高中数学3.2 函数的基本性质第1课时导学案

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这是一份高中数学3.2 函数的基本性质第1课时导学案，共12页。

§3.2　函数的基本性质
3．2.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
学习目标　1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．

知识点一　增函数与减函数的定义
前提条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I
条件
∀x1，x2∈D，x1 都有f(x1) 都有f(x1)>f(x2)
图示

结论
f(x)在区间D上单调递增
f(x)在区间D上单调递减
特殊情况
当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数

思考1　所有的函数在定义域上都具有单调性吗？举例说明．
答案　不是．如函数y＝x2，y＝等．
思考2　在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？举例说明．
答案　不能．如对于函数y＝－x2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y＝－x2不是增函数．
思考3　∀x1，x2∈D，若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或>0，则y＝f(x)在某个区间D上单调递增吗？简要说明原因．
答案　若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或>0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，所以f(x)在D上单调递增．

知识点二　函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
特别提醒　(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D⊆定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．

1．因为f(－1) 2．若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．(　√　)
3．若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上单调递增．(　×　)
4．若函数y＝f(x)在定义域上有f(1) 5．若函数y＝f(x)在区间D上单调递增，则函数y＝－f(x)在区间D上单调递减．(　√　)

一、函数单调性的判断与证明
例1　用定义判断函数f(x)＝在(－2，＋∞)上的单调性．
解　设－2 则f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝.
∵－2 ∴x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0，
故当a<时，f(x2)－f(x1)<0，
∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递减．
当a>时，f(x2)－f(x1)>0，
∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递增．
综上得，当a<时，f(x)在(－2，＋∞)上单调递减；
当a>时，f(x)在(－2，＋∞)上单调递增．
(学生)
反思感悟　利用定义判断或证明函数单调性的步骤

跟踪训练1　利用单调性的定义，证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减．
证明　∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1 则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为－1 所以x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0，
所以>0，
即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．
所以f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减．
二、求函数的单调区间
例2　求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减．
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
解　(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递增．
(2)当x≥1时，f(x)单调递增，当x<1时，f(x)单调递减，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，
[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，

函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上单调递增，在(－1,0)，[1，＋∞)上单调递减．
(学生)
反思感悟　求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．
(2)利用函数的图象，如本例(3)．
提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．
跟踪训练2　借助函数图象，求函数f(x)＝|x2－1|＋x的单调递增区间．

解　当x≥1或x≤－1时，
f(x)＝x2＋x－1＝2－；
当－1 f(x)＝－x2＋x＋1＝－2＋.
作出函数f(x)的图象(如图实线部分)．
由图可知函数f(x)的单调递增区间为，[1，＋∞)．
三、函数单调性的应用
例3　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，－4]
解析　f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3
＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，
由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1，
解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
答案　(－∞，1)
解析　∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．
(教师)
延伸探究
1．在本例(1)中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．
答案　－4
解析　f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3
＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，
由题意得－a－1＝3，a＝－4.
2．若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围．
解　由题意可知，解得x>，
∴x的取值范围为.
反思感悟　由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件，
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性．
若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件．
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．
跟踪训练3　(1)若f(x)在R上是减函数，则f(－1)与f(a2＋1)之间有(　　)
A．f(－1)≥f(a2＋1) B．f(－1)>f(a2＋1)
C．f(－1)≤f(a2＋1) D．f(－1) 答案　B
解析　∵f(x)在R上是减函数，
∴对任意x1，x2，若x1f(x2)．
又∵－1f(a2＋1)．
(2)若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x) 答案　
解析　依题意，得不等式组
解得
1．函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是(　　)

A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1] D．[－3,4]
答案　C
解析　由图象知单调递增区间为[－3,1]．
2．(多选)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1
C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1
答案　ABD
解析　函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上单调递减．
3．函数f(x)在R上是减函数，则有(　　)
A．f(3) C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
答案　C
解析　因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，
所以f(3)>f(5)．
4．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有(　　)
A．k> B．k>－
C．k< D．k<－
答案　C
解析　由2k－1<0，得k<.
5．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2) 答案　(－2,1)
解析　x2－2<－x，即x2＋x－2<0，解得－2
1．知识清单：
(1)增函数、减函数的定义．
(2)函数的单调区间．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：
(1)函数的单调区间不能用并集．
(2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域．

