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人教版第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试课时训练
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第十四章 整式的乘法与因式分解验收卷 一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是 （ ） A．（a+1）（a-1）=a2-1 B．ab+ac+1=a（b+c）+1 C． a2-2a-3=（a-1）（a-3） D．a2-8a+16=（a-4）2 【答案】D 【分析】 分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定． 【详解】 解：A、是多项式乘法，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意； B、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意； C、a2-2a-3=（a+1）（a-3）分解时出现符号错误，原变形错误，故此选项不符合题意； D、符合因式分解的定义，是因式分解，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题考查了因式分解．解题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解． 2．a6÷a3的计算结果是（ ） A．a9 B．a18 C．a3 D．a2 【答案】C 【分析】 同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可． 【详解】 解：a6÷a3=a6-3=a3． 故选：C． 【点睛】 本题考查了同底数幂的除法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 3．(x－2)(x+3)等于 （ ） A．x2－6 B．x2－x+6 C．x2+x－6 D．x2+x－5 【答案】C 【分析】 应用多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一 项，再把所得的 积相加，进性计算即可得出答案． 【详解】 解： ， 故选C． 【点睛】 本题考查了多项式和单项式的混合运算，掌握运算法则是关键． 4．的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】 解：， 故选C． 【点睛】 本题主要考查了单项式乘以单项式，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解． 5．若，则的值为（ ） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】 根据多项式乘多项式法则把左边式子展开，进而即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴a=-5． 故选B． 【点睛】 本题主要考查多项式乘多项式法则，掌握整式的运算法则是解题的关键． 6．计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据互为相反数的偶次方相等即可得出结论． 【详解】 解：． 故选择A． 【点睛】 本题考查互为相反数的偶次幂的性质，同底数幂的乘法，掌握互为相反数的偶次幂的性质进行恒等变形是解题关键． 7．如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由图甲可知阴影部分的面积=大正方形的面积－两个长方形的面积＋两个长方形重合部分的面积，由图乙可知阴影部分是边长为的正方形，从而可知其面积为，从而得出结论． 【详解】 解：由图甲可知：阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：， 所以， 故选：C． 【点睛】 此题考查的是完全平方公式的几何意义，掌握阴影部分面积的两种求法是解决此题的关键． 8．如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先根据长方形的周长和面积得出a+b和ab的值，再将的前两项提出ab，然后代入求出即可． 【详解】 解：∵边长为，的长方形，它的周长为，面积为， ∴a+b=7，ab=10， ∴ 故选：B 【点睛】 本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力． 9．中，为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据除数=被除数÷商，将两个多项式化简，约分，可求出单项式M． 【详解】 故选：C． 【点睛】 本题考查了被除数、除数、商，三者之间的关系以及多项式除以单项式，涉及因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键． 10．利用因式分解简便计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用提公因式分法将99提公因式进行计算即可判断． 【详解】 解：69×99+32×99-99 =99（69+32-1） =99×100 =9900． 故选：B． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解． 11．计算的结果与下面计算结果一样的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据完全平方公式： ，进行求解即可． 【详解】 解：， 故选D． 【点睛】 本题主要考查了完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式． 12．已知为任意实数，则多项式的值为（ ） A．一定为负数 B．不可能为正数 C．一定为正数 D．正数或负数或零 【答案】B 【分析】 利用完全平方公式进行转化即可得出结果． 【详解】 解： ∵ ∴ 故选： 【点睛】 本题主要考查了因式分解，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键． 13．比较与的大小：因为，，而，所以，即．据此可知、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用幂的乘法把、、化为指数都为11的幂，然后比较底数的大小即可． 【详解】 解：因为355＝（35）11＝24311，444＝（44）11＝25611，533＝（53）11＝12511， 而125＜243＜256， 所以12511＜24311＜25611，即533＜355＜444． 