物理必修16 伽利略对自由落体运动的研究学案设计

第5节    伽利略对自由落体运动的研究

理解领悟

对于落体运动，自古以来许多人都研究过。本节课介绍落体运动的研究历史，主要是介绍伽利略对自由落体运动的研究过程和他的科学思维方法。要通过自主学习，独立的思考、归纳和总结，提出自己的看法与体会。

另外，作为匀变速直线运动规律的应用，我们补充介绍了竖直上抛运动的相关知识。这部分内容教材没有涉及，属于“提高级”知识，供学有余力的同学参考。

基础级

1. 延续了两千年的错误认识

古希腊的学者们认为，物体下落的快慢是由它们的重量决定的，物体越重，下落得越快。生活在公元前四世纪的古希腊哲学家亚里士多德最早阐述了这种看法，他认为，物体下落的快慢精确地与它们的重量成正比。亚里士多德的论断影响深远，在其后两千多年的时间里，人们一直信奉他的学说。但是，这种从表面上的观察得出的结论实际上是错误的。

2.  伽利略对自由落体运动的研究

16世纪，意大利学者伽利略对亚里士多德的看法提出了质疑，并对自由落体运动进行了深入的研究。伽利略对自由落体运动的研究方法大体可归结为以下几点：

发现问题 伽利略发现亚里士多德的观点有自相矛盾的地方。伽利略认为，如果亚里士多德的观点是对的，即重物比轻物下落得快，那么把重物和轻物拴在一起下落，它们将是什么结果呢？照亚里士多德的说法，重物下落得快，轻物下落的得慢，由于两物拴在一起，“轻的”被“慢的”拉着，“慢的”被“快的”拖着，所以两物拴在一起的速度应是不快不慢。同样，照亚里士多德的说法，两物拴在一起，应该是更重了，那它们应该下落得更快。这两个结论都是由亚里士多德的论断推出来的，但得到的却是互相矛盾的结果。可见，亚里士多德的观点是错误的。

提出假设 伽利略认为，重物与轻物应该下落得同样快。他猜想落体运动应该是一种最简单的变速运动，物体的速度应该是均匀变化的。但是，速度的变化怎样才算是均匀的呢？他考虑了两种可能：一种是速度的变化对时间来说是均匀的，即v与t成正比；另一种是速度的变化对位移来说是均匀的，即v与x成正比。

数学推理 伽利略通过数学运算得出：如果v与x成正比，将会得到荒谬的结论；如果v与t成正比，它通过的位移x就与t2成正比。

实验验证 为了便于测量时间，伽利略设法用斜面做实验。他在木制斜槽上蒙上羊皮纸，让铜球从光滑的羊皮斜槽上滚下，通过上百次对不同质量的小球沿不同倾角的光滑斜面越大的定量研究，发现小球沿光滑斜面运动时通过的位移x确实与t2成正比，小球的运动是匀变速直线运动，且倾角一定不同小球的加速度一定，倾角越大加速度越大。

合理外推 伽利略将他在斜面实验中得出的结论做了合理的外推：设想斜面的倾角越接近900，小球沿斜面滚下的运动就越接近于自由落体运动；当斜面的倾角达到900时，小球就做自由落体运动。从而，自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动，且所有物体自由下落时的加速度都相同。

3.  从伽利略看科学与社会

教材在本节“STS”栏目中讲述了“从伽利略的一生看科学与社会”这一问题，建议认真读一读。文中提到：文艺复兴的精神打破了束缚人们思想的桎梏，激发了人们对自然的兴趣和对自然的探索。活跃在人们心中的各种思想，终于得到实在的结果。而教会对科学的干涉和对伽利略的迫害则造成了严重后果。以前一直人才辈出的意大利，在伽利略死后，它的科学活动便很快地衰落下去了。这说明，没有学术的民主和思想的自由，科学就不能繁荣。

发展级

4.  重物下落引发的两个有趣问题

1969年美国实现登月，这是人类首次登月成功。在一次登月活动中，宇航员David R.Scott在月球上证实了榔头与羽毛下落一样快，月球的引力加速度为1.67m/s2。

1922年美国人厄阜等做了重物下落的细微实验，发现重力加速度随不同材料大约有1%的变化。1986年菲斯巴赫等人认为，物体与物体之间除引力外还存在微小的排斥力，称为超负载力。美国马萨诸塞大学的约·多诺古和假斯坦导出了不同物体下落加速度不同的结论，引力加速度与质量和温度有关。这个问题现在还没有最后定论。

