广东省佛山市顺德区罗定邦中学高中数学必修一《1.3.1函数单调性》学案

课题10  §1.3.1  单调性与最大（小）值（1）

  编制人：欧传明       审核人：                  使用时间

一．学习目标

1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性定义及其几何意义；

2. 能够熟练应用函数图象及增函数、减函数定义判断数在某区间上的单调性；掌握用增函数、减函数的定义证明函数在某区间上的单调性

3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质，培养数形结合的思想。

4．德育渗透目标：
1）培养学生由具体到抽象的概括能力和积极探索规律的精神．
2）通过对规律性知识的运用，训练学生思维的灵活性，教育学生做事要符合实际不要生搬硬套．

二．重点：学生单调性概念的形成及表达，证明函数的单调性。

难点：证明函数的单调性。

2.学生归纳定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）.

试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义.

新知：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.

反思：

① 图象如何表示单调增、单调减？

② 所有函数是不是都具有单调性？

预习自测：

1. 如图，定义在[-5,5]上的f(x)，根据图象说出单调区间及单调性.

2．函数f（x）=x2－2x+3在区间                     上是增函数，在区间                 上是减函数。

3．函数f（x）=（x∈）的单调增区间是                    。

4．已知函数f（x）在区间上为减函数，任意x1，x2∈，且x1-x2＜0，则f（x1）与f（x2）的大小关系为                      。

5．函数y=kx+b在R上是增函数，则k的取值范围是         ，b的取值范围是      

我的疑问                                                           

课内探究：

探究任务： f(x)在区间[a,b]和区间[c,d]是增函数，则f(x)在[a,b]∪[c,d]是否为增函数？举例说明。

※ 典型例题

例1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，

（1）；  （2）；   （3）

归纳：求单调区间及单调性的方法是                                。

例2（1）物理学中的玻意耳定律（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.

练2.求证在(0,1)上是减函数，在是增函数.

小结：

①  证明函数单调性的步骤：

第一步：设x、x∈给定区间，且x<x；

第二步：计算f(x)－f(x)至最简；

第三步：判断差的符号；

第四步：下结论.

例3函数y=-x2+2（m-1）x+3在区间上是增函数，则m的取值范围是             。

变式3：函数y=x2+（m+1）x+3在区间上是增函数，则m的取值范围是             。

三、总结提升

 学习小结

1. 增函数、减函数、单调区间的定义；

2. 判断函数单调性的方法（图象法、定义法）.

3. 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→ 定号→下结论.

我的收获                                                           

学习评价  当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 函数的单调增区间是（    ）

  A.     B.     C. R    D.不存在

2. 如果函数在R上单调递减，则（   ）

  A.    B.    C.    D.

3. 在区间上为增函数的是（   ）

A．    B．    C．     D．

课后作业

1. 函数y=的单调性是               .

2. 函数的单调递增区间是            ，单调递减区间是         .

3．已知函数f（x）是定义在R上的减函数，若f（2a+1）＞f（a+2），则a的取值范围是                   。

4．函数y=在区间（1，+∞）上是减函数，则a的取值范围是               。

5. 函数f（x）= 的单调区间是                  。

6. 判断函数在[0,+∞)上的单调性并证明.

课题11： 单调性与最大（小）值（2）

编制人：欧传明            审核人：             使用时间：

学习目标

1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；

2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

重难点：1．函数最值的概念理解。

        2．求函数最值的基本方法的探究及使用。

问题导学：

思考：先完成下表，

讨论体现了函数值的什么特征？

问题：最高点的函数值与其它函数值有什么关系？最低点呢？

归纳定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）.

试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．

预习自测：

1. 函数的最大值是（    ）.

   A. －1    B. 0     C. 1     D. 2

2．函数f（x）=2x2+4x+5,x∈[-3,-2]的最小值是  （     ）

A．1       B．2       C．3         D．5

3．函数f（x）=3│x│+2的最小值是  （    ）

A．2     B．3       C．4       D．5

4．函数f（x）=x2+2x+b的最小值为5，则b=                 。

我的疑问                                                           

学习过程

※ 典型例题

例1．求函数y= －x2+4x+8的最值。 

（1）x∈R;    (2) x∈[-3,0];  (3) x∈(3,6];    (4) x∈[-3,6]

小结：求二次函数的最值的方法是                       

应该注意什么                                   。

例2求在区间[3，6]上的最大值和最小值.

变式：求的最大值和最小值.

反思：

你现在有什么方法可以求最大（小）值？

※ 学习小结

1. 函数最大（小）值定义；.

2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.

]

我的收获                                                           

学习评价：当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．函数的最小值为       ，最大值为       .

如果是呢？最小值为            最大值为      

2．函数f(x) 是定义在区间上的函数，如果f(x) 在区间上递增，在区间上递减，则f(-2)是函数f(x)的一个最      值

3．指出函数的单调区间及最值。

课外作业：

1. 函数的最小值是（    ）.

   A. 0     B. －1    C. 2      D. 3

2．已知函数的图象关于y轴对称，且在区间上，当时，有最小值3，则在区间上，当      时，有最     值为                   .

3.某汽车租赁公司的月收益y元与每辆车的月租金x元间的关系为，那么每辆车的月租金为           元时，租赁公司的月收益最大是               元。

4. 函数的最大值为       ，最小值为          .

5. 作出函数的简图，研究当自变量x在下列范围内取值时的最大值与最小值． （1）；   （2） ；   （3）.

*6. 求函数的最值。