，且为非零整数，求的最小整数值.
20．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“合并式方程”，例如：的解为，且，则该方程是合并式方程．
（1）判断是否是合并式方程并说明理由；
（2）若关于的一元一次方程是合并式方程，求的值．
21． 若方程的解，同时也是关于x的方程 的解，求a的值．
22． 当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大9？
23． 当为何值时，和的值互为相反数？
24． 已知x＝－2是方程a(x＋3)＝a＋x的解，求a2－＋1的值．
25．我们规定,若关于的一元一次方程的解为则称该方程为“差解方程”,例如:的解为且2=4-2，则方程是差解方程.根据以上信息解答下列问题:
(1)判断是否为差解方程：________(选填“是”或“否”)
(2)若关于的一元一次方程是差解方程,求的值。
25． 若关于的方程与的解互为相反数,求的值.
26． 小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的没有乘以，由此得到方程的解为，试求的值，并正确地求出原方程的解．
28．（1）方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值．
（2）已知关于x的方程与方程的解的和为，求a的值．
（3）当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大2？
29．阅读材料：规定一种新的运算：＝ad－bc.例如：＝1×4－2×3＝－2.
(1)按照这个规定，请你计算的值；
(2)按照这个规定，当＝5时，求x的值．
30．（1）已知：|a|=3，b2=4，ab＜0，求a﹣b的值．
（2）已知关于x的方程=与方程=3y﹣2的解互为倒数，求m的值．
31．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．
32． 如果方程的解与关于x的方程的解相同，求a的值.
33． 已知是方程的解，求关于的方程 的解．
34． 当m取什么值时，关于x的方程与方程的解相同？
35． 若y=4是关于y的方程的解，求关于x的方的解。
36．已知关于x的方程4x+2m=3x+1和方程3x+2m=6x+1的解相同，
（1）求m的值；
（2）求代数式(-2m)2020 - (m)2019的值．
36． 若关于x的方程与方程的解互为相反数，求k的值.
38．我们规定x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
(1)已知关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，则m＝______.
(2)已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，它的解为a，则a+b＝_____.
(3)已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，求代数式﹣3(m+11)+4n+2[(mn+m)2﹣m]﹣[(mn+n)2﹣2n]的值.
39．设“※”表示一种新的运算符号,并且2※3=2+3+4;3※3=3+4+5;7※2=7+8;6※4=6+7+8+9;…….已知n※8=68,求n的值.
40． 当m为何值时，关于x的一元一次方程5m+3x=1+x的解与关于x的一元一次方程2x+m=3m的解互为相反数？
41．关于的一元一次方程，其中是正整数．
（1）当时，求方程的解；
（2）若方程有正整数解，求的值．
41． 将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线记成，定义＝ad－bc.若＝6，求x的值．
42． 已知关于的方程的解比方程的解大2．求m值．
44．（阅读）
将九个数分别填在3×3（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，则将这样的图称为“和m幻方”，下面的三个图（图1）都是满足条件的“和m幻方”
（探究）
（1）若图2为“和m幻方”，则a＝ ，b＝ ，m＝ ．
（2）若图3为“和m幻方”，请通过观察上图的三个幻方，试着用含p，q的代数式表示r，并说明理由．
（3）若图4为“和m幻方”，且x为整数，试求出所有满足条件的整数n的值．
45． 当k取何值时，关于x的方程2(2x－3)＝1－2x和8－k＝2(x+)的解相同？
46． 已知关于y的方程=的解比关于x的方程3a-x=+3的解小3，求a的值．
47． 若方程与关于x的方程3n－＝3(x＋n)－2n的解相同，求(n－3)2的值.
48．定义：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”，例如：2x＝﹣4的解为x＝﹣2，且﹣2＝﹣4+2，则该方程2x＝﹣4是和解方程．
（1）判断﹣3x＝是否是和解方程，说明理由；
（2）若关于x的一元一次方程 -x＝m﹣2是和解方程，求m的值．
49．小马虎解方程 ，在去分母时，两边同时乘以6，然而方程右边的-1忘记乘6，因此求得的解为x＝4，
（1）求a的值；
（2）写出正确的求解过程.
50．已知关于x的整式，整式N=，若a是常数，且2M+N的值与x无关。
(1)求a的值；
(2)若b为整数，关于x的一元一次方程的解是正整数，求的值.
51． 如果方程－8=－的解与方程4x－(3a＋1)=6x＋2a－1的解相同，求式子a2＋a＋1的值．
52． 已知关于的方程中，求当取什么整数值时，方程的解是整数．
53．列方程求解
（1）m为何值时，关于x的一元一次方程4x﹣2m=3x﹣1的解是x=2x﹣3m的解的2倍．
（2）已知|a﹣3|+（b+1）2=0，代数式的值比b﹣a+m多1，求m的值．
54．设为整数，且关于的一元一次方程.
（1）当时，求方程的解；
（2）若该方程有整数解，求的值.
55．同学们,今天我们来学习一个新知识,形如 的式子叫做二阶行列式,它的运算法则用公式表示为: 利用此法则解决以下问题:
(1)仿照上面的解释,计算出 的结果；
(2)依此法则化简 的结果；
(3)如果 那么的值为多少?
56．已知（2x﹣1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0对于任意的x都成立．求：
(1)a0的值；
(2)a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5的值；
(3)a2+a4的值．
57． 当m为何值时，关于x的方程5m+3x=1+x的解比关于x的方程x(m+1)=m(1+x)的解大2?
58． 若关于的一元一次方程的解是正整数，求整数的值．
59． 已知a、b满足，解关于x的方程.
60．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求m，n的值．
60． 已知方程 的解与关于的方程 的解相同，求 的值．
61． 已知关于x的方程与方程的解相同，求的值.
63．小王在解关于x的方程2﹣＝3a﹣2x时，误将﹣2x看作+2x，得方程的解x＝1．
（1）求a的值；
（2）求此方程正确的解．
64．用※定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b=ab2+2ab+a，如1※2=1×22+2×1×2+1=9
（1）求（-4）※ 3；
（2）若※3=-16，求a的值．
65．一般情况下是不成立的，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数为“相伴数对”，记为．
（1）若为“相伴数对”，试求的值；
（2）请写出一个“相伴数对”，其中，且，并说明理由；
（3）已知是“相伴数对”，试说明也是“相伴数对”．
66．我们把解相同的两个方程称为同解方程.例如：方程：与方程的解都为，所以它们为同解方程.
(1)若方程与关于的方程是同解方程，求的值；
(2)若关于的方程和是同解方程，求的值；
(3)若关于的方程和是同解方程，求的值.
67．当k为何值时，代数式比的值大1．
68．如图，A，B分别是数轴上两点，点O为原点，点A表示的数为﹣60，点B表示的数为30．现有两个动点P、Q均从点A出发，沿数轴正方向移动，点P的速度为6单位/秒，点Q的速度为3单位/秒．
（1）若两动点同时出发，当点P到达点B时，点Q在数轴上表示的数为_____；
（2）若点P出发2秒钟后点Q出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，运动过程中点P表示的数为x，点Q表示的数为y，求t为何值时，|y|=2|x|．
（3）在（1）的条件下，若点P到达点B停留5秒后以5单位/秒的速度匀速沿数轴向点A运动，求在整个运动过程中当t为何值时，P，Q两点相距20个单位长度．
69．定义：若一个关于x的方程的解为，则称此方程为“中点方程”.如：的解为，而；的解为，而.
(1)若，有符合要求的“中点方程”吗？若有，请求出该方程的解；若没有请说明理由；
(2)若关于x的方程是“中点方程”，求代数式的值.
70． 己知a，b为实数，关于x的方程是一元一次方程，求的值与方程的解.
71． 已知关于x的方程：与有相同的解，求关于y的方程的解．
72．定义一种新运算“”：，比如：．
（1）求的值；
（2）已知请根据上述运算，求值．
73．我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：的解为，则该方程是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：
（1）判断方程________（回答“是”或“不是”）“奇异方程”；
（2）若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
（3）若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，求代数式的值．
74．一般情况下，不成立，但有些数是可以成立，例如a=b=0，我们称使得成立的一对数a、b为“相对数对”，记为(a，b)．
（1）若(－1，b)是相对数对，求b的值；
（2）若(m，n)是相对数对且m≠0，求的值；
（3）若(m，n)是相对数对，求代数式的值．
75．阅读下面材料并回答问题
观察：有理数-2和-4在数轴上对应的两点之间的距离是，有理数1和-3在数轴上对应的两点之间的距离是
归纳：有理数a、b在数轴上对应的两点A．B之间的距离是，反之，表示有理数a、b在数轴上对应点A．B之间的距离，称之为绝对值的几何意义
应用：
（1）如果表示-1的点A和表示x点B之间的距离是2，那么x为________；
（2）方程的解为________；
（3）小松同学在解方程时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左边表示在数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，而当时，取到它的最小值3，即为1和-2对应的点的距离．由方程右边的值为5可知，满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以看出；同理，若x的对应点在-2的左边，可得；故原方程的解是或；参考小松的解答过程，求方程的解．
76．已知点，，在数轴上对应的数分别为，，10，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒．
（1）用含的式子表示点到点和点的距离，______，______；
（2）当点运动至点时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，当其中一个点到时达点时，整个运动结束．试问：在点开始运动后，两点之间的距离能否为2个单位长度？若不能，请说明理由；若能，请求出点所表示的数．
77． 马虎同学在解方程时，不小心把等式左边m前面的“﹣”当做“+”进行求解，得到的结果为x=1，求代数式m2﹣2m+1的值．
78．已知a，b是有理数，单项式﹣2xby的次数为3，而且方程（a+1）x2+ax﹣tx+b+1＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求a，b的值；
（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请写出整数t的值．
79．规定一种运算：．例如：，．
（1）化简：；
（2）若，求x的值．
80．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝+2ab，如：1*4＝+2×1×4＝24．
（1）求（﹣5）*3的值；
（2）若（）*6＝3，求a的值．
81．定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“反对方程”．
（1）若关于x的方程2x﹣3＝0与方程3x﹣c＝0互为“反对方程”，则c＝ ；
（2）若关于x的方程4x+3m+1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“反对方程”，求m、n的值；
（3）若关于x的方程2x﹣b＝0与其“反对方程”的解都是整数，求整数b的值．
82．对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对关系值”为3．
（1）﹣3和5关于1的“相对关系值”为 ；
（2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值；
（3）若a0和a1关于1的“相对关系值”为1，a1和a2关于2的“相对关系值”为1，a2和a3关于3的“相对关系值”为1，…，a20和a21关于21的“相对关系值”为1．
①a0+a1的最大值为 ；
②a1+a2+a3+…+a20的值为 （用含a0的式子表示）．
83．已知关于x的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同．
（1）求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，若关于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny无解，求a的值．
84．已知方程4x + 2m =3x+1和方程3x+ 2m=6x+1的解相同，求：
（1） m的值；
（2）代数式（m +2）2019·（2m-）2020的值．
85．用适当方法解方程
（1）
（2）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．若有理数对，则的值是多少？
86．先阅读下面材料，再完成任务：
（材料）
我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为和解方程．例如；方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
（任务）
请根据上述规定解答下列问题：
（1）关于的一元一次方程是否是“和解方程”；（只写结论）
（2）已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值：
（3）已知关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求，的值．
87． 已知是方程的解，求m的值．
88．阅读材料，完成任务．
七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为：
，
，
．
，
解，得．
上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法．
任务：参照材料中的解题方法解方程．
89．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）.我们规定：（a，b）★（c，d）=ad－bc
例如：（1，2）★（3，4）=1×4－2×3=－2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）=_________；
（2）若有理数对（－2，3x+1）★（1，x－1）=4，则x=________；
（3）当满足等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=3－2k的x是整数时，求整数k的值．
90．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定ab=ab2＋2ab＋b．如：13=1×32＋2×1×3＋3=18
（1）求（-4）2的值；
（2）若x（-3）=5x-1，求x的值．
91．给出如下规定：若实数与的差等于这两个数的积，则称实数对为“关联数”．如实数对，因为，，所以实数对是关联数；又如实数对是关联数．
（1）若实数对为“关联数”，则，应满足的条件用含，的等式表示为______．
（2）判断下列实数对是否是关联数？
①；
②．
（3）若实数对是关联数，求的值．
（4）是否存在非零实数，，使实数对与都是关联数？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
92．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．例如：．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
93．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：的解为且，则方程是“商解方程”．请回答下列问题：
（1）判断是不是“商解方程”；
（2）若关于的一元一次方程是“商解方程”，求的值．
94．我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则该方程是差解方程．
请根据上边规定解答下列问题：
（1）判断是否是差解方程；
（2）若关于x的一元一次方程是差解方程，求m的值．
95． 已知方程2x＋3＝x＋2a与a－（x－1）＝3的解相同，求a 的值．
96． 如果方程的解与关于的方程的解相同，试求的值．
97．小明在对关于的方程去分母时，得到了方程，
因而求得的解是，你认为他的答案正确吗?如果不正确，请求出原方程的正确解．
98．定义一种新运算“⊕”：a⊕b = 2a-b，比如1⊕(-3) =2×1-（-3）=5
（1）求(－2)⊕3的值：
（2）若3⊕x = (x + 1)⊕5，求x的值；
（3）若x⊕1 = 1⊕y，求代数式4x + 2y + 1的值．
99．阅读材料：对于任意有理数a，b，规定一种新的运算：a⊙b＝a（a＋b）﹣1，例如，2⊙5＝2×（2＋5）﹣1＝13
（1）计算3⊙（﹣2）；
（2）若（﹣1）⊙x＝5，求x的值．
100．规定符号(a，b)表示 a，b 两个数中较小的一个，规定符号[a，b]表示两个数中较大的一个．例如(3，1)＝1，[3，1]＝3．
（1）计算：(-2，3)+[，]；
（2）若(m，m-2)+3[-m，-m-1]＝-5，求 m 的值．
参考答案
1．m＝0．
【解析】
【分析】分别解方程m+＝4和方程，得到两个含有m的解，根据“关于x的方程m+＝4的解是关于x的方程的解的2倍”，列出关于m的一元一次方程，解之即可．
解：解方程m+＝4得：x＝12﹣3m，
解方程得：x＝m﹣6，
根据题意得：
2(m﹣6)＝12﹣3m，
解得：m＝0．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
2．（1）（2）
解：试题分析：（1）先求出第一个方程的解，然后根据互为相反数的和等于0列式得到关于m的方程，再根据一元一次方程的解法求解即可；
（2）把m的值代入两个方程的解计算即可．
解：（1）由x﹣2m=﹣3x+4得：x=m+1，
依题意有：m+1+2﹣m=0，
解得：m=6；
（2）由m=6，
解得方程x﹣2m=﹣3x+4的解为x=×6+1=3+1=4，…
解得方程2﹣m=x的解为x=2﹣6=﹣4．
考点：解一元一次方程．
3．(1)﹣x2+2mx﹣2m；(2)﹣5mx+5m；(3)m＝﹣4．
【解析】
【分析】（1）根据整式减法法则，进行计算；（2）根据C＝﹣3A+2B，代入已知式子可得；（3）根据题意可得：﹣20m+5m＝80+5m，解关于m的方程.
解：(1)A﹣B＝(2x2+mx﹣m)﹣(3x2﹣mx+m)
＝2x2+mx﹣m﹣3x2+mx﹣m
＝﹣x2+2mx﹣2m；
(2)∵3A﹣2B+C＝0，
∴C＝﹣3A+2B
＝﹣3(2x2+mx﹣m)+2(3x2﹣mx+m)
＝﹣6x2﹣3mx+3m+6x2﹣2mx+2m
＝﹣5mx+5m；
(3)根据题意知x＝4是方程﹣5mx+5m＝20x+5m的解，
∴﹣20m+5m＝80+5m，
解得：m＝﹣4．
【点拨】掌握整式的加减法则，把问题转化为解一元一次方程.
4．（1）x=3；（2）m=22．
【分析】（1）按去括号、移项、合并同类项的步骤进行求解即可；
（2）根据（1）中求得的x的值，由题意可得关于x的方程2（x+1）﹣m=﹣的解，然后代入可得关于m的方程，通过解该方程求得m值即可．
解：（1）5（x﹣1）﹣1=4（x﹣1）+1，
5x﹣5﹣1=4x﹣4+1，
5x﹣4x=﹣4+1+1+5，
x=3；
（2）由题意得：方程2（x+1）﹣m=﹣的解为x=3+2=5，
把x=5代入方程2（x+1）﹣m=﹣，得：
2×（5+1）﹣m=﹣，
12﹣m=﹣，
解得：m=22．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程．熟练掌握解解一元一次方程的一般步骤是解题的关键.
5．（1）是；见解析；（2）.
【分析】（1）求出方程的解，再根据差解方程的意义得出即可；
（2）根据差解方程得出关于m的方程，求出方程的解即可．
解：（1）∵3x＝4.5，
∴x＝1.5，
∵4.5﹣3＝1.5，
∴3x＝4.5是差解方程；
（2）∵关于x的一元一次方程6x＝m+2是差解方程，
∴m+2﹣6＝，
解得：m＝．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解差解方程的意义是解此题的关键．
6．（1）25（2）±4（3）±2
【分析】（1）根据新定义运算法则解答；
（2）根据“兄弟方程”的定义和已知条件得到：n-（-n）=8或-n-n=8，解方程即可；
（3）求得方程2x+3m-2=0和3x-5m+4=0解，然后由“兄弟方程”的定义解答．
解：（1）方程2x-4=x+1的解为x=5，
将x=-5代入方程5x+m=0得m=25；
（2）另一解为-n．
则n-（-n）=8或-n-n=8，
∴n=4或n=-4；
（3）方程2x+3m-2=0的解为x＝，
方程3x-5m+4=0的解为x＝，
则+＝0，
解得m=2．
所以，两解分别为-2和2．
【点拨】考查了一元一次方程的解的定义，解题的关键是掌握“兄弟方程”的定义．
7．a=1
【分析】分别求出两个方程的解，然后根据关系列出等式，求出a的值即可.
解：∵，
解得：；
∵，
解得：，
∴，
解得：；
∴的值为1.
【点拨】本题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，解题的关键是正确求出一元一次方程的解，从而列出等式求出a的值.
8．13.
【分析】先分别解出两个关于的方程，即用a表示出x，然后根据两个方程的解的数量关系列出关于a的方程，求出a值，代入计算即可.
