专题复习13 角-2021-2022学年七年级数学上册同步知识清单+例题讲解+练习（人教版）

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知识点一：角的定义：
有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。或把一条射线绕着端点旋转一定角度得到的图形叫做角，端点是角的顶点，旋转前后的射线是角的边。
知识点二：角的表示方法：
角的符号：“∠”
方法一：用表示顶点的大写字母来表示角，即“∠O”。但只能是这个顶点只有1个角时。
方法二：用三个大写字母表示角，即“∠AOB”。顶点字母在中间，可以用来表示任意的角。
方法三：用阿拉伯数字或希腊字母表示角，即“∠1”或“∠α”。需在角的内部加上小弧线。
知识点三：角的度量与换算：
角的单位：度：“°”；分：“′”；秒：“″”
把周角360份等分，平均一份就是1度，记作：1°，把1°角60份等分，其中一份就是1分，记作：1′，把1分的角按60份等分，其中一份就是1秒，记作：1″。
角度的换算：1周角＝360°＝2平角，1平角＝180°＝2 直角，1直角＝90°。
1°＝ 60′，1′＝60″。若把度化成度分秒来表示，先把不足1°的部分化成分，在把不足一分的部分化成秒。若把度分秒化为度，先把秒为单位的部分化作分，加上以分为单位的部分，再把他们的和化成度，加上以度为单位的部分即可。
知识点四：钟面角度：
钟面上一大格表示30°，一小格表示12°。
例题讲解：
类型一：角的认识与表示：
1．下列图中的∠1也可以用∠O表示的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据顶点只有一个角时可用一个大写字母表示角，所以可判定答案．
【解答】解：选项A：∠1的顶点处只有一个角（小于平角），可用∠O表示，符合题意；
选项B：∠1顶点处有三个角（小于平角），不能用∠O表示，不符合题意；
选项C：∠1顶点处有2个角（小于平角），不能用∠O表示，不符合题意；
选项D：∠1顶点处有4个角（小于平角），不能用∠O表示，不符合题意．
故选：A．
2．如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．∠1与∠COB是同一个角B．∠β与∠AOB是同一个角
C．∠AOC也可以表示为∠OD．∠AOB+∠BOC＝∠AOC
【分析】利用角的表示方法进行分析即可．
【解答】解：A、∠1与∠COB是同一个角，故原题说法正确，不符合题意；
B、∠β与∠AOB是同一个角，故原题说法正确，不符合题意；
C、∠AOC不可以用∠O来表示，故原题说法错误，符合题意；
D、∠AOB+∠BOC＝∠AOC，故原题说法正确，不符合题意．
故选：C．
3．如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．∠1与∠AOB是同一个角
B．∠α与∠COB是同一个角
C．图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC
D．∠AOC可以用∠O来表示
【分析】利用角的表示方法进行分析即可．
【解答】解：A、∠1与∠AOB是同一个角，故原题说法正确；
B、∠α与∠COB是同一个角，故原题说法正确；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC，故原题说法正确；
D、∠AOC不可以用∠O来表示，故原题说法错误；
故选：D．
类型二：度分秒的换算：
1．若∠α＝5.12°，则∠α用度、分、秒表示为（ ）
A．5°12′B．5°7′12″C．5°7′2″D．5°10′2″
【分析】利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解．
【解答】解：∠α＝5.12°＝5°+0.12×60′＝5°+7′+0.2×60″＝5°7′12″．
故选：B．
2．杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是30°15′，我应该最大！”∠B说：“我是30.3°，我应该最大！”．∠C也不甘示弱：“我是30.15°，我应该和∠A一样大！”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，杨老师评判的结果是（ ）
A．∠A最大B．∠B最大C．∠C最大D．∠A＝∠C
【分析】根据度、分、秒的换算1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．将30°15′，30.3°，30.15°的单位统一，再进行大小的比较．
【解答】解：∵∠A＝30°15′＝30°+（）°＝30.25°，∠B＝30.3°，∠C＝30.15°，
∴∠B＞∠A＞∠C，即∠B最大，
故选：B．
3．下列运算正确的是（ ）
A．63.5°＝63°50′B．18°18′18″＝18.33°
C．36.15°＝36°15′D．28°39′+17°31'＝46°10′
【分析】根据度分秒的进率，可得答案．
【解答】解：A、63.5°＝63°30′，计算错误；
B、18°18′18″＝18.305°，计算错误；
C、36.15°＝36°9′，计算错误；
D、28°39′+17°31'＝46°10'，计算正确；
故选：D．
类型三：钟面角的计算：
1．钟表9点15分时，时针与分针所成的角是（ ）
A．170.5°B．172.5°C．175°D．180°
【分析】9点15分时，时针超过数字9一共15分钟，分针指着3，根据两个相邻数字之间相隔30°及时针每分钟走0.5度可得所成角的度数．
【解答】解：钟表在9点15分时，分针与时针所成的角是30°×6﹣0.5°×15＝172.5°．
故选：B．
2．如图，上午8：30时，时针和分针所夹锐角的度数是（ ）
A．67.5°B．70°C．75°D．80°
【分析】首先根据题意画出草图，再根据钟表表盘的特征：钟面上每一格30°，进行解答．
【解答】解：如图：
8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴8点30分分针与时针的夹角是2.5×30°＝75°．
故选：C．
类型四：规律确定角的个数：
1．如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在∠MON内画20条射线时，则图中角的个数是（ ）
