高中数学3.4 基本不等式教案

第 12 课时：§3.4.2    基本不等式的应用（1）

【三维目标】：

一、知识与技能

会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；

   二、过程与方法

本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。

三、情感、态度与价值观

1.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

2.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性

【教学重点与难点】：

重点：化实际问题为数学问题；

难点：会恰当地运用基本不等式求几何中的最值．

【学法与教学用具】：

1. 学法：列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一。对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。

2. 教学用具：直尺和投影仪

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

     一、创设情景，揭示课题

已知都是正数，①如果是定值，那么当时，和有最小值；

②如果和是定值，那么当时，积有最大值

     二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 （教材例1）  用长为的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？

解：设矩形的长为，则宽为，矩形面积，且．

由．（当且近当，即时取等号），

由此可知，当时，有最大值．答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积．

例2（教材例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

解：设水池底面一边的长度为，水池的总造价为元，根据题意，得

当

因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。

变题：某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶，它的容积是立方分米，用来做底的金属每平方分米价值3元，做侧面的金属每平方米价值2元，按着怎样的尺寸制造，才能使圆桶的成本最低。

解：设圆桶的底半径为分米，高为分米，圆桶的成本为元，则3

求桶成本最低，即是求在、取什么值时最小。将代入的解析式，得

=

当且仅当时，取“=”号。

∴当1（分米），（分米）时，圆桶的成本最低为9（元）。

例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

解：设该厂天购买一次面粉，平均每天所支付的总费用为元．

∴购买面粉的费用为元，保管等其它费用为，

∴，

当，即时，有最小值，

答：该厂天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．

例4 ①在面积为定值的扇形中，半径是多少时扇形周长最小？

②在周长为定值的扇形中，半径是多少时扇形面积最大？

例5 如图为定角，分别在的两边上，长为定长，当处在什么位置时，的面积最大？

解：设，，，，其中为定值，

∴．

∵，∴，

．当且仅当，即时，的面积最大．

三、巩固深化，反馈矫正

1．已知，求的最小值，并求相应的值．

2．一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少？

3．在直径为的圆的内接矩形中，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大，最大面积是多少？

4.一个由辆汽车组成的车队，每辆车车长为米。当车队以速度（千米/小时）行驶时，相邻两辆车的车距至少为米，现车队要通过一座长为米的大桥，问车速为多少时，车队通过大桥所用的时间最少？最少需要多少分钟？

5．某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为的三段污水处理池，由于受地形限制，其长、宽都不能超过，如果池的外壁的建造单价为元，池中两道隔墙的厚度不计，其面积只计一面，建造费单价为元，池底的建造费单价为元，则水池的长、宽分别为多少时，污水池的造价最低？最低造价为多少？

6.建造一个容积为8平方米，深为2米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的每平方米造价分别为120元和80元，那么水池的总造价最低是多少？（1760元）

解：令长方体的长为米，宽为米，水池的总造价为元 ，=4，=320（+）+480

      （当且仅当=时取等号） +4（当=2，=2时取“=”）

元  所以水池的总造价为本1760元

补充：某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的长方题小房，房屋正面的造价为元，房屋侧面的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元．

四、归纳整理，整体认识

1．解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．

2.利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式来求最值

     五、承上启下，留下悬念

    六、板书设计

七、课后记：