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数学4.4 对数函数巩固练习
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这是一份数学4.4 对数函数巩固练习，共35页。试卷主要包含了4 对数函数，与函数y=10lg相等的函数是等内容，欢迎下载使用。
新20版练B1数学人教A版4.4对数函数
第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
第1课时 对数函数的概念及图像与性质
考点1 对数函数的概念
1.(2019·河北唐山一中高一期中)与函数y=10lg(x-1)相等的函数是( )。
A.y=x-1x-12 B.y=|x-1|
C.y=x-1 D.y=x2-1x+1
答案:A
解析: y=10lg(x-1)=x-1(x>1),而y=x-1x-12=x-1(x>1),故选A。
2.(2019·湖北公安一中单元检测)设集合A={x|y=lg x},B={y|y=lg x},则下列关系中正确的是( )。
A.A∪B=A B.A∩B=⌀ C.A=B D.A⊆B
答案:D
解析: 由题意知集合A={x|x>0},B={y|y∈R},所以A⊆B。
3.(2019·福建南安一中高一第二阶段考试)设函数f(x)=x2+1,x≤1,lgx,x>1,则f(f(10))的值为( )。
A.lg 101 B.1
C.2 D.0
答案:C
解析: f(f(10))=f(lg 10)=f(1)=12+1=2。
4.(2019·东风汽车一中月考)下列函数是对数函数的是( )。
A.y=loga(2x) B.y=lg 10x
C.y=loga(x2+x) D.y=ln x
答案:D
解析: 由对数函数的定义,知D正确。
5.(2019·厦门调考)已知f(x)为对数函数,f12=-2,则f(34)= 。
答案:43
解析: 设f(x)=loga x(a>0,且a≠1),则loga 12=-2,∴1a2=12,即a=2,∴f(x)=log2x,∴f(34)=log234=log2(34)2=log2 243=43。
6.(2019·河南中原油田一中月考)已知函数f(x)=log3x,则f(3)= 。
答案:12
解析: 函数f(x)=log3 x,则f(3)=log33=log3 312=12。
考点2 对数函数的图像
7.(2019·山西康杰中学高一期中)为了得到函数f(x)=log2x的图像,只需将函数g(x)=log2x8的图像( )。
A.向上平移3个单位长度 B.向下平移3个单位长度
C.向左平移3个单位长度 D.向右平移3个单位长度
答案:A
解析: 由题意得,函数g(x)=log2 x8=log2 x-log28=log2x-3,所以只需将函数g(x)=log2 x8的图像向上平移3个单位长度,即可得到函数f(x)=log2 x的图像,故选A。
8.(2019·江西九江一中单元测试)如图4-4-1-1所示,曲线是对数函数y=logax的图像,已知a取2,53,25,310,则相应于C1,C2,C3,C4的a值依次为( )。
图4-4-1-1
A.2,53,25,310 B. 2,53,310,25
C.53,2,25,310 D.53,2,310,25
答案:C
解析: 方法一:C1,C2的底数都大于1,当x>1时图像低的底数大,所以C1,C2对应的a值分别为53,2。C3,C4的底数都小于1,当x<1时底数大的图像高,C3,C4对应的a值分别为25,310。综合以上分析,可得C1,C2,C3,C4对应的a值依次为53,2,25,310。故选C。
方法二:如图,作直线y=1与四条曲线交于四点,由y=loga x=1,得x=a(即交点的横坐标等于底数),所以交点横坐标小的底数小,所以C1,C2,C3,C4对应的a值分别为53,2,25,310。故选C。
9.(2019·安徽六安一中单元检测)已知a>1,b<-1,则函数y=loga(x-b)的图像不经过( )。
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:D
解析: ∵a>1,∴函数y=loga x的图像如图所示,函数y=loga(x-b)(b<-1)的图像就是把函数y=logax的图像向左平移|b|(|b|>1)个单位长度,如图。
由图可知函数y=loga(x-b)的图像不经过第四象限。
10.(2019·安徽宣城郞溪中学高一月考)函数f(x)=xln|x|的大致图像是( )。
图4-4-1-2
答案:A
解析: 根据函数的奇偶性可知,y=x是奇函数,y=ln|x|是偶函数。因为f(x)表示的为奇函数与偶函数之积,所以得到的函数是奇函数,因此排除选项C,D;当x→+∞时,f(x)→+∞,所以选项B错误。故选A。
11.(2019·广东清远一中月考)已知对数函数f(x)的图像过点(8,-3),则f(22)= 。
答案:-32
解析: 设f(x)=logax(a>0,a≠1),则-3=loga8,
∴a=12。∴f(x)=log12x,f(22)=log1222=-32。
12.(2019·广东阳东广雅学校高一期中)函数y=loga(x-3)-2的图像过的定点是 。
答案: (4,-2)
解析: 当x=4时,y=loga(4-3)-2=-2,即图像经过定点(4,-2)。
考点3 对数函数的性质
13.(2019·郑州二中单元测试)函数y=2+log2x(x≥1)的值域为( )。
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.[2,+∞) D.[3,+∞)
答案:C
解析: 设y=2+t,t=log2x(x≥1)。∵t=log2x在[1,+∞)上是单调增函数,∴t≥log21=0。∴y=2+log2x的值域为[2,+∞)。
14.(2019·广东仲元中学高一期中)已知函数f(x)=|lg x|,0f(b),则( )。
A.ab>1 B.0
答案:B
解析: 由题意得0lg b,∴lg a+lg b=lg ab<0,∴0
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>a>b
答案:A
解析: 因为a=log23.4>1,0b>c,故选A。
16.(2019·河北衡水高一期中)已知函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则( )。
A.f(3)
解析: 画出函数f(x)=loga |x|的图像(图略),可知该函数是偶函数。因为函数在(0,+∞)上单调递增,所以f(1)
A.45,1
B.45,+∞
C.0,45∪(1,+∞)
D.0,45∪45,+∞
答案:C
解析: loga 45<1=logaa,当01时,a>45,即a>1。综上,a∈0,45∪(1,+∞)。
18.(2018·四川凉山州模考)函数y=lg(x2-2x)的单调递增区间为( )。
A.[1,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,1] D.(-∞,0)
答案:B
解析: 由已知,得x2-2x>0,解得x>2或x<0。因为u=x2-2x在[1,+∞)上是增函数,在(-∞,1]上是减函数,而y=lg u在(0,+∞)上是增函数,所以y=lg(x2-2x)的单调递增区间为(2,+∞),故选B。
19.(2018·湖南衡阳调考)log12(a2+a+1)与log1234的大小关系为( )。
A.log12(a2+a+1)≥log1234
B.log12(a2+a+1)>log1234
C.log12(a2+a+1)≤log1234
D.log12(a2+a+1)
解析: ∵y=log12x在(0,+∞)上是减函数,而a2+a+1=a+122+34≥34,∴log12(a2+a+1)≤log1234。
20.(2019·江西井冈山一中单元测试)若y=loga(3a-1)恒为正值,则a的取值范围为( )。
A.13,+∞
B.13,23
C.(1,+∞)
D.13,23∪(1,+∞)
答案:D
解析: ∵y=loga(3a-1)恒为正值,
∴01,3a-1>1,解得131。故选D。
21.(2019·武汉外校月考)已知log0.45(x+2)>log0.45(1-x),则实数x的取值范围是 。
答案:-2,-12
解析: 由log0.45(x+2)>log0.45(1-x),得0
答案:4
解析: 因为y=2x在[0,1]上单调递增,y=log12(x+1)在[0,1]上单调递减,所以y=f(x)=2x-log12(x+1)在[0,1]上单调递增,所以y的最大值为f(1)=21-log12 2=2-(-1)=3,最小值为f(0)=20-log12 1=1-0=1,所以最大值与最小值之和为4。
考点4 与对数函数有关的定义域、值域问题
23.(2019·河北衡水高一月考)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( )。
A.(0,1)
B.[0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,0]∪[1,+∞)
答案:C
解析: 由x2-x>0,解得x<0或x>1,则定义域为(-∞,0)∪(1,+∞),故选C。
24.(2019·江西南昌一中高一期中)函数y=ln(x+1)-x2-3x+4的定义域为( )。
A.(-4,-1) B.(-1,1]
C.(-4,1) D.(-1,1)
答案:D
解析: 要使函数有意义,需满足x+1>0,-x2-3x+4>0,解得-1
A.(-∞,1) B.(0,1]
C.[0,+∞) D.(1,+∞)
答案:B
解析: ∵2-x2≤2,∴0<32-x2≤9,∴1<1+32-x2≤10,∴0
答案: [-2,+∞)
解析: 设u=-x2-2x+3,则u=-(x+1)2+4≤4, ∵u>0,∴0