A．190B．380C．231D．462
【分析】∠MON内画1条、2条、3条射线时可以数出角的个数分别有3个、6个、10个角，当画n条时，由规律得到角的个数的表达式，进而得出结论．
【解答】解：由题可得，画n条射线所得的角的个数为：
1+2+3+…+（n+1）＝（n+1）（n+2），
∴当n＝20时，（n+1）（n+2）＝×21×22＝231．
故选：C．
2．从点O引出n（n≥2）条射线组成如下图形，当n＝2时，构成1个角；当n＝3时，构成3个角；当n＝4时，构成6个角；……，当n＝20时共有多少个角？（ ）
A．190B．231C．401D．801
【分析】根据基本图形，寻找角的个数变化的规律，即每增加一条射线，增加了多少角，找出角的个数与射线条数之间的数量关系．
【解答】解：在∠AOB的内部引一条射线，图中共有1+2＝3个角；
若引两条射线，图中共有1+2+3＝6个角；
…
若引n条射线，图中共有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个角
所以当n＝20时，×20×19＝190（个）
故选：A．
知识清单：
知识点一：角的度量：
测量角度数的工具是量角器。如图：
是由一个中心和两条0刻度线以及
刻度组成。
测量方法：把量角器的中心与角的顶点
重合，其中一条0刻度线与角的其中一条边
重合，另一条边所在刻度即为角的度数。注意：一定要从重合的0刻度线开始读起。
知识点二：角的大小比较：
方法1：叠合法：把角的顶点和其中一边重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小。
方法2：度量法：直角用量角器度量比较。
注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关。
知识点三：角的等分线：
角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线。如图：若∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，则OC是角∠AOB的平分线。反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB。
角的三等分线：把角平均分成相等的三份。
角的四等分线：把角平均分成相等的四份。
以此类推。
知识点四：角的和、差、倍、分与角的计算：
角的和、差、倍、分与角的计算就是角度的和、差、倍、分与角度的计算。
例题讲解：
类型一：角的度量：
1．用量角器测量∠AOB的度数，操作正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据量角器的使用方法解答．
【解答】解：用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与边的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数．
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
2．如图，∠MON的度数可能是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．120°
【分析】根据量角器的用法将量角器移至正确位置即可判定求解．
【解答】解：由量角器的位置可判断ON与70°的刻度线接近平行，
∴将量角器右移，使点O与量角器的中心点位置重合时，ON与70°刻度线接近重合，
∴∠MON是70°，
故选：C．
类型二：角的大小比较：
1．用“叠合法”比较∠1与∠2的大小，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置即可判断．
【解答】解：根据“叠合法”比较∠1与∠2的大小，可知：正确的是D．
故选：D．
2．在∠AOB内部任取一点C，作射线OC，则一定存在（ ）
A．∠AOB＞∠AOCB．∠AOC＞∠BOCC．∠BOC＞∠AOCD．∠AOC＝∠BOC
【分析】利用角的大小进行比较即可得出结论．
【解答】解：∵射线OC在∠AOB的内部，那么∠AOC在∠AOB的内部，且有一公共边；
∴一定存在∠AOB＞∠AOC．
故选：A．
3．若∠1＝30.5°，∠2＝30°50'，则∠1与∠2的大小关系是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＞∠2C．∠1＜∠2D．无法判断
【分析】将30.5°化成30°30′后，再进行比较即可．
【解答】解：因为0.5°＝0.5×60′＝30′，
所以∠1＝30.5°＝30°30′，
而∠2＝30°50'，
所以∠1＜∠2，
故选：C．
类型三：角平分线：
1．如图，AM为∠BAC的平分线，则下列等式错误的是（ ）
A．∠BAC＝2∠BAMB．∠BAM＝∠CAM
C．∠BAM＝2∠CAMD．2∠CAM＝∠BAC
【分析】根据角平分线定义即可求解．
【解答】解：∵AM为∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠BAM，∠BAM＝∠CAM，∠BAM≠2∠CAM，2∠CAM＝∠BAC．
故选：C．
2．如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠BOC＝50°，则∠AOD等于（ ）
A．20°B．25°C．35°D．75°
【分析】利用角平分线的性质求得∠AOD＝∠COD＝∠AOC，∠AOC＝∠BOC；然后由等量代换求得∠COD＝∠BOC＝25°．
【解答】解：∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC；
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠BOC＝50°，
∴∠COD＝∠BOC＝25°．
故选：B．
3．如图，∠AOB是平角，∠AOC＝40°，∠BOD＝26°，OM、ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，则∠MON等于（ ）
A．66°B．114°C．147°D．170°
【分析】先求出∠AOM和∠BON的度数，再用180°减去∠AOM和∠BON的度数即可．
【解答】解：∵∠AOC＝40°，OM是∠AOC的平分线，
∴∠AOM＝40°÷2＝20°，
∵∠BOD＝26°，
ON是∠BOD的平分线，
