高中数学人教版新课标B必修13.3 幂函数教案设计
展开第28课时 幂函数
教学目标:
使学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,掌握从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.
教学重点:
幂函数的定义和图象.
教学难点:
幂函数的图象.
教学过程:
Ⅰ.复习引入
幂函数的定义
Ⅱ.讲授新课
问题1:我们知道,分数指数幂可以与根式相互转化.把下列各函数先化成根式形式,再指出它的定义域和奇偶性.利用计算机画出它们的图象,观察它们的图象,看有什么共同点?
(1)y=;(2)y=;(3)y=;(4)y=.
思路:先将各式化为根式形式,函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合;奇偶性直接利用定义进行判断.(1)定义域为[0,+),(2)(3)(4)定义域都是R;其中(1)既不是奇函数也不是偶函数,(2)是奇函数,(3)(4)是偶函数.它们的图象都经过点(0,0)和(1,1),且在第一象限内函数单调递增.
问题2:仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性,观察它们的图象看有什么共同点?
(1)y=x-1;(2)y=x-2;(3)y=;(4)y=.
思路:先将负指数幂化为正指数幂,再将分数指数幂化为根式,函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合;(1)(2)(4)的定义域都是{x|x≠0},(3)的定义域是(0,+);(1)(4)是奇函数,(2)是偶函数,(3)既不是奇函数也不是偶函数.它们的图象都经过点(1,1),且在第一象限内函数单调递减,并且以两坐标轴为渐近线.
总结:研究幂函数时,通常先将负指数幂化为正指数幂,再将分数指数幂化为根式(幂指数是负整数时化为分式);根据得到的分式或根式研究幂函数的性质.函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合;奇偶性和单调性直接利用定义进行判断.问题1和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势,有利于我们进行类比.
[例1]讨论函数y=的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图.
思路:函数y=是幂函数.
(1)要使y==有意义,x可以取任意实数,故函数定义域为R.
(2)∵xR,∴x2≥0.∴ y≥0.
(3)f(-x)===f(x), ∴函数y=是偶函数;
(4)∵n=>0, ∴幂函数y=在[0,+]上单调递增.
由于幂函数y=是偶函数,
∴幂函数y=在(-∞,0)上单调递减.
(5)其图象如右图所示.
[例2]比较下列各组中两个数的大小:
(1)1.5,1.7;(2)0.71.5,0.61.5;(3)(-1.2),(-1.25).
解析:(1)考查幂函数y=的单调性,在第一象限内函数单调递增,
∵1.5<1.7 ∴1.5<1.7
(2)考查幂函数y=的单调性,同理0.71.5>0.61.5.
(3)先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数,
∵(-1.2)=1.2,(-1.25)=1.25,又1.2>1.25
∴(-1.2)>(-1.25)
点评:比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是:
(1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性;
(2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性;
(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小.
[例3]求函数y=+2x+4(x≥-32)值域.
解析:设t=x,∵x≥-32,∴t≥-2,则y=t2+2t+4=(t+1)2+3.
当t=-1时,ymin=3.
∴函数y=+2x+4(x≥-32)的值域为[3,+∞).
点评:这是复合函数求值域的问题,应用换元法.
Ⅲ.课堂练习
课本P73 1,2
Ⅳ.课时小结
[师]通过本节学习,大家能熟悉并掌握幂函数的图象,提高数学应用的能力.
Ⅴ.课后作业
课本P73 习题1,2,3,4
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