解：
去分母得，，
去括号得，9x+15-42=4x-2a-6,
移项合并同类项得，5x=21-2a,
系数化为1得，，
，
移项合并同类项得，2x=-5a-2,
系数化为1得，,
由题意可得，，
去分母得，，
去括号得，42-4a+25a+10=10,
移项合并同类项得，21a=-42,
系数化为1得,a=-2.
==13.
【点拨】此题主要考查了含有字母系数的一元一次方程的解法，关键是把字母系数看作常数，按照一元一次方程的解法步骤求解即可.
9．（1）-8；（2）1；（3）．
【分析】（1）根据规定的运算法则求解即可．
（2）（3）将规定的运算法则代入，然后对等式进行整理从而求得未知数的值即可．
解：（1）（-2）※3=（-2）2+2×（-2）×3=4-12=-8；
（2）∵1※x=3，
∴12+2x=3，
∴2x=3-1，
∴x=1；
（3）-2※x=-2+x，
（-2）2+2×（-2）x=-2+x，
4-4x=-2+x，
-4x-x=-2-4，
-5x=-6，
x=．
【点拨】此题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，解题关键在于掌握运算法则.
10．（1）7；（2）x=﹣11.
【分析】（1）根据方程的解满足方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，根据代数式求值，可得答案；
（2）根据代数式的值互为相反数，可得方程，根据解方程，可得答案．
解：（1）把x=﹣2代入方程，得﹣6+4=﹣1+m，解得m=﹣1，
当m=﹣1时，2m2﹣4m+1=2×（﹣1）2﹣4×（﹣1）+1=2+4+1=7；
（2）由题意，得+（）=0，解得=﹣11，
x=﹣11时，代数式与代数的值互为相反数．
【点拨】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的计算方法.
11．a=-1
【分析】先求方程的解；接下来再将求出来的解代入方程中，得到关于a的方程，求解即可得到a的值.
解：解方程，得
将代入方程，得
解得：
点睛：本题考查了一元一次方程的有关知识，解决本题的关键是熟知一元一次方程的解法.
12．（1）2；（2）m＞n；（3）a的值为﹣．
【分析】（1）根据给定定义式，代入数据求值即可；
（2）根据给定定义式，表示出m和n，做差后即可得出结论；
（3）重复套用定义式，得出关于a的一元一次方程，解方程求出a值即可．
解：（1）2*（﹣2）=2×（﹣2）2+2×2×（﹣2）+2=2．
（2）m=2*x=2x2+2×2x+2=2x2+4x+2，n=（x）*3=（x）×32+2×（x）×3+x=4x，
m﹣n=2x2+4x+2﹣4x=2x2+2≥2，
故m＞n．
（3）（）*（﹣3）=×（﹣3）2+2××（﹣3）+=2a+2，（2a+2）*=（2a+2）×（）2+2×（2a+2）×+（2a+2）=+，
即a+4=+，解得：a=﹣．
答：当[]=a+4时，a的值为﹣．
【点拨】本题考查的解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据给定定义式，代入数据求值；（2）根据给定定义式，求出m、n；（3）重复套用给定定义式找出方程．
13．（1）﹣64；（2）a=0．
【解析】
【分析】（1）将a=﹣4、b=3代入公式计算可得；
（2）由a◎b=ab2+2ab+a=a（b+1）2知◎3=×（3+1）2=8，解之可得．
解：（1）（﹣4）◎3=﹣4×32+2×（﹣4）×3+（﹣4）=﹣64；
（2）∵a◎b=ab2+2ab+a=a（b+1）2，
∴◎3=×（3+1）2=8，
解得：a=0．
【点拨】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，解题的关键是熟练应用新定义的运算法则及其变形．
14．4
解：分析：求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程求出a的值即可．
详解：方程3（x﹣1）=4x﹣5，
去括号得：3x﹣3=4x﹣5，
解得：x=2，
把x=2代入方程﹣=x﹣1，得：﹣=1，
去分母得：8﹣2a﹣6+3a=6，
移项合并得：a=4．
点睛：本题考查了同解方程，同解方程即为两方程的解相同的方程．
15．x=
【分析】将y的值代入方程,即可求得m的值，再将m的值代入方程即可求得方程的解．
解：把y=3代入方程得：,
解得m=3；
把m=3代入得：,
解得：
16．(1) -28； (2) ； (3) -135.
【分析】（1）根据新运算规定的法则计算即可；
（2）先根据新运算规定的法则得出关于x的方程，再解方程即可求出结果；
（3）先根据新运算法则计算中括号内的，再根据法则计算一次即得结果.
解：（1）(－3)★4=2×(－3)×4－4=－24－4=－28，故答案为－28；
（2）因为(x－4)★3=6，所以2(x－4)×3－3=6，解得：；
（3）5★[(－2)★3]= 5★[2×(－2)×3－3]= 5★(－15)=2×5×(－15)－ (－15)=－135.
【点拨】本题以新运算为载体，考查了有理数的运算和一元一次方程的求解，正确理解新运算法则、熟练掌握基本知识是解题的关键.
17．n=2.
【解析】
【分析】把x=﹣1代入方程2mx3-3mx+6=7求出m的值；将m与y的值代入方程2my+n=11-ny-m求出n的值.
解：当x=-1时,2mx3-3mx+6=-2m+3m+6=7,解得m=1.
把m=1,y=2代入2my+n=11-ny-m,
得2×1×2+n=11-2n-1,解得n=2.
【点拨】本题考查代数式的求值以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键；
18．。
【解析】
试题分析：利用同解方程，分别求出两个方程的解.
由 ，得 ，
由 ，得 ，
它们的解相同，
，
．
19．（1）①；（2）.
【分析】（1）找出解方程中开始错误的地方即可；
（2）利用错误的解法与正确的解法求出x1，x2，根据题意确定出a的值，即可得到结果．
解：（1）解方程：.
解：去分母，得.①
∴从①处就开始错误，
故答案为①；
（2）错误解法：
去分母，得.
移项、合并同类项，得.
解得，即.
正确解法：
去分母，得.
移项、合并同类项，得.
解得，即.
由题意，得.
由为非零整数，得到的最小整数值为.
【点拨】此题考查了解一元一次方程的解法，弄清题中错误解法，熟练掌握正确解法是解本题的关键．
20．（1）不是；理由见解析；（2）
【分析】（1）根据合并式方程的定义验证即可；
（2）根据合并式方程的定义列出关于m的一元一次方程，求解即可．
解：（1）解方程，得：x=2
而+1=
因为≠2
所以不是合并式方程.
（2）解方程5x=m+1，得：
则有5+m+1=
解得：
【点拨】本题考查解一元一次方程．能理解合并式方程的定义，并能依此验证（或列出方程）是解题关键．
21．．
【分析】求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程计算即可求出a的值．
解：解:，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
把代入另一个方程得：，
解得：．
【点拨】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
22．m=．
解：分别解两个方程求得方程的解，然后根据关于x的方程3x+m=2x+7的解比关于x的方程4（x﹣2）=3（x+m）的解大9，即可列方程求得m的值．
解：解方程3x+m=2x+7，得x=7﹣m，
解方程4（x﹣2）=3（x+m），得x=3m+8，
根据题意，得7﹣m﹣（3m+8）=9，
解得m=﹣．
“点睛”本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值．
23．x=5
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
解：根据题意,,得x=5.
【点拨】本题主要考查相反数,解题关键是要读懂题目的意思.
24．18.
【分析】把x=-2代入方程即可得到一个关于a的方程，求得a的值，然后代入代数式即可求解．
解：把x＝－2代入方程，得a＝a－2，
解得a＝－4，
则原式＝16＋1＋1＝18.
【点拨】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．
25．(1)是 （2）
【解析】
【分析】(1)求出方程的解，再根据差解方程的意义检验即可；
(2)首先根据差解方程的定义得出x的值(用含m的式子表示)，然后将方程的解代入原方程，可得关于m的方程，解关于m的方程即可．
解：(1)解3x＝4.5，得x＝1.5.
因为1.5＝4.5－3，
所以3x＝4.5是差解方程.
(2)根据6x＝m＋2是差解方程，得方程的解为x＝m＋2－6.
将x＝m＋2－6代入6x＝m＋2中，得6(m＋2－6)＝m＋2，解得m＝．
【点拨】本题考查含字母系数的一元一次方程，能够理解新定义是解题关键.
26．m＝﹣7．
【分析】首先解两个方程，利用m表示出x的值，然后根据两个解互为相反数，即可得到关于m的方程，从而求解．
解：解方程，得x＝2m+1，
解方程，得x＝，
依题意得：2m+1+＝0，
解得m＝﹣7．
【点拨】此题考查一元一次方程的解，解题关键在于掌握运算法则，利用m表示出x的值.
27．，
【分析】先根据错误的做法：“方程左边的1没有乘以10”而得到，代入错误方程，求出a的值，再把a的值代入原方程，求出正确的解．
解：
∵为的解
∴
∴；
∴原方程为：
去分母得：
∴
∴
∴.
【点拨】本题考查了解一元一次方程，本题易在去分母、去括号和移项中出现错误．由于看到小数、分数比较多，学生往往不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以我们要教会学生分开进行，从而达到分解难点的效果．
28．（1）1；（2）-3；（3）
【分析】（1）先求出第一个方程的解，把x=-3代入第二个方程，即可求出k．
（2）首先解两个关于x的方程，利用a表示出方程的解，然后根据两个方程的解的和是，列方程求得a的值．
（3）分别解两个方程求得方程的解，然后根据x的方程5m+3x=1+x的解比关于x的方程2x+m=3m的解大2，即可列方程求得m的值．
解：（1）解方程2-3（x+1）=0得：x=，
的倒数为x=-3，
把x=-3代入方程得：，
解得：k=1．
（2）解2x-a=1得x=，
解得x=，
由题知，
解得a=-3．
（3）解方程5m+3x=1+x得：x=，
解2x+m=3m得：x=m，
根据题意得：，
解得：m=．
【点拨】本题考查了倒数、方程的解、解一元一次方程，解题的关键是理解方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值．
29．（1）8（2）x=1
【分析】（1）根据题中给出的例子列式计算即可；
（2）根据题中给出的例子列式计算即可．
解：(1) ＝20－12＝8 .
(2)由＝5，
得(2x－4)＋2(x＋2)＝5，解得x＝1.
【点拨】本题考查的是一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解答此题的关键．
30．（1）5或﹣5；（2）m=﹣．
【分析】（1）根据“|a|=3，b2=4”结合绝对值的定义和有理数的乘方的定义，再结合ab＜0，求出a和b的值，列式计算即可，
（2）根据解一元一次方程基本步骤，求出方程=3y﹣2的解，根据“x的方程=与方程=3y﹣2的解互为倒数”，求出x的值，代入方程=得到关于m的一元一次方程，解之即可．
解：（1）∵|a|=3，
∴a=3或﹣3，
∵b2=4，
∴b=2或﹣2，
又∵ab＜0，
∴或，
a﹣b=3﹣（﹣2）=5或a﹣b=﹣3﹣2=﹣5，
即a﹣b的值为5或﹣5，
（2）解方程=3y﹣2得：y=1，
根据题意得：x=1，
把x=1代入方程=得：
，
解得：m=﹣．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解，绝对值，有理数的乘方，解题的关键：（1）正确掌握绝对值的定义，有理数乘方的定义，（2）正确掌握解一元一次方程的基本步骤．
31．（1）m=﹣；（2）m=﹣3，n=﹣．
【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值．
解：（1）∵方程3x=m是和解方程，∴=m+3，解得：m=﹣．
（2）∵关于x的一元一次方程﹣2x=mn+n是“和解方程”，并且它的解是x=n，∴﹣2n=mn+n，且mn+n﹣2=n，解得：m=﹣3，n=﹣．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程以及二元二次方程组，解题的关键是：根据“和解方程“的定义列出关于m的一元一次方程；根据和解方程的定义列出关于m、n的二元二次方程组．
32．115
【分析】先解方程，求出x的值，再把x的值代入方程 中，可得关于a的一元一次方程，解方程即可.
解：
2(x-4)-48=-3(x+2)
2x-8-48=-3x-6
2x+3x=-6+8+48
5x=50
x=10.
把x=10代入得：
20a-3a+5=560+12a+20
20a-3a-12a=560+20-5
5a=575
a=115
答：a的值为115.
【点拨】本题考查了同解方程的概念，先解出不含参数的方程是解题的关键.
33．
【解析】
【分析】将y=1代入已知方程计算求出m的值，把m的值代入所求方程，即可求出解．
解：将y=1代入方程2-（m-y）=2y，解得m=1，
将m=1代入可化为：x-5=2x+5，
解得：x=-10．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
34．m=9
【解析】
【分析】先把方程的解求出,然后将求得的解代入方程中即可求出m的值.
解：解:由方程，解得.
将代入，得.
解得.
【点拨】本题主要考查解一元一次方程的应用,解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程.
35．x=
【解析】
试题分析：先把y=4代入方程求出的值，再将的值代入得到关于的方程，解方程即可
试题解析：
把y=4代入方程
得4−m=5(4−m)，
解得m=4，
将m=4代入
得5x−1=0，
解得
36．（1）；（2）2
【分析】（1）分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于m的方程，从而可以求出m的值；
（2）将（1）求得的m值代入即可．
解：（1）解第一个方程4x+2m＝3x+1，得x＝1﹣2m，
解第二个方程3x+2m＝6x+1，得，
所以，
解得，；
（2）当时，原式．
【点拨】本题考查同解方程，求代数式的值，利用同解方程的定义求出m的值是解题的关键．
37．-2
【解析】
【分析】首先根据未含参数的方程求解出未知数，在代入参数方程求解参数即可.
解：根据 可得
因为方程 与方程的解互为相反数
所以可得的解为
代入可得：
解得
【点拨】本题主要考查方程参数的计算，关键在于计算参数方程的解.
38．(1)；(2)；(3)﹣.
【分析】(1)根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程组，解之得出a、b的值即可得出答案；
(3)根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算即可求解.
解：(1)由题意可知x＝m﹣4，由一元一次方程可知x＝，
∴m﹣4＝，
解得m＝；
故答案为：；
(2)由题意可知x＝ab+a﹣4，由一元一次方程可知x＝，
又∵方程的解为a，
∴＝a，ab+a﹣4＝a，
解得a＝，b＝3，
∴a+b=；
故答案为：.
(3)∵一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，
∴mn+m＝，mn+n＝﹣，
两式相减得，m﹣n＝.
∴﹣3(m+11)+4n+2[(mn+m)2﹣m]﹣[(mn+n)2﹣2n]
＝﹣5(m﹣n)﹣33，
＝﹣5×﹣33+2×，
＝，
＝﹣.
【点拨】本题考查了新定义运算，以及一元一次方程的解及解法，读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程是解题的关键．
39．n=5.
【解析】
【分析】根据题目中给的例子可得第一个数表示从整数几开始，后面的数表示几个连续整数相加；n※8=n+(n+1)+(n+2)+…+(n+7)=68，再解方程即可．
解：由题意知n※8=n+(n+1)+(n+2)+…+(n+7),
又n※8=68,
所以n+(n+1)+(n+2)+…+(n+7)=68,
化简得8n=40,
系数化为1,得n=5.
【点拨】本题考查定义新运算，读懂题意，搞清运算的方法是解决问题的关键．根据题目中给的例子可得第一个数表示从整数几开始，后面的数表示几个连续整数相加，由此列出方程即可求解.
40．m=
【解析】
【分析】分别解两个方程，求得方程的解，然后根据x的方程5m+3x=1+x的解比关于x的方程2x+m=3m的解大2，即可列方程求得m的值.
解：解方程2x+m=3m，得x=m.
因为两个方程的解互为相反数，
把x= -m代入5m+3x=1+x中，
得5m-3m=1-m，
解得m=.
【点拨】本题主要考查方程的解的定义.
41．（1）；（2）1
【分析】（1）将m的值代入计算求解即可；
（2）解方程得，根据m是正整数，且11-2m是3的倍数，方程有正整数解确定m的可能值．
解：（1）将m=3代入方程，得，
∴3x-1=4
3x=5
；
（2）
，
，
∵m是正整数，且11-2m是3的倍数，方程有正整数解，
∴m=1．
【点拨】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案．
42．x＝－1.
【解析】
【分析】根据题中的新定义化简所求式子，求出方程的解即可得到x的值．
解：根据题意，得3(1－x)－2(x＋1)＝6.
去括号，得3－3x－2x－2＝6.
移项、合并同类项，得－5x＝5.
解得x＝－1.
【点拨】本题考查的知识点是解一元一次方程，解题关键是读懂题中新定义.
43．,
【分析】求解两个方程的解,再根据它们的解相差2,解方程即可求出结果.
解：解方程得,
解方程3,
由题可知,解得m=22.
【点拨】本题考查了一元一次方程的求解,属于简单题,熟练一元一次方程的求解是解题关键.
44．（1）﹣5，9，3；（2）2p﹣q＝r，见解析；（3）n＝﹣3或﹣2或0或1
【分析】(1)根据定义，由第1行与第1列三数和相等，便可求得a，由第2列与撇线对角线三数和相等求得b，再用m的代数式表示捺线对角线上的三数，将此三数的和等于m列出方程，便可求得m的值；
(2)通过观察上图的三个幻方，发现：4×2﹣1＝7，6×2﹣8＝4，22×2﹣25＝19，由此便可得出2p﹣q＝r，设右上角数为x，用m、x表示出第2行第2个数，第2行第2个数，第3行第3个数，最后根据第3列三个数和为m，列出等式便可通过恒等变形证明结论；
(3)根据（2）的思路可得，然后x为整数，求得整数n便可．
解：解:(1)由题意知第1行第1列位置上的数为m﹣7﹣（﹣7）＝m，
∴由第1列三数和得为m，得a+5+m＝m，
∴a＝﹣5，
∴由撇形对角线三数和为m，得第2行第2列上的数为：m﹣a﹣7＝m+5﹣7＝m﹣2，
∴b＝m﹣（﹣7）﹣（m﹣2）＝9，
∴第3行第3列上的数为：m﹣a﹣b＝m+5﹣9＝m﹣4，
∴由捺形对角线三数和为m，得m+（m﹣2）+（m﹣4）＝m，
∴m＝3，
故答案为：﹣5；9；3．
(2)∵由上图的三个幻方，发现：4×2﹣1＝7，6×2﹣8＝4，22×2﹣25＝19，
∴2p﹣q＝r，
理由如下：
设右上角数为x，则第2行第2个数为m﹣p﹣x，
∴第2行第2个数为m﹣（m﹣p﹣x）﹣q＝p﹣q+x，
∴由捺上三数和得，第3行第3个数为m﹣p﹣（p﹣q+x）＝m﹣2p+q﹣x，
∴根据第3列三个数和为m，得x+r+（m﹣2p+q﹣x）＝m，
∴2p﹣q＝r．
(3)根据（2）的思路可得，
整理得，（n+1）x＝n+3，
∴，
∵x、n都为整数，
∴n+1＝﹣2或﹣1或1或2，
∴n＝﹣3或﹣2或0或1．
【点拨】本题主要考查的是定义新运算，掌握考查数的特点、一元一次方程的应用和方差的解的应用是解题的关键．
45．k＝4.