故选：D． 【点睛】 本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即（am）n＝amn（m，n是正整数）；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab）n＝anbn（n是正整数）． 14．观察下列运算 （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1 （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1 我们发现规律：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1（n为正整数）：利用这个公式计算：32021+32020+…+33+32+3＝（ ） A．32022﹣1 B． C． D． 【答案】D 【分析】 观察一系列等式得到一般性规律，利用即可确定出所求式子的结果． 【详解】 解：∵（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1（n为正整数）， ∴（3﹣1）（32021+32020+…+33+32+3+1）＝32022﹣1， ∴32021+32020+…+33+32+3+1＝， ∴32021+32020+…+33+32+3＝． 故选D． 【点睛】 本题主要考查了数字类的规律，解题的关键在于能够准确读懂题意． 二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上） 15．因式分解：x3y2－x＝________ 【答案】x（xy＋1）（xy－1） 【分析】 先提公因式x，再根据平方差公式进行分解，即可得出答案． 【详解】 解： x3y2－x＝x（x2y2－1）＝x（xy＋1）（xy－1） 故答案为x（xy＋1）（xy－1）． 【点睛】 此题考查了因式分解的方法，涉及了平方差公式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 16．若x2－2x＋2＝（x－1）2＋m，则m＝__________． 【答案】1 【分析】 将等式右边展开，依照等式左边的形式，得到m+1=2，可得m值． 【详解】 解：∵， ∴m+1=2， ∴m=1， 故答案为：1 【点睛】 本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式法则． 17．若的展开式中不包含项和项，则＝__________． 【答案】4 【分析】 根据多项式乘以多项式的方法展开，根据已知条件求出m，n，代入求解即可； 【详解】 ， ， ， ∵不包含项和项， ∴， 解得：， ∴； 故答案是4． 【点睛】 本题主要考查了多项式乘以多项式、二元一次方程组的求解、代数式求值，准确计算是解题的关键． 18．如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为5的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形ABCD的面积记为，已知：，则长方形ABCD的周长为______． 【答案】30 【分析】 设KF=a，FL=b，利用a、b表示出图中阴影部分的面积与长方形的面积，然后根据可得a、b的关系式，然后可求周长． 【详解】 解：设KF=a，FL=b， 由图可知EK=BH=LJ=GD=5-a，KH=EB=GL=DJ=5-b， ∴=2（5-a）(5-b)+ab=25-5a-5b+3ab， =（5+5-b）(5+5-a)=100-10a-10b+ab， ∵， ∴3（100-10a-10b+ab）-（25-5a-5b+3ab）=150， 整理得a+b=5， ∴长方形ABCD的周长为2（AB+BC）=2(5+5-b+5+5-a)=30， 故答案为：30． 【点睛】 此题考查列代数式表示图形面积及代数式求值，利用长方形KFLI的长和宽表示出图形面积是解题的关键． 三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分） 19．因式分解： （1）4xy2﹣4x2y﹣y3； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）直接提取公因式﹣y，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 20．先化简，再求值：，其中m＝1，n＝． 【答案】，-9 【分析】 根据平方差公式以及整式的混合运算法则，进行化简，再代入求值，即可求解． 【详解】 解：原式= = =， 当m＝1，n＝时，原式=． 【点睛】 本题主要考查整式的化简求值，掌握平方差公式和整式的混合运算法则是解题的关键． 21．规定，求： （1）求 （2）若，求的值． 【答案】（1）16；（2） 【分析】 （1）直接利用已知，将原式按定义式变形得出答案； （2）直接利用已知将原式变形得出等式，再利用同底数幂相等指数相等列方程求出答案即可． 【详解】 解：（1）＝＝16； （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】 本题主要考查了新定义运算以及同底数幂的乘法运算，正确的将原式按照定义式变形是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则时应注意：底数必须相同；指数是1时，不要误以为没有指数． 22．已知m+n=2，mn=-15，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）-11；（2）68 【分析】 （1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案； （2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． 【详解】 解：（1） = = = =-11； （2） = = = =68 【点睛】 此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键． 23．阅读下列各式：回答下列三个问题： ①验证：_________，___________； ②通过上述验证，归纳得出：_________；________； ③请应用上述性质计算： 【答案】①1,1； ②，； ③-. 【分析】 ①把问题分别转化为和处理即可； ②将猜到规律推广到n次方和三个因数情形即可； ③把和分别变形为和就可逆用上述规律计算即可. 【详解】 ①∵=1， ∴1； ∵， ∴1， 故依次填1,1； ②∵1，1， ∴， 由此可得：；； 故依次填，； ③ ∵=，， ∴ =× = =. 【点睛】 本题考查了规律的验证，猜想和应用，熟练逆用同底数幂的乘法公式和发现的规律是解题的关键. 24．