∴∠BON＝26°÷2＝13°，
∴∠MON＝180°﹣20°﹣13°＝147°，
故选：C．
类型四：角的计算：
1．如图，点O在直线AB上，OC为射线，且∠AOC＝∠BOC，则∠BOC的度数是（ ）
A．150°B．135°C．120°D．30°
【分析】根据平角定义得方程，求解可得答案．
【解答】解：∵点O在直线AB上，OC为射线，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵∠AOC＝∠BOC，
∴∠BOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝150°．
故选：A．
2．如图，已知∠AOB＝30°，∠COB＝20°，OC平分∠AOD，则∠BOD的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．80°
【分析】由题意可得∠AOC＝∠AOB+∠COB，即可计算出∠AOC的度数，再由角平分线的性质可得∠COD＝∠AOC，再由∠BOD＝∠COD+∠BOC，代入计算即可得出答案．
【解答】解：∵∠AOB＝30°，∠COB＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COB＝30°+20°＝50°，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD＝∠AOC＝50°，
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝50°+20°＝70°．
故选：C．
3．如图：∠AOB：∠BOC：∠COD＝2：3：4，射线OM、ON，分别平分∠AOB与∠COD，又∠MON＝84°，则∠AOB为（ ）
A．28°B．30°C．32°D．38°
【分析】首先设出未知数，然后利用角的和差关系和角平分线的定义列出方程，即可求出∠AOB的度数．
【解答】解：设∠AOB＝2x°，则∠BOC＝3x°，∠COD＝4x°，
∵射线OM、ON分别平分∠AOB与∠COD，
∴∠BOM＝∠AOB＝x°，
∠CON＝∠COD＝2x°，
又∵∠MON＝84°，
∴x+3x+2x＝84，
x＝14，
∴∠AOB＝14°×2＝28°．
故选：A．
4．如图，OB，OE是∠AOC内的两条射线，OD平分∠AOB，∠BOE＝∠EOC，若∠DOE＝55°，∠AOC＝140°，求∠EOC的度数．
【分析】设∠BOE为x°，则∠DOB＝55°﹣x°，∠EOC＝2x°，然后根据角平分线定义列方程解决求出∠BOE，可得∠EOC．
【解答】解：设∠BOE为x°，则∠DOB＝55°﹣x°，
由∠BOE＝∠EOC可得∠EOC＝2x°，
由OD平分∠AOB，
得∠AOB＝2∠DOB，
故有2x+x+2（55﹣x）＝140，
解方程得x＝30，
故∠EOC＝2x＝60°．
5．如图，点O是直线AB上一点，OE平分∠DOB，OF平分∠DOA．
（1）若∠DOB＝48°，则∠EOF的度数是 90° ；
（2）若∠DOB＝α，那么∠EOF的度数是否发生改变，请说明理由．
【分析】（1）欲求∠EOF，需求∠DOF与∠DOE．由OE平分∠DOB，OF平分∠DOA，得∠DOF＝，∠DOE＝，故∠EOF＝＝＝＝90°．
（2）与（1）同理．
【解答】解：（1）∵OE平分∠DOB，OF平分∠DOA，
∴∠DOF＝，∠DOE＝．
∴∠EOF＝＝＝＝90°．
（2）不变，理由如下：
由（1）可知：∠EOF＝＝＝＝90°，与∠DOB无关．
∴∠EOF的度数不变．
知识清单：
知识点一：余角和补角的定义：
如果两个角的和等于 90°，则这两个角互余。即若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互余或∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。
如果两个角的和等于180°，则这两个角互补。即若∠1＋∠2＝180°，则∠1与∠2互补或∠1是∠2的补角或∠2是∠1的补角。
知识点二：余角和补角的性质：
同角的余角相等。即∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠3，则∠1＝∠3。
同角的补角相等。即∠1的补角是∠2，∠2的补角是∠3，则∠1＝∠3。
等角的余角相等。即若∠1＝∠2，∠1的余角是∠3，∠2的余角是∠4，则∠3＝∠4。
等角的补角相等。即若∠1＝∠2，∠1的补角是∠3，∠2的补角是∠4，则∠3＝∠4。
一个角的补角比这个角的余角大90°。
知识点三：方向角：
表示方向的角，以正南和正北为始边，加上角度描述偏东或者偏西，即北偏东多少度或北偏西多少度或南偏东多少度或南偏西多少度。几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南。
例题讲解：
类型一：余角与补角的相关计算：
1．若∠α＝50°，则α的补角的度数是（ ）
A．40°B．50°C．130°D．310°
【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∠α的补角＝180°﹣∠α＝180°﹣50°＝130°．
故选：C．
2．一个角的余角比这个角大20°，则这个角的度数为（ ）
A．70°B．60°C．35°D．50°
【分析】这个角为x°，则它的余角是（90﹣x）°，列方程求解即可．
【解答】解：设这个角为x°，则它的余角是（90﹣x）°，
根据题意得：（90﹣x）°﹣x°＝20°，
解得：x＝35，
∴这个角等于35°，
故选：C．
3．若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，即可求出有关的结论．
【解答】解：∵∠1+∠2＝90°（1），∠1+∠3＝180°（2），
∴（2）﹣（1）得，∠3﹣∠2＝90°，
∴①正确．
（1）+（2）得，∠3+∠2＝270°﹣2∠2，
∴②正确．
（2）﹣（1）×2得，∠3﹣∠1＝2∠2，
∴③正确．
由∠1+∠3＝180°，∠1+∠2＝90°，
得，∠3＝180°﹣∠1＝2∠1+2∠2﹣∠1＝∠1+2∠2，
∴∠3＜∠1+∠2，
∴④正确．
故选：A．
4．已知∠A＝38°，则∠A的补角的度数是（ ）
A．52°B．62°C．142°D．162°
【分析】根据两角互补的概念，和为180度的两个角互为补角，即可得出结果．
【解答】解：∵∠A＝38°，