【解析】
试题分析：根据解方程，可得方程的解，根据方程的解相同，可得关于k的一元一次方程，根据解方程，可得答案．
试题解析：解方程2（2x－3）＝1－2x，得x＝．把x＝代入8－k＝2（x＋），得8－k＝4，即k＝4．
点睛：本题考查了同解方程，先求出第一个方程的解，把方程的解代入第二个方程得出关于k的方程是解题关键．
46．
【分析】先分别解出两个方程的解，然后根据题意列出关于a的一元一次方程并解答即可．
解：解=得：y=5a
解3a-x=+3得：x=2a-2
由题意得：2a-2-5a=3
解得：a=
【点拨】本题主要考查的是方程的解得定义，理解方程解得含义并列出关于a的一元一次方程是解题的关键．
47．25
解：试题分析：先解方程，然后把解代入后一个方程即可．
试题解析：解：解方程，解得x＝．．把x＝代入3n－＝3（x＋n）－2n，
解得n＝8．所以（n－3）2＝25．
48．（1）是和解方程，理由见解析；（2）
【分析】（1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可；
（2）根据和解方程得出关于m的方程，求出方程的解即可．
解：（1）∵﹣3x＝，
∴x＝﹣，
∵﹣3＝﹣，
∴﹣3x＝是和解方程；
（2）∵关于x的一元一次方程 -x＝m﹣2是和解方程，
∴，
解得：
【点拨】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解和解方程的意义是解此题的关键．
49．（1）；（2）
【分析】先按此法去分母，将代入，求出的值，然后把的值代入原方程并解方程即可.
解：（1）根据题意，可以列出小马虎去分母后得到的方程为
2(2x-1)=3(x+a)-1
所以2×(8-1)=3(4+a)-1
解得a=1，
（2）原方程为
去分母，得2(2x-1)=3(x+1)-6，
解得
【点拨】考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键.
50．(1)；(2).
【分析】（1）将M、N代入化简，再根据结果与x无关，求出a的值即可；
（2）先解方程，再根据解是正整数，b为整数，得到b的值，最后代入计算即可.
解：（1）∵M=，N=，
∴2M+N=
=
=，
∵2M+N的值与x无关，
∴16a－8=0，
∴；
（2）∵为一元一次方程，
∴b≠0，
解方程，得，
∵的解为正整数，即x为正整数，b为整数，
∴b=1，
∴.
【点拨】本题考查整式的化简，一元一次方程，熟练掌握去括号、合并同类项法则，“与某一项无关”题型的做题技巧，以及一元一次方程的解法是解题的关键.
51．13.
【解析】
【分析】先求得方程的解，然后代入另一个方程求得a的值，最后，再求得代数式的值即可．
解：解方程得：x=10，
将x=10代入4x−(3a+1)=6x+2a−1得：40−3a−1=60+2a−1，
解得：a=−4，
∴
【点拨】主要考查方程解的定义以及一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键.
52．k=−3或−1或−4或0或−6或2.
【解析】
试题分析：首先去括号、移项、合并同类项化简方程，然后根据x是整数即可求得k的值．
试题解析：去括号，得kx+k=k−2x+4，
移项，得kx+2x=k−k+4，
合并同类项,得(k+2)x=4.
方程的解是整数，则k+2=±1或±2或±4.
则k=−3或−1或−4或0或−6或2.
53．(1)-;(2)0.
【解析】
试题分析：（1）分别表示出两方程的解，根据解的关系确定出m的值即可；
（2）根据题意列出方程，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出m的值．
试题解析：解：（1）方程4x﹣2m=3x﹣1，解得：x=2m﹣1．方程x=2x﹣3m，解得：x=3m．
由题意得：2m﹣1=6m，解得：m=﹣；
（2）由|a﹣3|+（b+1）2=0，得到a=3，b=﹣1，代入方程，得： ，整理得：，
去分母得：m﹣5+1+6﹣2m=2
解得：m=0．
点睛：此题考查了解一元一次方程，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
54．（1）；（2）或，或．
【解析】
【分析】(1)将m=2代入方程(m-5)x+m-3=0，求出x即可；
(2)首先将方程变形为x=，由方程有整数解，可知m-5≠0，m-5=1或m-5=2，从而求出m的值.
解：(1)当时，原方程为．
解得，．
(2)当时，方程有解．
．
∵方程有整数解，且是整数．
∴，．
解得，或，或．
故答案为：(1)x=-；(2)m=3或4或6或7.
【点拨】本题考查了方程的特殊解，难度较大．
55．（1）11
（2）5a−b−ab
（3）
【分析】（1）利用已知的新定义计算即可；
（2）利用已知的新定义化简即可；
（3）已知等式利用已知的新定义化简计算即可求出x的值.
解：（1） =2×4−1×（-3）
=8+3
=11
（2） =-2×（2a−b−ab）−3×（ab−3a+b）
=-4a+2b+2ab−3ab+9a−3b
=5a−b−ab
（3）
∴5x-3（x+1）=4
∴5x−3x−3=4
∴2x=7
∴x=
【点拨】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，理解题中的新定义是解题的关键.
56．（1）-1； （2）-243； （3）-120
【解析】
试题分析：
（1）由原式对于任意的都成立，令，代入原式可解得的值；
（2）观察可知，令，代入原式即可得式子的值；
（3）观察可知，令，代入原式可得式子的值，结合（1）和（2）中所得结果可求得的值.
试题解析：
（1）令x=0，则a0=（2×0﹣1）5=﹣1；
（2）令x=﹣1，
则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=[2×（﹣1）﹣1]5=（﹣3）5=﹣243；
（3）令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=（2×1﹣1）5=1 ①，
由（2），可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣243 ②，
由①+②可得：，
又∵，
∴，
∴.
57．m=−37
【解析】
【分析】将m看成常数（已知数）分别解这两个方程，再根据第一个方程比第二方程的解大2，列出关于m的一元一次方程，解方程求得m的值,
解：解5m+3x=1+x得x=1−5m2.
解x（m+1）=m（1+x）得x=m．,
由题意得1−5m2=m+2,
解得m=−37．
故答案是：m=−37．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是求出各个方程的解，再列出含m的方程求解．
58．2或4
【分析】解方程，用含m的代数式表示x，再根据x是正整数、m是整数即可求得m的值.
解：
移项得：
解得：
∵关于的一元一次方程的解是正整数
∴为正整数，且m为整数
∴或
∴或
【点拨】本题考查解一元一次方程以及方程的正整数解，难度较大，熟练掌握解一元一次方程是解题关键.
59．x=4．
解：试题分析：根据如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0，可得a，b的值，再将a，b的值代入到方程中得到关于x的一元一次方程.
试题解析：
根据题意得，2a+8=0，b﹣ =0， 解得a=﹣4，b= ，
所以（﹣4+2）x+3=﹣4﹣1，即﹣2x=﹣8，
解得x=4．
点睛：当一元一次方程中含有字母系数时，一般需要根据题目中的已知条件求出字母系数的值，再将所求得的字母系数的值代入到原方程中，得到关于未知数的一元一次方程，再来求解.
60．（1）；（2）；
【分析】（1）根据和解方程定义,将x=代入方程求解即可,（2）根据和解方程定义,将x=和x代入方程求解即可.
解：（1）∵关于x的一元一次方程是“和解方程”，
∴是方程的解．
∴
∴．
（2）∵关于x的一元一次方程是“和解方程”，
∴是方程的解．
又∵是它的解，
．
∴．
把代入方程，得．
∴．
∴．
．
∴．
【点拨】本题考查了一元一次方程的求解,和解方程的定义,中等难度,理解和解方程的定义,将解代入方程求解是解题关键.
61．a=-4
【分析】分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得a的值.
解：解得x=10
解得x=
由题意得：=10，解得a=-4
【点拨】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程是解答本题的关键.
62．
【分析】先求出方程的解，再将此解代入中求m的值.
解：
将代入中，得
∴
【点拨】本题考查了同解方程，先根据其中一个方程求出两个方程相同的解是解答此题的关键.
63．（1） （2）
【分析】（1）1）把x=1代入错误方程中计算即可求出a的值；
（2）把a的值代入原方程，求出解即可．
解：（1）把x＝1代入2﹣＝3a+2x
得：2+＝3a+2，
解得：a＝；
（2）把a＝代入原方程得：2﹣＝﹣2x，
去分母得：6﹣（2x﹣4）＝2﹣6x，
去括号得：6﹣2x+4＝2﹣6x，
移项得：﹣2x+6x＝﹣10+2，
合并同类项得：4x＝﹣8，
解得：x＝﹣2．
【点拨】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
64．解：（1）-64；
（2）a=-3．
【解析】
【分析】（1）根据新运算展开，再求出即可；
（2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可．
解：（1）原式=-4×32+2×（-4）×3+（-4）=-64；
（2）∵※3=-16，
∴
解得：a=-3．
【点拨】本题考查了解一元一次方程，能根据新运算展开是解此题的关键．在（2）中计算时可先提取，可以减少运算量.
65．（1）；（2）（答案不唯一）；（3）见解析
【分析】（1）根据“相伴数对”的定义，将代入，从而求算答案；
（2）先根据“相伴数对”的定义算出a、b之间的关系为：，满足条件即可；
（3）将将 代入得出，再将代入得到，分别去计算等式左右两边，看是否恒等即可．
解：（1）∵为“相伴数对”，将代入得：
，去分母得：
解得：
（2）化简得：
只要满足这个等量关系即可，例如：（答案不唯一）
（3）∵是“相伴数对”
将 代入：
∴ ，化简得：
将代入得到：
将： 代入
左边=
右边=
∴左边=右边
∴当是“相伴数对”时， 也是“相伴数对”
【点拨】本题考查定义新运算，正确理解定义是解题关键．
66．（1） =11；（2）；(3) 6.
【分析】（1）分别将两个关于x的方程解出来，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于m的方程，然后解答；
（2）分别将两个关于x的方程解出来，得到两个用含a的代数式表示的解，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于a的方程，然后解答；
（3）分别求出两个关于x的方程的解，根据同解方程的定义，列出关于a,b的等式，然后整体代入求值．
解：（1）解方程得x=7，
把x=7代入得28+5=，
解得 =11；
（2）解关于x的方程得x= ，
解关于x的方程得x= ，
∵关于的方程和是同解方程，
∴，
解得.
(3)解关于的方程得，
解关于的方程得，
∵和是同解方程，
∴，
∴，
∴==6.
【点拨】本题考查了同解方程及一元一次方程的解法，正确理解同解方程的定义是解题的关键．
67．
【分析】根据题意列出方程，依据解一元一次方程的步骤依次计算可得．
解：根据题意得：
∴
∴3k+6-4k+2=12
解得：
满足条件的值为
【点拨】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
68．(1)-15;(2) 当t=6或625秒时，|y|=2|x|;(3) 在整个运动过程中当t为203、854或1054秒时，P，Q两点相距20个单位长度
【解析】
【分析】（1）根据点A、B表示的数可得出线段AB的长度，利用时间=路程÷速度可求出当点P到达点B时点P、Q运动的时间，再由点Q的出发点、速度及运动时间可得出当点P到达点B时点Q在数轴上表示的数；
（2）找出当运动时间为t秒时x、y的值，结合|y|=2|x|即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）分析整个运动过程，由点P的运动速度不同可分三段考虑：当0≤t≤15时，找出点P、Q表示的数，由线段PQ=20可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值；当1520时，找出点P、Q表示的数，由线段PQ=20可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值．综上即可得出结论．
解：（1）∵点A表示的数为﹣60，点B表示的数为30，
∴线段AB的长度为30﹣（﹣60）=90，
∴当点P到达点B时，点P、Q运动的时间为90÷6=15（秒），
∴当点P到达点B时，点Q在数轴上表示的数为﹣60+3×15=﹣15．
故答案为：﹣15．
（2）当点P运动的时间为t秒时，x=6t﹣60，y=3（t﹣2）﹣60=3t﹣66．
∵|y|=2|x|，即|3t﹣66|=2|6t﹣60|，
解得：t1=6，t2=625．
答：当t=6或625秒时，|y|=2|x|．
（3）∵90÷6=15（秒），15+5=20（秒），
∴分三种情况考虑：
①当0≤t≤15时，点P表示的数为6t﹣60，点Q表示的数为3t﹣60，
∴6t﹣60﹣（3t﹣60）=20，
解得：t=203.
②当15＜x≤20时，点P表示的数为30，点Q表示的数为3t﹣60，
∴30﹣（3t﹣60）=20，
解得：t=703（不合题意，舍去）；
当t＞20时，点P表示的数为30﹣5（t﹣20），点Q表示的数为3t﹣60，
∴|30﹣5（t﹣20）﹣（3t﹣60）|=20，
解得：t1=854，t2=1054．
综上所述：在整个运动过程中当t为203、854或1054秒时，P，Q两点相距20个单位长度．
【点拨】考查一元一次方程的应用，数轴，两点之间的距离，解题的关键是要读懂题目中的以上，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，求解即可.
69．（1）不存在；（2）-2019.
【分析】（1）把代入原方程解得：x= ，若为“中点方程”，则x= ，由于b≠b-2，根据“中点方程”定义即可求解；
（2）根据“中点方程”定义得到2a2-ab+b=0，=3(2a2-ab+b)-2019,整体代入即可.
解：（1）没有符合要求的“奇异方程”，理由如下：
把代入原方程解得：x= ，
若为“中点方程”，则x= ，
∵≠，
∴不符合“中点方程”定义，故不存在；
（2）∵，
∴（2a-b）x+b=0.
∵关于x的方程是“中点方程”，
∴x= =a.
把x=a代入原方程得：2a2-ab+b=0，
∴=3(2a2-ab+b)-2019=30-2019=-2019.
【点拨】本题考查了阅读理解能力和“中点方程”的定义，正确理解中点方程的定义是解题的关键.
70．a+b的值为0或1或-1或3或-5，相对应的方程的解为x=1或x=或x=2或x=或x=.
【分析】先根据一元一次方程的定义求出a、b的值，代入可求得a+b的值，然后根据解一元一次方程的一般步骤进行求解即可.
解：∵关于x的方程是一元一次方程，
∴分以下三种情况进行，
①|a|=0且x≠0，b=0，
∴a=0，b=0，此时a+b=0，方程为-1+3x-2=0，3x=3，解得：x=1，符合题意，
②|a|=1且a-1+3≠0，b=0，
∴a=±1，b=0，
当a=1，b=0时，此时a+b=1，方程为3x-2=0，移项得，3x=2，解得：x=；
当a=-1，b=0时，此时a+b=-1，方程为-2x+3x-2=0，移项合并得， x=2；
③|a|=2且a-1-b=0，
∴a=2，b=1或a=-2，b=-3，
当a=2，b=1时，此时a+b=3，方程为3x-2=0，移项得，3x=2，解得：x=；
当a=-2，b=-3时，此时a+b=-5，方程为3x-2=0，移项得，3x=2，解得：x=，
综上a+b的值为0或1或-1或3或-5，相对应的方程的解为x=1或x=或x=2或x=或x=.
【点拨】本题考查了一元一次方程的定义，涉及了0次幂、绝对值方程、解一元一次方程等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识，并能正确进行分类是解题的关键.
71．
【分析】先求出方程的解，将解代入求出m，将m的值代入求得方程的解.
解：解方程：，得x=1，
∵方程与有相同的解，
∴将x=1代入，得3（1+m）=m-1，
解得m=-2，
将m=-2代入，
得
2（3+2y）=3（-2-3y）
解得.
【点拨】此题考查同解方程，解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题的关键.
72．（1）-12；（2）x=-3
【分析】（1）根据定义的公式解答即可；
（2）根据公式得到关于x的方程，解方程即可.
解：（1）；
（2）∵，
∴，
4x-6-9x-3=6
-5x=15
x=-3.
【点拨】此题考查新定义运算公式，解一元一次方程，有理数的混合运算，掌握新定义运算公式是解题的关键.
73．（1）不是；（2）有，；（3）
【分析】（1）解方程，并根据“奇异方程”的定义判断它是不是；
（2）根据“奇异方程”的定义得到，解出b的值；
（3）根据“奇异方程”的定义得到关于m、n的两个方程，作差得到m、n的关系，再代入化简后的代数式求出值．
解：（1）的解是不等于，
∴方程不是“奇异方程”，
故答案是：不是；
（2）若，则方程的解是，
要使它是“奇异方程”，则，解得；
（3）∵是“奇异方程”，
∴，化简得，
∵是“奇异方程”，
∴，化简得，
两式相减得，
原式
．
【点拨】本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题目中定义的“奇异方程”的概念，列出方程进行求解．
74．（1）；（2）；（3）-2．
【分析】阅读理解题意，理解“相对数对”，在此基础上，对于（1）运用“相对数对”的定义列出方程求解；对于（2）运用“相对数对”的定义列出m、n的关系式化简即可；对于（3）用（2）的结论，用m表示n，代入到所求代数式中，化简即可．
解：（1）由“相对数对”的定义得，解得；
（2）∵(m，n)是相对数对且m≠0
∴把中的a、b分别用m、n代换得
化简得；
（3）由（2）得，所以得代入到得
原式=
=
=
=-2．
【点拨】此题是新定义题型，综合考查解一元一次方程和代数式求值，关键是要理解“相对数对”含义和熟练整式加减运算．
75．（1）-3或1；（2）1或-7；（3）或；
【分析】根据绝对值的几何意义可以将绝对值去掉，转化为一元一次方程求解；
根据绝对值的几何意义可以将绝对值去掉，转化为一元一次方程求解；
利用阅读材料的结论把的范围分为、和x＞3，三种情况讨论，并根据题意，当时，不满足题目要求，其他情况解出即可．
解：（1）由题意可得
解得，
故答案为1或；
（2）
解得，
故答案为1或；
（3）当时，则，解得
当时，则，无解（表示到和的距离之和，当时可知它等于不等于不合题意）
当时，则，解得
综上所述，方程的解是或.