27.(2019·黄冈中学月考)函数y=loga(x+k)(a>0,且a≠1)的图像恒过点(0,0),则函数y=log1a(x-k)的图像恒过点 。
答案: (2,0)
解析: 由题意,得loga k=0,∴k=1,∴y=log1a(x-k)=log1a(x-1)的图像恒过点(2,0)。
28.(2019·深圳中学期中)已知a=2 016-0.201 4,b=log2 0140.201 6,c=log0.201 60.201 4,则a,b,c的大小关系是 (用“>”连接)。
答案: c>a>b
解析: ∵y=2 016x在R上是增函数,
∴0<2 016-0.201 4<2 0160=1。
∵y=log2 014x在(0,+∞)上是增函数,
∴log2 0140.201 6
∴log0.201 6 0.201 4>log0.201 60.201 6=1。
∴log0.201 6 0.201 4>2 016-0.201 4>log2 0140.201 6,即c>a>b。
29.(2018·济南调考)已知f(x)的定义域为[0,1],则函数f[log12 (3-x)]的定义域为 。
答案:2,52
解析: 在f(x)中,x∈[0,1],所以0≤log12(3-x)≤1,所以12≤3-x≤1,解得2≤x≤52。所以函数f[log12(3-x)]的定义域为2,52。
30.(2019·北京大学附中单元检测)已知函数f(x)=lg|x|。
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
答案: 解:要使函数有意义,x的取值需满足|x|>0,解得x≠0,即函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),∴f(-x)=f(x)。∴函数f(x)是偶函数。
(2)画出函数f(x)的草图;
答案: 解:由于函数f(x)是偶函数,则其图像关于y轴对称,将函数y=lg x的图像对称到y轴的左侧与函数y=lg x的图像合起来得到函数f(x)的图像,如图所示。
(3)利用定义证明函数f(x)在区间(-∞,0)上是减函数。
答案:证明:设x1,x2∈(-∞,0),且x1|x2|>0。∴x1x2>1。∴lgx1x2>0。∴f(x1)>f(x2)。
∴函数f(x)在(-∞,0)上是减函数。
第2课时 对数函数图像与性质的应用
考点1 对数函数图像的变换及应用
1.(2019·西安中学单元测试)函数y=log2(1-x)的图像是( )。
图4-4-2-1
答案:C
解析: 函数y=log2(1-x)的定义域为{x|x<1},排除A,B;由复合函数的单调性可知函数为减函数,排除D。故选C。
2.(2019·南昌一中月考)若当x∈R时,函数f(x)=a|x|(a>0,且a≠1),满足0
图4-4-2-2
答案:A
解析: 由题意得00,-loga(-x),x<0,且0
图4-4-2-3
答案:B
解析: 依题意,函数f(x)=lg(|x|-1)中,当|x|-1>0时,函数有意义,即x>1或x<-1,∴定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞),且f(x)为偶函数,排除C,D。当x>1时,f(x)=lg(x-1)是增函数,排除A。综上所述,选项B正确。
4.(2019·清华附中单元测评)函数f(x)=log2|2x-4|的图像为( )。
图4-4-2-4
答案:A
解析: 函数f(x)=log2 |2x-4|的图像可以看作是将函数y=log2 |2x|的图像向右平移2个单位长度得到的,故选A。
5.(2018·杭州调考)函数y=lg|x-1|的图像是( )。
图4-4-2-5
答案:A
解析: 将函数y=lg x的图像沿y轴翻折后与y=lg x的图像共同组成y=lg|x|的图像,再向右平移1个单位长度得到y=lg|x-1|的图像,故A正确。
6.(2018·武汉二月调考)函数f(x)=lg2x+1-1的图像的对称性为( )。
A.关于直线y=x对称
B.关于x轴对称
C.关于y轴对称
D.关于原点对称
答案:D
解析: f(x)=lg2x+1-1=lg1-x1+x,所以f(-x)=lg1+x1-x=-lg1-x1+x=-f(x)。又因为函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,则函数f(x)为奇函数,故函数f(x)的图像关于原点对称。
7.(2018·郑州调考)函数f(x)=logax+b(a>0,且a≠1)的图像不经过第一象限,则a,b的取值范围分别为 , 。
答案: (0,1) (-∞,-1]
解析: 依题意,函数必须是减函数,且y=logax的图像至少向下平移1个单位长度,故0
答案: -1
解析: 易知点A(2,0),又因为点A在函数f(x)=2x+b的图像上,所以22+b=0,所以b=-4,所以f(x)=2x-4,所以f(log2 3)=2log23-4=3-4=-1。
考点2 对数函数性质的应用
9.(2019·安庆一中单元测评)下列函数为奇函数的是( )。
A.f(x)=lg2x+12x
B.f(x)=|lg x|
C.f(x)=lg|x|
D.f(x)=lg1-x1+x
答案:D
解析: 对于选项A中的函数f(x)=lg2x+12x,函数定义域为R,f(-x)=lg2-x+12-x=lg12x+2x=f(x),故选项A中的函数为偶函数;对于选项B中的函数f(x)=|lg x|,由于函数定义域为(0,+∞),不关于原点对称,故选项B中的函数既不是奇函数,也不是偶函数;对于选项C中的函数f(x)=lg|x|,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),故选项C中的函数为偶函数;对于选项D中的函数f(x)=lg1-x1+x,由于函数的定义域为(-1,1),关于原点对称,f(-x)=lg1+x1-x=-lg1-x1+x=-f(x),故选项D中的函数为奇函数。故选D。
10.(2019·福建漳州一中期中考试)关于函数f(x)=log12(1-2x)的单调性的叙述正确的是( )。
A.f(x)在12,+∞上是增函数
B.f(x)在12,+∞上是减函数
C.f(x)在-∞,12上是增函数
D.f(x)在-∞,12上是减函数
答案:C
解析: 由1-2x>0,得x<12,所以f(x)=log12(1-2x)的定义域为-∞,12。由于底数12∈(0,1),所以函数f(x)=log12(1-2x)的单调性与y=1-2x的单调性相反。因为y=1-2x在(-∞,+∞)上是减函数,所以f(x)在-∞,12上是增函数,故选C。
11.(2019·黑龙江双鸭山第一中学高一期中)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=2x-2,则不等式f(log2x)>0的解集为( )。
A.0,12
B.12,1∪(2,+∞)
C.(2,+∞)
D.0,12∪(2,+∞)
答案:D
解析: 由题知f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=2x-2,则f(1)=21-2=0,且当∈[0,+∞)时,函数f(x)单调递增,则由不等式f(log2 x)>0得f(log2 x)>f(1),∴f(|log2 x|)>f(1),∴|log2 x|>1,解之得02。故选D。
12.(2019·东北三校联考)设a,b,c均为正数,且2a=log12a,12b=log12b,12c=log2c,则( )。
A.a
解析: 在同一坐标系中分别画出y=2x,y=12x,y=log2 x,y=log12x的图像,如图所示。
y=2x与y=log12 x图像交点的横坐标为a,y=12x与y=log12 x图像交点的横坐标为b,y=12x与y=log2 x图像交点的横坐标为c,从图像可以看出a
13.(2019·江苏徐州第一中学高一期中)函数y=log13 (x2-2x-3)的单调减区间为__________。
答案: (3,+∞)
解析: 要求y=log13(x2-2x-3)=log13[(x-1)2-4]的单调递减区间,则x>1,x2-2x-3>0,解得x>3。
14.(2019·广东佛山一中高一期中)已知函数f(x)=log12 (3+2x-x2),则f(x)的值域是 。
答案: [-2,+∞)
解析: 令t=3+2x-x2=-(x-1)2+4,则0
答案: 0,12∪(2,+∞)
解析: 偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,则在(-∞,0]上是减函数,f12=f-12=0,∴当x∈-∞,-12∪12,+∞时,f(x)>0,即log4x∈-∞,-12∪12,+∞,∴x∈0,12∪(2,+∞)。
16.(2018·南京模拟)关于函数f(x)=lgxx2+1有下列结论:
①函数f(x)的定义域是(0,+∞);②函数f(x)是奇函数;③函数f(x)的最小值为-lg 2;④当01时,函数f(x)是减函数。其中正确结论的序号是 。
答案: ①④
解析: 由xx2+1>0知函数f(x)的定义域是(0,+∞),则函数f(x)是非奇非偶函数,所以①正确,②错误;f(x)=lgxx2+1=-lgx+1x≤-lg 2,即函数f(x)的最大值为-lg 2,所以③错误;令y=x+1x,当01时,该函数是增函数。而函数y=lg x在(0,+∞)上单调递增,所以④正确。
考点3 对数函数图像与性质应用的综合问题
17.(2019·陕西咸阳高一联考)已知函数f(x)=-x2+1,x<1,|log12x|,x≥1。
(1)在如图4-4-2-6所示的平面直角坐标系中,画出该函数的图像的草图;
图4-4-2-6
答案: 函数图像的草图如图所示。
(2)根据函数图像的草图,求函数y=f(x)的值域、单调递增区间。
答案: 由(1)中草图得:函数y=f(x)的值域为R,单调递增区间为(-∞,0],[1,+∞)。
