数学九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试精品单元测试同步训练题

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人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》单元测试卷

满分：120分： 考试时间： 120分钟 命题人：

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列是一元二次方程的是

A.  B.
C.  D.

2. 关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是   

A.  B. 且 C. 且 D.

3. 若是方程的一个根，则的值是   

A. 1 B.  C. 2 D. 无法确定

4. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为

A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4

5. 下列方程中，有两个相等实数根的是

A.  B.  C.  D.

6. 方程的左边配成完全平方后所得方程为

A.  B.  C.  D.

7. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为

A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 7

8. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为

A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人

9. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

10. 某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长出x个小分支，则x满足的方程为    

A.  B.
C.  D.

11. 如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为   

A. 1m B.  C. 2m D.

12. 甲、乙两人同驾一辆车出游，各匀速驾驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为   

A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 2小时

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 已知m是方程的一个根，则代数式的值为          ．
14. 若关于x的方程是一元二次方程，则a，b的值分别为________．
15. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于______．
16. 如图，在一块长15m，宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为，则修建的路宽应为          米

17. 如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是，则经过          s后，P，Q两点之间相距25cm．

三、解答题（本大题共8小题，共69.0分）

18. 关于x的方程的一个实数根是6，并且m和6恰好是等腰三角形ABC的两边长，求的周长．
    
    
    
    
    
    
     
19. 先化简，再求值：，其中m是关于x的一元二次方程的根．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长．
    如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
    如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
    
    
    
    
    
    
     
21. 阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
    【问题】解方程：．
    【提示】可以用“换元法”解方程．
    解：设，则有，
    原方程可化为：，
    【续解】
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知关于x的方程有两实数根．
    求k的取值范围；
    设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，．

求实数m的取值范围

若，求实数m的值．






 

24. “读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
    求进馆人次的月平均增长率；
    因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
25. 某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次即最低档次的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
    若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
    由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：A、该方程是一元二次方程，故本选项正确；
B、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
C、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、该方程是分式方程，故本选项错误；
故选：A．
本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
未知数的最高次数是2；
二次项系数不为0；
是整式方程；
含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
 

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
直接利用一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：关于x的方程是一元二次方程，
，，
解得：，且．
故选：B．  

3.【答案】A
 

【解析】略
 

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】
解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
【解答】
解：

解得：或，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，
故选A．  

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
根据根的判别式逐项判断即可．
【解答】
解：A．，所以方程有两个相等实数根；
B.，所以方程没有实数根；
C.，所以方程有两个不相等实数根；
D.，所以方程有两个不相等实数根．
故选A．  

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元二次方程的解法，掌握配方法的步骤是解题的关键．
根据配方法的步骤进行配方即可．
【解答】
解：移项得：，
配方可得：，
即，
故选：A．  

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出k值是解题的关键．
当3为腰长时，将代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式，解之可得出k值．再根据三角形三边关系判断是否符合题意即可．
【解答】
解：当3为腰长时，将代入，得：，
解得：，
的两个根是，，，符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
的两个根是，，符合题意．
的值为3或4．
故选C．  

8.【答案】C
 

【解析】解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：参加酒会的人数为11人．
故选：C．
设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为，宽为，
根据题意得：．
故选D．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据主干、枝干和小分支的总数是91，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
根据每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，根据主干、枝干和小分支的总数是91，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，x个枝干上总共长了个小分支，
根据题意得：．
故选C．  

11.【答案】C
 

【解析】解：设道路宽为xm，由题意，得整理得解得不合题意，舍去，，则道路宽为故选C．
 

12.【答案】C
 

【解析】略
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值把入方程即可得到的形式，再整体代入，即可求解．
【解答】
解：根据题意，得，
，
．  

14.【答案】，或，或，或，或，
 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程的定义，根据定义分5种情况分别求解即可．
一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】
解：是关于x的一元二次方程，
，解得；
，解得；
，解得；
，解得；
，解得
此时两个二次项合并后为0，不合题意，舍去；
故答案为，或，或，或，．  

15.【答案】2028
 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，即，
则原式



，
故答案为：2028．
根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入原式计算可得．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
 

16.【答案】1
 

【解析】解：设道路的宽为xm，由题意得，解得，不合题意，舍去，则道路的宽应为1米．
 

17.【答案】0或10
 

【解析】略
 

18.【答案】解：把代入，得，解得．
因为m和6恰好是等腰三角形ABC的两边长，故分为两种情况：

腰长为6，即三边长分别为6，6，9，能组成三角形，该三角形周长为
腰长为9，即三边长分别为9，9，6，能组成三角形，该三角形周长为24．
所以的周长为21或24．

【解析】见答案
 

19.【答案】解：



，
是关于x的一元二次方程的根，
，
原式．
 

【解析】本题考查的是分式的化简求值、一元二次方程的解的定义以及整体代入法，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据m是一元二次方程的根求出，再代入原式进行计算即可．
 

20.【答案】解：是等腰三角形，
理由是：把代入方程得：，
，
，
的形状是等腰三角形；

是等边三角形，
，
，
，
即，
解得：，，
即这个一元二次方程的根是，．
 

【解析】把代入方程得，整理后根据等腰三角形的判定判断即可；
根据等边三角形的性质得出，代入方程，即可得出，再解方程即可．
本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的判定，等边三角形的性质等知识点，能理解一元二方程的解的定义是解的关键，能根据等边三角形的性质得出是解的关键．
 

21.【答案】解：，
，
或，
，，
当时，，此方程无解；
当时，，则，配方得，解得，；
经检验，原方程的解为，．
 

【解析】本题考查了解一元二次方程，解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
利用因式分解法解方程得到，，再分别解方程和方程，然后进行检验确定原方程的解．
 

22.【答案】解：，
．
由题意可知：，，
，
，
，
或，
由可知：舍去，
．
 

【解析】根据根的判别式即可求出答案．
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及根的判别式，本题属于中档题．
 

23.【答案】解：由题意，得根的判别式，
解得，
即实数m的取值范围是；
由根与系数的关系，得，
又，
，
．
 

【解析】本题主要考查一元二次方程．
依照根的判别式，方程有两个不相等的实数根，可得，即可求出m的范围；
由根与系数的关系，得，再由，得出，的值，即可求出m．
 

24.【答案】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：

化简得：
，
或舍
答：进馆人次的月平均增长率为．
进馆人次的月平均增长率为，
第四个月的进馆人次为：，
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
 

【解析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；
根据所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
 

25.【答案】解：档次．
答：此批次蛋糕属第三档次产品．
设烘焙店生产的是第x档次的产品，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该烘焙店生产的是第五档次的产品．
 

【解析】根据生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品；
设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润销售数量总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：根据数量关系，列式计算；根据单件利润销售数量总利润，列出关于x的一元二次方程．