【点拨】考查的是绝对值的几何意义，绝对值方程，本题关键是如何取绝对值，将绝对值方程转化为一般方程来解．
76．（1），；（2）能，-4或-2
【分析】（1）根据题意路程=速度×时间得出结果；
（2）需要分类讨论：当点P在Q的左边和右边列出方程解答．
解：.解：（1）PA=1·t= t；PC=（24+10）-t=
故答案为：，；
（2）设点运动的时间为秒，可分两种情况讨论：
①当点还没追上点时，即点在点的左侧（如图1），
则，，
此时，
解得
所以点所表示的数是-24+14+6=；
②当点追上并超过点时，即点在点的右侧（如图2），
则，，
此时，
解得
点所表示的数是-24+14+8=．
综上，点开始运动后，两点之间的距离能为2个单位长度，点所表示的数为或．
【点拨】本题考查了数轴、一元一次方程的应用．解答（2）题，对t分类讨论是解题关键．
77．0.
【分析】把x=1代入方程+m=得出方程，求出m，最后再代入求出即可．
解：把x=1代入方程+m=得：﹣1+m=，
解得：m=1，
当m=1时，m2﹣2m+1=1﹣2+1=0．
【点拨】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练的掌握解一元一次方程的方法.
78．（1）﹣1，2；（2）t的值为0，﹣2，2，﹣4．
【分析】（1）根据单项式的次数定义，以及一元一次方程的定义即可求出答案．
（2）先求方程的解，然后根据题意列出关于t的方程即可求出答案．
解：（1）由可得
即a，b的值分别为﹣1，2．
（2）方程化为：﹣x﹣tx+3＝0，
解得，
当x为整数，且t为整数时，则t+1为3的正负因数，
∴t+1＝±1或t+1＝±3，
∴t的值为0，﹣2，2，﹣4．
【点拨】本题考查了单项式的次数的定义，一元一次方程的定义和解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题关键，同时注意方程的解是整数的条件．
79．（1）-a2+2ab-b2；（2）．
【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，去括号合并即可得到结果；
（2）方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
解：（1）根据题中的新定义得：原式=2（a2-2ab+b2）-3（a2-2ab+b2）=2a2-4ab+2b2-3a2+6ab-3b2=-a2+2ab-b2；
（2）根据题意得：2x-+3x=1，
解得：x=．
【点拨】本题考查了整式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键．
80．（1）-21；（2）-12
【分析】（1）根据新定义，直接代入计算即可；
（2）根据新定义，得到+2××6，整理得到a的方程，解方程即可．
解：（1）根据题中的新定义得：原式＝+2×（﹣5）×3＝9﹣30＝﹣21；
（2）根据题中的新定义化简得：36+2×6×＝3，
整理得：36+3（a+1）＝3，
去括号得：36+3a+3＝3，
移项合并得：3a＝﹣36，
解得：a＝﹣12．
【点拨】本题考查了新定义问题，准确理解新定义，并根据新定义进行计算和解方程是解题的关键．
81．（1）2；（2）m=-2，n=6；（3）b的值为±2．
【分析】（1）根据“反对方程”的定义直接可得答案；
（2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案；
（3）根据“反对方程”2x﹣b＝0与bx﹣2＝0的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案．
解：（1）由题可知，ax﹣b＝0与bx﹣a＝0（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，
∵2x﹣3＝0与方程3x﹣c＝0互为“反对方程”，
∴c＝2．
（2）将4x+3m+1＝0写成4x﹣（﹣3m﹣1）＝0的形式，
将5x﹣n+2＝0写成5x﹣（n﹣2）＝0的形式，
∵4x+3m+1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“反对方程”，
∴，
∴，
（3）2x﹣b＝0的“反对方程”为bx﹣2＝0（b≠0），
由2x﹣b＝0得，x＝，
当bx﹣2＝0，得x＝，
∵2x﹣b＝0与bx﹣2＝0的解均为整数，
∴与都为整数，
∵b也为整数，
∴当b＝2时，＝1，＝1，都为整数，
当b＝﹣2时，＝﹣1，＝﹣1，都为整数，
∴b的值为±2．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，能够正确理解概念是解题的关键．
82．（1）8；（2）a的值为4或﹣2；（3）①3；②20a0+210或250﹣20a0
【分析】（1）根据新定义列式计算便可；
（2）根据新定义列出方程进行解答便可；
（3）①根据题意列出方程|a0﹣1|+|a1﹣1|＝1，再分别四种情况：a0≥1，a1≥1；a0≥1，a1＜1；a0＜1，a1≥1；a0＜1，a1＜1；根据绝对值的性质，把绝对值方程转化为常规方程进行解答便可；
②先根据已知条件求出a1，a2，a3，…，a20的取值范围，再根据绝对值的性质求得a1，a2，a3，…，a20与a0的关系，便可求得结果．
解：（1）由“相对关系值”的意义可得，
﹣3和5关于1的“相对关系值”为|﹣3﹣1|+|5﹣1|＝4+4＝8．
故答案为：8；
（2）∵a和2关于1的“相对关系值”为4，
∴|a﹣1|+|2﹣1|＝4．
∴|a﹣1|＝3．
解得a＝4或﹣2，
答：a的值为4或﹣2；
（3）①根据题意得，|a0﹣1|+|a1﹣1|＝1，
分别四种情况：
当a0≥1，a1≥1时，有a0﹣1+a1﹣1＝1，则a0+a1＝3；
当a0≥1，a1＜1时，有a0﹣1+1﹣a1＝1，则a0﹣a1＝1，得a0+a1＝1+2a1＜3；
当a0＜1，a1≥1时，有1﹣a0+a1﹣1＝1，则a1﹣a0＝1，得a0+a1＝1+2a0＜3；
当a0＜1，a1＜1时，有1﹣a0+1﹣a1＝1，则a0+a1＝1＜3；
由上可知，a0+a1的最大值为3；
故答案为3；
②当0＜a0＜1时，|a0﹣1|+|a1﹣1|＝1，|a1﹣2|+|a2﹣2|＝1，|a2﹣3|+|a3﹣3|＝1，…，|a19﹣20|+|a20﹣20|＝1，
∴1＜a1＜2，2＜a2＜3，…，19＜a19＜20，
∴1﹣a0+a1﹣1＝1，即a1﹣a0＝1；
2﹣a1+a2﹣2＝1，即a2﹣a1＝1；
同理可得：a3﹣a2＝1，…，a20﹣a19＝1，
∴a1＝1+a0，a2＝1+a1＝2+a0，a3＝1+a2＝3+a0，…，a20＝1+a19＝20+a0，
∴a1+a2+a3+…a20＝1+a0+2+a0+3+a0+…+20+a0
＝1+a0+2+a0+3+a0…+20+a0
＝20a0+（1+2+3+…20）
＝20a0+（1+20）×
＝20a0+210．
当1＜a0≤2，1≤a1＜2时，
a0+a1＝3，a2﹣a1＝1，a3﹣a2＝1，…a21﹣a20＝1，
∴a1＝3﹣a0，a2＝4﹣a0，a3＝5﹣a0，…a20＝22﹣a0；a21﹣a20＝1；
．．a1＝3﹣a0，a2＝4﹣a0，a3＝5﹣a0，…a20＝22﹣a0
∴a1+a2+a3+…+a20
＝3﹣a0+4﹣a0+5﹣a0+…+22﹣a0
＝（3+4+5+…+22）﹣20a0
＝（3+22）×﹣20a0
＝250﹣20a0，
综上所述：a1+a2+a3+…+a20的值为20a0+210或250﹣20a0，
故答案为：20a0+210或250﹣20a0．
【点拨】本题主要考查一元一次方程的综合运算能力，理解“相对关系值”的概念是解决此题目的关键．
83．（1） ；（2）．
【分析】（1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值，根据两个方程同解可得n的值；
（2）把m和n的值代入方程求出方程的解，根据方程无解的条件列式可得a的值．
解：（1）∵关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0是一元一次方程，
∴|m|﹣2＝1，m+3≠0，
解得：m＝3，
当m＝3时，方程为：6x+6n＝0，
解得：x＝﹣n，
，
2（2x+1）﹣10＝5（x+n），
4x+2﹣10＝5x+5n，
4x﹣5x＝5n+8，
﹣x＝5n+8，
解得：x＝﹣5n﹣8，
∴﹣5n﹣8＝﹣n，
∴n＝﹣2；
（2）把m＝3，n＝﹣2代入|a|y+a＝m+1﹣2ny，得：|a|y+a＝4+4y，
∴y＝，
∵y的方程|a|y+a＝4+4y无解，
∴，
∴a＝﹣4．
【点拨】本题考查一元一次方程、同解方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键
84．（1）m= ；（2）
【分析】（1）根据两个方程的解相同求出m即可；
（2）把m代入求解即可；
解：（1）由4x + 2m =3x+1得，
由3x+ 2m=6x+1得，
∵两个方程的解相同，
∴，
整理得：，
解得：；
（2）把代入（m +2）2019·（2m-）2020得：
原式，
，
，
；
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的解和代数式求值，准确计算是解题的关键．
85．（1）-5；（2）1；
【分析】（1）先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解；
（2）根据题意，将直接代入求值即可；
解：（1）
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
解得：x=-5
（2）∵ ，
，
∴ ．
【点拨】本题考查了解一元一次方程，解方程注意去分母时各项都乘以各分母的最小公倍数．
86．（1）不是；（2）；（3）、的值分别是1，
【分析】（1）先求出方程的解，再根据“和解方程”的定义判断即可；
（2）先求出x=，根据“和解方程”的定义得到关于m的一元一次方程，解之即可解答；
（3）根据题意列出关于二元二次方程组，解之即可求得m、n的值．
解：（1）方程的解为x=，
∵≠﹣3+4，
∴方程不是“和解方程”；
（2）方程的解为x=，
∵方程是“和解方程”，
∴，解得：；
（3）∵关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，
∴，
解得：，
即、的值分别是1、．
【点拨】本题考查一元一次方程的解、解一元一次方程，理解“和解方程”的定义，根据定义正确列出方程，灵活应用整体的思想方法是解答的关键．
87．5．
【分析】把代入方程，转化为关于m的一元一次方程，解方程即可．
解：∵是方程的解，
∴，
∴3（1-m）-6=2-4m，
解方程，得
m=5．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
88．x=-4
【分析】根据题示的方法，设7-2x=a，将原方程转化为关于a的方程求解即可．
解：
设7-2x=a，则原方程变形为：
∴
解得，a=15
即7-2x=15，
解得，x=-4
【点拨】本题考查了换元法解方程．换元法的一般步骤为：设元，换元，解元，还原．
89．（1）5；（2）－； （3）k=－3，0，－2，－1．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义列出方程即可求出x的值；
（3）原式利用题中的新定义计算，求出整数k的值即可．
解：（1）由题意可得：（2，－3）★（3，－2）
=2×（－2）－（－3）×3
=-4+9
=5
故答案为：5；
（2）由题意可得：（－2，3x+1）★（1，x－1）
=（－2）·（x－1）－（3x+1）×1
=-2x+2-3x-1
=－5x+1
∴－5x+1=4
解得：x= －
故答案为：
（3）由题意可得：（－3，2x－1）★（k，x＋k）
=（－3）·（x＋k）－（2x－1）·k
=-3x-3k-2xk+k
=(－3－2k)x－2k
∴(－3－2k)x－2k=3－2k
解得：x=；
∵x为整数
∴－3－2k=±3或±1
解得：k=－3，0，－2，－1．
【点拨】此题考查了解一元一次方程，正确理解题意列出方程正确计算是解题关键．
90．（1）；（2）
【分析】（1）根据新运算定义列式计算求解；
（2）根据新运算定义列方程求解．
解：（1）∵a*b=ab2＋2ab＋b，
∴
=
=
=
（2）∵
∴
∴，
，
解得：
【点拨】本题考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，解题的关键是准确利用新运算的定义列式和列方程准确计算．
91．（1）；（2）①不是；②是；（3）；（4）存在，，
【分析】（1）根据关联数的规定，若实数与的差等于这两个数的积，则称实数对为“关联数列出相应的等式；
（2）①根据题意分别计算两个数的差和两个数的乘积，从而做出判断；
②据题意分别计算两个数的差和两个数的乘积，从而做出判断；
（3）根据关联数的规定列出方程，从而解方程求解；
（4）根据关联数的规定可得，求得m与n的关系，然后代入原式求解．
解：（1）∵实数对为“关联数”，
∴
故答案为：
（2）①∵，，
∴不是关联数；
②∵，，
∴是关联数；
（3）∵实数对是关联数
∴
去分母，得：，
去括号，得：
解得：
（3）存在
由题意得：，且
∴，
∴
∴，即，
∵，∴，∴
∴，．
【点拨】本题考查有理数的计算及解一元一次方程，正确理解题意，准确列式及列方程计算是解题关键．
92．（1）-6；（2）
【分析】（1）根据题目中定义的新运算法则进行计算；
（2）先算出，再列出方程进行求解．
解：（1）
；
（2）
，
∵，
∴
．
【点拨】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．
93．（1）是；（2）．
【分析】（1）解方程，并计算对应的值，根据“商解方程”的定义判断即可；
（2）解方程，根据“商解方程”的定义列方程，解出即可．
解：（1）
解得，，
，
是“商解方程”；
（2）由“商解方程义”的定义，得,
解关于的一元一次方程，
得,
,
．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解与新定义：“商解方程”，解好本题要注意两件事：①熟练掌握一元一次方程的解法；②明确“商解方程”的定义．
94．（1）是差解方程，理由见解析；（2）3．
【分析】（1）先解方程：，再利用差解方程的定义进行验证即可得到答案；
（2）先解方程：，再由差解方程的定义可得：，再解关于的一元一次方程即可得到答案．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴是差解方程；
（2）由，
∴，
∵关于x的一元一次方程是差解方程，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
解得：．
【点拨】本题考查的是新定义情境下的一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
95．1
【分析】分别求出两个方程的解，列得方程2a-3=a-2求解即可．
解：2x＋3＝x＋2a
x=2a-3，
a－（x－1）＝3
a-x+1=3
x=a-2，
∵方程2x＋3＝x＋2a与a－（x－1）＝3的解相同，
∴2a-3=a-2
∴a=1．
【点拨】此题考查同解方程，能将a看作常量正确解方程是解题关键．
96．．
【分析】分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得a的值．
解：，
去分母得，
去括号，
移项合并得5x=50，
解得得x=10，
解，
移项合并得：，
解得x=，
由题意得：，
解得．
【点拨】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程是解答本题的关键．
97．不正确，
【分析】先把代入，求出m的值，再由解一元一次方程的方法进行计算，即可得到答案．
解：不正确；
把代入，
∴，
解得：，
∴原方程为，
去分母，得，
解得：；
【点拨】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
98．（1）-7；（2）x= 3；（3）7
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值；
（3）已知等式利用题中的新定义化简，计算求出2x+y的值，代入原式计算即可求出值．
解：（1）∵a⊕b = 2a-b，
∴(－2)⊕3=2×（-2）-3=-4-3=-7；
（2）已知等式利用题中的新定义化简得：
3⊕x = (x + 1)⊕5
2×3-x=2（x+1）-5
6-x=2x+2-5，
移项合并得：-3x=-9，
解得：x=3；
（3）已知等式利用题中的新定义化简得：
x⊕1 = 1⊕y
2x-1=2×1-y，即2x+y=3，
则4x + 2y + 1=2（2x+y）+1=6+1=7．
【点拨】此题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，以及代数式求值，弄清题中的新定义是解本题的关键．
99．（1）2；（2）x=-5
【分析】（1）直接利用已知运算法则计算得出答案；
（2）利用已知运算法则可得关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案．
解：（1）3⊙（﹣2）＝3×（3﹣2）﹣1＝2；
（2）由题意可得：
（﹣1）⊙x＝5，
﹣1×（﹣1＋x）﹣1＝5，
则1﹣x﹣1＝5，
解得：x＝﹣5.
【点拨】本题考查了一元一次方程的解法以及有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
100．（1）；（2）m=
【分析】（1）根据定义得出（2，3），[，]表示的数，再根据有理数的加法法则计算即可；
（2）根据定义可得关于m的一元一次方程，再解方程即可求出m的值．
解：（1）(2，3)+[，]
=
=；
（2）根据题意，
∵(m，m2)+3[m，m1]＝5，
∴(m2)+3(m)=5，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了新定义的运算法则，一元一次方程，有理数的大小比较，根据题中给出的定义理解（a，b）与[a，b]表示的意思是解答此题的关键．
专题3.16 解一元一次方程100题（拓展篇）（专项练习）
一、解答题
1．已知关于x的方程m+＝4的解是关于x的方程的解的2倍，求m的值．
2．关于x的方程与的解互为相反数．
（1）求m的值；
（2）求这两个方程的解．
3．已知A＝2x2+mx﹣m，B＝3x2﹣mx+m．
（1）求A﹣B；
（2）如果3A﹣2B+C＝0，那么C的表达式是什么？
（3）在（2）的条件下，若x＝4是方程C＝20x+5m的解，求m的值．
4．已知关于x的方程2（x+1）﹣m=﹣的解比方程5（x﹣1）﹣1=4（x﹣1）+1的解大2．
（1）求第二个方程的解；
（2）求m的值．
5．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x＝4的解为2，且2＝4﹣2，则该方程2x＝4是差解方程．
请根据上边规定解答下列问题：
（1）判断3x＝4.5是否是差解方程；
（2）若关于x的一元一次方程6x＝m+2是差解方程，求m的值．
6．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．
如方程2x＝4和3x+6＝0为“兄弟方程”．
（1）若关于x的方程5x+m＝0与方程2x﹣4＝x+1是“兄弟方程”，求m的值；
（2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
（3）若关于x的方程2x+3m﹣2＝0和3x﹣5m+4＝0是“兄弟方程”，求这两个方程的解．
7． 已知关于x 的方程 的解比 的解小 ，求a 的值.
8． 如果关于的方程的解比方程的解大1，求式子的值.