18.(2019·广东广雅中学单元检测)已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)(a>0且a≠1)。
(1)求f(x)的定义域;
答案:要使函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)有意义,则x+1>0,1-x>0,解得-1
答案: f(x)为奇函数。证明:由(1)知f(x)的定义域为{x|-1
考点1 指数函数与对数函数的关系
1.(2019·北京西城区高一检测)函数y=1ax与y=logbx互为反函数,则a与b的关系是( )。
A.ab=1 B.a+b=1
C.a=b D.a-b=1
答案:A
解析: y=logbx的反函数为y=bx,所以函数y=bx与函数y=1ax是同一个函数,所以b=1a,即ab=1。
2.(2019·安徽滁州一中高一检测)点(2,4)在函数f(x)=logax的反函数的图像上,则f12等于( )。
A.-2 B.2 C.-1 D.1
答案:C
解析: 因为点(2,4)在函数f(x)=logax的反函数的图像上,所以点(4,2)在函数f(x)=logax的图像上,所以2=loga4,即a2=4。又因为a>0,所以a=2,所以f12=log212=-1。
3.(2019·广西南宁一中高一检测)已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图像只能是图4-4-3-1中的( )。
图4-4-3-1
答案:B
解析: 函数y=loga (-x)的定义域是{x|x<0},图像在y轴左侧,故排除A,C。再看单调性,y=ax的单调性与y=loga (-x)的单调性正好相反,又排除D。
4.(2019·湖南长珺中学单元测试)已知y=14x的反函数为y=f(x),若f(x0)=-12,则x0=( )。
A.-2 B.-1 C.2 D.12
答案:C
解析: ∵y=14x的反函数是f(x)=log14 x,∴f(x0)=log14 x0=-12,∴x0=14-12=122-12=2。
5.(2019·上海建平中学单元训测)函数y=3x的反函数是( )。
A.y=3-x B.y=31x
C.y=log3x D.y=log13x
答案:C
解析: 由y=3x得其反函数是y=log3x,故选C。
6.(2019·沈阳一中期中检测)已知对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1),且图像过点(9,2),f(x)的反函数记为y=g(x),则g(x)的解析式是( )。
A.g(x)=4x B.g(x)=2x
C.g(x)=9x D.g(x)=3x
答案:D
解析: 由题意得loga9=2,∴a2=9。又∵a>0,∴a=3。∴f(x)=log3x,∴f(x)的反函数为g(x)=3x。
考点2 比较大小
7.(2019·山东济宁任城高一期中)已知a=313,b=log1312,c=log123,则( )。
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.b>a>c
答案:A
解析: ∵a=313>1,b=log13 12=log32∈(0,1),c=log123<0,∴a>b>c。
8.(2019·山西太原五中高一月考)设a=log1312,b=log1323,c=log343,则a,b,c的大小关系是( )。
A.a
解析: c=log3 43=log13 34,又12<23<34,且函数y=log13x在其定义域上为减函数,所以log13 12>log13 23>log13 34,即a>b>c。
9.(2019·安徽黄山高一月考)给出三个数a=312,b=123,c=log312,则它们的大小顺序为( )。
A.b
解析: a=312>1,0b>c。
10.(2019·安徽阜阳临泉一中高一月考)已知a=0.33,b=30.3,c=log30.3,d=log0.33,将a,b,c,d四个数从小到大排列为 。
答案: c0.3,∴3<10.3,∴log30.3log0.310.3=-1,∴c<-1
11.(2019·湖南株洲醴陵一中高一期中)定义在R上的函数f(x)=ln(1+x2)+|x|,满足f(2x-1)>f(x+1),则x的取值范围是( )。
A.(2,+∞)∪(-∞,-1)
B.(2,+∞)∪(-∞,1)
C.(-∞,1)∪(3,+∞)
D.(2,+∞)∪(-∞,0)
答案:D
解析: ∵f(x)=ln(1+x2)+|x|,∴f(-x)=ln(1+x2)+|-x|=ln(1+x2)+|x|=f(x),∴f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=ln(1+x2)+x为增函数,则不等式f(2x-1)>f(x+1)等价于f(|2x-1|)>f(|x+1|),即|2x-1|>|x+1|,平方得(2x-1)2>(x+1)2,x2-2x>0,结合图像得x>2或x<0(图像略)。
12.(2019·江苏锡山高中单元测评)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f12=0,则不等式f(log4x)<0的解集是 。
答案: x12
13.(2019·河北石家庄第一中学高一期中)若函数f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,logax,x≥1对任意x1≠x2都有f(x2)-f(x1)x2-x1<0,则实数a的取值范围是( )。
A.(0,1) B.0,12
C.17,1 D.17,13
答案:D
解析:由条件知,分段函数f(x)在R上单调递减,则3a-1<0,0
14.(2019·河北安平中学高一实验部月考)若x∈0,12时,恒有4x
C.(1,2) D.(2,2)
答案:B
解析: 若x∈0,12时,4x22或a<-22。综上,22
A.(0,1) B.(1,3)
C.(1,3] D.[3,+∞)
答案:B
解析: 若函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a>1,6-2a>0,解得a∈(1,3),故选B。
16.(2019·贵州铜仁思南中学高一期中)已知函数f(x)=ex+x2,x≥0,e-x+x2,x<0,若f(-a)+f(a)≤2f(1),则实数a的取值范围是( )。
A.(-∞,-1]∪[1,+∞)
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[-1,1]
答案:D
解析: 因为函数f(x)=ex+x2,x≥0,e-x+x2,x<0满足f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,则f(-a)+f(a)=2f(a),所以由f(-a)+f(a)≤2f(1),可得f(a)≤f(1)。又函数f(x)=ex+x2,x≥0,e-x+x2,x<0在[0,+∞)上单调递增,所以|a|≤1,即-1≤a≤1,故选D。
17.(2019·济南调考)已知函数y=loga1-xx+1(0
解析: 由题意,易得y=loga 1-xx+1在区间(a,1)上是增函数。
∵函数在区间(a,1)上的值域是(1,+∞),∴loga 1-aa+1=1,∴1-aa+1=a,∴a2+2a-1=0。
∵0
答案: (2,+∞)
解析: 方程f(x-1)+2x=0化为(log4a)x2-2(log4a-1)x+log4a=0,依题意知Δ=4(log4a-1)2-4(log4a)2<0,所以log4a>12,解得a>2。
考点5 对数函数有关的综合问题
19.(2019·山东济南第一中学高一期中)已知函数f(x)=1+log2x(1≤x≤4),函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)。
(1)求函数g(x)的定义域;
答案: 由1≤x≤4,1≤x2≤4,解得1≤x≤2,
所以函数g(x)的定义域是[1,2]。
(2)求函数g(x)的值域。
答案: g(x)=[f(x)]2+f(x2)=(1+log2x)2+(1+log2x2)=1+2log2x+(log2x)2+1+2log2x=(log2x)2+4log2x+2=(log2x+2)2-2。
由1≤x≤2,得0≤log2x≤1,所以2≤log2x+2≤3,
所以4≤(log2x+2)2≤9,
所以2≤(log2x+2)2-2≤7。
所以函数g(x)的值域是[2,7]。
20.(2019·河南郑州七校高一期中联考)已知f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t-2)(a>0,a≠1,t∈R)。
(1)当t=4,x∈[1,2]时,F(x)=g(x)-f(x)有最小值2,求a的值;
答案: 当t=4时,F(x)=g(x)-f(x)=loga4(x+1)2x,x∈[1,2],设h(x)=4(x+1)2x=4x+1x+2,x∈[1,2],
由于y=x+1x在x∈[1,2]上单调递增,
∴h(x)在[1,2]上是增函数,
∴h(x)min=h(1)=16,h(x)max=h(2)=18。
当01(舍);
当a>1时,F(x)min=loga16=2,则a=4。
综上,a=4。
(2)当0
∵x∈[1,2],∴x∈[1,2],
∴u(x)max=u(1)=1,
∴实数t的取值范围是[1,+∞)。
第4课时 不同函数增长的差异
考点1 几种函数增长的差异
1.(2019·黑龙江双鸭山第一中学高一期中)下列函数增长速度最快的是( )。
A.y=3x B.y=log3x
C.y=x3 D.y=3x
答案:A
解析: 结合函数y=3x,y=log3x,y=x3,y=3x的图像可知,随着x的增大,函数y=3x的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=x3的增长速度,而y=log3 x的增长速度则会越来越慢,y=3x的增长速度不变,故本题选A。
