第7讲 解决极值点偏移问题的四大技巧（解析版）

第7讲  解决极值点偏移问题的四大技巧

【题型精讲】

题型一：构造对称和（或差）

1．（2021·山西·太原五中高三月考（理））设函数．

（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；

（2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【详解】

（1）定义域为，，

当时，，即在上单调递增，不合题意，；

令，解得：，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，；

存在，使得成立，则，即，

又，，

即，

令，则，

在上单调递增，又，，

即实数的取值范围为.

（2）当时，，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

由且知：；

令，，

则，

在上单调递增，，即；

，又，；

，，又且在上单调递减，

，即.

2．（2021·北京·临川学校高三期末）已知函数．

（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；

（2）若函数存在两个极值点，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【详解】

解：（1）易知的定义域为，

由题意知，即在上恒成立，．

令，则．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，有最小值，

所以；

（2）因为，由知，，

设

则，且在上单调递增，在上单调递减，

所以可令，，．

令，．

则

因为，所以，所以上在单调递减，且，

所以时，．

又，所以

所以．

所以．

因为，，且在上单调递增，

所以，．

3．（2021·全国全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）设方程的两个根分别为，，求证：.

【答案】（1）的单调递增区间为，；单调递减区间为，极大值为，极小值为；（2）证明见解析.

【详解】

（1）由题意得：，令，解得：，，

当时，；当时，；

的单调递增区间为，；单调递减区间为；

的极大值为；极小值为；

（2）当时，，令，解得：，

当时，方程的两个根在区间内.

设函数，

则

，.

令，，则，

在上为增函数，又，

则当时，；当时，；

当时，，当时，，当时，，

在上单调递减.

不妨设，

在上单调递减，在上单调递增，，

，，又，，

，，由（1）知：在上单调递增，，

.

题型二：比值代换法

1．（2021·全国·高三月考）已知函数

（1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值；

（2）若函数有两个极值点，求证：

【答案】（1）当时，；当时，；当时，；（2）证明见解析．

【详解】

（1）因为，，

①当时，因为，所以，

所以函数在上单调递增，则；

②当，即时，，，

所以函数在上单调递增，则；，

③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则；

④当，即时，，，函数在上单调递减，则．

综上，当时，；

当时，；

当时，.

（2）要证，只需证：，

若有两个极值点，即函数有两个零点，又，

所以是方程的两个不同实根，

即，解得，

另一方面，由，得，

从而可得，

于是．不妨设，

设，则．因此，．

要证，即证：，

即当时，有，

设函数，则，

所以为上的增函数．注意到，，因此，．

于是，当时，有．

所以成立，．

2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，.

（1）求的取值范围；

（2）求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【详解】

(1)有两个零点有两个相异实根．

令，则
由得：，由得：，

在单调递增，在单调递减，
，

又，当时，，当时，
当时，，

有两个零点时，实数a的取值范围为．

（2）不妨设,由题意得,

，,，

要证：，只需证.
，
令，，只需证
，只需证：.

令,，

在递增，

成立.
综上所述，成立．

3．（2021·安徽·毛坦厂中学高三月考（理））已知函数（）.

（1）若，求函数在处的切线；

（2）若有两个零点，，求实数的取值范围，并证明：.

【答案】（1）；（2），证明见解析.

【详解】

（1）的导数为，

则函数在处的切线斜率为，

又切点为，

则切线的方程为，即；

（2）设函数，与函数具有相同的零点，

，知函数在上递减，上递增，

当，；

可证当时，，即，

即此时，

当时，，

有两个零点，只需（1），即；

证明：方法一：设函数，

则，

且对恒成立

即当时，单调递减，此时，（1），

即当时，，

由已知，则，

则有

由于函数在上递增，即，

即．

方法二：故．

设，则，且，解得，，

要证：，即证明，

即证明，

设，，

令，，则，

在上单调增，（1），

在上单调增，

则（1）．

即时，成立，

题型三：消参减元

1．（2021·湖南师大附中高三月考）已知函数．

（1）若恒成立，求实数的取值范围．

（2）若函数的两个零点为，，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【详解】

（1）解：因为恒成立，所以，

即恒成立．

令，则，

易知在上单调递增，且．

所以当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，故．

（2）证明：由题意可知方程的两根为，．

令，则的两个零点为，．

．

当时，，在上单调递增，不存在两个零点；

当时，在上单调递增，在上单调递减，

则，得．

设，则，．

因为，所以，．

要证，即要证，即证．

令

，．

则，所以在上单调递减，所以．

因为，所以．

因为，，且在上单调递减，

所以，即，故成立．

2．（2021·浙江·模拟预测）已知函数.

（1）设函数，且恒成立，求实数的取值范围；

（2）求证：；

（3）设函数的两个零点、，求证：.

【答案】

（1）

（2）证明见解析

（3）证明见解析

（1）

解：由可得，可得，

令，其中，则，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，，所以，；

（2）

解：要证，即证，

由（1）可知，，当且仅当时，等号成立，

令，其中，则，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，，

因为和取等的条件不同，故，即；

（3）

解：由题知①，②，

①②得③，

②①得④.

③④得，

不妨设，记.

令，则，

所以在上单调递增，

所以，则，即，

所以.

因为

，

所以，即.

令，，则在上单调递增.

又，

所以，即，所以.

3．（2021·全国·高二单元测试）已知函数，.

（1）求函数的增区间；

（2）设，是函数的两个极值点，且，求证：.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【详解】

（1）由题意得().

令，则.

①当，即时，在上恒成立，即的增区间为；

②当，即时，或，即的增区间为和.