∴∠A补角的度数是180°﹣38°＝142°，
故选：C．
5．已知一个角的补角等于这个角的3倍，则这个角的度数是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【分析】首先这个角为x°，则它的补角为（180﹣x）°，根据题目所给等量关系列出方程，再解方程即可．
【解答】解：设这个角为x°，由题意得：
180﹣x＝3x，
解得：x＝45．
故选：A．
6．若锐角α加上90°得到β，β的补角为γ，那么γ和α的关系是（ ）
A．互余B．互补C．相等D．无法确定
【分析】由题意得到α+90°+γ＝180°，得出α+γ＝90°，即可判断γ和α的关系．
【解答】解：∵锐角α加上90°得到β，β的补角为γ，
∴α+90°＝β，β+γ＝180°，
∴α+90°+γ＝180°，
∴α+γ＝90°，
∴γ和α的关系是互余，
故选：A．
7．已知∠A与∠B互补，且∠A比∠B的3倍少40°，那么∠A＝ °．
【分析】设∠B的度数为x，则∠A的度数为3x﹣40°，两个角相互补得到x+3x﹣40°＝180°，再分别解方程，然后计算3x﹣40°的值即可．
【解答】解：设∠B的度数为x，则∠A的度数为3x﹣40°，
当∠A+∠B＝180°时，即x+3x﹣40°＝180°，解得x＝55°，所以3x﹣40°＝125°；
所以∠A的度数为125°．
故答案为：125．
8．已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON如图所示放置，且直角顶点在O处，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．
（1）若∠CON＝10°，求∠AOM的度数；
（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；
（3）试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）先根据余角的定义求出∠MOC，再根据角平分线的定义求出∠BOM，然后根据∠AOM＝180°﹣∠BOM计算即可；
（2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；
（3）令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，根据∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°即可得到∠AOM与∠NOC满足的数量关系．
【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∠CON＝10°，
∴∠MOC＝90°﹣∠CON＝80°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠MOC＝160°，
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝20°；
（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，
∴3∠NOC+∠NOC＝90°，
∴4∠NOC＝90°，
∴∠BON＝2∠NOC＝45°，
∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°；
（3）∠AOM＝2∠NOC．
令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，
∵∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°，
∴γ+90°﹣β+90°﹣β＝180°，
∴γ﹣2β＝0，即γ＝2β，
∴∠AOM＝2∠NOC．
9．如图，已知O为直线AD上一点，OB是∠AOC内部的一条射线且满足∠AOB与∠AOC互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线．
（1）∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由；
（2）∠AOB＝30°，试求∠MON的度数；
（3）若∠MON＝α，请直接写出∠AOC的度数．（用含α的式子表示）
【分析】（1）根据同角的补角相等，可得结论；
（2）利用互补关系，求出∠AOC的度数，再利用角平分线的性质求出∠AOM和∠NOB的度数，通过角的和差求出∠MON；
（3）设∠AOB是x°，根据∠AOM﹣∠AON＝∠MON列方程求解得结论．
【解答】解：（1）相等．
理由；∵∠AOC与∠AOB互补，
∴∠AOC+∠AOB＝180°，
∵∠AOC+∠DOC＝180°，
∴∠COD＝∠AOB；
（2）∵∠AOB与∠AOC互补，∠AOB＝30°，
∴∠AOC＝180°﹣30°＝150°，
∵OM为∠AOC的平分线，
∴∠AOM＝75°，
∵ON为∠AOB的平分线，
∴∠AON＝15°，
∴∠MON＝75°﹣15°＝60°；
（3）∵∠MON＝α，
∴∠AOM﹣∠AON＝α，
∴∠AOC﹣∠AOB＝α，
∠AOC﹣∠AOB＝2α，
∴∠AOC﹣（180°﹣∠AOC）＝2α，
∴2∠AOC＝180°+2α，
∴∠AOC＝90°+α．
10．已知点O为直线AB上一点．
（1）如图1，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC与∠BOC的度数；
（2）如图2，射线OC为∠AOB内部任意一条射线，射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，写出∠DOE＝ °，此时图中互余的角有 对，互补的角有 对．
（3）如图3，在第（2）小题情况下，保持∠DOE的度数不变，但改变其他条件，并使得射线OC是∠BOD的角平分线，此时∠AOD与∠COE满足怎样的数量关系？并说明理由．
【分析】（1）根据∠AOC：∠BOC＝3：2，设∠AOC＝3x，则∠BOC＝2x，根据平角是180°，列出方程求解即可；
（2）根据角平分线的定义得：∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，再根据∠DOE＝∠COD+∠COE即可得出∠DOE＝90°；分别列出图中互余和互补的角即可；