2.四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果它们一直运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是( )。
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=2x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
答案:D
解析: 由增长速度可知,当自变量充分大时,指数函数的值最大,故选D。
3.(2019·河南豫西南部分示范性高中高一期中)下列函数关系中,可以看作是指数型函数模型y=kax(k∈R,a>0且a≠1)的是( )。
A.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系
C.如果某人t s内骑车行进了1 km,那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D.信件的邮资与其重量间的函数关系
答案:B
解析: A.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系是二次函数关系;B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系是指数型函数关系;C.如果某人t s内骑车行进了1 km,那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系是反比例函数关系;D.信件的邮资与其重量间的函数关系是一次函数关系。故选B。
4.(2019·贵州遵义第四中学高一期中)下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据,由此可判断它最可能的函数模型为( )。
x
-2
-1
0
1
2
3
y
116
0.26
1.11
3.96
16.05
63.98
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.对数函数模型 D.指数函数模型
答案:D
解析: 由题表中数据可知函数值都大于0,并且近似f(0)=1,函数是单调增函数,而且函数增加的速度越来越快,符合指数函数的模型,近似于y=4x,选D。
5.(2019·广东实验中学模块考试)随着x越来越大,下列函数中,增长速度最快的是( )。
A.y=10x B.y=lg x
C.y=x10 D.y=10x
答案:D
解析: 由几类不同增长的函数特性可知,y=10x呈指数“爆炸式”增长,速度最快。
6.(2019·广西南宁一中高一检测)以下四种说法中,正确的是( )。
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的x>0,xn>logax
C.对任意的x>0,ax>logax
D.不一定存在x0,当x>x0时,总有ax>xn>logax
答案:D
解析: 对于A,幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响,幂指数与一次项系数不确定,增长幅度不能比较;对于B,C,当01,n>0时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xn>loga x,但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不成立。
7.(原创题)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表所示。
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1 130
2 005
3 130
4 505
y2
5
94.478
1 785.2
33 733
6.73×105
1.2×107
2.28×108
y3
5
30
55
80
105
130
155
y4
5
2.310 7
1.429 5
1.140 7
1.046 1
1.015 1
1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是 。
答案: y2
解析: 指数函数的增长呈“爆炸式”增长,由表中数据可知呈指数型变化的变量为y2。
8.函数y=x2与函数y=xln x在区间(0,+∞)上增长较快的一个是 。
答案: y=x2
解析: 当x变大时,x比ln x增长要快,∴x2要比xln x增长得要快。
考点2 根据增长差异确定图像并比较
9.(2019·河北张家口高一检测)如图4-4-4-1所示,能使不等式log2x
图4-4-4-1
A.x>0 B.x>2
C.x<2 D.0
解析: 由函数图像可知,当0
图4-4-4-2
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;
答案: C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x。
(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较)。
答案: 当xf(x);当x1g(x);当x>x2时,g(x)>f(x)。当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x)。
11(2019·河北邢台二中高一月考)已知函数f(x)=2x和g(x)=x3,在同一坐标系下作出它们的图像,结合图像比较f(8),g(8),f(2 018),g(2 018)的大小。
答案: 解:列表如下:
x
…
-1
0
1
2
3
…
f(x)
…
12
1
2
4
8
…
g(x)
…
-1
0
1
8
27
…
得出如图所示的图像。则函数f(x)=2x对应的图像为C2,函数g(x)=x3对应的图像为C1。
∵g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10)=1 000,f(10)=1 024,
∴f(1)>g(1),f(2)g(10),
∴1
12.据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图像如图4-4-4-3所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)。
图4-4-4-3
(1)当t=4时,求s的值;
答案: 由图像可知,当t=4时,v=3×4=12(km/h),
所以s=12×4×12=24(km)。
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;
答案: 当0≤t≤10时,s=12·t·3t=32t2;
当10
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由。
答案: 沙尘暴会侵袭到N城。
因为t∈[0,10]时,smax=32×102=150<650,
t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650,
所以当t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650,解得t1=30,t2=40。
因为t∈(20,35],所以t=30。
所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城。
13.(2019·西南师大附中检测)函数f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)=x12的图像如图4-4-4-4所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点,对三个函数的大小进行比较)。
图4-4-4-4
答案:解:由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得:曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=x12,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1。
由题图知,当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);
当1g(x)>h(x);
当ef(x)>h(x);
当ah(x)>f(x);
当bg(x)>f(x);
当cf(x)>g(x);
当x>d时,f(x)>h(x)>g(x)。
考点3 根据增长差异选择函数模型
14.(2019·广西南宁第三中学高一期中)某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为接近的是( )。
A.y=0.2x B.y=110 (x2+2x)
C.y=2x10 D.y=0.2+log16x
答案:C
解析: 将x=1,2,3分别代入四个选项中的函数式,得到的结果与0.2,0.4,0.76比较,只有函数y=2x10较为接近。故选C。
15.(2019·浙江嘉兴五中高一月考)某学校为了实现60万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且资金y(单位:万元)随生源利润x(单位:万元)的增加而增加,但资金总数不超过3万元,同时资金不超过利润的20%。现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该校的要求?