9． a※b是新规定的这样一种运算法则：a※b=a2+2ab，例如3※（-2）=32+2×3×（-2）=-3
（1）试求（-2）※3的值
（2）若1※x=3，求x的值
（3）若（-2）※x=-2+x，求x的值．
10．（1）已知x=﹣2是方程的解．求代数式2m2﹣4m+1的值．
（2）x为何值时，代数式与代数的值互为相反数？
10． 已知方程1－与关于x的方程2－ax＝的解相同，求a的值．
12．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b=ab2+2ab+a．
如：1*3=1×32+2×1×3+1=16
（1）求2*（﹣2）的值；
（2）若2*x=m,（其中x为有理数），试比较m，n的大小；
（3）若[]=a+4，求a的值．
13．用◎定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a◎b=ab2+2ab+a，如：1◎2=1×22+2×1×2+l=9．
（1）求（﹣4）◎3；
（2）若（◎3）=8，求a的值．
14． 已知方程3（x﹣1）=4x﹣5与关于x的方程=x﹣1有相同的解，求a的值．
15． 已知是方程的解，求关于x的方程的解．
16．对于有理数a, b,规定一种新运算: a★b= 2ab-b.
(1)计算: (－3)★4=______________；
(2)若方程(x-4)★3=6，求x的值;
(3)计算: 5★[(-2)★3]的值.
16． 已知当x=-1时,代数式2mx3-3mx+6的值为7,若关于y的方程2my+n=11-ny-m的解为y=2,求n的值.
17． 已知关于 x 的方程 和 有相同的解，求 a 的值．
19．仔细观察下面的解法，请回答下列问题：
解方程：.
解：去分母，得.①
移项、合并同类项，得.②
解得.③
（1）上面的解法从__________开始出错；（填序号）
（2）若关于的方程；按上面的解法和正确的解法得到的解分别为，，且为非零整数，求的最小整数值.
20．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“合并式方程”，例如：的解为，且，则该方程是合并式方程．
（1）判断是否是合并式方程并说明理由；
（2）若关于的一元一次方程是合并式方程，求的值．
21． 若方程的解，同时也是关于x的方程 的解，求a的值．
22． 当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大9？
23． 当为何值时，和的值互为相反数？
24． 已知x＝－2是方程a(x＋3)＝a＋x的解，求a2－＋1的值．
25．我们规定,若关于的一元一次方程的解为则称该方程为“差解方程”,例如:的解为且2=4-2，则方程是差解方程.根据以上信息解答下列问题:
(1)判断是否为差解方程：________(选填“是”或“否”)
(2)若关于的一元一次方程是差解方程,求的值。
25． 若关于的方程与的解互为相反数,求的值.
26． 小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的没有乘以，由此得到方程的解为，试求的值，并正确地求出原方程的解．
28．（1）方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值．
（2）已知关于x的方程与方程的解的和为，求a的值．
（3）当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大2？
29．阅读材料：规定一种新的运算：＝ad－bc.例如：＝1×4－2×3＝－2.
(1)按照这个规定，请你计算的值；
(2)按照这个规定，当＝5时，求x的值．
30．（1）已知：|a|=3，b2=4，ab＜0，求a﹣b的值．
（2）已知关于x的方程=与方程=3y﹣2的解互为倒数，求m的值．
31．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．
32． 如果方程的解与关于x的方程的解相同，求a的值.
33． 已知是方程的解，求关于的方程 的解．
34． 当m取什么值时，关于x的方程与方程的解相同？
35． 若y=4是关于y的方程的解，求关于x的方的解。
36．已知关于x的方程4x+2m=3x+1和方程3x+2m=6x+1的解相同，
（1）求m的值；
（2）求代数式(-2m)2020 - (m)2019的值．
36． 若关于x的方程与方程的解互为相反数，求k的值.
38．我们规定x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：
(1)已知关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，则m＝______.
(2)已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，它的解为a，则a+b＝_____.
(3)已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，求代数式﹣3(m+11)+4n+2[(mn+m)2﹣m]﹣[(mn+n)2﹣2n]的值.
39．设“※”表示一种新的运算符号,并且2※3=2+3+4;3※3=3+4+5;7※2=7+8;6※4=6+7+8+9;…….已知n※8=68,求n的值.
40． 当m为何值时，关于x的一元一次方程5m+3x=1+x的解与关于x的一元一次方程2x+m=3m的解互为相反数？
41．关于的一元一次方程，其中是正整数．
（1）当时，求方程的解；
（2）若方程有正整数解，求的值．
41． 将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线记成，定义＝ad－bc.若＝6，求x的值．
42． 已知关于的方程的解比方程的解大2．求m值．
44．（阅读）
将九个数分别填在3×3（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，则将这样的图称为“和m幻方”，下面的三个图（图1）都是满足条件的“和m幻方”
（探究）
（1）若图2为“和m幻方”，则a＝ ，b＝ ，m＝ ．
（2）若图3为“和m幻方”，请通过观察上图的三个幻方，试着用含p，q的代数式表示r，并说明理由．
（3）若图4为“和m幻方”，且x为整数，试求出所有满足条件的整数n的值．
45． 当k取何值时，关于x的方程2(2x－3)＝1－2x和8－k＝2(x+)的解相同？
46． 已知关于y的方程=的解比关于x的方程3a-x=+3的解小3，求a的值．
47． 若方程与关于x的方程3n－＝3(x＋n)－2n的解相同，求(n－3)2的值.
48．定义：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”，例如：2x＝﹣4的解为x＝﹣2，且﹣2＝﹣4+2，则该方程2x＝﹣4是和解方程．
（1）判断﹣3x＝是否是和解方程，说明理由；
（2）若关于x的一元一次方程 -x＝m﹣2是和解方程，求m的值．
49．小马虎解方程 ，在去分母时，两边同时乘以6，然而方程右边的-1忘记乘6，因此求得的解为x＝4，
（1）求a的值；
（2）写出正确的求解过程.
50．已知关于x的整式，整式N=，若a是常数，且2M+N的值与x无关。
(1)求a的值；
(2)若b为整数，关于x的一元一次方程的解是正整数，求的值.
51． 如果方程－8=－的解与方程4x－(3a＋1)=6x＋2a－1的解相同，求式子a2＋a＋1的值．
52． 已知关于的方程中，求当取什么整数值时，方程的解是整数．
53．列方程求解
（1）m为何值时，关于x的一元一次方程4x﹣2m=3x﹣1的解是x=2x﹣3m的解的2倍．
（2）已知|a﹣3|+（b+1）2=0，代数式的值比b﹣a+m多1，求m的值．
54．设为整数，且关于的一元一次方程.
（1）当时，求方程的解；
（2）若该方程有整数解，求的值.
55．同学们,今天我们来学习一个新知识,形如 的式子叫做二阶行列式,它的运算法则用公式表示为: 利用此法则解决以下问题:
(1)仿照上面的解释,计算出 的结果；
(2)依此法则化简 的结果；
(3)如果 那么的值为多少?
56．已知（2x﹣1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0对于任意的x都成立．求：
(1)a0的值；
(2)a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5的值；
(3)a2+a4的值．
57． 当m为何值时，关于x的方程5m+3x=1+x的解比关于x的方程x(m+1)=m(1+x)的解大2?
58． 若关于的一元一次方程的解是正整数，求整数的值．
59． 已知a、b满足，解关于x的方程.
60．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求m，n的值．
60． 已知方程 的解与关于的方程 的解相同，求 的值．
61． 已知关于x的方程与方程的解相同，求的值.
63．小王在解关于x的方程2﹣＝3a﹣2x时，误将﹣2x看作+2x，得方程的解x＝1．
（1）求a的值；
（2）求此方程正确的解．
64．用※定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b=ab2+2ab+a，如1※2=1×22+2×1×2+1=9
（1）求（-4）※ 3；
（2）若※3=-16，求a的值．
65．一般情况下是不成立的，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数为“相伴数对”，记为．
（1）若为“相伴数对”，试求的值；
（2）请写出一个“相伴数对”，其中，且，并说明理由；
（3）已知是“相伴数对”，试说明也是“相伴数对”．
66．我们把解相同的两个方程称为同解方程.例如：方程：与方程的解都为，所以它们为同解方程.
(1)若方程与关于的方程是同解方程，求的值；
(2)若关于的方程和是同解方程，求的值；
(3)若关于的方程和是同解方程，求的值.
67．当k为何值时，代数式比的值大1．
68．如图，A，B分别是数轴上两点，点O为原点，点A表示的数为﹣60，点B表示的数为30．现有两个动点P、Q均从点A出发，沿数轴正方向移动，点P的速度为6单位/秒，点Q的速度为3单位/秒．
（1）若两动点同时出发，当点P到达点B时，点Q在数轴上表示的数为_____；
（2）若点P出发2秒钟后点Q出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，运动过程中点P表示的数为x，点Q表示的数为y，求t为何值时，|y|=2|x|．
（3）在（1）的条件下，若点P到达点B停留5秒后以5单位/秒的速度匀速沿数轴向点A运动，求在整个运动过程中当t为何值时，P，Q两点相距20个单位长度．
69．定义：若一个关于x的方程的解为，则称此方程为“中点方程”.如：的解为，而；的解为，而.
(1)若，有符合要求的“中点方程”吗？若有，请求出该方程的解；若没有请说明理由；
(2)若关于x的方程是“中点方程”，求代数式的值.
70． 己知a，b为实数，关于x的方程是一元一次方程，求的值与方程的解.
71． 已知关于x的方程：与有相同的解，求关于y的方程的解．
72．定义一种新运算“”：，比如：．
（1）求的值；
（2）已知请根据上述运算，求值．
73．我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：的解为，则该方程是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：
（1）判断方程________（回答“是”或“不是”）“奇异方程”；
（2）若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
（3）若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，求代数式的值．
74．一般情况下，不成立，但有些数是可以成立，例如a=b=0，我们称使得成立的一对数a、b为“相对数对”，记为(a，b)．
（1）若(－1，b)是相对数对，求b的值；
（2）若(m，n)是相对数对且m≠0，求的值；
（3）若(m，n)是相对数对，求代数式的值．
75．阅读下面材料并回答问题
观察：有理数-2和-4在数轴上对应的两点之间的距离是，有理数1和-3在数轴上对应的两点之间的距离是
归纳：有理数a、b在数轴上对应的两点A．B之间的距离是，反之，表示有理数a、b在数轴上对应点A．B之间的距离，称之为绝对值的几何意义
应用：
（1）如果表示-1的点A和表示x点B之间的距离是2，那么x为________；
（2）方程的解为________；
（3）小松同学在解方程时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左边表示在数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，而当时，取到它的最小值3，即为1和-2对应的点的距离．由方程右边的值为5可知，满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以看出；同理，若x的对应点在-2的左边，可得；故原方程的解是或；参考小松的解答过程，求方程的解．
76．已知点，，在数轴上对应的数分别为，，10，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒．
（1）用含的式子表示点到点和点的距离，______，______；
（2）当点运动至点时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，当其中一个点到时达点时，整个运动结束．试问：在点开始运动后，两点之间的距离能否为2个单位长度？若不能，请说明理由；若能，请求出点所表示的数．
77． 马虎同学在解方程时，不小心把等式左边m前面的“﹣”当做“+”进行求解，得到的结果为x=1，求代数式m2﹣2m+1的值．
78．已知a，b是有理数，单项式﹣2xby的次数为3，而且方程（a+1）x2+ax﹣tx+b+1＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求a，b的值；
（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请写出整数t的值．
79．规定一种运算：．例如：，．
（1）化简：；
（2）若，求x的值．
80．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝+2ab，如：1*4＝+2×1×4＝24．
（1）求（﹣5）*3的值；
（2）若（）*6＝3，求a的值．
81．定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“反对方程”．
（1）若关于x的方程2x﹣3＝0与方程3x﹣c＝0互为“反对方程”，则c＝ ；
（2）若关于x的方程4x+3m+1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“反对方程”，求m、n的值；
（3）若关于x的方程2x﹣b＝0与其“反对方程”的解都是整数，求整数b的值．
82．对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对关系值”为3．
（1）﹣3和5关于1的“相对关系值”为 ；
（2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值；
（3）若a0和a1关于1的“相对关系值”为1，a1和a2关于2的“相对关系值”为1，a2和a3关于3的“相对关系值”为1，…，a20和a21关于21的“相对关系值”为1．
①a0+a1的最大值为 ；
②a1+a2+a3+…+a20的值为 （用含a0的式子表示）．
83．已知关于x的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同．
（1）求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，若关于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny无解，求a的值．
84．已知方程4x + 2m =3x+1和方程3x+ 2m=6x+1的解相同，求：
（1） m的值；
（2）代数式（m +2）2019·（2m-）2020的值．
85．用适当方法解方程
（1）
（2）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．若有理数对，则的值是多少？
86．先阅读下面材料，再完成任务：
（材料）
我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为和解方程．例如；方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
（任务）
请根据上述规定解答下列问题：
（1）关于的一元一次方程是否是“和解方程”；（只写结论）
（2）已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值：
（3）已知关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求，的值．
87． 已知是方程的解，求m的值．
88．阅读材料，完成任务．
七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为：
，
，
．
，
解，得．
上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法．
任务：参照材料中的解题方法解方程．
89．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）.我们规定：（a，b）★（c，d）=ad－bc
例如：（1，2）★（3，4）=1×4－2×3=－2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）=_________；
（2）若有理数对（－2，3x+1）★（1，x－1）=4，则x=________；
（3）当满足等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=3－2k的x是整数时，求整数k的值．
90．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定ab=ab2＋2ab＋b．如：13=1×32＋2×1×3＋3=18
（1）求（-4）2的值；
（2）若x（-3）=5x-1，求x的值．
91．给出如下规定：若实数与的差等于这两个数的积，则称实数对为“关联数”．如实数对，因为，，所以实数对是关联数；又如实数对是关联数．
（1）若实数对为“关联数”，则，应满足的条件用含，的等式表示为______．
（2）判断下列实数对是否是关联数？
①；
②．
（3）若实数对是关联数，求的值．
（4）是否存在非零实数，，使实数对与都是关联数？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
92．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．例如：．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
93．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：的解为且，则方程是“商解方程”．请回答下列问题：
（1）判断是不是“商解方程”；
（2）若关于的一元一次方程是“商解方程”，求的值．
94．我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则该方程是差解方程．
请根据上边规定解答下列问题：
（1）判断是否是差解方程；
（2）若关于x的一元一次方程是差解方程，求m的值．
95． 已知方程2x＋3＝x＋2a与a－（x－1）＝3的解相同，求a 的值．
96． 如果方程的解与关于的方程的解相同，试求的值．
97．小明在对关于的方程去分母时，得到了方程，
因而求得的解是，你认为他的答案正确吗?如果不正确，请求出原方程的正确解．
98．定义一种新运算“⊕”：a⊕b = 2a-b，比如1⊕(-3) =2×1-（-3）=5
（1）求(－2)⊕3的值：
（2）若3⊕x = (x + 1)⊕5，求x的值；
（3）若x⊕1 = 1⊕y，求代数式4x + 2y + 1的值．
99．阅读材料：对于任意有理数a，b，规定一种新的运算：a⊙b＝a（a＋b）﹣1，例如，2⊙5＝2×（2＋5）﹣1＝13
（1）计算3⊙（﹣2）；
（2）若（﹣1）⊙x＝5，求x的值．
100．规定符号(a，b)表示 a，b 两个数中较小的一个，规定符号[a，b]表示两个数中较大的一个．例如(3，1)＝1，[3，1]＝3．
（1）计算：(-2，3)+[，]；
（2）若(m，m-2)+3[-m，-m-1]＝-5，求 m 的值．
参考答案
1．m＝0．
【解析】
【分析】分别解方程m+＝4和方程，得到两个含有m的解，根据“关于x的方程m+＝4的解是关于x的方程的解的2倍”，列出关于m的一元一次方程，解之即可．
解：解方程m+＝4得：x＝12﹣3m，
解方程得：x＝m﹣6，
根据题意得：
2(m﹣6)＝12﹣3m，
解得：m＝0．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
2．（1）（2）
解：试题分析：（1）先求出第一个方程的解，然后根据互为相反数的和等于0列式得到关于m的方程，再根据一元一次方程的解法求解即可；
（2）把m的值代入两个方程的解计算即可．
解：（1）由x﹣2m=﹣3x+4得：x=m+1，
依题意有：m+1+2﹣m=0，
解得：m=6；
（2）由m=6，
解得方程x﹣2m=﹣3x+4的解为x=×6+1=3+1=4，…
解得方程2﹣m=x的解为x=2﹣6=﹣4．
考点：解一元一次方程．
3．(1)﹣x2+2mx﹣2m；(2)﹣5mx+5m；(3)m＝﹣4．
【解析】
【分析】（1）根据整式减法法则，进行计算；（2）根据C＝﹣3A+2B，代入已知式子可得；（3）根据题意可得：﹣20m+5m＝80+5m，解关于m的方程.
解：(1)A﹣B＝(2x2+mx﹣m)﹣(3x2﹣mx+m)
＝2x2+mx﹣m﹣3x2+mx﹣m
＝﹣x2+2mx﹣2m；
(2)∵3A﹣2B+C＝0，
∴C＝﹣3A+2B
＝﹣3(2x2+mx﹣m)+2(3x2﹣mx+m)
＝﹣6x2﹣3mx+3m+6x2﹣2mx+2m
＝﹣5mx+5m；
(3)根据题意知x＝4是方程﹣5mx+5m＝20x+5m的解，
∴﹣20m+5m＝80+5m，
解得：m＝﹣4．
【点拨】掌握整式的加减法则，把问题转化为解一元一次方程.
4．（1）x=3；（2）m=22．
【分析】（1）按去括号、移项、合并同类项的步骤进行求解即可；
（2）根据（1）中求得的x的值，由题意可得关于x的方程2（x+1）﹣m=﹣的解，然后代入可得关于m的方程，通过解该方程求得m值即可．
解：（1）5（x﹣1）﹣1=4（x﹣1）+1，
5x﹣5﹣1=4x﹣4+1，
5x﹣4x=﹣4+1+1+5，
x=3；
（2）由题意得：方程2（x+1）﹣m=﹣的解为x=3+2=5，
把x=5代入方程2（x+1）﹣m=﹣，得：
2×（5+1）﹣m=﹣，
12﹣m=﹣，
解得：m=22．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程．熟练掌握解解一元一次方程的一般步骤是解题的关键.
5．（1）是；见解析；（2）.
