2020-2021学年第一章预备知识本章综合与测试免费当堂达标检测题

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这是一份2020-2021学年第一章预备知识本章综合与测试免费当堂达标检测题，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列说法正确的有( )
①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员可以构成集合;
②0∈N*;
③集合{y|y=x2-1}与集合{(x,y)|y=x2-1}是同一个集合;
④空集是任何集合的真子集.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.命题p:∀x∈(-∞,0),3x≥4x的否定为( )
A.∀x∈(-∞,0),3x<4x
B.∀x∈(-∞,0),3x≤4x
C.∃x∈(-∞,0),3x<4x
D.∃x∈(-∞,0),3x≤4x
3.已知全集U=R,A={x||x|<3},B={x|-1A.{x|-3C.{x|-3≤x≤-1} D.{x|-34. 如果a>b,那么下列不等式一定成立的是( )
A.-2a>-2bB.c-a>c-b
C.a+c>b+cD.a2>b2
5.给出下面四个推导过程:
①因为a,b是正实数,所以ba+ab≥2ba·ab=2;
②因为a∈R,且a≠0,所以4a+a≥24a·a=4;
③因为x,y∈R,xy<0,所以xy+yx=--xy+-yx≤-2-xy·-yx=-2.
其中正确的推导为( )
A.①②B.②③
C.①③D.①②③
6.当x>1时,不等式x+1x-1≥a恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,3]B.[3,+∞)
C.72,+∞D.-∞,72
7.定义:设A是非空实数集,若∃a∈A,使得∀x∈A,都有x≤a(x≥a),则称a是A的最大(小)值.若B是一个不含零的非空实数集,且a0是B的最大值,则( )
A.当a0>0时,a0-1是集合{x-1|x∈B}的最小值
B.当a0>0时,a0-1是集合{x-1|x∈B}的最大值
C.当a0<0时,-a0-1是集合{-x-1|x∈B}的最小值
D.当a0<0时,-a0-1是集合{-x-1|x∈B}的最大值
8.在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为( )
A.(0,2)B.(-1,2)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-2,1)
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象经过点A(-3,0),其图象的对称轴为直线x=-1,则下面结论正确的是( )
A.b2>4acB.2a-b=1
C.a-b+c=0D.5a10.下列命题正确的是( )
A.“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件
B.命题“∀x<1,x2<1”的否定是“∃x<1,x2≥1”
C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
11.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则下列结论正确的是( )
A.P∩Q={1}
B.P∪Q={1,2,3,4,5,6}
C.(∁UP)∪Q={1,2,4,6}
D.P∩(∁UQ)={3,5}
12.下列说法错误的是( )
A.x2-4>0是x>4的充分不必要条件
B.命题“钝角比锐角大”是存在量词命题
C.不等式8x2+x+1>0的解集是R
D.若二次函数y=3x2+ax+1的图象关于直线x=3对称,则a=1
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.“k>1”是“函数y=kx+c在R上函数值y随自变量x增大而增大”的 .(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个)
14.若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-1,2),则不等式bx2-ax-c>0的解集为 .
15.若命题:∃x∈[0,3],使x2-2x-a≥0为真命题,则实数a的取值范围是 .
16.某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:
①男学生人数多于女学生人数;
②女学生人数多于教师人数;
③教师人数的两倍多于男学生人数.
(1)若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 ;
(2)该小组人数的最小值为 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知集合A={x|3-2m≤x≤2+m},集合B={x|x2-4x+3≥0}.
(1)当m=1时,求A∩B,A∪(∁RB);
(2)若A∩B=⌀,求实数m的取值范围.
18.(12分)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-mx+2=0},若A是B的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
19.(12分)已知p:x2-2x-35≤0,q:x2-3mx+(2m-1)(m+1)≤0(其中实数m>2).
(1)分别求出p,q中关于x的不等式的解集M和N;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
20.(12分)已知关于x的不等式ax2-3x+2>0(a<0).
(1)当a=-5时,求此不等式的解集;
(2)求关于x的不等式ax2-3x+2>-ax+5的解集.
21.(12分)某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是1005x+1-3x元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围;
(2)要使生产1 200千克该产品获得的利润最大,问该厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.
22.(12分)若集合A具有以下性质:
①0∈A,1∈A;
②若x,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,1x∈A.