答案: 解:借助工具作出函数y=3,y=0.2x,y=log5 x,y=1.02x的图像(如图所示)。观察图像可知,在区间[5,60]上,y=0.2x,y=1.02x的图像都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图像始终在y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合学校的要求。
新20版练B1数学人教A版4.4对数函数
第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
第1课时 对数函数的概念及图像与性质
考点1 对数函数的概念
1.(2019·河北唐山一中高一期中)与函数y=10lg(x-1)相等的函数是( )。
A.y=x-1x-12 B.y=|x-1|
C.y=x-1 D.y=x2-1x+1
答案:A
解析: y=10lg(x-1)=x-1(x>1),而y=x-1x-12=x-1(x>1),故选A。
2.(2019·湖北公安一中单元检测)设集合A={x|y=lg x},B={y|y=lg x},则下列关系中正确的是( )。
A.A∪B=A B.A∩B=⌀ C.A=B D.A⊆B
答案:D
解析: 由题意知集合A={x|x>0},B={y|y∈R},所以A⊆B。
3.(2019·福建南安一中高一第二阶段考试)设函数f(x)=x2+1,x≤1,lgx,x>1,则f(f(10))的值为( )。
A.lg 101 B.1
C.2 D.0
答案:C
解析: f(f(10))=f(lg 10)=f(1)=12+1=2。
4.(2019·东风汽车一中月考)下列函数是对数函数的是( )。
A.y=loga(2x) B.y=lg 10x
C.y=loga(x2+x) D.y=ln x
答案:D
解析: 由对数函数的定义,知D正确。
5.(2019·厦门调考)已知f(x)为对数函数,f12=-2,则f(34)= 。
答案:43
解析: 设f(x)=loga x(a>0,且a≠1),则loga 12=-2,∴1a2=12,即a=2,∴f(x)=log2x,∴f(34)=log234=log2(34)2=log2 243=43。
6.(2019·河南中原油田一中月考)已知函数f(x)=log3x,则f(3)= 。
答案:12
解析: 函数f(x)=log3 x,则f(3)=log33=log3 312=12。
考点2 对数函数的图像
7.(2019·山西康杰中学高一期中)为了得到函数f(x)=log2x的图像,只需将函数g(x)=log2x8的图像( )。
A.向上平移3个单位长度 B.向下平移3个单位长度
C.向左平移3个单位长度 D.向右平移3个单位长度
答案:A
解析: 由题意得,函数g(x)=log2 x8=log2 x-log28=log2x-3,所以只需将函数g(x)=log2 x8的图像向上平移3个单位长度,即可得到函数f(x)=log2 x的图像,故选A。
8.(2019·江西九江一中单元测试)如图4-4-1-1所示,曲线是对数函数y=logax的图像,已知a取2,53,25,310,则相应于C1,C2,C3,C4的a值依次为( )。
图4-4-1-1
A.2,53,25,310 B. 2,53,310,25
C.53,2,25,310 D.53,2,310,25
答案:C
解析: 方法一:C1,C2的底数都大于1,当x>1时图像低的底数大,所以C1,C2对应的a值分别为53,2。C3,C4的底数都小于1,当x<1时底数大的图像高,C3,C4对应的a值分别为25,310。综合以上分析,可得C1,C2,C3,C4对应的a值依次为53,2,25,310。故选C。
方法二:如图,作直线y=1与四条曲线交于四点,由y=loga x=1,得x=a(即交点的横坐标等于底数),所以交点横坐标小的底数小,所以C1,C2,C3,C4对应的a值分别为53,2,25,310。故选C。
9.(2019·安徽六安一中单元检测)已知a>1,b<-1,则函数y=loga(x-b)的图像不经过( )。
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:D
解析: ∵a>1,∴函数y=loga x的图像如图所示,函数y=loga(x-b)(b<-1)的图像就是把函数y=logax的图像向左平移|b|(|b|>1)个单位长度,如图。
由图可知函数y=loga(x-b)的图像不经过第四象限。
10.(2019·安徽宣城郞溪中学高一月考)函数f(x)=xln|x|的大致图像是( )。
图4-4-1-2
答案:A
解析: 根据函数的奇偶性可知,y=x是奇函数,y=ln|x|是偶函数。因为f(x)表示的为奇函数与偶函数之积,所以得到的函数是奇函数,因此排除选项C,D;当x→+∞时,f(x)→+∞,所以选项B错误。故选A。
11.(2019·广东清远一中月考)已知对数函数f(x)的图像过点(8,-3),则f(22)= 。
答案:-32
解析: 设f(x)=logax(a>0,a≠1),则-3=loga8,
∴a=12。∴f(x)=log12x,f(22)=log1222=-32。
12.(2019·广东阳东广雅学校高一期中)函数y=loga(x-3)-2的图像过的定点是 。
答案: (4,-2)
解析: 当x=4时,y=loga(4-3)-2=-2,即图像经过定点(4,-2)。
考点3 对数函数的性质
13.(2019·郑州二中单元测试)函数y=2+log2x(x≥1)的值域为( )。
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.[2,+∞) D.[3,+∞)
答案:C
解析: 设y=2+t,t=log2x(x≥1)。∵t=log2x在[1,+∞)上是单调增函数,∴t≥log21=0。∴y=2+log2x的值域为[2,+∞)。
14.(2019·广东仲元中学高一期中)已知函数f(x)=|lg x|,0
A.ab>1 B.0
答案:B
解析: 由题意得0
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>a>b
答案:A
解析: 因为a=log23.4>1,0
16.(2019·河北衡水高一期中)已知函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则( )。
A.f(3)
解析: 画出函数f(x)=loga |x|的图像(图略),可知该函数是偶函数。因为函数在(0,+∞)上单调递增,所以f(1)
A.45,1
B.45,+∞
C.0,45∪(1,+∞)
D.0,45∪45,+∞
答案:C
解析: loga 45<1=logaa,当0
18.(2018·四川凉山州模考)函数y=lg(x2-2x)的单调递增区间为( )。
A.[1,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,1] D.(-∞,0)
答案:B
解析: 由已知,得x2-2x>0,解得x>2或x<0。因为u=x2-2x在[1,+∞)上是增函数,在(-∞,1]上是减函数,而y=lg u在(0,+∞)上是增函数,所以y=lg(x2-2x)的单调递增区间为(2,+∞),故选B。
19.(2018·湖南衡阳调考)log12(a2+a+1)与log1234的大小关系为( )。
A.log12(a2+a+1)≥log1234
B.log12(a2+a+1)>log1234
C.log12(a2+a+1)≤log1234
D.log12(a2+a+1)
解析: ∵y=log12x在(0,+∞)上是减函数,而a2+a+1=a+122+34≥34,∴log12(a2+a+1)≤log1234。
20.(2019·江西井冈山一中单元测试)若y=loga(3a-1)恒为正值,则a的取值范围为( )。
A.13,+∞
B.13,23
C.(1,+∞)
D.13,23∪(1,+∞)
答案:D
解析: ∵y=loga(3a-1)恒为正值,
∴0
21.(2019·武汉外校月考)已知log0.45(x+2)>log0.45(1-x),则实数x的取值范围是 。
答案:-2,-12
解析: 由log0.45(x+2)>log0.45(1-x),得0
答案:4
解析: 因为y=2x在[0,1]上单调递增,y=log12(x+1)在[0,1]上单调递减,所以y=f(x)=2x-log12(x+1)在[0,1]上单调递增,所以y的最大值为f(1)=21-log12 2=2-(-1)=3,最小值为f(0)=20-log12 1=1-0=1,所以最大值与最小值之和为4。
考点4 与对数函数有关的定义域、值域问题
23.(2019·河北衡水高一月考)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( )。
A.(0,1)
B.[0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,0]∪[1,+∞)
答案:C
解析: 由x2-x>0,解得x<0或x>1,则定义域为(-∞,0)∪(1,+∞),故选C。
24.(2019·江西南昌一中高一期中)函数y=ln(x+1)-x2-3x+4的定义域为( )。
A.(-4,-1) B.(-1,1]
C.(-4,1) D.(-1,1)
答案:D
解析: 要使函数有意义,需满足x+1>0,-x2-3x+4>0,解得-1
A.(-∞,1) B.(0,1]
C.[0,+∞) D.(1,+∞)
答案:B
解析: ∵2-x2≤2,∴0<32-x2≤9,∴1<1+32-x2≤10,∴0
答案: [-2,+∞)
解析: 设u=-x2-2x+3,则u=-(x+1)2+4≤4, ∵u>0,∴0