（3）根据射线OC是∠BOD的角平分线，得∠BOC＝∠BOD＝（180°﹣∠AOD）＝90°﹣∠AOD，再根据∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°，即可得出∠AOD＝2∠COE．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝3：2，
∴设∠AOC＝3x，则∠BOC＝2x，
根据题意得：3x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AOC＝180°，∠BOC＝72°；
（2）∵射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，
∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE
＝（∠AOC+∠BOC）
＝×180°
＝90°；
∵∠COD+∠COE＝90°，∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠BOE＝90°，
∴互余的角有4对；
∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠BOE+∠AOE＝180°，∠COE+∠AOE＝180°，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴互补的角有5对；
故答案为：90，4，5；
（3）∠AOD＝2∠COE．理由如下：
∵射线OC是∠BOD的角平分线，
∴∠BOC＝∠BOD＝（180°﹣∠AOD）＝90°﹣∠AOD，
∵∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOD+（90°﹣∠COE）+（90°﹣∠AOD）＝180°，
∴∠AOD＝2∠COE．
类型二：方向角的理解计算：
1．如图所示的四条射线中，表示北偏西30°的是（ ）
A．射线OAB．射线OBC．射线OCD．射线OD
【分析】根据方向角的定义，即可解答．
【解答】解：根据方向角的定义，表示北偏西30°的是射线OD．
故选：D．
2．如图，点A在点B的北偏东40°方向，点C在点B的北偏东75°方向，点A在点C的北偏西50°方向，则∠BAC的大小为（ ）
A．80°B．85°C．90°D．95°
【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，利用平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵∠DBA＝40°，∠DBC＝75°，
∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA＝75°﹣40°＝35°，
∵DB∥EC，
∴∠DBC+∠ECB＝180°，
∴∠ECB＝180°﹣∠DBC＝180°﹣75°＝105°，
∴∠ACB＝∠ECB﹣∠ACE＝105°﹣50°＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣55°﹣35°＝90°．
故选：C．
3．如图，点C在点B的北偏西60°的方向上，点C在点A的北偏西30°的方向上，则∠ACB的度数为 ．
【分析】根据方向角的定义和平行线的性质即可得到∠BCF＝∠1＝60°，∠ACF＝∠2＝30°，由角的和差即可求出∠ACB．
【解答】解：如图：
根据题意可得：∠1＝60°，∠2＝30°，
∵AE∥DB∥CF，
∴∠BCF＝∠1＝60°，∠ACF＝∠2＝30°，
∴∠ACB＝∠BCF﹣∠ACF＝60°﹣30°＝30°．
故答案为：30°．
课后练习：
一．选择题（共12小题）
1．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，则∠2的度数是（ ）
A．27°40′B．62°20′C．57°40′D．58°20
【分析】根据∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，求出∠EAC的度数，再根据∠2＝90°﹣∠EAC，即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，
∴∠EAC＝32°20′，
∵∠EAD＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣32°20′＝57°40′；
故选：C．
2．钟表上1时20分时，时针和分针的夹角是（ ）
A．80°B．75°C．70°D．65°
【分析】钟表里，每一大格所对的圆心角是30°，每一小格所对的圆心角是6°，根据这个关系计算即可．
【解答】解：∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，
∴钟表上1时20分钟时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时0.5°×20＝10°，分针在数字4上．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴1时20分钟时分针与时针的夹角90°﹣10°＝80°．
故选：A．
3．如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东30°方向，∠AOB＝100°，则射线OB的方向为（ ）
东偏南30°B．南偏东40°
C．南偏东50°D．南偏西50°
【分析】根据方位角的概念，写出射线OB表示的方向即可．
【解答】解：如图：
∵A地在灯塔O的北偏东30°方向，
∴∠1＝30°，
∵∠AOB＝100°，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠AOB＝180°﹣30°﹣100°＝50°，
∴射线OB的方向角是南偏东50°，
故选：C．
4．若∠1＝30.5°，∠2＝30°50'，则∠1与∠2的大小关系是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＞∠2C．∠1＜∠2D．无法判断
【分析】将30.5°化成30°30′后，再进行比较即可．
【解答】解：因为0.5°＝0.5×60′＝30′，
所以∠1＝30.5°＝30°30′，
而∠2＝30°50'，
所以∠1＜∠2，
故选：C．
5．如图OC是∠AOB的平分线，OD是∠COB的平分线，则下列各式正确的是（ ）
