高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.4 随机事件的运算学案

7.1.4随机事件的运算

【教学目标】

重点、难点

重点：随机事件运算关系的实际含义

难点： 随机事件运算关系的应用

学科素养

通过听课和独自思考过后更能体会到概率论与实际生活的密切联系；在对比学习的过程中，培养学生独立思考和对比学习的能力，使学生掌握学习的方法。

【知识清单】

1．随机事件和确定事件

(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的             

(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的            

(3)                      统称为确定事件．

(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的            

(5)             和             统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．

2．频率与概率

(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．

(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．

3．事件的关系与运算

4.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：          .

(2)必然事件的概率          .

(3)不可能事件的概率          .

(4)互斥事件概率的加法公式

①如果事件A与事件B互斥，则          .

②若事件B与事件A互为对立事件，则          .

   ③事件A的对立事件一般记为, 则          .

[难点正本　疑点清源]

1．频率和概率

(1)频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次 数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．

(2)概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小；概率的定义实际上也是求一个事件的概率的基本方法．

2．互斥事件与对立事件

互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．

【基础过关】

1.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上．则下列结果正确的是(　　)

A．P(M)＝　P(N)＝

B．P(M)＝　P(N)＝

C．P(M)＝　P(N)＝

D．P(M)＝　P(N)＝

2．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则a＜b的概率为________．

【经典例题】

题型一　事件的关系及运算

例1　判断下列给出的每对事件，是互斥事件还是对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．

题型二　随机事件的频率与概率

例2　某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.

（Ⅰ）设每销售一件该商品获利1000元，某天销售该商品获利情况如下表，完成下表，并求试销期间日平均获利数；

（Ⅱ）求第二天开始营业时该商品的件数为3件的概率.

题型三　互斥事件、对立事件的概率

例3　①某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得。1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：

(1)P(A)，P(B)，P(C)；

(2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

.

【课堂达标】

1．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是（   ）

A．2张恰有一张是移动卡 B．2张至多有一张是移动卡

C．2张都不是移动卡 D．2张至少有一张是移动卡

2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（    ）

A． B． C． D．

3．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ）

A．62% B．56%

C．46% D．42%

4．从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是（    ）

A．至少有1个白球；都是红球 B．至少有1个白球；至少有1个红球

C．恰好有1个白球；恰好有2个白球 D．至少有1个白球；都是白球

5．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),在某次排球比赛中,甲队在每局比赛中获胜的概率都相等,均为,前2局中乙队以领先,则最后乙队获胜的概率是(    )

A． B． C． D．

6．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是、、，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有人去厦门旅游的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，甲不输的概率为，则甲、乙两人下成和棋的概率为（    ）

A． B． C． D．

9．某校从3名男生和2名女生中随机选出3人参加植树活动，则选出的学生中男生比女生人数多的概率为________.

10．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是_____

11．已知三个事件A，B，C两两互斥且，则P(A∪B∪C)=__________.

12．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，黑球或黄球的概率是，绿球或黄球的概率也是.求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？

【能力提升】

15．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为，则随机变量的期望为________.

14．2019年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员.若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密切接触者”，现医护人员要对这5人随机进行逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳性，则该小区确定为“感染高危小区”.假设每人被确诊的概率为且相互独立，则至少检测了4人该小区被确定为“感染高危小区”的概率为_____，当______时，此概率最大.

15．国家射击队的某队员射击一次，命中7~10环的概率如表所示：

求该射击队员射击一次 求:

（1）射中9环或10环的概率；

（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率．

【参考答案】

【知识清单】

1，(1)必然事件     (2)不可能事件  (3)必然事件与不可能事件  (4)随机事件     (5)确定事件  随机事件

4，(1)0≤P(A)≤1.     (2)P(E)＝1.      (3)P(F)＝0.

(4)①P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．②P(A)＝1－P(B)．③P(A)＝1－P()

【基础过关】

1解析：选D　由条件知事件M包含：(正、反)、(反、正)．事件N包含：(正、正)、(正、反)、(反、正)．

故P(M)＝，P(N)＝.

2解析：(文)取出的两个数用数对表示，则数对(a，b)共有15种，即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)．其中a＜b的情形有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，

故所求概率P＝＝.

(理)从{1,2,3,4,5}中任取一数a，从{1,2,3}中任取一数b，共有5×3＝15种取法，满足a＜b的有(1,2)，(1,3)，(2,3)共3种，故所求概率P＝＝.

答案：

【经典例题】

例1解　(1)是互斥事件，不是对立事件．

(2)既是互斥事件，又是对立事件．

(3)既不是互斥事件，也不是对立事件

例2解析：（I）日获利分别为0元，1000元，2000元，3000元的频率分别为

；试销期间日平均获利数为1850元 .                             6分

（Ⅱ）（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为2件”）

（“当天商品销售量为3件”）              12分

例3：解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝， P(C)＝＝.

故事件A，B，C的概率分别为，，.

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋C.

∵A、B、C两两互斥，

∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.   故1张奖券的中奖概率为.

(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，

∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－＝.   故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为

[课堂达标]

1，【答案】B

【解析】

【分析】

概率的事件可以认为是概率为的对立事件．

【详解】

事件“2张全是移动卡”的概率是，它的对立事件的概率是，事件为“2张不全是移动卡”，也即为“2张至多有一张是移动卡”．

故选B．

【点睛】

本题考查对立事件，解题关键是掌握对立事件的概率性质：即对立事件的概率和为1．

2，【答案】B

【解析】

【分析】

利用互斥事件概率的加法公式，即可求解甲不输的概率，得到答案.