27.(2019·黄冈中学月考)函数y=loga(x+k)(a>0,且a≠1)的图像恒过点(0,0),则函数y=log1a(x-k)的图像恒过点 。
答案: (2,0)
解析: 由题意,得loga k=0,∴k=1,∴y=log1a(x-k)=log1a(x-1)的图像恒过点(2,0)。
28.(2019·深圳中学期中)已知a=2 016-0.201 4,b=log2 0140.201 6,c=log0.201 60.201 4,则a,b,c的大小关系是 (用“>”连接)。
答案: c>a>b
解析: ∵y=2 016x在R上是增函数,
∴0<2 016-0.201 4<2 0160=1。
∵y=log2 014x在(0,+∞)上是增函数,
∴log2 0140.201 6
∴log0.201 6 0.201 4>log0.201 60.201 6=1。
∴log0.201 6 0.201 4>2 016-0.201 4>log2 0140.201 6,即c>a>b。
29.(2018·济南调考)已知f(x)的定义域为[0,1],则函数f[log12 (3-x)]的定义域为 。
答案:2,52
解析: 在f(x)中,x∈[0,1],所以0≤log12(3-x)≤1,所以12≤3-x≤1,解得2≤x≤52。所以函数f[log12(3-x)]的定义域为2,52。
30.(2019·北京大学附中单元检测)已知函数f(x)=lg|x|。
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
答案: 解:要使函数有意义,x的取值需满足|x|>0,解得x≠0,即函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),∴f(-x)=f(x)。∴函数f(x)是偶函数。
(2)画出函数f(x)的草图;
答案: 解:由于函数f(x)是偶函数,则其图像关于y轴对称,将函数y=lg x的图像对称到y轴的左侧与函数y=lg x的图像合起来得到函数f(x)的图像,如图所示。
(3)利用定义证明函数f(x)在区间(-∞,0)上是减函数。
答案:证明:设x1,x2∈(-∞,0),且x1
∴函数f(x)在(-∞,0)上是减函数。
第2课时 对数函数图像与性质的应用
考点1 对数函数图像的变换及应用
1.(2019·西安中学单元测试)函数y=log2(1-x)的图像是( )。
图4-4-2-1
答案:C
解析: 函数y=log2(1-x)的定义域为{x|x<1},排除A,B;由复合函数的单调性可知函数为减函数,排除D。故选C。
2.(2019·南昌一中月考)若当x∈R时,函数f(x)=a|x|(a>0,且a≠1),满足0
图4-4-2-2
答案:A
解析: 由题意得0
图4-4-2-3
答案:B
解析: 依题意,函数f(x)=lg(|x|-1)中,当|x|-1>0时,函数有意义,即x>1或x<-1,∴定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞),且f(x)为偶函数,排除C,D。当x>1时,f(x)=lg(x-1)是增函数,排除A。综上所述,选项B正确。
4.(2019·清华附中单元测评)函数f(x)=log2|2x-4|的图像为( )。
图4-4-2-4
答案:A
解析: 函数f(x)=log2 |2x-4|的图像可以看作是将函数y=log2 |2x|的图像向右平移2个单位长度得到的,故选A。
5.(2018·杭州调考)函数y=lg|x-1|的图像是( )。
图4-4-2-5
答案:A
解析: 将函数y=lg x的图像沿y轴翻折后与y=lg x的图像共同组成y=lg|x|的图像,再向右平移1个单位长度得到y=lg|x-1|的图像,故A正确。
6.(2018·武汉二月调考)函数f(x)=lg2x+1-1的图像的对称性为( )。
A.关于直线y=x对称
B.关于x轴对称
C.关于y轴对称
D.关于原点对称
答案:D
解析: f(x)=lg2x+1-1=lg1-x1+x,所以f(-x)=lg1+x1-x=-lg1-x1+x=-f(x)。又因为函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,则函数f(x)为奇函数,故函数f(x)的图像关于原点对称。
7.(2018·郑州调考)函数f(x)=logax+b(a>0,且a≠1)的图像不经过第一象限,则a,b的取值范围分别为 , 。
答案: (0,1) (-∞,-1]
解析: 依题意,函数必须是减函数,且y=logax的图像至少向下平移1个单位长度,故0
答案: -1
解析: 易知点A(2,0),又因为点A在函数f(x)=2x+b的图像上,所以22+b=0,所以b=-4,所以f(x)=2x-4,所以f(log2 3)=2log23-4=3-4=-1。
考点2 对数函数性质的应用
9.(2019·安庆一中单元测评)下列函数为奇函数的是( )。
A.f(x)=lg2x+12x
B.f(x)=|lg x|
C.f(x)=lg|x|
D.f(x)=lg1-x1+x
答案:D
解析: 对于选项A中的函数f(x)=lg2x+12x,函数定义域为R,f(-x)=lg2-x+12-x=lg12x+2x=f(x),故选项A中的函数为偶函数;对于选项B中的函数f(x)=|lg x|,由于函数定义域为(0,+∞),不关于原点对称,故选项B中的函数既不是奇函数,也不是偶函数;对于选项C中的函数f(x)=lg|x|,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),故选项C中的函数为偶函数;对于选项D中的函数f(x)=lg1-x1+x,由于函数的定义域为(-1,1),关于原点对称,f(-x)=lg1+x1-x=-lg1-x1+x=-f(x),故选项D中的函数为奇函数。故选D。
10.(2019·福建漳州一中期中考试)关于函数f(x)=log12(1-2x)的单调性的叙述正确的是( )。
A.f(x)在12,+∞上是增函数
B.f(x)在12,+∞上是减函数
C.f(x)在-∞,12上是增函数
D.f(x)在-∞,12上是减函数
答案:C
解析: 由1-2x>0,得x<12,所以f(x)=log12(1-2x)的定义域为-∞,12。由于底数12∈(0,1),所以函数f(x)=log12(1-2x)的单调性与y=1-2x的单调性相反。因为y=1-2x在(-∞,+∞)上是减函数,所以f(x)在-∞,12上是增函数,故选C。
11.(2019·黑龙江双鸭山第一中学高一期中)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=2x-2,则不等式f(log2x)>0的解集为( )。
A.0,12
B.12,1∪(2,+∞)
C.(2,+∞)
D.0,12∪(2,+∞)
答案:D
解析: 由题知f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=2x-2,则f(1)=21-2=0,且当∈[0,+∞)时,函数f(x)单调递增,则由不等式f(log2 x)>0得f(log2 x)>f(1),∴f(|log2 x|)>f(1),∴|log2 x|>1,解之得0
12.(2019·东北三校联考)设a,b,c均为正数,且2a=log12a,12b=log12b,12c=log2c,则( )。
A.a
解析: 在同一坐标系中分别画出y=2x,y=12x,y=log2 x,y=log12x的图像,如图所示。
y=2x与y=log12 x图像交点的横坐标为a,y=12x与y=log12 x图像交点的横坐标为b,y=12x与y=log2 x图像交点的横坐标为c,从图像可以看出a
13.(2019·江苏徐州第一中学高一期中)函数y=log13 (x2-2x-3)的单调减区间为__________。
答案: (3,+∞)
解析: 要求y=log13(x2-2x-3)=log13[(x-1)2-4]的单调递减区间,则x>1,x2-2x-3>0,解得x>3。
14.(2019·广东佛山一中高一期中)已知函数f(x)=log12 (3+2x-x2),则f(x)的值域是 。
答案: [-2,+∞)
解析: 令t=3+2x-x2=-(x-1)2+4,则0
答案: 0,12∪(2,+∞)
解析: 偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,则在(-∞,0]上是减函数,f12=f-12=0,∴当x∈-∞,-12∪12,+∞时,f(x)>0,即log4x∈-∞,-12∪12,+∞,∴x∈0,12∪(2,+∞)。
16.(2018·南京模拟)关于函数f(x)=lgxx2+1有下列结论:
①函数f(x)的定义域是(0,+∞);②函数f(x)是奇函数;③函数f(x)的最小值为-lg 2;④当0
答案: ①④
解析: 由xx2+1>0知函数f(x)的定义域是(0,+∞),则函数f(x)是非奇非偶函数,所以①正确,②错误;f(x)=lgxx2+1=-lgx+1x≤-lg 2,即函数f(x)的最大值为-lg 2,所以③错误;令y=x+1x,当0
考点3 对数函数图像与性质应用的综合问题
17.(2019·陕西咸阳高一联考)已知函数f(x)=-x2+1,x<1,|log12x|,x≥1。
(1)在如图4-4-2-6所示的平面直角坐标系中,画出该函数的图像的草图;
图4-4-2-6
答案: 函数图像的草图如图所示。
(2)根据函数图像的草图,求函数y=f(x)的值域、单调递增区间。
答案: 由(1)中草图得:函数y=f(x)的值域为R,单调递增区间为(-∞,0],[1,+∞)。
18.(2019·广东广雅中学单元检测)已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)(a>0且a≠1)。
