高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试学案

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2009年暑假数学课外辅导(必修4) 第三章 三角恒等变换 一、基本内容串讲 本章主干知识：两角和与差的正弦、余弦和正切公式，运用相关公式进行简单的三角恒等变换。 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下： ; ; 对正切的和角公式有其变形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)，有时应用该公式比较方便。这6个公式的联系为： C(α－β) C(α＋β) T(α－β) T(α＋β) S(α－β) S(α＋β) 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下： . . . 要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 这两个形式常用。 3．简单的三角恒等变换 （1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。 （2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。 （3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。 （4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。 二、考点阐述 考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。 1、的值等于（ B ） A. B. C. D. 2、若，，则等于（ D ） A. B. C. D. 考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式 3、coscos的值等于（ A ） A． B． C．2 D．4 4、 已知，且，那么等于（ D ） A. B. C. D. 考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换 5、已知则的值等于 （ B ） （A） （B） （C） （D） 6、已知则值等于（ C ） （A） （B） （C） （D） 7、函数是（ C ） （A）周期为的奇函数 （B）周期为的偶函数 （C） 周期为的奇函数 （D）周期为的偶函数 三、解题方法分析 1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点 【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。 例1设则有（ ） A. B. C. D. 【解析】: 由于故选C。 【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如：：sincos =，cos=，，，，，，，tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)等。 另外，三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为即asinx+bcosx=（其中）是常用转化手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±cosx，要熟练掌握其变形结论。 2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口 三角恒等变换是三角函数与平面向量这两章的延续与发展，三角变换只变其形，不变其质， 它可以揭示有些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系，帮助我们达到三角恒等变换的目的。 （1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换` 【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。 例2． 已知＜β＜α＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值． 【解析】：由于＜β＜α＜，可得到π＜α+β＜，0＜α－β＜． ∴ cos（α+β）=－，sin（α－β）=． ∴ sin2α=sin［（α+β）+（α－β）］=sin（α+β）cos（α－β）+cos（α+β）sin（α－β） =（－）·+（－）· =－． 【点评】：本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点，将2α表示为2α=（α－β）+（α+β）。 例3．化简：［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］·． 【解析】：原式=［2sin50°+sin10°（1+）］· =［2sin50°+sin10°（）］· =（2sin50°+2sin10°·）·cos10° =2（sin50°cos10°+sin10°·cos50°） =2sin60°=． 【点评】：本题属于“理解”层次, 解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简．化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。 （2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换 【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。 例4：已知sin（α+β）=，sin（α－β）=，求的值．。 【解析】：由 ` 解得， ∴ == ==－17 【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件运用方程思想达到求值的目的。 （3）运用换元思想，实现三角恒等变换 【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。 例5：若求的取值范围。 【解析】：令，则 即 ∴ ，即 【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过代数、三角变换等手段求出取值范围。 3．关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点 【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。 例6：已知：向量 ，，函数 （1）若且，求的值； （2）求函数取得最大值时，向量与的夹角． 【解析】：∵＝ （1）由得即 ∵ 　　　　∴或 ∴或 （2）∵ ＝ ∴，当时，由 得，　　　∴ 【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识的分析和计算能力. 四、课堂练习 1．sin165º= （ ） A． 　 B． C． D． 2．sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则（ ） A． B． C． D． 4．化简2sin（－x）·sin（+x），其结果是（　　　）　 Ａ．sin2x　　　Ｂ．cos2x　　　Ｃ．－cos2x　　　Ｄ．－sin2x 5．sin—cos的值是 （ ） A．0 B． — C． D． 2 sin 6． A． B． C． D． 7．若，，则角的终边一定落在直线（ ）上。 A． B． C． D． 8． 9．＝ 10．的值是 . 11．求证：． 12．已知，求的值． 13．已知求的值。 14．若,且, 求的值。 15．设的周期为,最大值. 求的值; 若为方程的两根,且的终边不共线,求的值. 第三章 三角恒等变换参考答案 1-7 DBDB B C D 7提示：∵， ∴=，=，则角的终边上一点为P（，），它在直线上。 8、cos； 9、； 10、 11．证明：左边 右边，原式得证． 12．解：由得．这是一个关于的方程，解此方程可求得=． 13．解：， 而 。 14．解法一：由或 ∵知舍去，故 解法二：由 = 1 \* GB3 ① 得，∴ ∴，∴，∵，∴>0，从而 = 2 \* GB3 ②，联立 = 1 \* GB3 ①、 = 2 \* GB3 ②解得 故 15．解：(1) ，，，又 的最大值 ， ① ， 且  = 2 \* GB3 ②， 由 ①、 = 2 \* GB3 ②解出 a=2 , b=. (2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共线，故舍去) ， 或 ， . 2009年暑假数学课外辅导(必修4) 第三章 三角恒等变换 一、基本内容串讲 本章主干知识：两角和与差的正弦、余弦和正切公式，运用相关公式进行简单的三角恒等变换。 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下： ; ; 对正切的和角公式有其变形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)，有时应用该公式比较方便。 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下： . . . 要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 这两个形式常用。 3．简单的三角恒等变换 （1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。 （2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。 （3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。 （4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。 二、考点阐述 考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。 1、的值等于（ ） A. B. C. D. 2、若，，则等于（ ） A. B. C. D. 考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式 3、coscos的值等于（ ） A． B． C．2 D．4 4、 已知，且，那么等于（ ） A. B. C. D. 考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换 5、已知则的值等于 （ ） （A） （B） （C） （D） 6、已知则值等于（ ） （A） （B） （C） （D） 7、函数是（ ） （A）周期为的奇函数 （B）周期为的偶函数 （C） 周期为的奇函数 （D）周期为的偶函数 三、解题方法分析 1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点 【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。 例1设则有（ ） A. B. C. D. 【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如：：sincos =，cos=，，，，，，，tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)等。 另外，三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为即asinx+bcosx=（其中）是常用转化手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±cosx，要熟练掌握其变形结论。 2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口 三角恒等变换是三角函数与平面向量这两章的延续与发展，三角变换只变其形，不变其质， 它可以揭示有些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系，帮助我们达到三角恒等变换的目的。 （1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换` 【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。 例2． 已知＜β＜α＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值． 例3．化简：［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］·． （2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换 【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。 例4：已知sin（α+β）=，sin（α－β）=，求的值．。 （3）运用换元思想，实现三角恒等变换 【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。 例5：若求的取值范围。 3．关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点 【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。 例6：已知：向量 ，，函数 （1）若且，求的值； （2）求函数取得最大值时，向量与的夹角． 四、课堂练习 1．sin165º= （ ） A． 　 B． C． D． 2．sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则（ ） A． B． C． D． 4．化简2sin（－x）·sin（+x），其结果是（　　　）　 Ａ．sin2x　　　Ｂ．cos2x　　　Ｃ．－cos2x　　　Ｄ．－sin2x 5．sin—cos的值是 （ ） A．0 B． — C． D． 2 sin 6． A． B． C． D． 7．若，，则角的终边一定落在直线（ ）上。 A． B． C． D． 8． 9．＝ 10．的值是 . 11．求证：． 12．已知，求的值． 13．已知求的值。 14．若,且, 求的值。 15．设的周期为,最大值. 求的值; 若为方程的两根,且的终边不共线,求的值.