【详解】

由题意，甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，

根据互斥事件的概率加法公式，可得甲不输的概率为.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了互斥事件概率的加法公式的应用，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

3【答案】C

【解析】

【分析】

记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.

【详解】

记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，

则，，，

所以

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.

故选：C.

【点睛】

本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.

4【答案】A

【解析】

【分析】

根据对立事件的定义判断．

【详解】

从装有4个红球和3个白球的袋内任取2个球，在A中，“至少有1个白球”与“都是红球”不能同时发生且必有一个事件会发生，是对立事件.在B中，“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件.在C中，“恰好有1个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件，但不是对立事件.在D中，“至少有1个白球”与“都是白球”不是互斥事件.

故选：A.

5【答案】B

【解析】

【分析】

最后乙队获胜的概率含3种情况：第三局乙胜，第三局甲胜第四局乙胜，第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜，由此能求出最后乙队获胜的概率．

【详解】

最后乙队获胜事件含3种情况:第三局乙胜，其概率为；

第三局甲胜，第四局乙胜，其概率为；

第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜；

故最后乙队获胜的概率，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查概率的求法，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用，属于中档题．

6【答案】D

【解析】

【分析】

先计算2粒都是黑子或2粒都是白子的概率，而取出的2粒颜色不同的对立事件是2粒都是黑子或2粒都是白子，利用对立事件的概率公式求得答案.

【详解】

2粒都是黑子或2粒都是白子的概率为，

取出的2粒颜色不同的概率为.

故选：D.

【点睛】

本题考查了互斥事件的概率加法公式，和对立事件的概率计算公式，属于基础题.

7【答案】B

【解析】

【分析】

计算出事件“至少有人去厦门旅游”的对立事件“三人都不去厦门旅游”的概率，然后利用对立事件的概率可计算出事件“至少有人去厦门旅游”的概率.

【详解】

记事件至少有人去厦门旅游，其对立事件为三人都不去厦门旅游，

由独立事件的概率公式可得，

由对立事件的概率公式可得，故选B.

【点睛】

本题考查独立事件的概率公式的应用，同时也考查了对立事件概率的应用，在求解事件的概率问题时，若事件中涉及“至少”时，采用对立事件去求解，可简化分类讨论，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题.

8【答案】D

【解析】

【分析】

利用互斥事件概率加法公式直接求解．

【详解】

解：甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，甲不输的概率为，

则甲、乙下成平局的概率为：．

故选：D．

【点睛】

本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，属于基础题．

9【答案】

【解析】

【分析】

依据题意男生选3人或男生2人女生1人，依次计算概率，最后可得结果.

【详解】

由题可知：男生选3人或男生选2人女生选1人

若男生选3人，则概率为

若男生选2人女生选1人，则概率为

所以所求的概率为

故答案为：

【点睛】

本题考查互斥事件的概率，审清题意，细心计算，属基础题.

10【答案】

【解析】

试题分析：因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，所以甲获胜概，应填.

考点：概率的求法.

11【答案】0.9

【解析】

【分析】

先计算，再计算

【详解】

故答案为0.9

【点睛】

本题考查了互斥事件的概率计算，属于基础题型.

12【答案】得到黑球、黄球和绿球的概率分别是，，.

【解析】

【分析】

利用概率之间和的关系求得各部分的概率

【详解】

从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D彼此互斥，所以有P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝，P(D＋C)＝P(D)＋P(C)＝，P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.

故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是，，.

【点睛】

本题考查和概率的应用，考查计算能力，属于中等题.

13.【答案】0.38    0.9   

【解析】

【分析】

考虑恰有一件的三种情况直接计算得到概率，随机变量的可能取值为，计算得到概率，再计算数学期望得到答案.

【详解】

第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：

.

甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：

，，.

故随机变量的可能取值为，

故；；

；.

故.

故答案为：0.38 ；0.9.

【点睛】

本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

14.【答案】       

【解析】

【分析】

由题意可知，至少检测了4人该小区被确定为“感染高危小区”包括两种情况：一是前3人均为阴性，第4个人为阳性，另一个是前4人为阴，第5个人为阳性，所以根据相互独立事件同时发生的概率公式得，然后利用导数求其最大值.

【详解】

解：由题意可知，至少检测了4人该小区被确定为“感染高危小区”包括两种情况：一是前3人均为阴性，第4个人为阳性，另一个是前4人为阴，第5个人为阳性，所以根据相互独立事件同时发生的概率公式得，

令，

则，

令，则或，

解得，或，或，

当或时，，

当 或时， ，

又因为，所以当时，取最大值，

故答案为： ；

【点睛】

此题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算能力，属于中档题.

15【答案】(1)0.6;(2)0.78;(3)0.22.

【解析】

分析：（1）根据互斥事件概率加法得结果，（2）根据互斥事件概率加法得结果，（3）根据对立事件概率关系求结果.

详解：

记事件“射击一次，命中k环”为Ak（k∈N，k≤10），则事件Ak彼此互斥．

（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得

P（A）=P（A9）+P（A10）=0.32+0.28=0.60

（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.由互斥事件概率的加法公式得

P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）=0.18+0.28+0.32=0.78

（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得

P（）=1-P（B）=1-0.78=0.22

点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).