(1)求f(x)的定义域;
答案:要使函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)有意义,则x+1>0,1-x>0,解得-1
答案: f(x)为奇函数。证明:由(1)知f(x)的定义域为{x|-1
考点1 指数函数与对数函数的关系
1.(2019·北京西城区高一检测)函数y=1ax与y=logbx互为反函数,则a与b的关系是( )。
A.ab=1 B.a+b=1
C.a=b D.a-b=1
答案:A
解析: y=logbx的反函数为y=bx,所以函数y=bx与函数y=1ax是同一个函数,所以b=1a,即ab=1。
2.(2019·安徽滁州一中高一检测)点(2,4)在函数f(x)=logax的反函数的图像上,则f12等于( )。
A.-2 B.2 C.-1 D.1
答案:C
解析: 因为点(2,4)在函数f(x)=logax的反函数的图像上,所以点(4,2)在函数f(x)=logax的图像上,所以2=loga4,即a2=4。又因为a>0,所以a=2,所以f12=log212=-1。
3.(2019·广西南宁一中高一检测)已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图像只能是图4-4-3-1中的( )。
图4-4-3-1
答案:B
解析: 函数y=loga (-x)的定义域是{x|x<0},图像在y轴左侧,故排除A,C。再看单调性,y=ax的单调性与y=loga (-x)的单调性正好相反,又排除D。
4.(2019·湖南长珺中学单元测试)已知y=14x的反函数为y=f(x),若f(x0)=-12,则x0=( )。
A.-2 B.-1 C.2 D.12
答案:C
解析: ∵y=14x的反函数是f(x)=log14 x,∴f(x0)=log14 x0=-12,∴x0=14-12=122-12=2。
5.(2019·上海建平中学单元训测)函数y=3x的反函数是( )。
A.y=3-x B.y=31x
C.y=log3x D.y=log13x
答案:C
解析: 由y=3x得其反函数是y=log3x,故选C。
6.(2019·沈阳一中期中检测)已知对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1),且图像过点(9,2),f(x)的反函数记为y=g(x),则g(x)的解析式是( )。
A.g(x)=4x B.g(x)=2x
C.g(x)=9x D.g(x)=3x
答案:D
解析: 由题意得loga9=2,∴a2=9。又∵a>0,∴a=3。∴f(x)=log3x,∴f(x)的反函数为g(x)=3x。
考点2 比较大小
7.(2019·山东济宁任城高一期中)已知a=313,b=log1312,c=log123,则( )。
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.b>a>c
答案:A
解析: ∵a=313>1,b=log13 12=log32∈(0,1),c=log123<0,∴a>b>c。
8.(2019·山西太原五中高一月考)设a=log1312,b=log1323,c=log343,则a,b,c的大小关系是( )。
A.a
解析: c=log3 43=log13 34,又12<23<34,且函数y=log13x在其定义域上为减函数,所以log13 12>log13 23>log13 34,即a>b>c。
9.(2019·安徽黄山高一月考)给出三个数a=312,b=123,c=log312,则它们的大小顺序为( )。
A.b
解析: a=312>1,0
10.(2019·安徽阜阳临泉一中高一月考)已知a=0.33,b=30.3,c=log30.3,d=log0.33,将a,b,c,d四个数从小到大排列为 。
答案: c
11.(2019·湖南株洲醴陵一中高一期中)定义在R上的函数f(x)=ln(1+x2)+|x|,满足f(2x-1)>f(x+1),则x的取值范围是( )。
A.(2,+∞)∪(-∞,-1)
B.(2,+∞)∪(-∞,1)
C.(-∞,1)∪(3,+∞)
D.(2,+∞)∪(-∞,0)
答案:D
解析: ∵f(x)=ln(1+x2)+|x|,∴f(-x)=ln(1+x2)+|-x|=ln(1+x2)+|x|=f(x),∴f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=ln(1+x2)+x为增函数,则不等式f(2x-1)>f(x+1)等价于f(|2x-1|)>f(|x+1|),即|2x-1|>|x+1|,平方得(2x-1)2>(x+1)2,x2-2x>0,结合图像得x>2或x<0(图像略)。
12.(2019·江苏锡山高中单元测评)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f12=0,则不等式f(log4x)<0的解集是 。
答案: x12
13.(2019·河北石家庄第一中学高一期中)若函数f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,logax,x≥1对任意x1≠x2都有f(x2)-f(x1)x2-x1<0,则实数a的取值范围是( )。
A.(0,1) B.0,12
C.17,1 D.17,13
答案:D
解析:由条件知,分段函数f(x)在R上单调递减,则3a-1<0,0
14.(2019·河北安平中学高一实验部月考)若x∈0,12时,恒有4x
C.(1,2) D.(2,2)
答案:B
解析: 若x∈0,12时,4x
A.(0,1) B.(1,3)
C.(1,3] D.[3,+∞)
答案:B
解析: 若函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a>1,6-2a>0,解得a∈(1,3),故选B。
16.(2019·贵州铜仁思南中学高一期中)已知函数f(x)=ex+x2,x≥0,e-x+x2,x<0,若f(-a)+f(a)≤2f(1),则实数a的取值范围是( )。
A.(-∞,-1]∪[1,+∞)
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[-1,1]
答案:D
解析: 因为函数f(x)=ex+x2,x≥0,e-x+x2,x<0满足f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,则f(-a)+f(a)=2f(a),所以由f(-a)+f(a)≤2f(1),可得f(a)≤f(1)。又函数f(x)=ex+x2,x≥0,e-x+x2,x<0在[0,+∞)上单调递增,所以|a|≤1,即-1≤a≤1,故选D。
17.(2019·济南调考)已知函数y=loga1-xx+1(0
解析: 由题意,易得y=loga 1-xx+1在区间(a,1)上是增函数。
∵函数在区间(a,1)上的值域是(1,+∞),∴loga 1-aa+1=1,∴1-aa+1=a,∴a2+2a-1=0。
∵0
答案: (2,+∞)
解析: 方程f(x-1)+2x=0化为(log4a)x2-2(log4a-1)x+log4a=0,依题意知Δ=4(log4a-1)2-4(log4a)2<0,所以log4a>12,解得a>2。
考点5 对数函数有关的综合问题
19.(2019·山东济南第一中学高一期中)已知函数f(x)=1+log2x(1≤x≤4),函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)。
(1)求函数g(x)的定义域;
答案: 由1≤x≤4,1≤x2≤4,解得1≤x≤2,
所以函数g(x)的定义域是[1,2]。
(2)求函数g(x)的值域。
答案: g(x)=[f(x)]2+f(x2)=(1+log2x)2+(1+log2x2)=1+2log2x+(log2x)2+1+2log2x=(log2x)2+4log2x+2=(log2x+2)2-2。
由1≤x≤2,得0≤log2x≤1,所以2≤log2x+2≤3,
所以4≤(log2x+2)2≤9,
所以2≤(log2x+2)2-2≤7。
所以函数g(x)的值域是[2,7]。
20.(2019·河南郑州七校高一期中联考)已知f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t-2)(a>0,a≠1,t∈R)。
(1)当t=4,x∈[1,2]时,F(x)=g(x)-f(x)有最小值2,求a的值;
答案: 当t=4时,F(x)=g(x)-f(x)=loga4(x+1)2x,x∈[1,2],设h(x)=4(x+1)2x=4x+1x+2,x∈[1,2],
由于y=x+1x在x∈[1,2]上单调递增,
∴h(x)在[1,2]上是增函数,
∴h(x)min=h(1)=16,h(x)max=h(2)=18。
当0
当a>1时,F(x)min=loga16=2,则a=4。
综上,a=4。
(2)当0
∵x∈[1,2],∴x∈[1,2],
∴u(x)max=u(1)=1,
∴实数t的取值范围是[1,+∞)。
第4课时 不同函数增长的差异
考点1 几种函数增长的差异
1.(2019·黑龙江双鸭山第一中学高一期中)下列函数增长速度最快的是( )。
A.y=3x B.y=log3x
C.y=x3 D.y=3x
答案:A
解析: 结合函数y=3x,y=log3x,y=x3,y=3x的图像可知,随着x的增大,函数y=3x的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=x3的增长速度,而y=log3 x的增长速度则会越来越慢,y=3x的增长速度不变,故本题选A。