【分析】（1）求出方程的解，再根据差解方程的意义得出即可；
（2）根据差解方程得出关于m的方程，求出方程的解即可．
解：（1）∵3x＝4.5，
∴x＝1.5，
∵4.5﹣3＝1.5，
∴3x＝4.5是差解方程；
（2）∵关于x的一元一次方程6x＝m+2是差解方程，
∴m+2﹣6＝，
解得：m＝．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解差解方程的意义是解此题的关键．
6．（1）25（2）±4（3）±2
【分析】（1）根据新定义运算法则解答；
（2）根据“兄弟方程”的定义和已知条件得到：n-（-n）=8或-n-n=8，解方程即可；
（3）求得方程2x+3m-2=0和3x-5m+4=0解，然后由“兄弟方程”的定义解答．
解：（1）方程2x-4=x+1的解为x=5，
将x=-5代入方程5x+m=0得m=25；
（2）另一解为-n．
则n-（-n）=8或-n-n=8，
∴n=4或n=-4；
（3）方程2x+3m-2=0的解为x＝，
方程3x-5m+4=0的解为x＝，
则+＝0，
解得m=2．
所以，两解分别为-2和2．
【点拨】考查了一元一次方程的解的定义，解题的关键是掌握“兄弟方程”的定义．
7．a=1
【分析】分别求出两个方程的解，然后根据关系列出等式，求出a的值即可.
解：∵，
解得：；
∵，
解得：，
∴，
解得：；
∴的值为1.
【点拨】本题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，解题的关键是正确求出一元一次方程的解，从而列出等式求出a的值.
8．13.
【分析】先分别解出两个关于的方程，即用a表示出x，然后根据两个方程的解的数量关系列出关于a的方程，求出a值，代入计算即可.
解：
去分母得，，
去括号得，9x+15-42=4x-2a-6,
移项合并同类项得，5x=21-2a,
系数化为1得，，
，
移项合并同类项得，2x=-5a-2,
系数化为1得，,
由题意可得，，
去分母得，，
去括号得，42-4a+25a+10=10,
移项合并同类项得，21a=-42,
系数化为1得,a=-2.
==13.
【点拨】此题主要考查了含有字母系数的一元一次方程的解法，关键是把字母系数看作常数，按照一元一次方程的解法步骤求解即可.
9．（1）-8；（2）1；（3）．
【分析】（1）根据规定的运算法则求解即可．
（2）（3）将规定的运算法则代入，然后对等式进行整理从而求得未知数的值即可．
解：（1）（-2）※3=（-2）2+2×（-2）×3=4-12=-8；
（2）∵1※x=3，
∴12+2x=3，
∴2x=3-1，
∴x=1；
（3）-2※x=-2+x，
（-2）2+2×（-2）x=-2+x，
4-4x=-2+x，
-4x-x=-2-4，
-5x=-6，
x=．
【点拨】此题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，解题关键在于掌握运算法则.
10．（1）7；（2）x=﹣11.
【分析】（1）根据方程的解满足方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，根据代数式求值，可得答案；
（2）根据代数式的值互为相反数，可得方程，根据解方程，可得答案．
解：（1）把x=﹣2代入方程，得﹣6+4=﹣1+m，解得m=﹣1，
当m=﹣1时，2m2﹣4m+1=2×（﹣1）2﹣4×（﹣1）+1=2+4+1=7；
（2）由题意，得+（）=0，解得=﹣11，
x=﹣11时，代数式与代数的值互为相反数．
【点拨】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的计算方法.
11．a=-1
【分析】先求方程的解；接下来再将求出来的解代入方程中，得到关于a的方程，求解即可得到a的值.
解：解方程，得
将代入方程，得
解得：
点睛：本题考查了一元一次方程的有关知识，解决本题的关键是熟知一元一次方程的解法.
12．（1）2；（2）m＞n；（3）a的值为﹣．
【分析】（1）根据给定定义式，代入数据求值即可；
（2）根据给定定义式，表示出m和n，做差后即可得出结论；
（3）重复套用定义式，得出关于a的一元一次方程，解方程求出a值即可．
解：（1）2*（﹣2）=2×（﹣2）2+2×2×（﹣2）+2=2．
（2）m=2*x=2x2+2×2x+2=2x2+4x+2，n=（x）*3=（x）×32+2×（x）×3+x=4x，
m﹣n=2x2+4x+2﹣4x=2x2+2≥2，
故m＞n．
（3）（）*（﹣3）=×（﹣3）2+2××（﹣3）+=2a+2，（2a+2）*=（2a+2）×（）2+2×（2a+2）×+（2a+2）=+，
即a+4=+，解得：a=﹣．
答：当[]=a+4时，a的值为﹣．
【点拨】本题考查的解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据给定定义式，代入数据求值；（2）根据给定定义式，求出m、n；（3）重复套用给定定义式找出方程．
13．（1）﹣64；（2）a=0．
【解析】
【分析】（1）将a=﹣4、b=3代入公式计算可得；
（2）由a◎b=ab2+2ab+a=a（b+1）2知◎3=×（3+1）2=8，解之可得．
解：（1）（﹣4）◎3=﹣4×32+2×（﹣4）×3+（﹣4）=﹣64；
（2）∵a◎b=ab2+2ab+a=a（b+1）2，
∴◎3=×（3+1）2=8，
解得：a=0．
【点拨】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，解题的关键是熟练应用新定义的运算法则及其变形．
14．4
解：分析：求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程求出a的值即可．
详解：方程3（x﹣1）=4x﹣5，
去括号得：3x﹣3=4x﹣5，
解得：x=2，
把x=2代入方程﹣=x﹣1，得：﹣=1，
去分母得：8﹣2a﹣6+3a=6，
移项合并得：a=4．
点睛：本题考查了同解方程，同解方程即为两方程的解相同的方程．
15．x=
【分析】将y的值代入方程,即可求得m的值，再将m的值代入方程即可求得方程的解．
解：把y=3代入方程得：,
解得m=3；
把m=3代入得：,
解得：
16．(1) -28； (2) ； (3) -135.
【分析】（1）根据新运算规定的法则计算即可；
（2）先根据新运算规定的法则得出关于x的方程，再解方程即可求出结果；
（3）先根据新运算法则计算中括号内的，再根据法则计算一次即得结果.
解：（1）(－3)★4=2×(－3)×4－4=－24－4=－28，故答案为－28；
（2）因为(x－4)★3=6，所以2(x－4)×3－3=6，解得：；
（3）5★[(－2)★3]= 5★[2×(－2)×3－3]= 5★(－15)=2×5×(－15)－ (－15)=－135.
【点拨】本题以新运算为载体，考查了有理数的运算和一元一次方程的求解，正确理解新运算法则、熟练掌握基本知识是解题的关键.
17．n=2.
【解析】
【分析】把x=﹣1代入方程2mx3-3mx+6=7求出m的值；将m与y的值代入方程2my+n=11-ny-m求出n的值.
解：当x=-1时,2mx3-3mx+6=-2m+3m+6=7,解得m=1.
把m=1,y=2代入2my+n=11-ny-m,
得2×1×2+n=11-2n-1,解得n=2.
【点拨】本题考查代数式的求值以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键；
18．。
【解析】
试题分析：利用同解方程，分别求出两个方程的解.
由 ，得 ，
由 ，得 ，
它们的解相同，
，
．
19．（1）①；（2）.
【分析】（1）找出解方程中开始错误的地方即可；
（2）利用错误的解法与正确的解法求出x1，x2，根据题意确定出a的值，即可得到结果．
解：（1）解方程：.
解：去分母，得.①
∴从①处就开始错误，
故答案为①；
（2）错误解法：
去分母，得.
移项、合并同类项，得.
解得，即.
正确解法：
去分母，得.
移项、合并同类项，得.
解得，即.
由题意，得.
由为非零整数，得到的最小整数值为.
【点拨】此题考查了解一元一次方程的解法，弄清题中错误解法，熟练掌握正确解法是解本题的关键．
20．（1）不是；理由见解析；（2）
【分析】（1）根据合并式方程的定义验证即可；
（2）根据合并式方程的定义列出关于m的一元一次方程，求解即可．
解：（1）解方程，得：x=2
而+1=
因为≠2
所以不是合并式方程.
（2）解方程5x=m+1，得：
则有5+m+1=
解得：
【点拨】本题考查解一元一次方程．能理解合并式方程的定义，并能依此验证（或列出方程）是解题关键．
21．．
【分析】求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程计算即可求出a的值．
解：解:，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
把代入另一个方程得：，
解得：．
【点拨】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
22．m=．
解：分别解两个方程求得方程的解，然后根据关于x的方程3x+m=2x+7的解比关于x的方程4（x﹣2）=3（x+m）的解大9，即可列方程求得m的值．
解：解方程3x+m=2x+7，得x=7﹣m，
解方程4（x﹣2）=3（x+m），得x=3m+8，
根据题意，得7﹣m﹣（3m+8）=9，
解得m=﹣．
“点睛”本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值．
23．x=5
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
解：根据题意,,得x=5.
【点拨】本题主要考查相反数,解题关键是要读懂题目的意思.
24．18.
【分析】把x=-2代入方程即可得到一个关于a的方程，求得a的值，然后代入代数式即可求解．
解：把x＝－2代入方程，得a＝a－2，
解得a＝－4，
则原式＝16＋1＋1＝18.
【点拨】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．
25．(1)是 （2）
【解析】
【分析】(1)求出方程的解，再根据差解方程的意义检验即可；
(2)首先根据差解方程的定义得出x的值(用含m的式子表示)，然后将方程的解代入原方程，可得关于m的方程，解关于m的方程即可．
解：(1)解3x＝4.5，得x＝1.5.
因为1.5＝4.5－3，
所以3x＝4.5是差解方程.
(2)根据6x＝m＋2是差解方程，得方程的解为x＝m＋2－6.
将x＝m＋2－6代入6x＝m＋2中，得6(m＋2－6)＝m＋2，解得m＝．
【点拨】本题考查含字母系数的一元一次方程，能够理解新定义是解题关键.
26．m＝﹣7．
【分析】首先解两个方程，利用m表示出x的值，然后根据两个解互为相反数，即可得到关于m的方程，从而求解．
解：解方程，得x＝2m+1，
解方程，得x＝，
依题意得：2m+1+＝0，
解得m＝﹣7．
【点拨】此题考查一元一次方程的解，解题关键在于掌握运算法则，利用m表示出x的值.
27．，
【分析】先根据错误的做法：“方程左边的1没有乘以10”而得到，代入错误方程，求出a的值，再把a的值代入原方程，求出正确的解．
解：
∵为的解
∴
∴；
∴原方程为：
去分母得：
∴
∴
∴.
【点拨】本题考查了解一元一次方程，本题易在去分母、去括号和移项中出现错误．由于看到小数、分数比较多，学生往往不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以我们要教会学生分开进行，从而达到分解难点的效果．
28．（1）1；（2）-3；（3）
【分析】（1）先求出第一个方程的解，把x=-3代入第二个方程，即可求出k．
（2）首先解两个关于x的方程，利用a表示出方程的解，然后根据两个方程的解的和是，列方程求得a的值．
（3）分别解两个方程求得方程的解，然后根据x的方程5m+3x=1+x的解比关于x的方程2x+m=3m的解大2，即可列方程求得m的值．
解：（1）解方程2-3（x+1）=0得：x=，
的倒数为x=-3，
把x=-3代入方程得：，
解得：k=1．
（2）解2x-a=1得x=，
解得x=，
由题知，
解得a=-3．
（3）解方程5m+3x=1+x得：x=，
解2x+m=3m得：x=m，
根据题意得：，
解得：m=．
【点拨】本题考查了倒数、方程的解、解一元一次方程，解题的关键是理解方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值．
29．（1）8（2）x=1
【分析】（1）根据题中给出的例子列式计算即可；
（2）根据题中给出的例子列式计算即可．
解：(1) ＝20－12＝8 .
(2)由＝5，
得(2x－4)＋2(x＋2)＝5，解得x＝1.
【点拨】本题考查的是一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解答此题的关键．
30．（1）5或﹣5；（2）m=﹣．
【分析】（1）根据“|a|=3，b2=4”结合绝对值的定义和有理数的乘方的定义，再结合ab＜0，求出a和b的值，列式计算即可，
（2）根据解一元一次方程基本步骤，求出方程=3y﹣2的解，根据“x的方程=与方程=3y﹣2的解互为倒数”，求出x的值，代入方程=得到关于m的一元一次方程，解之即可．
解：（1）∵|a|=3，
∴a=3或﹣3，
∵b2=4，
∴b=2或﹣2，
又∵ab＜0，
∴或，
a﹣b=3﹣（﹣2）=5或a﹣b=﹣3﹣2=﹣5，
即a﹣b的值为5或﹣5，
（2）解方程=3y﹣2得：y=1，
根据题意得：x=1，
把x=1代入方程=得：
，
解得：m=﹣．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解，绝对值，有理数的乘方，解题的关键：（1）正确掌握绝对值的定义，有理数乘方的定义，（2）正确掌握解一元一次方程的基本步骤．
31．（1）m=﹣；（2）m=﹣3，n=﹣．
【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值．
解：（1）∵方程3x=m是和解方程，∴=m+3，解得：m=﹣．
（2）∵关于x的一元一次方程﹣2x=mn+n是“和解方程”，并且它的解是x=n，∴﹣2n=mn+n，且mn+n﹣2=n，解得：m=﹣3，n=﹣．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程以及二元二次方程组，解题的关键是：根据“和解方程“的定义列出关于m的一元一次方程；根据和解方程的定义列出关于m、n的二元二次方程组．
32．115
【分析】先解方程，求出x的值，再把x的值代入方程 中，可得关于a的一元一次方程，解方程即可.
解：
2(x-4)-48=-3(x+2)
2x-8-48=-3x-6
2x+3x=-6+8+48
5x=50
x=10.
把x=10代入得：
20a-3a+5=560+12a+20
20a-3a-12a=560+20-5
5a=575
a=115
答：a的值为115.
【点拨】本题考查了同解方程的概念，先解出不含参数的方程是解题的关键.
33．
【解析】
【分析】将y=1代入已知方程计算求出m的值，把m的值代入所求方程，即可求出解．
解：将y=1代入方程2-（m-y）=2y，解得m=1，
将m=1代入可化为：x-5=2x+5，
解得：x=-10．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
34．m=9
【解析】
【分析】先把方程的解求出,然后将求得的解代入方程中即可求出m的值.
解：解:由方程，解得.
将代入，得.
解得.
【点拨】本题主要考查解一元一次方程的应用,解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程.
35．x=
【解析】
试题分析：先把y=4代入方程求出的值，再将的值代入得到关于的方程，解方程即可
试题解析：
把y=4代入方程
得4−m=5(4−m)，
解得m=4，
将m=4代入
得5x−1=0，
解得
36．（1）；（2）2
【分析】（1）分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于m的方程，从而可以求出m的值；
（2）将（1）求得的m值代入即可．
解：（1）解第一个方程4x+2m＝3x+1，得x＝1﹣2m，
解第二个方程3x+2m＝6x+1，得，
所以，
解得，；
（2）当时，原式．
【点拨】本题考查同解方程，求代数式的值，利用同解方程的定义求出m的值是解题的关键．
37．-2
【解析】
【分析】首先根据未含参数的方程求解出未知数，在代入参数方程求解参数即可.
解：根据 可得
因为方程 与方程的解互为相反数
所以可得的解为
代入可得：
解得
【点拨】本题主要考查方程参数的计算，关键在于计算参数方程的解.
38．(1)；(2)；(3)﹣.
【分析】(1)根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程组，解之得出a、b的值即可得出答案；
(3)根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算即可求解.
解：(1)由题意可知x＝m﹣4，由一元一次方程可知x＝，
∴m﹣4＝，
解得m＝；
故答案为：；
(2)由题意可知x＝ab+a﹣4，由一元一次方程可知x＝，
又∵方程的解为a，
∴＝a，ab+a﹣4＝a，
解得a＝，b＝3，
∴a+b=；
故答案为：.
(3)∵一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，
∴mn+m＝，mn+n＝﹣，
两式相减得，m﹣n＝.
∴﹣3(m+11)+4n+2[(mn+m)2﹣m]﹣[(mn+n)2﹣2n]
＝﹣5(m﹣n)﹣33，
＝﹣5×﹣33+2×，
＝，
＝﹣.
【点拨】本题考查了新定义运算，以及一元一次方程的解及解法，读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程是解题的关键．
39．n=5.
【解析】
【分析】根据题目中给的例子可得第一个数表示从整数几开始，后面的数表示几个连续整数相加；n※8=n+(n+1)+(n+2)+…+(n+7)=68，再解方程即可．
解：由题意知n※8=n+(n+1)+(n+2)+…+(n+7),
又n※8=68,
所以n+(n+1)+(n+2)+…+(n+7)=68,
化简得8n=40,
系数化为1,得n=5.
【点拨】本题考查定义新运算，读懂题意，搞清运算的方法是解决问题的关键．根据题目中给的例子可得第一个数表示从整数几开始，后面的数表示几个连续整数相加，由此列出方程即可求解.
40．m=
【解析】
【分析】分别解两个方程，求得方程的解，然后根据x的方程5m+3x=1+x的解比关于x的方程2x+m=3m的解大2，即可列方程求得m的值.
解：解方程2x+m=3m，得x=m.
因为两个方程的解互为相反数，
把x= -m代入5m+3x=1+x中，
得5m-3m=1-m，
解得m=.
【点拨】本题主要考查方程的解的定义.
41．（1）；（2）1
【分析】（1）将m的值代入计算求解即可；
（2）解方程得，根据m是正整数，且11-2m是3的倍数，方程有正整数解确定m的可能值．
解：（1）将m=3代入方程，得，
∴3x-1=4
3x=5
；
（2）
，
，
∵m是正整数，且11-2m是3的倍数，方程有正整数解，
∴m=1．
【点拨】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案．
42．x＝－1.
【解析】
【分析】根据题中的新定义化简所求式子，求出方程的解即可得到x的值．
解：根据题意，得3(1－x)－2(x＋1)＝6.
去括号，得3－3x－2x－2＝6.
移项、合并同类项，得－5x＝5.
解得x＝－1.
【点拨】本题考查的知识点是解一元一次方程，解题关键是读懂题中新定义.
43．,
【分析】求解两个方程的解,再根据它们的解相差2,解方程即可求出结果.
解：解方程得,
解方程3,
由题可知,解得m=22.
【点拨】本题考查了一元一次方程的求解,属于简单题,熟练一元一次方程的求解是解题关键.