A．∠COD＝∠AOCB．∠AOD＝∠AOB
C．∠BOD＝∠AOBD．∠BOC＝∠AOB
【分析】根据角平分线定义，得出角与角的关系．再根据选项选取正确答案．
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，选项D不正确；
∵OD是∠COB的平分线，
∴∠COD＝∠COB＝∠AOC，
∴∠COD＝∠AOC，选项A正确；
∴∠BOD＝∠COD＝∠AOB，选项C不正确；∠AOD＝∠AOB，选项B不正确；
故选：A．
6．如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46'，OD平分∠COE，则∠COB＝（ ）
A．68°46'B．82°32'C．82°28'D．82°46'
【分析】先根据角平分线的定义求出∠COE的度数，再由平角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，
∴∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′，
∵∠AOB＝40°，
∴∠COB＝180°﹣∠AOB﹣∠COE＝180°﹣40°﹣57°32′＝82°28′．
故选：C．
7．在所给的：①15°、②65°、③75°、④115°、⑤135°的角中，可以用一副三角板画出来的是（ ）
A．②④⑤B．①②④C．①③⑤D．①③④
【分析】用一副三角板能画出来的角有：15°，30°，45°，75°，90°，105°，135°，150°，180°．据此进行作答即可．
【解答】解：①45°﹣30°＝15°，可以用一副三角板画出来；
②65°不可以用一副三角板画出来；
③45°+30°＝75°，可以用一副三角板画出来；
④115°不可以用一副三角板画出来；
⑤90°+45°＝135°，可以用一副三角板画出来；
综上所述，可以用一副三角板画出来的有：①③⑤．
故选：C．
8．一个角的度数为51°14′37″，则这个角的余角为（ ）
A．39°46′23″B．38°45′23″C．38°45′63″D．39°45′23″
【分析】根据两个角的和为90°，这两个角互为余角进行计算即可．
【解答】解：由互为余角的意义得，
51°14′37″的余角为：90°﹣51°14′37″＝38°45′23″，
故选：B．
9．如图，∠AOB＝90°，OE是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，若∠EOD＝60°，则∠EOC＝（ ）
A．75°B．90°C．30°D．45°
【分析】根据角平分线的性质，得到∠AOE＝∠BOE＝×90°＝45°，∠BOC＝2∠BOD，这样就可以求出∠EOC的度数．
【解答】解：∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝∠BOE＝×90°＝45°，
∵∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE
＝60°﹣45°
＝15°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOC＝∠DOC＝15°，
∴∠EOC＝∠EOD+∠DOC＝60°+15°＝75°．
故选：A．
10．将三角尺与直尺按如图所示摆放，下列关于∠α与∠β之间的等量关系正确的是（ ）
A．∠α+∠β＝45°B．∠α＝∠βC．∠α+∠β＝135°D．∠α+∠β＝90°
【分析】利用平角性质和余角、补角解得角之间的关系．
【解答】解：∵直尺一边是平角为180°，三角尺的顶角为90°，
∴∠α+90°+∠β＝180°，
∴∠α+∠β＝90°，
故选：D．
11．如图，点O在CD上，OC平分∠AOB，射线OE经过点O且∠AOE＝90°，若∠BOD＝153°，则∠DOE的度数是（ ）
A．27°B．33°C．28°D．63°
【分析】先根据补角的定义求出∠BOC的度数，再利用角平分线定义即可求解．
【解答】解：∵∠BOD＝153°，
∴∠BOC＝180°﹣153°＝27°，
∵CD为∠AOB的角平分线，
∴∠AOC＝∠BOC＝27°，
∵∠AOE＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣∠AOC＝63°．
故选：D．
12．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．当直线CD绕点O顺时针旋转α°（0＜α＜180）时，下列各角的度数与∠BOD度数变化无关的角是（ ）
A．∠AODB．∠AOCC．∠EOFD．∠DOF
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOD＝2∠EOD，∠BOD＝2∠DOF，结合平角的定义可求解∠EOF＝90°，由∠EOF的度数为定值可判定求解．
【解答】解：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，
∴∠AOD＝2∠EOD，∠BOD＝2∠DOF，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠EOD+∠DOF＝90°，
即∠EOF＝90°，
∴直线CD绕点O顺时针旋转α°（0＜α＜180）时，∠EOF的度数与∠BOD度数变化无关．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
13．如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC＝29°38′，OD平分∠AOC，则∠DOC的度数为 ．
【分析】由平角及已知角∠BOC＝29°38′可求出∠AOC＝150°22′，再根据角平分线的定义可求出∠DOC的度数．
【解答】解：∵∠BOC＝29°38′，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣29°38′＝150°22′，
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC＝∠AOC＝×150°22′＝75°11′，
故答案为：75°11′．
14．已知∠A与∠B互补，且∠A比∠B的3倍少40°，那么∠A＝ °．
【分析】设∠B的度数为x，则∠A的度数为3x﹣40°，两个角相互补得到x+3x﹣40°＝180°，再分别解方程，然后计算3x﹣40°的值即可．