5.  什么是竖直上抛运动

    将物体用一定的初速度沿竖直方向向上抛出去，物体在只受重力作用下所做的运动叫做竖直上抛运动。

6.  竖直上抛运动的两种分析方法

对于竖直上抛运动，有两种不同的分析方法，即分段法和整体法。

分段法： 竖直上抛的物体，在上升过程中，速度越来越小，加速度的方向跟速度的方向相反，是竖直向下的；当速度减小到0的时候，物体上升到最大高度。然后物体从这个高度自由下落，速度越来越大，加速度的方向跟速度的方向相同，也是竖直向下的。由于物体只受重力作用，这两个过程的加速度都是重力加速度g。因此，在处理竖直上抛运动的问题时，可以分两步进行计算：上升过程用初速度为0的匀变速直线运动公式来计算，下降过程用自由落体运动公式来计算。

整体法： 由于上升过程和下降过程的加速度矢量是相同的，我们也可以把竖直上抛运动看作是一个统一的匀变速直线运动，而上升运动和下降运动不过是这个统一的运动的两个过程。这样，我们就可以用匀变速直线运动的公式或关系式来统一讨论竖直上抛运动。在讨论这类问题中，我们习惯上总是取竖直向上的方向作为正方向，重力加速度g总是取绝对值。这样，竖直上抛运动的公式或关系式通常就写做：

速度公式                       ，

位移公式                      ，

速度—位移关系式              ，

用平均速度求位移的公式         。

注意：上述公式中的t是从抛出时刻开始计时的，x是运动物体对抛出点的位移。

5. 竖直上抛运动的几个具体问题

现在，我们应用竖直上抛运动的上述规律讨论几个具体问题。

    （1）物体上升的时间

设物体经过时间t1上升到最高点，在这一时刻，物体是静止的，由此可得

，

所以物体上升的时间               。

 （2）上升的最大高度

  物体上升的最大高度，就是时的高度。把这个式子代入位移公式就可以得出物体上升的最大高度H:         。

  上式也可以直接从速度—位移关系式得出。

 （3）物体下落的时间

  物体落回到初位置时位移为0，即。代入位移公式得

，。

  所以                        ，。

表示物体运动开始时的时刻，表示物体经过上升和下降过程后落回原地所需的时间。如果物体下降过程的时间为t2，那么，所以

。

比较t1和t2可知t1= t2，，即物体上升到最大高度所用的时间跟物体从这个最大高度落回原地所用的时间相等。

(4) 落地速度

已知落地时间为，由公式可以求出落回原地的速度为

。

可见，物体落回原地的速度跟抛出的初速度大小相等，方向相反。

实际上，在竖直上抛运动中，不但上升时间等于下落时间，而且在上述过程中通过某一位置的速度和下落过程中通过这个位置的速度总是大小相等、方向相反的。有兴趣的同学，对于后一论断可以自己试做证明。

应用链接

    本节课的应用主要涉及伽利略的科学探究方法，以及竖直上抛运动规律的分析和计算。

基础级

例1  伽利略以前的学者认为，物体越重，下落越快。伽利略等一些物理学家否定了这种看法。

    （1）在一高塔顶端同时释放一片羽毛和一个玻璃球，玻璃球先于羽毛到达地面，这主要是因为（  ）

A. 它们的质量不等                   B. 它们的密度不等  

C. 它们的材料不同                   D. 它们所受的空气阻力不等

     （2）在此塔顶端同时释放大小相等的实心铁球和空心铁球，下列说法中正确的是（  ）

① 它们受到的空气阻力不等           ② 它们的加速度相等 

③ 它们落地的速度不等               ④ 它们下落的时间相等

A. ①③            B. ②④           C. 只有②            D. 只有③

提示  羽毛下落时空气阻力不能忽略，玻璃球和铁球下落时空气阻力可以忽略。

解析 （1）玻璃球先于羽毛到达地面，这主要是因为羽毛受到的空气阻力大的缘故。正确选项为D。

  （2）大小相等的实心铁球和空心铁球受到的空气阻力相等。在忽略空气阻力的情况下，两球均做自由落体运动，它们的加速度相等。因下落高度相等，故下落的时间相等，落地的速度相等。正确选项为B。