则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合B={-1,0,1},有理数集Q是不是“好集”,并说明理由;
(2)设集合A是“好集”,求证:若x,y∈A,则x+y∈A;
(3)对任意的一个“好集”A,分别判断下面命题的真假,并说明理由.
命题p:若x,y∈A,则必有xy∈A;
命题q:若x,y∈A,且x≠0,则必有yx∈A.
答案全解全析
一、单项选择题
1.A 对于①,优秀的篮球运动员概念不明确,不能构成集合,错误;
对于②,0∉N*,错误;
对于③,集合{y|y=x2-1}={y|y≥-1}是数集,集合{(x,y)|y=x2-1}表示的是满足等式的所有点,不是同一个集合,错误;
对于④,空集是任何非空集合的真子集,错误.故选A.
2.C 命题p是全称量词命题,则￢p:∃x∈(-∞,0),3x<4x,故选C.
3.D ∵A={x||x|<3},B={x|-1∴∁RB={x|x≥5或x≤-1},A={x|-34.C ∵a>b,∴-2a<-2b,故A不正确;c-aa+c>b+c,C正确;a2>b2不一定正确,当a,b为负数时,不等式不成立,D不正确.故选C.
5.C ①由于a,b是正实数,所以ba,ab是正实数,符合基本不等式的条件,故①推导正确;
②a∈R,且a≠0,不符合基本不等式的条件,所以②的推导错误;
③由xy<0,得xy,yx均为负数,但在推导过程中将整体xy+yx提出负号后,-xy,-yx均变为正数,符合基本不等式的条件,故③推导正确.
6.A 令y=x+1x-1(x>1),
则y=x-1+1x-1+1≥2+1=3,当且仅当x=2时,等号成立.
由题意知a≤ymin,所以a≤3.故选A.
7.D 当a0<0时,集合B中的任一元素x≤a0<0,从而1x≥1a0,所以-1x≤-1a0,故选D.
8.D ∵a☉b=ab+2a+b,∴x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2.
由x☉(x-2)<0得x2+x-2<0,
∴-2∴满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为(-2,1).
二、多项选择题
9.AD 因为函数图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确.
∵函数图象的对称轴为直线x=-1,
∴-b2a=-1,2a-b=0,B错误.
结合题图,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,C错误.
∵函数图象的对称轴为直线x=-1,
∴b=2a.又函数图象开口向下,
∴a<0,∴5a<2a,
即5a10.ABD a>1⇒1a<1, 但1a<1⇒/a>1,故A正确;全称量词命题的否定是存在量词命题,故B正确;x≥2且y≥2⇒x2+y2≥4, 但x2+y2≥4⇒/x≥2且y≥2,故C错误;
a≠0⇒/ab≠0,但ab≠0⇒a≠0,故D正确.故选ABD.
11.ACD ∵P={1,3,5},Q={1,2,4},
∴P∩Q={1},P∪Q={1,2,3,4,5}.
又∁UP={2,4,6},∁UQ={3,5,6},∴(∁UP)∪Q={1,2,4,6},
P∩(∁UQ)={3,5}.故选ACD.
12.ABD A中说法错误,x2-4>0是x>4的必要不充分条件;B中说法错误,命题“钝角比锐角大”是全称量词命题;易知C中说法正确;D中说法错误,若二次函数y=3x2+ax+1的图象关于直线x=3对称,则a=-18.故选ABD.
三、填空题
13.答案充分不必要条件
解析当k>1时,函数y=kx+c在R上函数值y随x的增大而增大,满足充分性;
当函数y=kx+c在R上函数值y随x的增大而增大时,可以得到k>0,故不满足必要性.
故本题的答案是充分不必要条件.
14.答案 (-∞,-2)∪(1,+∞)
解析 ∵不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,2),∴a<0,且对应方程的根为-1和2,
∴-ba=-1+2=1,ca=-1×2=-2,即b=-a,c=-2a,
∴不等式bx2-ax-c>0可化为-ax2-ax+2a>0,即x2+x-2>0,
解得x<-2或x>1.
故答案为(-∞,-2)∪(1,+∞).
15.答案 a≤3
解析 ∵∃x∈[0,3],使x2-2x-a≥0为真命题,
∴a≤x2-2x在x∈[0,3]上有解.