【解答】解：设∠B的度数为x，则∠A的度数为3x﹣40°，
当∠A+∠B＝180°时，即x+3x﹣40°＝180°，解得x＝55°，所以3x﹣40°＝125°；
所以∠A的度数为125°．
故答案为：125．
15．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，已知∠AOE＝128°，则∠BOD＝ 度．
【分析】根据角平分线的定义得到∠COD＝∠COE，∠BOC＝AOC，根据角的和差关系可得答案．
【解答】解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
∴∠COD＝∠COE，∠BOC＝AOC，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD
＝∠COE+∠AOC
＝（∠COE+∠AOC）
＝∠AOE
＝×128°
＝64°，
故答案为：64．
16．早睡早起习惯好，小明养成了晚上21：00左右睡觉的好习惯．某天晚上小明睡觉前看了一下时间21：20，此时时钟上的分针与时针所成的角是 度．
【分析】根据钟面上每相邻两个数字之间，即一个“大格”所对应的圆心角为360°×＝30°，每一分钟，即每一个“小格”所对应的圆心角的度数为360°×＝6°，再根据时针、分针转动过程中旋转角度的关系求出相应的角度即可．
【解答】解：21：20时时针与分针的夹角如图所示，
根据钟面上两个相邻数字之间所对应的圆心角∠BOD＝360°×＝30°，
而∠AOC＝30°×＝10°，
∴∠AOB＝30°×5+10°
＝160°，
故答案为：160．
17．货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏西20°的方向上，同时在它北偏东78°方向上发现了客轮B，则此时∠AOB的度数大小是 ．
【分析】根据方向角的意义可求出∠BOP＝90°﹣78°＝12°，再根据角的和差关系求解即可．
【解答】解：由题意可知，∠BOP＝90°﹣78°＝12°，∠QOA＝20°，∠POQ＝90°，
因此∠AOB＝∠BOP+∠POQ+∠QOA
＝12°+90°+20°
＝122°，
故答案为：122°．
18．已知∠AOB＝90°，射线OC，OD在∠AOB内部，OC平分∠BOD，OD平分∠AOC，则∠COD＝ °．
【分析】根据角平分线的定义得到∠DOC＝∠AOC，∠COD＝∠BOD，结合图形计算即可．
【解答】解：
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝∠AOC，
∵OC平分∠BOD，
∴∠DOC＝∠AOD＝∠BOD，
∴∠BOC＝∠COD＝∠AOD，
∵∠AOB＝90°
∴∠COD＝∠AOB＝30°．
故答案为：30．
19．如图，OD平分∠AOC．∠AOB＝82°，∠BOC＝（2x+10）°，∠AOD＝（3x﹣12）°，则∠COD＝ ．
【分析】根据角平分线定义可得∠COD＝∠AOD＝（3x﹣12）°，然后利用∠AOC+∠BOC＝∠AOB列出方程可得x的值，进而可得答案．
【解答】解：∵OD平分∠AOC，∠AOD＝（3x﹣12）°，
∴∠COD＝∠AOD＝（3x﹣12）°，∠AOC＝2∠AOD＝2（3x﹣12）°，
∵∠AOB＝82°，∠BOC＝（2x+10）°，
∴2（3x﹣12）°+（2x+10）°＝82°，
解得：x＝12°，
∴∠COD＝3×12°﹣12°＝24°．
故答案为：24°．
20．小明用一副三角板自制对顶角的“小仪器”，第一步固定直角三角板ABC，并将边AC延长至点P，第二步将另一块三角板CDE的直角顶点与三角板ABC的直角顶点C重合，摆放成如图所示．延长DC至点F，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角．
（1）若∠ACF＝30°，则∠PCD＝ ；
（2）若重叠所成的∠BCE＝n°（0＜n＜90），则∠PCF的度数 ．
【分析】（1）根据对顶角相等，可得答案；
（2）根据角的和差，可得答案．
【解答】解：（1）若∠ACF＝30°，则∠PCD＝30°，理由是对顶角相等．
（2）由角的和差，得∠ACD+∠BCE＝∠ACB+∠BCD+∠BCE＝∠ACB+∠DCE＝180°，
所以∠ACD＝180°﹣∠BCE＝180°﹣n°，
所以∠PCF＝∠ACD＝180°﹣n°．
故答案为：30°，180°﹣n°．
三．解答题（共6小题）
21．如图，∠BOD＝115°，∠COD＝90°，OC平分∠AOB，求∠AOD的度数．
【分析】根据∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，算出∠BOC的度数，再根据OC平分∠AOB，算出∠AOB的度数，根据∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB计算即可．
【解答】解：∵∠BOD＝115°，∠COD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝115°﹣90°＝25°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠BOC＝50°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝115°﹣50°＝65°．
22．如图所示，点O在直线AB上，∠BOC＝∠BOD，∠DOE＝2∠AOE．
（1）求∠COE的度数；
（2）若∠BOC＝20°，求∠AOD的度数．
【分析】（1）根据∠BOD与∠AOD互补，平角的定义，可得出∠BOD+∠AOD＝180°，再根据∠BOC＝∠BOD，∠DOE＝2∠AOE．求出∠EOC；
（2）根据∠BOC＝∠BOD，∠BOC＝20°，得出∠BOD＝60°，进而求出答案．
【解答】解：（1）因为点O在直线AB上，，∠DOE＝2∠AOE，
所以，．
因为∠BOD+∠AOD＝180°，
所以；
（2）因为，∠BOC＝20°，
所以∠BOD＝60°．
所以∠AOD＝180°﹣60°＝120°．
23．如图，已知∠AOD＝156°，∠DON＝48°，射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．
（1）求∠MON的度数；
（2）若射线OC在∠AOD内部，∠NOC＝23°，求∠COM的度数．