  点悟  羽毛下落得比玻璃球慢，是由于空气阻力的影响。在空气阻力很小而可以忽略的情况下，实心铁球和空心铁球均做自由落体运动，下落的快慢程度相同。要抛弃亚里士多德的错误观点，不要以为重物比轻物下落得快。

例2  滴水法测重力加速度的过程是这样的：让水龙头的水一滴一滴地滴在其正下方的盘子里，调整水龙头，让前一滴水滴到盘子而听到声音时，后一滴恰好离开水龙头。从第1次听到水击盘声时开始计时，测出n次听到水击盘声的总时间为t，用刻度尺量出水龙头到盘子的高度差为h，即可算出重力加速度。设人耳能区别两个声音的时间间隔为0.1s，声速为340m/s，则（  ）

A. 水龙头距人耳的距离至少为34m     B. 水龙头距盘子的距离至少为34m

C. 重力加速度的计算式为        D. 重力加速度的计算式为

提示  从自由落体运动位移公式出发进行分析。

解析  只要相邻两滴水滴下的时间间隔超过0.1s，人耳就能分辨出两滴水的击盘声，而与水龙头距人耳的距离无关（只要人耳能够听到声音）。在0.1s内，水滴下落的距离

 m=0.05m,

所以，水龙头距人耳的距离只要超过0.05m就行。

水龙头滴两滴水的时间间隔为，由可得

。

所以，本题正确选项为D。

点悟  这是一种既“土”又实用的测定重力加速度的方法，同学们不妨动手做一做。请进一步思考：在这个实验中，为什么要测从第1滴水滴开始下落到第n滴水滴恰好落到盘中这段时间，而不是直接测第1滴水滴在空中的运动时间？当第1滴水滴落到盘中时，第2滴水滴离水龙头的距离为多少？

例3  实验室备有下列仪器：

A. 长度为1m、最小刻度为毫米的刻度尺；

B. 长度为1m、最小刻度为分米的刻度尺；

C. 秒表；

D. 打点计时器；

E. 低压交流电源（50Hz）

F. 低压直流电源

G. 天平。

为了测量重锤下落的加速度的数值，上述仪器中必须有的是              （填字母代号），实验是通过研究重锤做          运动来测量重锤下落加速度的。

把重锤固定在纸带下端，让纸带穿过打点计时器，当重锤自由下落时，打点计时器在纸带上打出一系列的点。取连续清晰的7个点，用刻度尺测出第2、3、4、5、6、7各点与第1点的距离d如下表所示：

请用这些数据求出重力加速度的测量值。

提示  算出各点的速度，画出速度图象，由图线的斜率可得重锤下落的加速度即重力加速度；或者由速度值求加速度，再取平均值；也可用逐差法直接求加速度，再取平均值。

解析  实验时，上述仪器中必须有的是：低压交流电源（50Hz）和打点计时器（用来打点），以及长度为1m、最小刻度为毫米的刻度尺（用来测量点迹之间的距离）。第1空内应填A、D、E。第2空内应填自由落体运动。

我们用逐差法来求重力加速度的测量值：根据表中的数据，可得纸带上相邻两点间的距离依次为    d1=6.0cm, d2=12.5cm－6.0cm=6,5cm, d3=19.3cm－12.5cm=6.8cm,

  d4=26.5cm－19.3cm=7.2cm, d5=34.1cm－26.5cm=7.6cm, d6=42.1cm－34.1cm=8.0cm。

可得重物下落的加速度为 cm/s2=10m/s2,

 cm/s2≈9.17m/s2,

   cm/s2=10m/s2。

从而，重力加速度的测量值为

 m/s2≈9.72m/s2。

点悟  用打点计时器测量物体运动的加速度，这是最基本的一项实验。要掌握实验原理、实验器材、操作步骤和数据处理方法。

例4  一种实验器材叫做光电门，它可以测出某物体经过光电门所用的时间，如果知道物体的宽度，就可以求出这一小段过程的平均速度。你能用这种器材设计出研究自由落体运动的实验吗？

提示  一小段过程的平均速度可当作物体通过光电门时的瞬时速度。

解析  让物体自由下落，将光电门放在物体经过的不同位置，测出物体经过光电门所用的时间△t，量出物体的宽度△x，则物体通过光电门时的速度v。量出光电门与物体初位置间的距离h，如果能得出的关系，就可说明物体的运动是初速度为0的匀加速直线运动。由，可得。多次测量，可求出g的平均值。