2.四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果它们一直运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是( )。
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=2x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
答案:D
解析: 由增长速度可知,当自变量充分大时,指数函数的值最大,故选D。
3.(2019·河南豫西南部分示范性高中高一期中)下列函数关系中,可以看作是指数型函数模型y=kax(k∈R,a>0且a≠1)的是( )。
A.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系
C.如果某人t s内骑车行进了1 km,那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D.信件的邮资与其重量间的函数关系
答案:B
解析: A.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系是二次函数关系;B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系是指数型函数关系;C.如果某人t s内骑车行进了1 km,那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系是反比例函数关系;D.信件的邮资与其重量间的函数关系是一次函数关系。故选B。
4.(2019·贵州遵义第四中学高一期中)下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据,由此可判断它最可能的函数模型为( )。
x
-2
-1
0
1
2
3
y
116
0.26
1.11
3.96
16.05
63.98
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.对数函数模型 D.指数函数模型
答案:D
解析: 由题表中数据可知函数值都大于0,并且近似f(0)=1,函数是单调增函数,而且函数增加的速度越来越快,符合指数函数的模型,近似于y=4x,选D。
5.(2019·广东实验中学模块考试)随着x越来越大,下列函数中,增长速度最快的是( )。
A.y=10x B.y=lg x
C.y=x10 D.y=10x
答案:D
解析: 由几类不同增长的函数特性可知,y=10x呈指数“爆炸式”增长,速度最快。
6.(2019·广西南宁一中高一检测)以下四种说法中,正确的是( )。
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的x>0,xn>logax
C.对任意的x>0,ax>logax
D.不一定存在x0,当x>x0时,总有ax>xn>logax
答案:D
解析: 对于A,幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响,幂指数与一次项系数不确定,增长幅度不能比较;对于B,C,当0
7.(原创题)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表所示。
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1 130
2 005
3 130
4 505
y2
5
94.478
1 785.2
33 733
6.73×105
1.2×107
2.28×108
y3
5
30
55
80
105
130
155
y4
5
2.310 7
1.429 5
1.140 7
1.046 1
1.015 1
1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是 。
答案: y2
解析: 指数函数的增长呈“爆炸式”增长,由表中数据可知呈指数型变化的变量为y2。
8.函数y=x2与函数y=xln x在区间(0,+∞)上增长较快的一个是 。
答案: y=x2
解析: 当x变大时,x比ln x增长要快,∴x2要比xln x增长得要快。
考点2 根据增长差异确定图像并比较
9.(2019·河北张家口高一检测)如图4-4-4-1所示,能使不等式log2x
图4-4-4-1
A.x>0 B.x>2
C.x<2 D.0
解析: 由函数图像可知,当0
图4-4-4-2
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;
答案: C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x。
(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较)。
答案: 当x
11(2019·河北邢台二中高一月考)已知函数f(x)=2x和g(x)=x3,在同一坐标系下作出它们的图像,结合图像比较f(8),g(8),f(2 018),g(2 018)的大小。
答案: 解:列表如下:
x
…
-1
0
1
2
3
…
f(x)
…
12
1
2
4
8
…
g(x)
…
-1
0
1
8
27
…
得出如图所示的图像。则函数f(x)=2x对应的图像为C2,函数g(x)=x3对应的图像为C1。
∵g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10)=1 000,f(10)=1 024,
∴f(1)>g(1),f(2)
∴1
12.据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图像如图4-4-4-3所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)。
图4-4-4-3
(1)当t=4时,求s的值;
答案: 由图像可知,当t=4时,v=3×4=12(km/h),
所以s=12×4×12=24(km)。
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;
答案: 当0≤t≤10时,s=12·t·3t=32t2;
当10
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由。
答案: 沙尘暴会侵袭到N城。
因为t∈[0,10]时,smax=32×102=150<650,
t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650,
所以当t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650,解得t1=30,t2=40。
因为t∈(20,35],所以t=30。
所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城。
13.(2019·西南师大附中检测)函数f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)=x12的图像如图4-4-4-4所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点,对三个函数的大小进行比较)。
图4-4-4-4
答案:解:由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得:曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=x12,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1。
由题图知,当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);
当1
当e
当a
当b
当c
当x>d时,f(x)>h(x)>g(x)。
考点3 根据增长差异选择函数模型
14.(2019·广西南宁第三中学高一期中)某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为接近的是( )。
A.y=0.2x B.y=110 (x2+2x)
C.y=2x10 D.y=0.2+log16x
答案:C
解析: 将x=1,2,3分别代入四个选项中的函数式,得到的结果与0.2,0.4,0.76比较,只有函数y=2x10较为接近。故选C。
15.(2019·浙江嘉兴五中高一月考)某学校为了实现60万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且资金y(单位:万元)随生源利润x(单位:万元)的增加而增加,但资金总数不超过3万元,同时资金不超过利润的20%。现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该校的要求?
答案: 解:借助工具作出函数y=3,y=0.2x,y=log5 x,y=1.02x的图像(如图所示)。观察图像可知,在区间[5,60]上,y=0.2x,y=1.02x的图像都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图像始终在y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合学校的要求。
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