【分析】（1）欲求∠MON，需求∠BON和∠BOM．由OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，得∠NOB＝，∠BOM＝，进而解决此题．
（2）由题意得射线OC可能在∠DON内部或射线OC在∠NOB内部，故需分类讨论．
【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠NOB＝，∠BOM＝．
∴∠NOB+∠BOM＝＝．
∴∠MON＝．
又∵∠AOD＝156°，
∴∠MON＝＝78°．
（2）由题意得：射线OC可能在∠DON内部或射线OC在∠NOB内部．
①当射线OC可能在∠DON内部时，如图1．
由（1）知：∠MON＝78°．
∴∠COM＝∠CON+∠MON＝23°+78°＝101°．
②当射线OC在∠NOB内部时，如图2．
由（1）知：∠MON＝78°．
∴∠COM＝∠MON﹣∠NOC＝78°﹣23°＝55°．
综上：∠COM＝101°或55°．
24．把一副三角尺按如图所示的方式拼在一起，已知∠BCE＝30°．
（1）求∠ACE和∠DCB的度数；
（2）求∠ACD+∠BCE的度数；
（3）如果去掉条件“∠BCE＝30°”．那么（2）中的结论还成立吗？为什么？
【分析】（1）根据互为余角的意义可求出答案；
（2）求出∠ACD的度数即可；
（3）根据各个角之间的和差关系可得结论．
【解答】解：（1）∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°，∠BCD+∠BCE＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠BCE＝90°﹣30°＝60°，
∠BCD＝90°﹣∠BCE＝90°﹣30°＝60°，
答：∠ACE和∠DCB的度数都是60°；
（2）∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+60°＝150°，
∴∠ACD+∠BCE＝150°+30°＝180°，
答：∠ACD+∠BCE的度数为180°；
（3）成立，理由：
设∠BCE＝α，由（1）得，∠ACE＝90°﹣α＝∠BCD，
∴∠ACD＝180°﹣α，
∴∠ACD+∠BCE＝180°﹣α+α＝180°
因此（2）中的结论成立．
25．如图，已知在同一平面内∠AOB＝90°，∠AOC＝60°．
（1）填空：∠BOC＝ 150° ；
（2）如果OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度数；
（3）如果在（2）的条件下将∠AOC＝60°改为∠AOC＝2α（α＜45°），其他条件不变，求∠DOE的度数．
【分析】（1）由∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，即得∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝150°；
（2）由OD平分∠BOC，可得∠DOC＝∠BOC＝75°，而OE平分∠AOC，∠AOC＝60°，即得∠COE＝AOC＝30°，故∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝45°；
（3）由∠AOB＝90°，∠AOC＝2α，得∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+2α，由OD平分∠BOC，可得∠DOC＝∠BOC＝45°+α，根据OE平分∠AOC，∠AOC＝2α，
得∠COE＝AOC＝α，故∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝45°．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝150°，
故答案为：150°；
（2）由（1）知∠BOC＝150°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝75°，
∵OE平分∠AOC，∠AOC＝60°，
∴∠COE＝AOC＝30°，
∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝45°；
（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝2α，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+2α，
∵OD平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝45°+α，
∵OE平分∠AOC，∠AOC＝2α，
∴∠COE＝AOC＝α，
∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝45°．
26．如图，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至F．
（1）∠AOD和∠BOC 互补 ；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”）
（2）OF是∠BOC的平分线吗？为什么？
（3）反向延长射线OA至G，∠COG与∠FOG的度数比为2：5，求∠AOD的度数．
【分析】（1）根据周角与∠AOB，∠DOC的差得结论；
（2）根据OE平分∠AOD，再利用角的和差关系，推角相等，从而得OF是∠BOC的平分线；
（3）设∠COG＝2x，∠FOG＝5x，利用平角列方程求x的度数，进而得∠AOD的度数．
【解答】解：（1）∠AOD和∠BOC互补．
∵∠AOD+∠BOC
＝360°﹣∠AOB﹣∠DOC
＝360°﹣90°﹣90°
＝180°．
∴∠AOD和∠BOC互补．
故答案为：互补．
（2）∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD＝∠EOA，
∴∠BOF＝180°﹣90°﹣∠EOA＝90°﹣∠EOA，
∠COF＝180°﹣90°﹣∠EOD＝90°﹣∠EOD，
∴∠BOF＝∠COF．
∴OF是∠BOC的平分线．
（3）设∠COG＝2x，∠FOG＝5x，
∴∠FOC＝∠BOF＝3x．
∵∠AOB+∠BOF+∠FOC+∠COG＝180°，
∴90°+3x+3x+2x＝180°，
解得，x＝（）°．
∴∠AOD＝180﹣6×（）°＝112.5°．