鲁教版 (五四制)七年级上册第三章 勾股定理综合与测试课后测评

这是一份鲁教版 (五四制)七年级上册第三章 勾股定理综合与测试课后测评，共17页。

2021-2022学年鲁教版七年级数学上册《第3章勾股定理》单元培优提升测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．已知Rt△ABC的两直角边分别是6cm，8cm，则Rt△ABC的斜边上的高是（　　）
A．4.8cm B．2.4cm C．48cm D．10cm
2．在周长为24的直角三角形中，斜边长为11，则该三角形的面积为（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
3．三个正方形的面积如图所示，则S的值为（　　）

A．3 B．12 C．9 D．4
4．若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三条边长的平方为（　　）
A．9 B．41 C．9或41 D．不确定
5．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，AH＝6，那么EF等于（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2
6．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）

A．16 B．25 C．144 D．169

7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．BD平分∠ABC，AB＝5 cm，BC＝3 cm，则AD的长等于（　　）

A．2.5cm B．2cm C．1.5cm D．3cm
8．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）
A．20cm B．25cm C．26cm D．30cm
9．已知直角三角形的面积为6cm2，两直角边的和为7cm，则它的斜边长为（　　）cm．
A．5 B．6 C． D．
10．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（　　）

A．23 B．46 C．65 D．69
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，A，B，C，O四点都在3×3正方形网格的格点上，则∠AOB﹣∠BOC＝　 　°．

12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要 　 　米．


13．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是BC边所在直线上的点，AD＝12，BD＝9，则BC＝　 　．
14．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处B离地面高8m，树的顶端A离树根C处长6m，则这棵树在折断之前的高度是 　 　m．

15．若一个直角三角形满足其中一个内角是另一个内角的2倍，并且最短边长为1，则斜边长的平方为 　 　．
16．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为12，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，CD、AB分别为上、下两底的直径，且CD∥AB，则小虫爬行的最短路程是 　 　．

17．如图，一株荷叶高出水面1m，一阵风吹过来，荷叶被风吹的贴着水面，这时它偏离原来位置有3m远，则荷叶原来的高度是 　 　．


18．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑 　 　米．

19．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离C处5米的绿地旁边B处有健身器材，为提醒居住在A处的居民爱护绿地，不直接穿过绿地从A到B，而是沿小道从A→C→B．小丽想在A处树立一个标牌“沿路多走■米，共建美丽家园”请问：小丽在标牌■填上的数字是 　 　．

20．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝8，D为△ABC外一点，CD＝4，BD＝12，则∠ACD＝　 　°．

三．解答题（共6小题，满分60分）
21．小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索．（思考题）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？

22．为迎接十四运，西安某区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．某小区将对广场一块三角形空地进行绿化，如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，点D是AC上的一点，BD＝8，CD＝6．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求线段AB的长．

23．如图，A，B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8km，CB＝6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1）E站应建在距A站多少千米处？
（2）DE和EC垂直吗？说明理由．

24．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新建一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？


25．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160米，假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，周围100米以内会受到噪声的影响．
问：（1）学校是否会受到噪声的影响？说明理由．
（2）已知拖拉机的速度为18千米/时，若学校会受影响，则受到影响的时间有多长？

26．如右图，一块四边形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．
（1）连接AC，判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求四边形花圃ABCD的面积．


参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：设Rt△ABC斜边上的高为hcm，
∵Rt△ABC的两直角边分别是6cm，8cm，
∴斜边长＝10（cm），
∵×10×h＝×6×8，
∴h＝4.8（cm），
即Rt△ABC的斜边上的高是4.8cm，
故选：A．
2．解：设直角三角形的一直角边长为x，另一直角边为y，
由题意可得：x+y＝24﹣11＝13，
∴（x+y）2＝132①，
由勾股定理可得：x2+y2＝112②，
①﹣②得：2xy＝48，
∴xy＝24，
∴该三角形的面积为：xy＝×24＝12，
故选：B．
3．解：如图，