综上，当时，的增区间为；当时，的增区间为和.

（2）因为()，有两个极值点，，

所以，是方程的两个不相等的正实数根，可求出

从而，，解得.

由得.

因为，所以且.

令，且，则，

所以当时，，从而单调递增；当时，，从而单调递减，

于是().

要证，只要证，只要证明.

因为，所以只要证.

令

则

.

因为，

所以，即在上单调递增，

所以，即，

所以，即.

【课后精练】

1．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））已知函数（其中为自然对数的底数，为常数）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：当函数有极大值，且极大值为时，若方程（m为常数）有两个不等实根则.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【详解】

（1）解：由题意可得.

①当时，在上恒成立，∴函数在上单调递减；

②当时，令，令，

∴函数在上单调递增，在上单调递减；

综上所述：当时，函数在上单调递减；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.；

（2）证明：由（1）可知，当时，函数有极大值，

且，解得，

∴（其中），则，

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增.

不妨设，则，

当时，则.

令，

则，

∴在上单调递减，于是，即，

当时，，

又，∴，

又，且在上单调递减，

，即．

2．（2021·重庆市开州中学高三月考）设函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若在定义域内存在两实数，满足且，证明：.

【答案】(1)函数的单调性见解析；(2)证明见解析.

【详解】

(1)依题意，函数定义域为，，

当时，，在上单调递增，

当时，由得，当时，，当时，，

于是得在上单调递增，在上单调递减，

所以，当时，在上单调递增，

当时，在上单调递增，在上单调递减；

(2)当时，，由(1)知在上单调递增，在上单调递减，

因实数，满足且，于是得，

当时，令，

，即在上单调递增，，，即，

而，于是得，显然，又在上单调递减，

因此，，即，

所以.

3．（2021·江苏·周市高级中学高三开学考试）已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若，且，证明：．

【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析．

【详解】

（1），，

由得，

当时，；当时，

∴在上单调递增，在上单调递减．

（2）∵，且，

∴由（1）知，不妨设．

要证，只需证明，

而，在上单调递减，

故只需证明．

又，∴只需证明．

令函数，

则.

当时，，，故，

∴在上单调递增，

故在上，

∴成立，故成立．

4．（2021·全国·高二课时练习）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.

【详解】

（1）函数的定义域为，

又，

当时，，当时，，

故的递增区间为，递减区间为.

（2）因为，故，即，

故，

设，由（1）可知不妨设.

因为时，，时，，

故.

先证：，

若，必成立.

若， 要证：，即证，而，

故即证，即证：，其中.

设，

则，

因为，故，故，

所以，故在为增函数，所以，

故，即成立，所以成立，

综上，成立.

设，则，

结合，可得：，

即：，故，

要证：，即证，即证，

即证：，即证：，

令，

则，

先证明一个不等式：.

设，则，

当时，；当时，，

故在上为增函数，在上为减函数，故，

故成立

由上述不等式可得当时，，故恒成立，

故在上为减函数，故，

故成立，即成立.

综上所述，

5．（2021·新疆·克拉玛依市第一中学高二月考）已知定义在上的函数．

（1）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围；

（2）若，，，为的极小值，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【详解】

（1）由得：．

为上的增函数，在上恒成立，

即，

令，则，

在上单调递减，，即，

，即实数的取值范围为.

（2）当时，，则，

，在上单调递增，

又，，

，使得，且当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，则为的极小值.

设，，，，

设，

，．

，，又，，

在上单调递增，

，

，在上单调递增，

，

，，，

又在上单调递减，，即.

6．（2021·全国·高三专题练习）已知函数．

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求函数在最大值；

（2）当时，设函数的两个零点为，试证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【详解】

（1）函数的定义域为，

，

在处的切线与直线垂直，

，

由（负值舍去），

所以函数在上单调递增，在单调递减，

故有最大值．

（2）当时，．

函数在单调递增，在单调递减．

且，

故函数的两个零点为满足，

令，

在（0，1）恒成立，

∴F(x)在（0，1）递增，在（0，1）恒成立，

∴，又，

∴，

∵，又在单调递减，

∴，即．

7．（2021·四川·川大附中高二期中）已知函数.

（1）若在定义域上不单调，求的取值范围；

（2）设分别是的极大值和极小值，且，求的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【详解】

分析：（1）利用导数法求出函数 单调递增或单调递减时，参数 的取值范围为，则可知函数 在定义域上不单调时， 的取值范围为  ；（2）易知 ，设 的两个根为 ，并表示出，则，令，则，再利用导数法求的取值范围. 

详解：

由已知，

（1）①若在定义域上单调递增，则，即在上恒成立，

而，所以；

②若在定义域上单调递减，则，即在上恒成立，

而，所以.

因为在定义域上不单调，所以，即.

（2）由（1）知，欲使在有极大值和极小值，必须.

又，所以.

令的两根分别为，，

即的两根分别为，，于是.

不妨设，

则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以，，

所以

.

令，于是，

，

由，得，

又，所以.

因为，

所以在上为减函数，

所以.

8．（2021·江苏·吴江中学高二月考）已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）若函数有两个零点，且，证明：.

【答案】（1）答案详见解析；（2）证明详见解析.

【详解】

（1）函数的定义域为，.

当时，，在上是减函数，所以在上无极值；

当时，若，，在上是减函数.

当，，在上是增函数，

故当时，在上的极小值为，

无极大值.

（2）当时，，

由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，是极值点，

又，为函数零点，所以，要证，只需证.

∵ ，又

∵，∴，

令，则，

∴在上是增函数，∴，∴，

∴，即得证.