数学第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第一课时教学设计

这是一份数学第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第一课时教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，课外作业等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1. 理解推导半角公式、积化和差、和差化积的方法，并能用其进行简单的化简与计算，提高学生的推理能力和数学运算能力；
2. 体会知识之间的内在联系，培养学生的思考归纳能力，提高其思维灵活性．
二、教学重难点
1. 体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用；
2. 了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．
三、教学过程
1.问题引入
学习了和(差)公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富了．那请大家思考以下问题：
问题1：若已知，，你能求的值吗？
【活动预设】给学生留出时间，让学生思考问题，教师暂不给出提示．
追问1：请思考角与有什么关系？
【活动预设】教师提出问题，激发学生的求知欲，引导学生能够积极思考并尝试回答．
【设计意图】引导学生思考问题，发现学习半角三角函数的必要，从而产生学习半角公式的需求，顺利引入新课．
2.例题探究
例1以表示，，．
解：是的二倍角．
在倍角公式中，以代替，以代替，得
，
所以 ．①
在倍角公式中，以代替，以代替，得
，
所以 ．②
将①②两个等式的左右两边分别相除，得
．
【活动预设】教师引导学生思考三角变换时，对包含的角的不同应该如何选择适合的公式进行处理，选择倍角公式可以统一具有二倍关系的两个角，最后帮助学生进行归纳总结，得到结论，本例题结果还可以表示为：
，，，并称之为半角公式，符号由所在象限决定．
【设计意图】此例题主要体现了三角函数式中所包含的角的不同，引导学生认识到此时要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式．让学生理解这是三角恒等变换的一个重要特点．
追问2：你能解决前面的“问题1”吗？
【活动预设】学生自行尝试，教师在学生回答的基础上进行补充纠正，最后得出：
，
∵，∴，
∴．
【设计意图】通过解决前面提出的问题学以致用，帮助学生及时练习反馈，巩固理解．
例2：求证：
（1）；
（2）．
问题2：这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？根据它们的特点如何达到证明等式的目的呢？
证明：（1）因为
，
，
将以上两式的左右两边分别相加，得
，
即 .
（2）由（1）可得
，①
设，，
那么 ，．
把的值代入①，即得
．
【活动预设】让学生观察分析，教师加以引导，从式子结构分析如何选择适当的公式加以变换，得到证明方法．本例题用到了方程思想，把看作，看作，把等式看作，的方程，则原问题转化为解方程（组）求；本例题的证明也用到了换元的方法．如把看作，看作，从而把包含的三角函数式转化为的三角函数式，它们都体现了化归思想．最后引导学生归纳：
积化和差公式：，
，
，
．
和差化积公式：，
，
，
．
【设计意图】为了更好地发挥本例的教育功能，即把两个三角式上的不同点作为思考的岀发点，并通过建立它们之间的联系进而在消除不同点上下功夫，这样不仅有利于深化对和（差）公式的理解，而且还有利于对本例两个小题内在联系的认识．
3.初步应用
练习1：（1）已知cs α＝eq \f(2,3)，α(0，π)，试求sin eq \f(α,2)和cs eq \f(α,2)的值．
（2）求证：
【预设的答案】（1），eq \f(\r(30),6) ；（2）略
【设计意图】对倍角公式进行使用，熟悉加深理解倍、半的相对性的理解，并能利用公式得到结果.
练习2：已知，试求和的值.
【预设的答案】，5 ；
【设计意图】对和（差）公式进行使用，熟悉深化对和（差）公式的理解，并能利用公式得到结果.
4.归纳小结
（1）三角变换要考虑包含的角的不同、三角函数的种类差异，三角函数式的结构差异等多个因素;
（2）关注三角式结构上的不同特点作为思考的出发点，并以消除不同点作为变换目标，使用和（差）公式进行变换．
【设计意图】梳理本节课对于半角公式、积化和差、和差化积的证与应用；
总结学习三变换的内容、思路和方法．
四、课外作业
教材第229页，习题5.5第8，9题．