第8讲 三角函数的图象与性质（解析版）练习题

第8讲  三角函数的图象与性质

【题型精讲】

题型（一）三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系

1．（2021·湖北·高三月考）已知点为角终边上一点，，且，则（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】C

【详解】

因为点在角的终边上，所以.

因为，所以，所以，则，解得.

故选：C.

2．（2021·全国·模拟预测（文））已知点是角终边上一点，且，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因点是角终边上一点，则有，而，

于是得，解得，则，

因此，，

所以等于.

故选：A

3．（2021·河南·高三月考（理））已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由，两边平方得，

则，

则.

故选：B.

4．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由，平方得到，

，

，

，

，而，

；

令，

则，

，

，

故选：．

5．（2021·江苏省镇江中学高三月考）若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题意可得：

.

故选：B.

6．（2021·全国·高三月考）已知，则__________．

【答案】6

【详解】

因为，所以，即，所以，所以．

故答案为：6

应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项

(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误。

(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时,一定要注意三角函数的符号;利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等。

题型（二）三角函数的图象与解析式

1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））已知的一段图象如图所示，则（    ）

A．

B．的图象的一个对称中心为

C．的单调递增区间是

D．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象

【答案】C

【详解】

解：由图可知，，所以，解得，所以，又函数过点，即，所以，解得，因为，所以，所以，故A错误；

因为，所以函数关于对称，故B错误；

令，解得，故函数的单调递增区间为，故C正确；

将函数的图象向左平移个单位得为偶函数，故D错误；

故选：C

2．（2021·安徽·高三开学考试（理））如图是函数在一个周期内的图象，将的图象上所有的点向右平行移动个单位长度可得的图象，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由图象可得，，∴，

根据五点法作图知， ，

∴，

又，

∴

∴

∴

故选：D.

3．（2021·全国全国·模拟预测（理））已知函数经过变换可得，则下列变换正确的是（    ）

A．先将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍

B．先将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍

C．先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍

D．先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍

【答案】D

【详解】

因为，，

对A项，先将的图象向右平移个单位长度得到，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍得到，故错误；

对B项，先将的图象向右平移个单位长度得到，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到，故错误；

对C项，先将的图象向左平移个单位长度得到，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到，故错误；

对D项，先将的图象向左平移个单位长度得到，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍得到，故正确，

故选：D．

1三角函数图象变换的易错点

在图象变换中务必分清是先平移,还是先伸缩,变换只是相对于其中的自变量而言的,如果的系数不是1就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向。

2.由“图”定“式”,找“对应”的方法

已知图象求函数的解析式时,常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求,,由函数的周期确定,确定常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.

题型（三）三角函数的性质及应用

1．（2021·北京十五中高三期中）设函数，则下列结论错误的是（    ）

A．的一个周期为

B．的图象关于直线对称

C．将函数的图象向左平移个单位可以得到函数的图象

D．在上单调递减

【答案】D

由题可得，再利用余弦函数的性质即得.

【详解】

∵，

∴函数的最小正周期为，故A正确，

当时，，故B正确，

将函数的图象向左平移个单位可以得到函数，故C正确，

当时，，函数先增后减，故D错误.

故选：D.

2．（2021·天津·静海一中高三月考）已知函数，下列结论中正确的有_______

（1）的图象关于中心对称

（2）在上单调递减

（3）的图象关于对称

（4）的最大值为3

【答案】（1）（3）（4）

【详解】

由题设，，

（1），故的图象关于中心对称，正确；

（2）上有，由正弦函数的性质知：在上不单调，错误；

（3），故的图象关于对称，正确；

（4）由正弦函数的性质知：的最大值为3，正确.

故答案为：（1）（3）（4）

3．（2021·宁夏·平罗中学高三月考（理））已知函数的部分图象如图所示，，给出以下说法：

①将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象；

②的图象关于直线x=1对称；

③的图象关于点成中心对称；

④在上单调递减.

其中所有正确说法的编号是___________

【答案】①②③

【详解】

令函数周期为T，观察图象得，即，则，

又当时，取得最大值，于是有，因，则有，

所以，

因，即g(x)的图象可以由y=f(x)的图象向左平移个单位长度得到，①正确；

由得函数图象的对称轴为，于是得直线x=1是g(x)图象的一条对称轴，②正确；

由得，图象的对称中心为，则点是图像的一个对称中心，③正确；

当时，，所以在单调递减，在上单调递增，④错误.

故答案为：①②③

提分技巧

解与三角函数性质有关问题的注意点

三角函数的性质主要是指单调性、周期性、奇偶性和最值,解题时要注意以下两点:一是考查三角函数的性质时,首先要将函数化为的形式,再对比的性质，即把看成一个整体处理，但是一定要保证,否则易出错，二是一定要结合图象进行分析.

【课后精练】

一、单选题

1．（2021·全国·高三月考（理））玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画.某扇形玉雕壁画尺寸（单位：）如图所示，则该壁画的扇面面积约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

如图，设，，由弧长公式可得解得，，设扇形，扇形的面积分别为，则该壁画的扇面面积约为

.

故选：.

2．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（文））勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC内的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：由题意可得正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形的面积

S曲＝S扇形CAB+2S拱＝22+2（S扇形﹣S△ABC）＝3﹣222＝2π﹣2，

三角形ABC的面积S△ABC＝＝，

所以由几何概型的概率公式可得：所求概率＝＝，

故选：A．

3．（2021·全国·高三专题练习）我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

根据题意，则，，则，

所以扇面的面积.

故选：.

4．（2021·江西柴桑·高三月考（理））函数的图象大致形状为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

解：因为，所以定义域为，且，即为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除C、D；

当时，，，所以，故排除B；

故选：A

5．（2021·全国·高三月考）已知函数图象相邻两条对称轴间的距离为，且对任意实数，都有．将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则关于函数描述不正确的是（    ）

A．最小正周期是 B．最大值是

C．函数在上单调递增 D．图象关于直线对称

【答案】C

【详解】

由条件知，函数的最小正周期，解得．

因为，即，则

因为，所以，所以

则

根据正弦函数的图象和性质易知，函数的最小正周期，

函数最大值是，函数在上单调递增，在上单调递减，

图象关于对称，所以选项ABD正确，C错误，

故选：C．

6．（2021·全国·高三月考（理））已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

已知，且，则

，得，

所以，解得，或，

因为，所以（舍去），所以，

，

所以.

故选：D.

7．（2021·河南·高三月考（文））将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在上的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，

，

，，则，

.

故选：D.