高中数学2.1 等式性质与不等式性质优秀导学案

第二章 一元二次函数、方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质

【课程标准】

1. 会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.
2. 会利用不等式性质比较大小

【知识要点归纳】

1．   作差法比较两个实数大小

基本事实：a>b⇔     ，a＝b⇔     ，a<b⇔      .

从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．

2．等式的基本性质

性质1　如果a＝b，那么b＝a；

性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；

性质4　如果a＝b，那么ac＝bc；

性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝.

3．不等式的性质

(1)对称性：如果a>b，那么    ；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔     .

(2)传递性：如果a>b，b>c，那么    .即a>b，b>c⇒     。

(3)加法法则：如果a>b，那么      .

(4)乘法法则：如果a>b，c>0，那么     ；如果a>b，c<0，那么      .

(5)同向相加法则：如果a>b，c>d，那么           .

(6)异向相减法则：如果,那么­ _____________.

(7)同向正不等式相乘法则：如果a>b>0，c>d>0，那么      .

(8)乘方法则：如果a>b>0，那么     (n∈N，n≥2)．  

(9)开方法则：如果a>b>0，那么     (n∈N，n≥2)[反证法]．

(10)取倒法则：如果a>b>0，那么____________

【经典例题】

例1．如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为________．

例2  已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc.

[跟踪训练]1 已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，比较m和n的大小．

[跟踪训练] 2已知a，b均为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．

例3 __________

例4 下列命题为真命题的是（  ）

例5（多选）

例4 已知1<a<4,2<b<8.试求2a＋3b与a－b的取值范围．

[变式]　在本例条件下，求的取值范围．

[跟踪训练] 3  已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围．（整体待定系数法）

例5 ________.

【当堂检测】

一．选择题（共4小题）

1．设，，则　　

A． 

B． 

C． 

D． 与 的大小关系与 有关

2．若，，则下列不等关系中不一定成立的是　　

A． B． C． D．

3．已知，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

4．若，，且，则下列不等式中一定成立的是　　

A． B． C． D．

二．填空题（共2小题）

5．已知，，则的取值范围　　（用区间表示）．

6．克糖水中含有克塘，若在糖水中加入克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式：　 　．

三．解答题（共1小题）

7．（1）已知，均为正实数．试比较与的大小；

（2）已知且，试比较与的大小．

当堂检测答案

一．选择题（共4小题）

1．设，，则　　

A． 

B． 

C． 

D． 与 的大小关系与 有关

【分析】作差，配方，即可比较大小．

【解答】解：

，

故．

故选：．

【点评】本题主要考查利用作差法比较大小，属于基础题．

2．若，，则下列不等关系中不一定成立的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据，即可判断选项，，都成立，而选项显然不一定成立，从而得出正确的选项．

【解答】解：，，

，，，，不一定成立．

故选：．

【点评】本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．

3．已知，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【分析】可得出，然后可比较，和的大小关系，从而可得出，，的大小关系．

【解答】解：，

，且，

，

．

故选：．

【点评】本题考查了平方后比较大小的方法，考查了计算能力，属于基础题．

4．若，，且，则下列不等式中一定成立的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值，可判断选项正误．

【解答】解：，，且，取，可排除，；取，可排除．

由不等式的性质知当时，，故正确．

故选：．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．

二．填空题（共2小题）

5．已知，，则的取值范围　　（用区间表示）．

【分析】设，根据条件求出和的值，再求出的范围．

【解答】解：设，

则，

则，解得，

则，

，，

又，

，

即，

的取值范围是．

故答案为：．

【点评】本题考查了不等式的基本性质和不等关系与不等式，考查了整体思想，方程思想和转化思想，属基础题．

6．克糖水中含有克塘，若在糖水中加入克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式：　　．

【分析】利用糖水的浓度可得即可．

【解答】解：由克糖水中含有克塘可得糖水的浓度为；

在糖水中加入克糖，可得糖水的浓度为．

糖水变甜了，于是可得；

化为．

故答案为．

【点评】本题考查了溶液的浓度，属于基础题．

三．解答题（共1小题）

7．（1）已知，均为正实数．试比较与的大小；

（2）已知且，试比较与的大小．

【分析】（1）利用“作差法”，可得，

（2）利用“作差法”，通过对分类讨论即可得出．

【解答】解：（1），均为正实数，

，

即，

（2）．

①当时，，．

②当且时，，．

③当时，，．

综上所述，当时，；

当且时，；

当时，．

【点评】本题考查了“作差法”比较两个数的大小、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．