44．（1）﹣5，9，3；（2）2p﹣q＝r，见解析；（3）n＝﹣3或﹣2或0或1
【分析】(1)根据定义，由第1行与第1列三数和相等，便可求得a，由第2列与撇线对角线三数和相等求得b，再用m的代数式表示捺线对角线上的三数，将此三数的和等于m列出方程，便可求得m的值；
(2)通过观察上图的三个幻方，发现：4×2﹣1＝7，6×2﹣8＝4，22×2﹣25＝19，由此便可得出2p﹣q＝r，设右上角数为x，用m、x表示出第2行第2个数，第2行第2个数，第3行第3个数，最后根据第3列三个数和为m，列出等式便可通过恒等变形证明结论；
(3)根据（2）的思路可得，然后x为整数，求得整数n便可．
解：解:(1)由题意知第1行第1列位置上的数为m﹣7﹣（﹣7）＝m，
∴由第1列三数和得为m，得a+5+m＝m，
∴a＝﹣5，
∴由撇形对角线三数和为m，得第2行第2列上的数为：m﹣a﹣7＝m+5﹣7＝m﹣2，
∴b＝m﹣（﹣7）﹣（m﹣2）＝9，
∴第3行第3列上的数为：m﹣a﹣b＝m+5﹣9＝m﹣4，
∴由捺形对角线三数和为m，得m+（m﹣2）+（m﹣4）＝m，
∴m＝3，
故答案为：﹣5；9；3．
(2)∵由上图的三个幻方，发现：4×2﹣1＝7，6×2﹣8＝4，22×2﹣25＝19，
∴2p﹣q＝r，
理由如下：
设右上角数为x，则第2行第2个数为m﹣p﹣x，
∴第2行第2个数为m﹣（m﹣p﹣x）﹣q＝p﹣q+x，
∴由捺上三数和得，第3行第3个数为m﹣p﹣（p﹣q+x）＝m﹣2p+q﹣x，
∴根据第3列三个数和为m，得x+r+（m﹣2p+q﹣x）＝m，
∴2p﹣q＝r．
(3)根据（2）的思路可得，
整理得，（n+1）x＝n+3，
∴，
∵x、n都为整数，
∴n+1＝﹣2或﹣1或1或2，
∴n＝﹣3或﹣2或0或1．
【点拨】本题主要考查的是定义新运算，掌握考查数的特点、一元一次方程的应用和方差的解的应用是解题的关键．
45．k＝4.
【解析】
试题分析：根据解方程，可得方程的解，根据方程的解相同，可得关于k的一元一次方程，根据解方程，可得答案．
试题解析：解方程2（2x－3）＝1－2x，得x＝．把x＝代入8－k＝2（x＋），得8－k＝4，即k＝4．
点睛：本题考查了同解方程，先求出第一个方程的解，把方程的解代入第二个方程得出关于k的方程是解题关键．
46．
【分析】先分别解出两个方程的解，然后根据题意列出关于a的一元一次方程并解答即可．
解：解=得：y=5a
解3a-x=+3得：x=2a-2
由题意得：2a-2-5a=3
解得：a=
【点拨】本题主要考查的是方程的解得定义，理解方程解得含义并列出关于a的一元一次方程是解题的关键．
47．25
解：试题分析：先解方程，然后把解代入后一个方程即可．
试题解析：解：解方程，解得x＝．．把x＝代入3n－＝3（x＋n）－2n，
解得n＝8．所以（n－3）2＝25．
48．（1）是和解方程，理由见解析；（2）
【分析】（1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可；
（2）根据和解方程得出关于m的方程，求出方程的解即可．
解：（1）∵﹣3x＝，
∴x＝﹣，
∵﹣3＝﹣，
∴﹣3x＝是和解方程；
（2）∵关于x的一元一次方程 -x＝m﹣2是和解方程，
∴，
解得：
【点拨】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解和解方程的意义是解此题的关键．
49．（1）；（2）
【分析】先按此法去分母，将代入，求出的值，然后把的值代入原方程并解方程即可.
解：（1）根据题意，可以列出小马虎去分母后得到的方程为
2(2x-1)=3(x+a)-1
所以2×(8-1)=3(4+a)-1
解得a=1，
（2）原方程为
去分母，得2(2x-1)=3(x+1)-6，
解得
【点拨】考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键.
50．(1)；(2).
【分析】（1）将M、N代入化简，再根据结果与x无关，求出a的值即可；
（2）先解方程，再根据解是正整数，b为整数，得到b的值，最后代入计算即可.
解：（1）∵M=，N=，
∴2M+N=
=
=，
∵2M+N的值与x无关，
∴16a－8=0，
∴；
（2）∵为一元一次方程，
∴b≠0，
解方程，得，
∵的解为正整数，即x为正整数，b为整数，
∴b=1，
∴.
【点拨】本题考查整式的化简，一元一次方程，熟练掌握去括号、合并同类项法则，“与某一项无关”题型的做题技巧，以及一元一次方程的解法是解题的关键.
51．13.
【解析】
【分析】先求得方程的解，然后代入另一个方程求得a的值，最后，再求得代数式的值即可．
解：解方程得：x=10，
将x=10代入4x−(3a+1)=6x+2a−1得：40−3a−1=60+2a−1，
解得：a=−4，
∴
【点拨】主要考查方程解的定义以及一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键.
52．k=−3或−1或−4或0或−6或2.
【解析】
试题分析：首先去括号、移项、合并同类项化简方程，然后根据x是整数即可求得k的值．
试题解析：去括号，得kx+k=k−2x+4，
移项，得kx+2x=k−k+4，
合并同类项,得(k+2)x=4.
方程的解是整数，则k+2=±1或±2或±4.
则k=−3或−1或−4或0或−6或2.
53．(1)-;(2)0.
【解析】
试题分析：（1）分别表示出两方程的解，根据解的关系确定出m的值即可；
（2）根据题意列出方程，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出m的值．
试题解析：解：（1）方程4x﹣2m=3x﹣1，解得：x=2m﹣1．方程x=2x﹣3m，解得：x=3m．
由题意得：2m﹣1=6m，解得：m=﹣；
（2）由|a﹣3|+（b+1）2=0，得到a=3，b=﹣1，代入方程，得： ，整理得：，
去分母得：m﹣5+1+6﹣2m=2
解得：m=0．
点睛：此题考查了解一元一次方程，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
54．（1）；（2）或，或．
【解析】
【分析】(1)将m=2代入方程(m-5)x+m-3=0，求出x即可；
(2)首先将方程变形为x=，由方程有整数解，可知m-5≠0，m-5=1或m-5=2，从而求出m的值.
解：(1)当时，原方程为．
解得，．
(2)当时，方程有解．
．
∵方程有整数解，且是整数．
∴，．
解得，或，或．
故答案为：(1)x=-；(2)m=3或4或6或7.
【点拨】本题考查了方程的特殊解，难度较大．
55．（1）11
（2）5a−b−ab
（3）
【分析】（1）利用已知的新定义计算即可；
（2）利用已知的新定义化简即可；
（3）已知等式利用已知的新定义化简计算即可求出x的值.
解：（1） =2×4−1×（-3）
=8+3
=11
（2） =-2×（2a−b−ab）−3×（ab−3a+b）
=-4a+2b+2ab−3ab+9a−3b
=5a−b−ab
（3）
∴5x-3（x+1）=4
∴5x−3x−3=4
∴2x=7
∴x=
【点拨】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，理解题中的新定义是解题的关键.
56．（1）-1； （2）-243； （3）-120
【解析】
试题分析：
（1）由原式对于任意的都成立，令，代入原式可解得的值；
（2）观察可知，令，代入原式即可得式子的值；
（3）观察可知，令，代入原式可得式子的值，结合（1）和（2）中所得结果可求得的值.
试题解析：
（1）令x=0，则a0=（2×0﹣1）5=﹣1；
（2）令x=﹣1，
则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=[2×（﹣1）﹣1]5=（﹣3）5=﹣243；
（3）令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=（2×1﹣1）5=1 ①，
由（2），可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣243 ②，
由①+②可得：，
又∵，
∴，
∴.
57．m=−37
【解析】
【分析】将m看成常数（已知数）分别解这两个方程，再根据第一个方程比第二方程的解大2，列出关于m的一元一次方程，解方程求得m的值,
解：解5m+3x=1+x得x=1−5m2.
解x（m+1）=m（1+x）得x=m．,
由题意得1−5m2=m+2,
解得m=−37．
故答案是：m=−37．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是求出各个方程的解，再列出含m的方程求解．
58．2或4
【分析】解方程，用含m的代数式表示x，再根据x是正整数、m是整数即可求得m的值.
解：
移项得：
解得：
∵关于的一元一次方程的解是正整数
∴为正整数，且m为整数
∴或
∴或
【点拨】本题考查解一元一次方程以及方程的正整数解，难度较大，熟练掌握解一元一次方程是解题关键.
59．x=4．
解：试题分析：根据如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0，可得a，b的值，再将a，b的值代入到方程中得到关于x的一元一次方程.
试题解析：
根据题意得，2a+8=0，b﹣ =0， 解得a=﹣4，b= ，
所以（﹣4+2）x+3=﹣4﹣1，即﹣2x=﹣8，
解得x=4．
点睛：当一元一次方程中含有字母系数时，一般需要根据题目中的已知条件求出字母系数的值，再将所求得的字母系数的值代入到原方程中，得到关于未知数的一元一次方程，再来求解.
60．（1）；（2）；
【分析】（1）根据和解方程定义,将x=代入方程求解即可,（2）根据和解方程定义,将x=和x代入方程求解即可.
解：（1）∵关于x的一元一次方程是“和解方程”，
∴是方程的解．
∴
∴．
（2）∵关于x的一元一次方程是“和解方程”，
∴是方程的解．
又∵是它的解，
．
∴．
把代入方程，得．
∴．
∴．
．
∴．
【点拨】本题考查了一元一次方程的求解,和解方程的定义,中等难度,理解和解方程的定义,将解代入方程求解是解题关键.
61．a=-4
【分析】分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得a的值.
解：解得x=10
解得x=
由题意得：=10，解得a=-4
【点拨】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程是解答本题的关键.
62．
【分析】先求出方程的解，再将此解代入中求m的值.
解：
将代入中，得
∴
【点拨】本题考查了同解方程，先根据其中一个方程求出两个方程相同的解是解答此题的关键.
63．（1） （2）
【分析】（1）1）把x=1代入错误方程中计算即可求出a的值；
（2）把a的值代入原方程，求出解即可．
解：（1）把x＝1代入2﹣＝3a+2x
得：2+＝3a+2，
解得：a＝；
（2）把a＝代入原方程得：2﹣＝﹣2x，
去分母得：6﹣（2x﹣4）＝2﹣6x，
去括号得：6﹣2x+4＝2﹣6x，
移项得：﹣2x+6x＝﹣10+2，
合并同类项得：4x＝﹣8，
解得：x＝﹣2．
【点拨】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
64．解：（1）-64；
（2）a=-3．
【解析】
【分析】（1）根据新运算展开，再求出即可；
（2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可．
解：（1）原式=-4×32+2×（-4）×3+（-4）=-64；
（2）∵※3=-16，
∴
解得：a=-3．
【点拨】本题考查了解一元一次方程，能根据新运算展开是解此题的关键．在（2）中计算时可先提取，可以减少运算量.
65．（1）；（2）（答案不唯一）；（3）见解析
【分析】（1）根据“相伴数对”的定义，将代入，从而求算答案；
（2）先根据“相伴数对”的定义算出a、b之间的关系为：，满足条件即可；
（3）将将 代入得出，再将代入得到，分别去计算等式左右两边，看是否恒等即可．
解：（1）∵为“相伴数对”，将代入得：
，去分母得：
解得：
（2）化简得：
只要满足这个等量关系即可，例如：（答案不唯一）
（3）∵是“相伴数对”
将 代入：
∴ ，化简得：
将代入得到：
将： 代入
左边=
右边=
∴左边=右边
∴当是“相伴数对”时， 也是“相伴数对”
【点拨】本题考查定义新运算，正确理解定义是解题关键．
66．（1） =11；（2）；(3) 6.
【分析】（1）分别将两个关于x的方程解出来，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于m的方程，然后解答；
（2）分别将两个关于x的方程解出来，得到两个用含a的代数式表示的解，根据同解方程的定义，列出等式，建立一个关于a的方程，然后解答；
（3）分别求出两个关于x的方程的解，根据同解方程的定义，列出关于a,b的等式，然后整体代入求值．
解：（1）解方程得x=7，
把x=7代入得28+5=，
解得 =11；
（2）解关于x的方程得x= ，
解关于x的方程得x= ，
∵关于的方程和是同解方程，
∴，
解得.
(3)解关于的方程得，
解关于的方程得，
∵和是同解方程，
∴，
∴，
∴==6.
【点拨】本题考查了同解方程及一元一次方程的解法，正确理解同解方程的定义是解题的关键．
67．
【分析】根据题意列出方程，依据解一元一次方程的步骤依次计算可得．
解：根据题意得：
∴
∴3k+6-4k+2=12
解得：
满足条件的值为
【点拨】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
68．(1)-15;(2) 当t=6或625秒时，|y|=2|x|;(3) 在整个运动过程中当t为203、854或1054秒时，P，Q两点相距20个单位长度
【解析】
【分析】（1）根据点A、B表示的数可得出线段AB的长度，利用时间=路程÷速度可求出当点P到达点B时点P、Q运动的时间，再由点Q的出发点、速度及运动时间可得出当点P到达点B时点Q在数轴上表示的数；
（2）找出当运动时间为t秒时x、y的值，结合|y|=2|x|即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）分析整个运动过程，由点P的运动速度不同可分三段考虑：当0≤t≤15时，找出点P、Q表示的数，由线段PQ=20可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值；当15
解：（1）∵点A表示的数为﹣60，点B表示的数为30，
∴线段AB的长度为30﹣（﹣60）=90，
∴当点P到达点B时，点P、Q运动的时间为90÷6=15（秒），
∴当点P到达点B时，点Q在数轴上表示的数为﹣60+3×15=﹣15．
故答案为：﹣15．
（2）当点P运动的时间为t秒时，x=6t﹣60，y=3（t﹣2）﹣60=3t﹣66．
∵|y|=2|x|，即|3t﹣66|=2|6t﹣60|，
解得：t1=6，t2=625．
答：当t=6或625秒时，|y|=2|x|．
（3）∵90÷6=15（秒），15+5=20（秒），
∴分三种情况考虑：
①当0≤t≤15时，点P表示的数为6t﹣60，点Q表示的数为3t﹣60，
∴6t﹣60﹣（3t﹣60）=20，
解得：t=203.
②当15＜x≤20时，点P表示的数为30，点Q表示的数为3t﹣60，
∴30﹣（3t﹣60）=20，
解得：t=703（不合题意，舍去）；
当t＞20时，点P表示的数为30﹣5（t﹣20），点Q表示的数为3t﹣60，
∴|30﹣5（t﹣20）﹣（3t﹣60）|=20，
解得：t1=854，t2=1054．
综上所述：在整个运动过程中当t为203、854或1054秒时，P，Q两点相距20个单位长度．
【点拨】考查一元一次方程的应用，数轴，两点之间的距离，解题的关键是要读懂题目中的以上，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，求解即可.
69．（1）不存在；（2）-2019.
【分析】（1）把代入原方程解得：x= ，若为“中点方程”，则x= ，由于b≠b-2，根据“中点方程”定义即可求解；
（2）根据“中点方程”定义得到2a2-ab+b=0，=3(2a2-ab+b)-2019,整体代入即可.
解：（1）没有符合要求的“奇异方程”，理由如下：
把代入原方程解得：x= ，
若为“中点方程”，则x= ，
∵≠，
∴不符合“中点方程”定义，故不存在；
（2）∵，
∴（2a-b）x+b=0.
∵关于x的方程是“中点方程”，
∴x= =a.
把x=a代入原方程得：2a2-ab+b=0，
∴=3(2a2-ab+b)-2019=30-2019=-2019.
【点拨】本题考查了阅读理解能力和“中点方程”的定义，正确理解中点方程的定义是解题的关键.
70．a+b的值为0或1或-1或3或-5，相对应的方程的解为x=1或x=或x=2或x=或x=.
【分析】先根据一元一次方程的定义求出a、b的值，代入可求得a+b的值，然后根据解一元一次方程的一般步骤进行求解即可.
解：∵关于x的方程是一元一次方程，
∴分以下三种情况进行，
①|a|=0且x≠0，b=0，
∴a=0，b=0，此时a+b=0，方程为-1+3x-2=0，3x=3，解得：x=1，符合题意，
②|a|=1且a-1+3≠0，b=0，
∴a=±1，b=0，
当a=1，b=0时，此时a+b=1，方程为3x-2=0，移项得，3x=2，解得：x=；
当a=-1，b=0时，此时a+b=-1，方程为-2x+3x-2=0，移项合并得， x=2；
③|a|=2且a-1-b=0，
∴a=2，b=1或a=-2，b=-3，
当a=2，b=1时，此时a+b=3，方程为3x-2=0，移项得，3x=2，解得：x=；
当a=-2，b=-3时，此时a+b=-5，方程为3x-2=0，移项得，3x=2，解得：x=，
综上a+b的值为0或1或-1或3或-5，相对应的方程的解为x=1或x=或x=2或x=或x=.
【点拨】本题考查了一元一次方程的定义，涉及了0次幂、绝对值方程、解一元一次方程等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识，并能正确进行分类是解题的关键.
71．
【分析】先求出方程的解，将解代入求出m，将m的值代入求得方程的解.
解：解方程：，得x=1，
∵方程与有相同的解，
∴将x=1代入，得3（1+m）=m-1，
解得m=-2，
将m=-2代入，
得
2（3+2y）=3（-2-3y）
解得.
【点拨】此题考查同解方程，解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题的关键.
72．（1）-12；（2）x=-3
【分析】（1）根据定义的公式解答即可；
（2）根据公式得到关于x的方程，解方程即可.
解：（1）；
（2）∵，
∴，
4x-6-9x-3=6
-5x=15
x=-3.
【点拨】此题考查新定义运算公式，解一元一次方程，有理数的混合运算，掌握新定义运算公式是解题的关键.