1．(多选)下列说法中，正确的有(　　)
A．若任意x1，x2∈I，当x10，则y＝f(x)在I上是增函数
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数f(x)＝在定义域上是减函数
D．函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案　AC
解析　当x1 由>0知f(x1)－f(x2)<0，
∴f(x1) 作出函数f(x)＝的图象可知其在定义域上是减函数，
所以C正确；B和D错误．
2．下列函数中，在区间(0,2)上单调递增的是(　　)
A．y＝5－x B．y＝x2＋2
C．y＝ D．y＝－|x|
答案　B
解析　选项A，C，D中的函数在(0,2)上单调递减，只有函数y＝x2＋2在(0,2)上单调递增．
3．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1 A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
答案　D
解析　由函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．
4．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3]
答案　B
解析　∵函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的图象开口向上，直线x＝为函数的对称轴，又∵函数在区间(－∞，2]上单调递减，故2≤，解得a≤－.
5．f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，a∈R，则(　　)
A．f(a) C．f(a2＋1) 答案　C
解析　因为a∈R，所以a－2a＝－a与0的大小关系不定，无法比较f(a)与f(2a)的大小，故A错；而a2－a＝a(a－1)与0的大小关系也不定，也无法比较f(a2)与f(a)的大小，故B错；又因为a2＋1－a＝2＋>0，所以a2＋1>a.又f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，故有f(a2＋1) 6．函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间为________．
答案　
解析　y＝|x|(1－x)＝作出其图象如图，

观察图象知单调递增区间为.
7．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
答案　[－1，＋∞)
解析　函数f(x)＝的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，
又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1.
8．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2) 答案　
解析　由题意，得解得1≤x<，
故满足条件的x的取值范围是.
9．已知函数f(x)＝mx＋＋(m，n是常数)，且f(1)＝2，f(2)＝.
(1)求m，n的值；
(2)当x∈[1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并用定义证明．
解　(1)因为f(1)＝m＋＋＝2，
f(2)＝2m＋＋＝.所以
(2)由(1)知f(x)＝x＋＋，f(x)在x∈[1，＋∞)上单调递增，证明如下：
设1≤x1 f(x1)－f(x2)＝x1＋＋－
＝(x1－x2)＝.
因为1≤x11，
所以2x1x2>2>1，所以<0，
即f(x1) 所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增．
10．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
解　设11.
∵函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.
∵11，
∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范围是[－1，＋∞)．

11．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都单调递减，则函数f(x)＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
答案　B
解析　由于函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上均单调递减，故a<0，b<0，故二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为直线x＝－<0，故函数f(x)＝ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递减．
12．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
答案　A
解析　画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)>f(a)⇔4－a>a，解得a<2.
13．已知函数f(x)＝若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．
答案　[4,8)
解析　因为f(x)是R上的增函数，
所以解得4≤a<8.
14．若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
答案　[－3,0]
解析　①a＝0时，f(x)＝－3x＋1在R上单调递减，
∴a＝0满足条件；
②a≠0时，f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1，
对称轴为x＝－，∴
解得－3≤a<0.
由①②得－3≤a≤0，故a的取值范围是[－3,0]．

15．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：
①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝－f(x)；
②函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③对于任意的x1，x2∈[0,1]，且>0.
则f(－1)，f ，f(2)的大小顺序是________．(用“<”连接)
答案　f(－1) 解析　由①知f(1)＝－f(0)，f(0)＝－f(－1)，
所以f(－1)＝f(1)．
由③知<0，
所以函数f(x)在[0,1]上单调递减，
结合②知，函数f(x)在[1,2]上单调递增，
所以f(1) 16．已知函数f(x)＝x2－2x＋b.
(1)若b＝1，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的定义域、值域都为[m，n]，且f(x)在[m，n]上单调，求实数b的取值范围．
解　(1)当b＝1时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
所以函数f(x)的值域为[0，＋∞)．
(2)因为函数f(x)的定义域、值域都为[m，n]，且f(x)在[m，n]上单调，
当m≥1时，函数f(x)在[m，n]上单调递增，
此时即
等价于方程x2－3x＋b＝0在[1，＋∞)上有两个不等实根，
令g(x)＝x2－3x＋b，则有
解得2≤b<；
当n≤1时，函数f(x)在[m，n]上单调递减，
此时即
两式相减得：(m－n)(m＋n－1)＝0，
即m＝n(舍)或m＋n－1＝0，也即m＝1－n，
由m 将m＝1－n代入n2－2n＋b＝m可得方程n2－n＋b－1＝0在上有解，
即为函数b＝－n2＋n＋1在上的值域问题，
因为b＝－n2＋n＋1＝－2＋在上单调递减，所以b∈.
综上所述，b的取值范围是∪.