湘教版（2019）选择性必修 第一册1.2 等差数列教案配套课件ppt

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Retrspective Knwledge
等差数列： 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示．

等差数列的通项公式： 一般地，如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的通项公式为：an=a1＋(n－1)d ．

等差数列通项公式的性质： 如果数列{an}为等差数列，那么 an= am ＋ (n－m)d，(n，m∈N+) ． 如果数列{an}为等差数列，那么an＋ am = ap＋ aq（n，m，p，q∈N+）特别地，若n＋m=2p，那么 an＋ am = 2ap．
New Knwledge explre
被世人誉为"数学王子"的德国数学家高斯在幼年就显示出过人的数学天赋，他的老师布置了一道看上去很难的题，计算1＋2＋3＋….+100=?
高斯经过细致的观察，迅捷地报出了得数：5 050．
在老师与同学露出惊讶之色时，他解释了自己的思考过程：将这 100个数分成 50 个数对，其中1＋100=101，2＋99=101，…， 50＋51=101，于是 100 个数的和就是 50 个101，即 50× 101=5 050．高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n，…
前 100 项之和的问题．
我国南宋数学家杨辉提出了这样一个问题：“今有圭垛草一堆，顶上一束，底阔八束．问共几束？答：36束．”
他的计算方法可以用右图来表示．
设想有另外一堆同样的草，将其倒置，并和原来的草堆拼在一起，这就得到 8×9 的草堆，一共 72 束，因此原来的草堆共有 36 束．
在特殊问题中高斯运用的是“两两配对”的方法，那对于一般等差数列的求和问题，也能否这样处理呢？这个就不行了，因为n不一定是偶数，这样就不好“两两配对”了，这时我们就要改进方法了．
大家回忆一下梯形面积公式的求法：先构造一个一模一样的梯形，然后将它倒过来补成一个平行四边形，这样梯形面积等于平行四边形面积的一半，非常之巧妙．
前人计算等差数列前n项和的方法的确巧妙，那么这种方法能推广到求一般等差数列的前n项和吗？
设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，即 Sn=a1＋a2＋a3＋…… ＋ an 再将项的次序反过来，Sn可以写成 Sn=an＋an－1＋an－2＋…… ＋a1两式两边分别相加，得 2Sn= (a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋…… ＋(an ＋a1) = n (a1＋an)由此得到等差数列{an}的前n项和的公式又因为an=a1＋(n－1)d，所以上述公式又可以写成
如果数列{an}为等差数列，那么 an＋ am = ap＋ aq（n，m，p，q∈N+）
(a1＋an)=(a2＋an－1)=(a2＋an－1)=…
这个公式表明，等差数列的前n项和可由首项、公差和项数唯一确定．
等差数列的前项和n公式： 如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的前n项和公式为：

等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1，d ，n，an，Sn”五个量，故知三可求其二．
例7 某体育馆一角的看台上有20排，每一排比前一排多两个座位，若第一排有15个座位，则体育馆一角里共有多少个座位？
解： 设第n排的座位有an个， 则得到的数列{an}（1≤n≤20）是首项为15，公差为2的等差数列． 根据等差数列前n项和公式， 这一角里总共的座位数为
例8 已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的前n项和．
解： 记该数列为{an}，公差为d， 根据等差数列前n项和公式，可得 S10=10a1＋45d =310，S20=20a1＋190d =1220， 解得a1=4，d =6， 因此该等差数列的前n项和为
解： 因为Sn=n2＋2n，所以当n ≥2 时，有an=Sn－Sn－1 =(n2＋2n)－[(n－1)2＋2(n－1)] =2n＋1，又当n=1时，a1=S1=12＋2=3，符合上式，所以数列{an}的通项公式an=2n＋1．当n ≥2 时，有an－an－1=(2n＋1)－[2(n－1)＋1]=2，所以数列{an}是以3为首项，以2为公差的等差数列．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，则 所以等差数列的前n项和公式Sn可以看成关于n的二次函数(常数项为0)．
例9 设数列{an}的前n项和Sn=n2＋2n，求证：{an}是等差数列．
例10 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=25，S17=S9．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求 Sn的最大值及对应的n值．
解： （1）记数列{an}的公差为d，由S17=S9，可得 17a1＋136d =9a1＋36d ， 又a1=25，解得d =－2， 所以an=25＋(n－1)ⅹ(－2)=27－2n．
例10 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=25，S17=S9．（1）求数列{an}的通项公式； an=27－2n（2）求Sn的最大值及对应的n值．
所以当n=13 时，Sn取最大值，S13=169．
解： （2）令an=27－2n>0，得n<13.5 即当n≤13时，an>0，当n≥14时，an<0， 故当n=13 时，Sn取最大值，S13=13ⅹ25＋78ⅹ(－2)=169．
Expansin And Prmtin
已知等差数列{an}的前n项和为Sn．（1）求证：S2，S4－S2，S6－S4成等差数列；（2）求证：S3，S6－S3，S9－S6 成等差数列；（3）试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明．
证明：记数列{an}的公差为d，因为S2 = a1＋a2，S4－S2 = a3＋a4，S6－S4 = a5＋a6，所以(S4－S2)－S2 = (a3＋a4)－(a1＋a2) = 4d， (S6－S4)－(S4－S2) = (a5＋a6)－(a3＋a4) = 4d，即 (S6－S4)－(S4－S2) = (S4－S2)－S2，所以S2，S4－S2，S6－S4成等差数列．
证明：记数列{an}的公差为d，因为S3 = a1＋a2＋a3，S6－S3 = a4＋a5＋a6，S9－S6 = a7＋a8＋a9，所以(S6－S3)－S3 = (a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3) = 9d， (S9－S6 )－(S6－S3) = (a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6) = 9d，即 (S9－S6 )－(S6－S3) = (S6－S3)－S3，所以S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，．（3）试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明．
猜想：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．证明：因为Sm = a1＋a2＋……＋am， S2m－Sm = am+1＋ am+2＋……＋a2m， S3m－S2m = a2m+1＋ a2m+2＋……＋a3m，所以(S2m－Sm)－Sm =m2d， (S3m－S2m)－(S2m－Sm)==m2d，即 (S3m－S2m)－(S2m－Sm) = (S2m－Sm)－Sm，所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
[变式] 若在等差数列{an}中，有a1＋a4＋a7=10，a3＋a6＋a9=22，则a2＋a5＋a8= ．
解：记数列{an}的公差为d，因为(a3＋a6＋a9)－(a1＋a4＋a7) =(a3－a1)＋ (a6－a4)＋(a9－a7) =6d =12，所以 d =2， 所以a2＋a5＋a8=(a1＋d)＋(a4＋d)＋(a7＋d)=(a1＋a4＋a7)＋3d =16．
若等差数列的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
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