73．（1）不是；（2）有，；（3）
【分析】（1）解方程，并根据“奇异方程”的定义判断它是不是；
（2）根据“奇异方程”的定义得到，解出b的值；
（3）根据“奇异方程”的定义得到关于m、n的两个方程，作差得到m、n的关系，再代入化简后的代数式求出值．
解：（1）的解是不等于，
∴方程不是“奇异方程”，
故答案是：不是；
（2）若，则方程的解是，
要使它是“奇异方程”，则，解得；
（3）∵是“奇异方程”，
∴，化简得，
∵是“奇异方程”，
∴，化简得，
两式相减得，
原式
．
【点拨】本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题目中定义的“奇异方程”的概念，列出方程进行求解．
74．（1）；（2）；（3）-2．
【分析】阅读理解题意，理解“相对数对”，在此基础上，对于（1）运用“相对数对”的定义列出方程求解；对于（2）运用“相对数对”的定义列出m、n的关系式化简即可；对于（3）用（2）的结论，用m表示n，代入到所求代数式中，化简即可．
解：（1）由“相对数对”的定义得，解得；
（2）∵(m，n)是相对数对且m≠0
∴把中的a、b分别用m、n代换得
化简得；
（3）由（2）得，所以得代入到得
原式=
=
=
=-2．
【点拨】此题是新定义题型，综合考查解一元一次方程和代数式求值，关键是要理解“相对数对”含义和熟练整式加减运算．
75．（1）-3或1；（2）1或-7；（3）或；
【分析】根据绝对值的几何意义可以将绝对值去掉，转化为一元一次方程求解；
根据绝对值的几何意义可以将绝对值去掉，转化为一元一次方程求解；
利用阅读材料的结论把的范围分为、和x＞3，三种情况讨论，并根据题意，当时，不满足题目要求，其他情况解出即可．
解：（1）由题意可得
解得，
故答案为1或；
（2）
解得，
故答案为1或；
（3）当时，则，解得
当时，则，无解（表示到和的距离之和，当时可知它等于不等于不合题意）
当时，则，解得
综上所述，方程的解是或.
【点拨】考查的是绝对值的几何意义，绝对值方程，本题关键是如何取绝对值，将绝对值方程转化为一般方程来解．
76．（1），；（2）能，-4或-2
【分析】（1）根据题意路程=速度×时间得出结果；
（2）需要分类讨论：当点P在Q的左边和右边列出方程解答．
解：.解：（1）PA=1·t= t；PC=（24+10）-t=
故答案为：，；
（2）设点运动的时间为秒，可分两种情况讨论：
①当点还没追上点时，即点在点的左侧（如图1），
则，，
此时，
解得
所以点所表示的数是-24+14+6=；
②当点追上并超过点时，即点在点的右侧（如图2），
则，，
此时，
解得
点所表示的数是-24+14+8=．
综上，点开始运动后，两点之间的距离能为2个单位长度，点所表示的数为或．
【点拨】本题考查了数轴、一元一次方程的应用．解答（2）题，对t分类讨论是解题关键．
77．0.
【分析】把x=1代入方程+m=得出方程，求出m，最后再代入求出即可．
解：把x=1代入方程+m=得：﹣1+m=，
解得：m=1，
当m=1时，m2﹣2m+1=1﹣2+1=0．
【点拨】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练的掌握解一元一次方程的方法.
78．（1）﹣1，2；（2）t的值为0，﹣2，2，﹣4．
【分析】（1）根据单项式的次数定义，以及一元一次方程的定义即可求出答案．
（2）先求方程的解，然后根据题意列出关于t的方程即可求出答案．
解：（1）由可得
即a，b的值分别为﹣1，2．
（2）方程化为：﹣x﹣tx+3＝0，
解得，
当x为整数，且t为整数时，则t+1为3的正负因数，
∴t+1＝±1或t+1＝±3，
∴t的值为0，﹣2，2，﹣4．
【点拨】本题考查了单项式的次数的定义，一元一次方程的定义和解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题关键，同时注意方程的解是整数的条件．
79．（1）-a2+2ab-b2；（2）．
【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，去括号合并即可得到结果；
（2）方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
解：（1）根据题中的新定义得：原式=2（a2-2ab+b2）-3（a2-2ab+b2）=2a2-4ab+2b2-3a2+6ab-3b2=-a2+2ab-b2；
（2）根据题意得：2x-+3x=1，
解得：x=．
【点拨】本题考查了整式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键．
80．（1）-21；（2）-12
【分析】（1）根据新定义，直接代入计算即可；
（2）根据新定义，得到+2××6，整理得到a的方程，解方程即可．
解：（1）根据题中的新定义得：原式＝+2×（﹣5）×3＝9﹣30＝﹣21；
（2）根据题中的新定义化简得：36+2×6×＝3，
整理得：36+3（a+1）＝3，
去括号得：36+3a+3＝3，
移项合并得：3a＝﹣36，
解得：a＝﹣12．
【点拨】本题考查了新定义问题，准确理解新定义，并根据新定义进行计算和解方程是解题的关键．
81．（1）2；（2）m=-2，n=6；（3）b的值为±2．
【分析】（1）根据“反对方程”的定义直接可得答案；
（2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案；
（3）根据“反对方程”2x﹣b＝0与bx﹣2＝0的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案．
解：（1）由题可知，ax﹣b＝0与bx﹣a＝0（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，
∵2x﹣3＝0与方程3x﹣c＝0互为“反对方程”，
∴c＝2．
（2）将4x+3m+1＝0写成4x﹣（﹣3m﹣1）＝0的形式，
将5x﹣n+2＝0写成5x﹣（n﹣2）＝0的形式，
∵4x+3m+1＝0与方程5x﹣n+2＝0互为“反对方程”，
∴，
∴，
（3）2x﹣b＝0的“反对方程”为bx﹣2＝0（b≠0），
由2x﹣b＝0得，x＝，
当bx﹣2＝0，得x＝，
∵2x﹣b＝0与bx﹣2＝0的解均为整数，
∴与都为整数，
∵b也为整数，
∴当b＝2时，＝1，＝1，都为整数，
当b＝﹣2时，＝﹣1，＝﹣1，都为整数，
∴b的值为±2．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，能够正确理解概念是解题的关键．
82．（1）8；（2）a的值为4或﹣2；（3）①3；②20a0+210或250﹣20a0
【分析】（1）根据新定义列式计算便可；
（2）根据新定义列出方程进行解答便可；
（3）①根据题意列出方程|a0﹣1|+|a1﹣1|＝1，再分别四种情况：a0≥1，a1≥1；a0≥1，a1＜1；a0＜1，a1≥1；a0＜1，a1＜1；根据绝对值的性质，把绝对值方程转化为常规方程进行解答便可；
②先根据已知条件求出a1，a2，a3，…，a20的取值范围，再根据绝对值的性质求得a1，a2，a3，…，a20与a0的关系，便可求得结果．
解：（1）由“相对关系值”的意义可得，
﹣3和5关于1的“相对关系值”为|﹣3﹣1|+|5﹣1|＝4+4＝8．
故答案为：8；
（2）∵a和2关于1的“相对关系值”为4，
∴|a﹣1|+|2﹣1|＝4．
∴|a﹣1|＝3．
解得a＝4或﹣2，
答：a的值为4或﹣2；
（3）①根据题意得，|a0﹣1|+|a1﹣1|＝1，
分别四种情况：
当a0≥1，a1≥1时，有a0﹣1+a1﹣1＝1，则a0+a1＝3；
当a0≥1，a1＜1时，有a0﹣1+1﹣a1＝1，则a0﹣a1＝1，得a0+a1＝1+2a1＜3；
当a0＜1，a1≥1时，有1﹣a0+a1﹣1＝1，则a1﹣a0＝1，得a0+a1＝1+2a0＜3；
当a0＜1，a1＜1时，有1﹣a0+1﹣a1＝1，则a0+a1＝1＜3；
由上可知，a0+a1的最大值为3；
故答案为3；
②当0＜a0＜1时，|a0﹣1|+|a1﹣1|＝1，|a1﹣2|+|a2﹣2|＝1，|a2﹣3|+|a3﹣3|＝1，…，|a19﹣20|+|a20﹣20|＝1，
∴1＜a1＜2，2＜a2＜3，…，19＜a19＜20，
∴1﹣a0+a1﹣1＝1，即a1﹣a0＝1；
2﹣a1+a2﹣2＝1，即a2﹣a1＝1；
同理可得：a3﹣a2＝1，…，a20﹣a19＝1，
∴a1＝1+a0，a2＝1+a1＝2+a0，a3＝1+a2＝3+a0，…，a20＝1+a19＝20+a0，
∴a1+a2+a3+…a20＝1+a0+2+a0+3+a0+…+20+a0
＝1+a0+2+a0+3+a0…+20+a0
＝20a0+（1+2+3+…20）
＝20a0+（1+20）×
＝20a0+210．
当1＜a0≤2，1≤a1＜2时，
a0+a1＝3，a2﹣a1＝1，a3﹣a2＝1，…a21﹣a20＝1，
∴a1＝3﹣a0，a2＝4﹣a0，a3＝5﹣a0，…a20＝22﹣a0；a21﹣a20＝1；
．．a1＝3﹣a0，a2＝4﹣a0，a3＝5﹣a0，…a20＝22﹣a0
∴a1+a2+a3+…+a20
＝3﹣a0+4﹣a0+5﹣a0+…+22﹣a0
＝（3+4+5+…+22）﹣20a0
＝（3+22）×﹣20a0
＝250﹣20a0，
综上所述：a1+a2+a3+…+a20的值为20a0+210或250﹣20a0，
故答案为：20a0+210或250﹣20a0．
【点拨】本题主要考查一元一次方程的综合运算能力，理解“相对关系值”的概念是解决此题目的关键．
83．（1） ；（2）．
【分析】（1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值，根据两个方程同解可得n的值；
（2）把m和n的值代入方程求出方程的解，根据方程无解的条件列式可得a的值．
解：（1）∵关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0是一元一次方程，
∴|m|﹣2＝1，m+3≠0，
解得：m＝3，
当m＝3时，方程为：6x+6n＝0，
解得：x＝﹣n，
，
2（2x+1）﹣10＝5（x+n），
4x+2﹣10＝5x+5n，
4x﹣5x＝5n+8，
﹣x＝5n+8，
解得：x＝﹣5n﹣8，
∴﹣5n﹣8＝﹣n，
∴n＝﹣2；
（2）把m＝3，n＝﹣2代入|a|y+a＝m+1﹣2ny，得：|a|y+a＝4+4y，
∴y＝，
∵y的方程|a|y+a＝4+4y无解，
∴，
∴a＝﹣4．
【点拨】本题考查一元一次方程、同解方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键
84．（1）m= ；（2）
【分析】（1）根据两个方程的解相同求出m即可；
（2）把m代入求解即可；
解：（1）由4x + 2m =3x+1得，
由3x+ 2m=6x+1得，
∵两个方程的解相同，
∴，
整理得：，
解得：；
（2）把代入（m +2）2019·（2m-）2020得：
原式，
，
，
；
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的解和代数式求值，准确计算是解题的关键．
85．（1）-5；（2）1；
【分析】（1）先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解；
（2）根据题意，将直接代入求值即可；
解：（1）
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
解得：x=-5
（2）∵ ，
，
∴ ．
【点拨】本题考查了解一元一次方程，解方程注意去分母时各项都乘以各分母的最小公倍数．
86．（1）不是；（2）；（3）、的值分别是1，
【分析】（1）先求出方程的解，再根据“和解方程”的定义判断即可；
（2）先求出x=，根据“和解方程”的定义得到关于m的一元一次方程，解之即可解答；
（3）根据题意列出关于二元二次方程组，解之即可求得m、n的值．
解：（1）方程的解为x=，
∵≠﹣3+4，
∴方程不是“和解方程”；
（2）方程的解为x=，
∵方程是“和解方程”，
∴，解得：；
（3）∵关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，
∴，
解得：，
即、的值分别是1、．
【点拨】本题考查一元一次方程的解、解一元一次方程，理解“和解方程”的定义，根据定义正确列出方程，灵活应用整体的思想方法是解答的关键．
87．5．
【分析】把代入方程，转化为关于m的一元一次方程，解方程即可．
解：∵是方程的解，
∴，
∴3（1-m）-6=2-4m，
解方程，得
m=5．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
88．x=-4
【分析】根据题示的方法，设7-2x=a，将原方程转化为关于a的方程求解即可．
解：
设7-2x=a，则原方程变形为：
∴
解得，a=15
即7-2x=15，
解得，x=-4
【点拨】本题考查了换元法解方程．换元法的一般步骤为：设元，换元，解元，还原．
89．（1）5；（2）－； （3）k=－3，0，－2，－1．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义列出方程即可求出x的值；
（3）原式利用题中的新定义计算，求出整数k的值即可．
解：（1）由题意可得：（2，－3）★（3，－2）
=2×（－2）－（－3）×3
=-4+9
=5
故答案为：5；
（2）由题意可得：（－2，3x+1）★（1，x－1）
=（－2）·（x－1）－（3x+1）×1
=-2x+2-3x-1
=－5x+1
∴－5x+1=4
解得：x= －
故答案为：
（3）由题意可得：（－3，2x－1）★（k，x＋k）
=（－3）·（x＋k）－（2x－1）·k
=-3x-3k-2xk+k
=(－3－2k)x－2k
∴(－3－2k)x－2k=3－2k
解得：x=；
∵x为整数
∴－3－2k=±3或±1
解得：k=－3，0，－2，－1．
【点拨】此题考查了解一元一次方程，正确理解题意列出方程正确计算是解题关键．
90．（1）；（2）
【分析】（1）根据新运算定义列式计算求解；
（2）根据新运算定义列方程求解．
解：（1）∵a*b=ab2＋2ab＋b，
∴
=
=
=
（2）∵
∴
∴，
，
解得：
【点拨】本题考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，解题的关键是准确利用新运算的定义列式和列方程准确计算．
91．（1）；（2）①不是；②是；（3）；（4）存在，，
【分析】（1）根据关联数的规定，若实数与的差等于这两个数的积，则称实数对为“关联数列出相应的等式；
（2）①根据题意分别计算两个数的差和两个数的乘积，从而做出判断；
②据题意分别计算两个数的差和两个数的乘积，从而做出判断；
（3）根据关联数的规定列出方程，从而解方程求解；
（4）根据关联数的规定可得，求得m与n的关系，然后代入原式求解．
解：（1）∵实数对为“关联数”，
∴
故答案为：
（2）①∵，，
∴不是关联数；
②∵，，
∴是关联数；
（3）∵实数对是关联数
∴
去分母，得：，
去括号，得：
解得：
（3）存在
由题意得：，且
∴，
∴
∴，即，
∵，∴，∴
∴，．
【点拨】本题考查有理数的计算及解一元一次方程，正确理解题意，准确列式及列方程计算是解题关键．
92．（1）-6；（2）
【分析】（1）根据题目中定义的新运算法则进行计算；
（2）先算出，再列出方程进行求解．
解：（1）
；
（2）
，
∵，
∴
．
【点拨】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．
93．（1）是；（2）．
【分析】（1）解方程，并计算对应的值，根据“商解方程”的定义判断即可；
（2）解方程，根据“商解方程”的定义列方程，解出即可．
解：（1）
解得，，
，
是“商解方程”；
（2）由“商解方程义”的定义，得,
解关于的一元一次方程，
得,
,
．
【点拨】本题考查了一元一次方程的解与新定义：“商解方程”，解好本题要注意两件事：①熟练掌握一元一次方程的解法；②明确“商解方程”的定义．
94．（1）是差解方程，理由见解析；（2）3．
【分析】（1）先解方程：，再利用差解方程的定义进行验证即可得到答案；
（2）先解方程：，再由差解方程的定义可得：，再解关于的一元一次方程即可得到答案．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴是差解方程；
（2）由，
∴，
∵关于x的一元一次方程是差解方程，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
解得：．
【点拨】本题考查的是新定义情境下的一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
95．1
【分析】分别求出两个方程的解，列得方程2a-3=a-2求解即可．
解：2x＋3＝x＋2a
x=2a-3，
a－（x－1）＝3
a-x+1=3
x=a-2，
∵方程2x＋3＝x＋2a与a－（x－1）＝3的解相同，
∴2a-3=a-2
∴a=1．
【点拨】此题考查同解方程，能将a看作常量正确解方程是解题关键．
96．．
【分析】分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得a的值．
解：，
去分母得，
去括号，
移项合并得5x=50，
解得得x=10，
解，
移项合并得：，
解得x=，
由题意得：，
解得．
【点拨】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程是解答本题的关键．
97．不正确，
【分析】先把代入，求出m的值，再由解一元一次方程的方法进行计算，即可得到答案．
解：不正确；
把代入，
∴，
解得：，
∴原方程为，
去分母，得，
解得：；
【点拨】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
98．（1）-7；（2）x= 3；（3）7
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值；
（3）已知等式利用题中的新定义化简，计算求出2x+y的值，代入原式计算即可求出值．
解：（1）∵a⊕b = 2a-b，
∴(－2)⊕3=2×（-2）-3=-4-3=-7；
（2）已知等式利用题中的新定义化简得：
3⊕x = (x + 1)⊕5
2×3-x=2（x+1）-5
6-x=2x+2-5，
移项合并得：-3x=-9，
解得：x=3；
（3）已知等式利用题中的新定义化简得：
x⊕1 = 1⊕y
2x-1=2×1-y，即2x+y=3，
则4x + 2y + 1=2（2x+y）+1=6+1=7．
【点拨】此题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，以及代数式求值，弄清题中的新定义是解本题的关键．
99．（1）2；（2）x=-5
【分析】（1）直接利用已知运算法则计算得出答案；
（2）利用已知运算法则可得关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案．
解：（1）3⊙（﹣2）＝3×（3﹣2）﹣1＝2；
（2）由题意可得：
（﹣1）⊙x＝5，
﹣1×（﹣1＋x）﹣1＝5，
则1﹣x﹣1＝5，
解得：x＝﹣5.
【点拨】本题考查了一元一次方程的解法以及有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
100．（1）；（2）m=
【分析】（1）根据定义得出（2，3），[，]表示的数，再根据有理数的加法法则计算即可；
（2）根据定义可得关于m的一元一次方程，再解方程即可求出m的值．
解：（1）(2，3)+[，]
=
=；
（2）根据题意，
∵(m，m2)+3[m，m1]＝5，
∴(m2)+3(m)=5，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了新定义的运算法则，一元一次方程，有理数的大小比较，根据题中给出的定义理解（a，b）与[a，b]表示的意思是解答此题的关键．
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