观察下列关于自然数的等式：①；②；③；… 根据上述规律解决下列问题： （1）请仿照①、②、③，直接写出第个等式： ． （2）请写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】 （1）观察已知等式得到第4个等式即可； （2）归纳总结作出猜想得到第个等式，运用整式乘法的运算法则验证即可． 【详解】 解：（1）由题意可得：第4个等式为； 故答案为：； （2）猜想第个等式为：，证明如下： 左式，右式， 左式右式， 该等式成立． 【点睛】 此题考查了数字类的规律探究及整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 25．图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中阴影部分的正方形边长为 ． （2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示． （3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝28，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）a−b；（2）（a−b）2＝（a＋b）2−4ab；（3）9 【分析】 （1）根据大、小正方形的边长与长方形边长之间的关系可得答案； （2）用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即可得出等式； （3）设两个正方形的边长为a、b，可得a＋b＝8，a2＋b2＝28，求出ab即可． 【详解】 解：（1）由大、小正方形的边长与长方形边长之间的关系可得， 阴影部分是边长为（a−b）的正方形， 故答案为：a−b； （2）方法一：阴影部分是边长为（a−b）的正方形，因此面积为（a−b）2， 方法2：从边长为（a＋b）的正方形面积减去4个长为a，宽为b长方形的面积可得， （a＋b）2−4ab， 于是有：（a−b）2＝（a＋b）2−4ab； （3）设大正方形的边长为a、小正方形的边长b， 则a＋b＝8，a2＋b2＝28， 由（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab得，82＝28＋2ab， 即ab＝18， 因此阴影部分的面积为ab＝9， 答：阴影部分的面积为9． 【点睛】 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的变形是解决问题的关键． 26．发现与探索． （1）根据小明的解答将下列各式因式分解 小明的解答： ①= ②= ③= （2）根据小丽的思考解决下列问题： 小丽的思考： 代数式，再加上4，则代数式，则有最小值为4 ①说明：代数式的最小值为－60． ②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为6，并求代数式的最大值． 【答案】（1）①；②；③；（2）①见解析；② 【分析】 （1）仿照小明的解答过程、利用完全平方公式、平方差公式计算； （2）仿照小丽的思考过程，利用完全平方公式、平方差公式计算、偶次方的非负性解答． 【详解】 解：（1）① ② ③ （2）解：代数式 无论a取何值再减去60，则代数式 则有最小值-60 代数式的最小值为－60． ②解释：无论a取何值，再加上6，则代数式 则有最大值6 求值： 代数式有最大值30． 【点睛】 本题考查的是因式分解的应用、偶次方的非负性，掌握完全平方公式、平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键．
第十四章 整式的乘法与因式分解验收卷 一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是 （ ） A．（a+1）（a-1）=a2-1 B．ab+ac+1=a（b+c）+1 C． a2-2a-3=（a-1）（a-3） D．a2-8a+16=（a-4）2 【答案】D 【分析】 分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定． 【详解】 解：A、是多项式乘法，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意； B、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意； C、a2-2a-3=（a+1）（a-3）分解时出现符号错误，原变形错误，故此选项不符合题意； D、符合因式分解的定义，是因式分解，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题考查了因式分解．解题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解． 2．a6÷a3的计算结果是（ ） A．a9 B．a18 C．a3 D．a2 【答案】C 【分析】 同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可． 【详解】 解：a6÷a3=a6-3=a3． 故选：C． 【点睛】 本题考查了同底数幂的除法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 3．(x－2)(x+3)等于 （ ） A．x2－6 B．x2－x+6 C．x2+x－6 D．x2+x－5 【答案】C 【分析】 应用多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一 项，再把所得的 积相加，进性计算即可得出答案． 【详解】 解： ， 故选C． 【点睛】 本题考查了多项式和单项式的混合运算，掌握运算法则是关键． 4．的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】 解：， 故选C． 【点睛】 本题主要考查了单项式乘以单项式，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解． 5．若，则的值为（ ） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】 根据多项式乘多项式法则把左边式子展开，进而即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴a=-5． 故选B． 【点睛】 本题主要考查多项式乘多项式法则，掌握整式的运算法则是解题的关键． 6．计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据互为相反数的偶次方相等即可得出结论． 【详解】 解：． 故选择A． 【点睛】 本题考查互为相反数的偶次幂的性质，同底数幂的乘法，掌握互为相反数的偶次幂的性质进行恒等变形是解题关键． 7．