高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质教学设计及反思

《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）》

专题11函数的基本性质（奇偶性）（讲）

函数的奇偶性

[知识点拨]　(1)奇、偶函数定义域的特点．

由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．

(2)奇、偶函数的对应关系的特点．

①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0)；

②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0)．

(3)函数奇偶性的三个关注点．

①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；

②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；

③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．

(4)奇、偶函数图象对称性的应用．

①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；

②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．

1．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ）

A．-3 B．-1 C．1 D．3

2．下列图像表示的函数中具有奇偶性的是（    ）.

A． B． C． D．

3．对于定义在上的任意奇函数，均有（    ）

A． B．

C． D．

4．已知函数为上的偶函数，当时，单调递减，若，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

5．已知函数，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

重要考点一：函数奇偶性的判断

【典型例题】根据定义，判断下列函数的奇偶性：

（1）；（2）g(x)=x4+2；

（3）；（4）.

【题型强化】判断下列函数的奇偶性．

（1）f(x)＝2x＋；　　　　　　

（2）f(x)＝2－|x|；

（3）f(x)＝＋；

（4）f(x)＝.

【收官验收】判断函数f(x)＝x＋ (a为常数)的奇偶性，并证明你的结论．

【名师点睛】

判断函数奇偶性的方法

(1)定义法：

(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．

重要考点二：奇、偶函数图象的应用

【典型例题】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示，

（1）画出函数f（x），x∈R剩余部分的图象，并根据图象写出函数f（x），x∈R的单调区间；（只写答案）

（2）求函数f（x），x∈R的解析式．

【题型强化】已知奇函数f(x)定义域为[－5，5]且在[0，5]上的图象如图所示，求使f(x)<0的x的取值范围．

【收官验收】已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

（1）求的解析式；

（2）作出函数的图象并求出单调增区间.

【名师点睛】

1．研究函数图象时，要注意对函数性质的研究，这样可避免作图的盲目性和复杂性．

2．利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．

重要考点三：利用函数的奇偶性求解析式

【典型例题】若函数在上是奇函数，则的解析式为______．

【题型强化】已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则时，________

【收官验收】已知函数是奇函数，且，则函数的解析式________.

【名师点睛】

利用函数奇偶性求函数解析式

利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．

重要考点四：忽略函数奇偶性对定义域的限制条件导致判断错误

【典型例题】已知定义在上的函数是增函数.

（1）若，求的取值范围；

（2）若函数是奇函数，且，解不等式.

【题型强化】已知函数是定义在上的奇函数，且.

（1）求函数的解析式；

（2）用定义法证明函数的单调性；

（3）若，求实数的取值范围.

【收官验收】定义在上的偶函数，当时单调递增，设，求m的取值范围.

【名师点睛】

1．函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称．

2．确定函数的定义域时，要针对函数的原解析式．

重要考点五：逻辑推理与转化思想的应用——再谈恒成立问题

【典型例题】已知函数.

（1）写出一个奇函数和一个偶函数，使=+；

（2） 若对于任意的 恒成立，求实数的取值范围.

【题型强化】已知是定义在上的奇函数，且，若，时，都有.

（1）解关于的不等式；

（2）若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【收官验收】已知是定义在上的奇函数且单调递增，.

（1）解不等式：；

（2）若对所有，恒成立，求实数t的取值范围.

【名师点睛】

1．在我们数学研究中，存在大量的恒成立问题，如：

(1)f(x)在区间D上单调递增，则对任意x1，x2∈D，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)恒成立；

(2)若f(x)是奇函数，定义域为M，则f(－x)＝－f(x)对任意x∈M恒成立；若f(x)是偶函数，定义域为M，则对任意x∈M，f(－x)＝f(x)恒成立；

(3)若f(x)的最大值为M，最小值为m，定义域为A，则对任意x∈A，有m≤f(x)≤M.

解答这类问题时，应充分利用其恒成立的特点选取解答方法．

2．遇到f(－x)与f(x)的关系问题时，应首先从函数f(x)的奇偶性入手考虑，如果f(x)不具有奇偶性，看是否存在奇(偶)函数g(x)，使f(x)用g(x)表示，再利用g(x)的奇偶性来解答．