高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）第一课时教学设计

4.5.3函数模型的应用（第一课时）

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章)

一、教学目标

1. 能够认识数学模型的含义，利用已知的函数模型解决实际问题；

2. 体会求解模型的过程，初步体验数学建模的基本步骤，能够正确认识数学求解的结论与实际问题结果的差异；

3. 感悟数学的科学价值、应用价值，提升数据分析与数学建模核心素养.

二、教学重难点

重点：利用已知的函数模型解决实际问题.

难点：对于碳14半衰期及衰减率的理解及验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合.

三、教学过程

1.情境引入

1.1创设情境，引发思考

例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据，早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型： ，其中t表示经过的时间， 表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.

（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67207万，根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型.

（2）利用（1）中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.

（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿?

2.例题讲解

2.1问题串引导，体会建模过程

问题1：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，要确定其中的哪些量？

【预设答案】人口初始量及年平均增长率．

　　 追问1：我国自1950年起的人口增长模型中人口初始量是多少？

【预设答案】依题意是1950年末的人口总数55196万．

追问2：如果1950年为初始年记作，1959年是经过了几年，？

　　 【预设答案】1959年是经过了9年，．

追问３：如何计算1950年－1959年的年平均增长率？

【预设答案】根据已知得，，，利用人口增长模型可以求出年平均增长率．

解：（1）设1950年至1959年我国各年人口增长率为，由，

由计算工具得我国1950年至1959年期间人口增长率 ．

　　　已知，则我国1950年至1959年期间人口增长模型为

．

【设计意图】数学建模是为了解决实际问题，在2021年全国第七次人口普查的背景下借助人口增长这一实例，让学生感受“数学建模”是非常具有现实意义的，有科学价值.

问题2：所得模型与实际人口数据是否相符？

【预设答案】利用我们确定的人口增长模型求得我国1950年至1959年期间各年末人口总数，再与国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数相比较，检验所得模型与实际人口数据是否相符．

解：首先我们利用人口增长模型求得我国1950年至1959年期间各年末人口总数，再查阅国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数列出下表，相比较知所得模型与实际人口数据基本相符．

【教师活动】我们也可以画出函数的图象，并根据国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数数据画出散点图，通过函数图象观察所得模型与1950年至1959年期间实际人口数据是否吻合．

【教师活动】教师通过计算机工具呈现函数图象与实际人口数据散点图．

【设计意图】引导学生验证模型，体会数学建模的思维过程.

问题3：如果利用所得模型计算，那么大约在哪一年我国人口数达到13亿？　

　　【预设答案】将代入，得

　　　　　　　　即　

由计算工具得    ．

那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国人口达到13亿．

问题4：事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才突破13亿，对由函数模型所得结果与实际状况不符，你有何看法？

【预设答案】因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大的矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策，因此，这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，所以得到的结果与实际不符的情况．

【教师活动】在人口红利出现拐点，老龄化加速的背景下我国逐步放开了二胎政策，有兴趣的同学可以继续关注国家统计局网站中有关人口数据，探究我国人口变化的规律．

【设计意图】使学生明确使用已知模型的前提条件，并正确认识数学求解的结论与实际问题结果的差异.

问题5：根据上述例题建模过程，总结数学建模的过程步骤？

【预设答案】提出问题、建模、求解、检验.

【设计意图】引导学生经历数学建模的完整过程步骤.

3.巩固练习，实际应用

例4   2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？

问题1：我们可以建立怎样的数学模型来推断良渚古城水利系统中水坝的建成年代？

【预设活动】学生回答，教师补充（寻找死亡生物体内碳14残留量与时间的关系）

【设计意图】引导学生自主探究，培养学生解决问题的能力.

问题2：根据课本P115的阅读与思考，了解碳14年代推测模型，你能选出合适的函数模型吗？

【预设活动】

学生：可以选择指数模型.

教师：若设死亡生物体内碳14的初始含量为，年衰减率为，生物死亡的年数为，死亡生物体内碳14含量为，则与间有何种对应关系？

学生：（教师各变量范围）

【设计意图】从课本中的拓展材料出发，提高学生解决问题的兴趣与好奇心.

问题3：如果利用这一对应关系由碳14的残留量推断此水坝建成的大概年代，需要确定哪个参数？

【预设答案】需要确定和

教师：如何求解年衰减率

学生：用半衰期求解，阅读材料中已知碳14半衰期为5730年，代入函数关系式求解.

解：由，解得，即.

问题4：利用模型推断此水坝大概是什么年代建成的？

【预设活动】学生代入条件解决问题，教师在一边指导，最后，请学生将他的解答过程通过黑板或者多媒体展示给大家.

解：由已知检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，得

即 ，解得，

由计算工具得 ．

因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此大坝是公元前2902年建成的．

【设计意图】在探究的基础上，遵循严谨的科学原则，巩固建模的思维过程和求解步骤.

4.归纳小结

问题1：在本节课中，我们主要研究了哪些函数模型？它们可以帮助我们解决怎样的实际问题？给定函数模型，如何根据实际数据确定模型中的参数？利用具体的函数模型分析和解决实际问题时需要注意些什么？

【预设答案】本节课主要学习了马尔萨斯人口增长模型和碳14年代推测模型，它们分别在人口增长以及考古研究中有重要的应用.当给定函数模型时，要正确理解所给函数模型中变量的实际意义，结合条件得到方程，并利用信息技术求出参数的值.利用具体的函数模型分析和解决实际问题时，需要注意其适用条件.

【教师活动】通过本节课的学习，我们体会到函数在描述客观世界中变量关系和规律的作用，在面临实际问题时应该选择合适的函数模型刻画规律.

问题2：回顾数学建模的过程和步骤？

【预设答案】提出问题、建模、求解、检验.

【设计意图】

（1）梳理本节课对于数学建模的认知；

（2）回顾本节课所学内容，感悟函数在实际生活中的应用价值.

四、课后作业

课本P150 T1&T3

【设计意图】考察学生本节课的掌握情况，巩固数学建模过程和步骤.