如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由图甲可知阴影部分的面积=大正方形的面积－两个长方形的面积＋两个长方形重合部分的面积，由图乙可知阴影部分是边长为的正方形，从而可知其面积为，从而得出结论． 【详解】 解：由图甲可知：阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：， 所以， 故选：C． 【点睛】 此题考查的是完全平方公式的几何意义，掌握阴影部分面积的两种求法是解决此题的关键． 8．如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先根据长方形的周长和面积得出a+b和ab的值，再将的前两项提出ab，然后代入求出即可． 【详解】 解：∵边长为，的长方形，它的周长为，面积为， ∴a+b=7，ab=10， ∴ 故选：B 【点睛】 本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力． 9．中，为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据除数=被除数÷商，将两个多项式化简，约分，可求出单项式M． 【详解】 故选：C． 【点睛】 本题考查了被除数、除数、商，三者之间的关系以及多项式除以单项式，涉及因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键． 10．利用因式分解简便计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用提公因式分法将99提公因式进行计算即可判断． 【详解】 解：69×99+32×99-99 =99（69+32-1） =99×100 =9900． 故选：B． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解． 11．计算的结果与下面计算结果一样的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据完全平方公式： ，进行求解即可． 【详解】 解：， 故选D． 【点睛】 本题主要考查了完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式． 12．已知为任意实数，则多项式的值为（ ） A．一定为负数 B．不可能为正数 C．一定为正数 D．正数或负数或零 【答案】B 【分析】 利用完全平方公式进行转化即可得出结果． 【详解】 解： ∵ ∴ 故选： 【点睛】 本题主要考查了因式分解，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键． 13．比较与的大小：因为，，而，所以，即．据此可知、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用幂的乘法把、、化为指数都为11的幂，然后比较底数的大小即可． 【详解】 解：因为355＝（35）11＝24311，444＝（44）11＝25611，533＝（53）11＝12511， 而125＜243＜256， 所以12511＜24311＜25611，即533＜355＜444． 故选：D． 【点睛】 本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即（am）n＝amn（m，n是正整数）；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab）n＝anbn（n是正整数）． 14．观察下列运算 （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1 （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1 我们发现规律：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1（n为正整数）：利用这个公式计算：32021+32020+…+33+32+3＝（ ） A．32022﹣1 B． C． D． 【答案】D 【分析】 观察一系列等式得到一般性规律，利用即可确定出所求式子的结果． 【详解】 解：∵（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1（n为正整数）， ∴（3﹣1）（32021+32020+…+33+32+3+1）＝32022﹣1， ∴32021+32020+…+33+32+3+1＝， ∴32021+32020+…+33+32+3＝． 故选D． 【点睛】 本题主要考查了数字类的规律，解题的关键在于能够准确读懂题意． 二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上） 15．因式分解：x3y2－x＝________ 【答案】x（xy＋1）（xy－1） 【分析】 先提公因式x，再根据平方差公式进行分解，即可得出答案． 【详解】 解： x3y2－x＝x（x2y2－1）＝x（xy＋1）（xy－1） 故答案为x（xy＋1）（xy－1）． 【点睛】 此题考查了因式分解的方法，涉及了平方差公式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 16．若x2－2x＋2＝（x－1）2＋m，则m＝__________． 【答案】1 【分析】 将等式右边展开，依照等式左边的形式，得到m+1=2，可得m值． 【详解】 解：∵， ∴m+1=2， ∴m=1， 故答案为：1 【点睛】 本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式法则． 17．若的展开式中不包含项和项，则＝__________． 【答案】4 【分析】 根据多项式乘以多项式的方法展开，根据已知条件求出m，n，代入求解即可； 【详解】 ， ， ， ∵不包含项和项， ∴， 解得：， ∴； 故答案是4． 【点睛】 本题主要考查了多项式乘以多项式、二元一次方程组的求解、代数式求值，准确计算是解题的关键． 18．如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为5的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形ABCD的面积记为，已知：，则长方形ABCD的周长为______． 【答案】30 【分析】 设KF=a，FL=b，利用a、b表示出图中阴影部分的面积与长方形的面积，然后根据可得a、b的关系式，然后可求周长． 【详解】 解：设KF=a，FL=b， 由图可知EK=BH=LJ=GD=5-a，KH=EB=GL=DJ=5-b， ∴=2（5-a）(5-b)+ab=25-5a-5b+3ab， =（5+5-b）(5+5-a)=100-10a-10b+ab， ∵， ∴3（100-10a-10b+ab）-（25-5a-5b+3ab）=150， 整理得a+b=5， ∴长方形ABCD的周长为2（AB+BC）=2(5+5-b+5+5-a)=30， 故答案为：30． 