设y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],
则当x=3时,y取得最大值3,
∴实数a的取值范围是a≤3.
16.答案 (1)6 (2)12
解析设女学生、男学生、教师人数分别为x,y,z(x,y,z∈N*),则z(1)当z=4时,4(2)易知z的最小值为3,当z取最小值3时,3四、解答题
17.解析 (1)当m=1时,A={x|1≤x≤3},又B={x|x≤1或x≥3},(2分)
所以A∩B={1,3},(3分)
A∪(∁RB)={x|1≤x≤3}.(5分)
(2)若A=⌀,则3-2m>2+m,
即m<13,满足题意;(7分)
若A≠⌀,则3-2m≤2+m,3-2m>1,2+m<3,
解得13≤m<1.(9分)
综上,m<1.(10分)
18.解析 A={x|x2-3x+2=0}={1,2},(1分)
∵A是B的必要不充分条件,∴B⫋A.(3分)
对集合B分类讨论.
当B=⌀时,Δ=m2-8<0,(5分)
∴-22当B={1}或{2}时,Δ=0,1-m+2=0(8分)
或Δ=0,4-2m+2=0,无解.(11分)
综上所述,-2219.解析 (1)由x2-2x-35=(x-7)(x+5)≤0,得M=[-5,7];(2分)
x2-3mx+(2m-1)(m+1)=[x-(2m-1)][x-(m+1)]≤0,(4分)
∵m>2,∴2m-1>m+1,(5分)
∴N=[m+1,2m-1].(6分)
(2)∵p是q的必要不充分条件,∴N⫋M,(7分)
∴-52m-1,(10分)
解得-6≤m≤4,(11分)
又m>2,∴220.解析 (1)当a=-5时,不等式为-5x2-3x+2>0,即5x2+3x-2<0,
可化为(5x-2)(x+1)<0,(3分)
解得-1所以不等式的解集为-1,25.(5分)
(2)不等式ax2-3x+2>-ax+5可化为ax2+ax-3x-3>0,
即(ax-3)(x+1)>0,又a<0,所以不等式为x-3a(x+1)<0.(6分)
①当a<-3时,3a>-1,不等式的解集为x-1 ②当a=-3时,3a=-1,不等式的解集为⌀;(10分)
③当-321.解析 (1)由题意可得2005x+1-3x≥3 000,(2分)
即5x-3x≥14,解得x≥3或x≤-15.(4分)
又1≤x≤10,∴3≤x≤10.(6分)
(2)设生产1 200千克产品获得的利润为y元,
则y=1005x+1-3x·1 200x=120 000×-3x2+1x+5=120 000-31x-162+6112,(9分)
∴当1x=16,即x=6时,(10分)
y取得最大值610 000.(11分)
故该厂以6千克/时的速度生产可使利润最大,最大利润为610 000元.(12分)
22.解析 (1)集合B不是“好集”. (1分)
理由:假设集合B是“好集”.
因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2∈B,这与-2∉B矛盾.所以集合B不是“好集”.(2分)
有理数集Q是“好集”.(3分)
理由:因为0∈Q,1∈Q,
对任意的x,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时,1x∈Q,
所以有理数集Q是“好集”.(4分)
(2)证明:因为集合A是“好集”,所以0∈A.(5分)
若x,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A.(6分)
所以x-(-y)∈A,即x+y∈A.(7分)
(3)命题p,q均为真命题.理由如下:
对任意一个“好集”A,任取x,y∈A,
若x,y中有0或1时,显然xy∈A.
若x,y均不为0,1,由定义可知x-1,1x-1,1x∈A,
所以1x-1-1x∈A,即1x(x-1)∈A,所以x(x-1)∈A.(8分)
由(2)可得x(x-1)+x∈A,即x2∈A.
同理可得y2∈A.
若x+y=0或x+y=1,则(x+y)2∈A.
若x+y≠0且x+y≠1,则(x+y)2∈A.
所以2xy=(x+y)2-x2-y2∈A,所以12xy∈A.(9分)
由(2)可得1xy=12xy+12xy∈A,所以xy∈A.
综上可知,xy∈A,即命题p为真命题.(10分)
若x,y∈A,且x≠0,则1x∈A,所以yx=y·1x∈A,即命题q为真命题.(12分)