点悟  本题为设计性实验题，题目要求根据提供的器材设计研究自由落体运动的实验。根据题中有关光电门作用的提示，结合自由落体运动的规律，不难得出测量方法。要注意培养创新精神，提高这种设计实验的能力。

发展级

例5  在15m高的塔上以4m/s的初速度竖直上抛一个石子，求经过2s后石子离地面的高度。（g取10m/s2）

提示  用位移公式来计算。

解析  由竖直上抛运动位移公式可得

  mm=－12m。

这表示经过2s后石子对抛出点的位移的大小为12m，方向是竖直向下的，即石子经过2s后在塔顶下方12m处，因而离地面的高度为

  m－12m=3m。

点悟  上述解法采用了整体分析法，我们也可以分上升运动和下降运动两步来计算：

石子上升到最高点的时间      s=0.4s，

离塔顶的最大高度         m=0.8m，

石子从最高点下落的距离

  m=12.8m。

可见，石子离地面的高度为

m+0.8m－12.8m=3m。

显然，这样分步计算比较麻烦。

例6  由地面竖直上抛一个物体，通过楼房上1.55m高的窗户，需要0.1s；当物体下落时，由下窗沿落到地面的时间为0.2s。求物体上升的最大高度。（g取10m/s2）

提示  应用匀变速直线运动规律，设法求出物体竖直上抛的初速度。

解析  物体做竖直上抛运动，根据对称性，下降阶段经过窗户的时间与上升阶段经过窗户的实际相等。研究下降阶段物体经过窗户的运动，由位移公式可得物体到达窗户上沿时的速度 m/s=15m/s。

由速度公式可得物体落地的速度

 =15m/s+10×(0.1+0.2)m/s=18m/s。

根据对称性，可知物体从地面抛出时的速度也为18m/s，即v’=18m/s。所以，物体上升的最大高度                  m=16.2m。

点悟  竖直上抛运动上升阶段与下降阶段的运动，在时间、位移、速度上均具有对称性。运用这种对称性分析求解竖直上抛运动的有关问题，往往能出奇制胜。

练习巩固（2—5）

基础级

1. 自由落体运动的条件是什么？研究自由落体运动的价值在哪里？
2. 你在“钱羽管”演示实验中观察到什么现象？该实验说明了什么？
3.    早在2000多年前，古希腊的哲学家亚里士多德通过对落体运动的观察、研究，得出“物体下落快慢由物体重力决定”，即“物体越重下落越快”的结论。请举例说明亚里士多德的这一观点是错误的。
4. 请简要说明伽利略对自由落体运动的研究方法。
5.    甲、乙两位同学一起做测量反应时间的实验（参见教材图2.4-2）。实验时，甲用一只手在直尺下部做握住直尺的准备，当看到乙同学放开手时，他立即握住直尺。如果测出直尺下降的高度为11.25cm，请你计算甲同学的反应时间。（g取10m/s2）
6. 用下列两种方法观察自由落体运动的特点：

方法一 取一根长2m左右的细线，5~6个铁垫圈和一个金属盘。在线的最下端系上第一个垫圈，隔12cm再系一个，以后垫圈之间的距离依次为36cm、60cm、84cm，即各垫圈之间的距离为1︰3︰5︰7︰……。

方法二 仍取2m长的线，5个铁垫圈。线端系第一个垫圈，以后每隔48cm系一个。

站在椅子上，提起线的上端，让线自由垂下。松手后，注意听个垫圈落到盘上的声音间隔。两种方法之间声音间隔有什么不同？为什么有这种区别？

7. 到图书馆去或上网查阅有关文艺复兴时期的史料和伽利略的生平，然后写篇短文，谈谈你对“科学与社会”的认识，并与同学交流。

发展级

8. 竖直向上射出的箭，初速度是35m/s，上升的最大高度是多大？从射出到落回原地一共用多长时间？落回原地的速度是多大？（g取10m/s2）

9. 竖直上抛的物体，初速度是30m/s，经过2.0s、3.0s、4.0s，物体的位移分别是多大？通过的路程分别是多长？各秒末的速度分别是多大？（g取10m/s2）

10. 气球以10m/s的速度匀速竖直上升，从气球上掉下一个物体，经过17s到达地面。求物体刚脱离气球时气球的高度。（g取10m/s2）