【点睛】 此题考查列代数式表示图形面积及代数式求值，利用长方形KFLI的长和宽表示出图形面积是解题的关键． 三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分） 19．因式分解： （1）4xy2﹣4x2y﹣y3； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）直接提取公因式﹣y，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 20．先化简，再求值：，其中m＝1，n＝． 【答案】，-9 【分析】 根据平方差公式以及整式的混合运算法则，进行化简，再代入求值，即可求解． 【详解】 解：原式= = =， 当m＝1，n＝时，原式=． 【点睛】 本题主要考查整式的化简求值，掌握平方差公式和整式的混合运算法则是解题的关键． 21．规定，求： （1）求 （2）若，求的值． 【答案】（1）16；（2） 【分析】 （1）直接利用已知，将原式按定义式变形得出答案； （2）直接利用已知将原式变形得出等式，再利用同底数幂相等指数相等列方程求出答案即可． 【详解】 解：（1）＝＝16； （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】 本题主要考查了新定义运算以及同底数幂的乘法运算，正确的将原式按照定义式变形是解题的关键．利用同底数幂的乘法法则时应注意：底数必须相同；指数是1时，不要误以为没有指数． 22．已知m+n=2，mn=-15，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）-11；（2）68 【分析】 （1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案； （2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． 【详解】 解：（1） = = = =-11； （2） = = = =68 【点睛】 此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键． 23．阅读下列各式：回答下列三个问题： ①验证：_________，___________； ②通过上述验证，归纳得出：_________；________； ③请应用上述性质计算： 【答案】①1,1； ②，； ③-. 【分析】 ①把问题分别转化为和处理即可； ②将猜到规律推广到n次方和三个因数情形即可； ③把和分别变形为和就可逆用上述规律计算即可. 【详解】 ①∵=1， ∴1； ∵， ∴1， 故依次填1,1； ②∵1，1， ∴， 由此可得：；； 故依次填，； ③ ∵=，， ∴ =× = =. 【点睛】 本题考查了规律的验证，猜想和应用，熟练逆用同底数幂的乘法公式和发现的规律是解题的关键. 24．观察下列关于自然数的等式：①；②；③；… 根据上述规律解决下列问题： （1）请仿照①、②、③，直接写出第个等式： ． （2）请写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】 （1）观察已知等式得到第4个等式即可； （2）归纳总结作出猜想得到第个等式，运用整式乘法的运算法则验证即可． 【详解】 解：（1）由题意可得：第4个等式为； 故答案为：； （2）猜想第个等式为：，证明如下： 左式，右式， 左式右式， 该等式成立． 【点睛】 此题考查了数字类的规律探究及整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 25．图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中阴影部分的正方形边长为 ． （2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示． （3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝28，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）a−b；（2）（a−b）2＝（a＋b）2−4ab；（3）9 【分析】 （1）根据大、小正方形的边长与长方形边长之间的关系可得答案； （2）用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即可得出等式； （3）设两个正方形的边长为a、b，可得a＋b＝8，a2＋b2＝28，求出ab即可． 【详解】 解：（1）由大、小正方形的边长与长方形边长之间的关系可得， 阴影部分是边长为（a−b）的正方形， 故答案为：a−b； （2）方法一：阴影部分是边长为（a−b）的正方形，因此面积为（a−b）2， 方法2：从边长为（a＋b）的正方形面积减去4个长为a，宽为b长方形的面积可得， （a＋b）2−4ab， 于是有：（a−b）2＝（a＋b）2−4ab； （3）设大正方形的边长为a、小正方形的边长b， 则a＋b＝8，a2＋b2＝28， 由（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab得，82＝28＋2ab， 即ab＝18， 因此阴影部分的面积为ab＝9， 答：阴影部分的面积为9． 【点睛】 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的变形是解决问题的关键． 26．发现与探索． （1）根据小明的解答将下列各式因式分解 小明的解答： ①= ②= ③= （2）根据小丽的思考解决下列问题： 小丽的思考： 代数式，再加上4，则代数式，则有最小值为4 ①说明：代数式的最小值为－60． ②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为6，并求代数式的最大值． 【答案】（1）①；②；③；（2）①见解析；② 【分析】 （1）仿照小明的解答过程、利用完全平方公式、平方差公式计算； （2）仿照小丽的思考过程，利用完全平方公式、平方差公式计算、偶次方的非负性解答． 【详解】 解：（1）① ② ③ （2）解：代数式 无论a取何值再减去60，则代数式 则有最小值-60 代数式的最小值为－60． ②解释：无论a取何值，再加上6，则代数式 则有最大值6 求值： 代数式有最大值30． 【点睛】 本题考查的是因式分解的应用、偶次方的非负性，掌握完全平方公式、平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键．
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