由题意可得：AB＝4，AC＝5，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴BC2＝25﹣16＝9，
∴S＝9，
故选：C．
4．解：当5为直角边时，第三边的平方为：42+52＝41；
当5为斜边时，第三边的平方为：52﹣42＝9．
故第三边的平方为9或41，
故选：C．
5．解：∵△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，
∴AH＝DE＝6，AD＝AB＝10，
在Rt△ADE中，
AE＝8，
∴HE＝AE﹣AH＝8﹣6＝2，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF＝HE＝2，
故选：D．
6．解：根据勾股定理得出：AB＝5，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
7．解：法一、如图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE＝BC＝3cm，
∵AB＝5cm，
∴AE＝AB﹣BE＝2cm，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4cm，
设AD＝xcm，则DE＝DC＝AC﹣AD＝（4﹣x）cm，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即22+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝2.5，
∴AD＝2.5cm．
故选：A．
法二、如图，过点D作DE⊥AB于点E，

由法一可知，DE＝DC，BE＝BC＝3 cm，
Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，
由勾股定理可得AC＝4 cm，
设DE＝tcm，则CD＝tcm，
∴AD＝（4﹣t）cm，
∵S△ABD＝AB•DE＝AD•CD，
∴AB•DE＝AD•CD，即5t＝3（4﹣t），
解得t＝1.5，
∴AD＝2.5 cm，
故选：A．
8．解：如图，AC为圆桶底面直径，CB是桶高，
∴AC＝7cm，CB＝24cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB＝25（cm）．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为25cm．
故选：B．

9．解：设一条直角边长为xcm，则另一条直角边为（7﹣x）cm，
根据题意得：x（7﹣x）＝6，
解得：x1＝3，x2＝4，
斜边的长为:5（cm）；
方法二：设两直角边为x和y，则xy＝6，x+y＝7．
∴xy＝12，
∴（x+y）2＝49，
∴x2+y2+2xy＝49．
∴x2+y2＝49﹣2xy＝25．
∴斜边长＝5（cm）；
故选：A．
10．解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，
∴MC2﹣MB2
＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）
＝AC2﹣AB2
＝132﹣102
＝69．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：如图，找到C点关于OB的对应点，连结OD，AD，
则∠DOB＝∠COB，
则∠AOB﹣∠BOC＝∠AOB﹣∠BOD＝∠AOD，
∵AO2+AD2＝OD2，
∴△DAO是等腰直角三角形，
∴∠AOD＝45°，即∠AOB﹣∠BOC＝45°．
故答案为：45．

12．解：在Rt△ABC中，AC＝4（米），
故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，
故答案为：7．
13．解：如图1所示，当点D在线段BC上时，
∵AD＝12，BD＝9，AB＝15，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴DC＝16，
∴BC＝BD+CD＝9+16＝25；
如图2所示，当点D在CB的延长线上时，
同理可得，DC＝16，
∴BC＝CD﹣BD＝16﹣9＝7；
由于AC＞AB，所以点D不在BC的延长线上．
综上所述，BC的长度为25或7．
故答案为：25或7．

14．解：∵BC＝8米，AC＝6米，
∵∠C＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴AB＝10（米），
∴这棵树在折断之前的高度是10+8＝18（米）．
故答案为18．
15．解：若直角是另一个内角的2倍时，该直角三角形为等腰直角三角形，则斜边长度的平方为2；
若一个锐角是另一个内角的2倍时，最短边所对的角为30°角，则斜边长度为：2×1＝2，所以22＝4．
综上所述，斜边长的平方为2或4．
故答案是：2或4．
16．解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．
在Rt△ABC中，
∵AB＝π•＝5，CB＝12，
∴AC＝13，
故答案为：13．

17．解：设水面以下荷叶的高度为OH＝hm，则荷叶的高度为AO＝BO＝（h+1）m，如图所示：
在Rt△OHB中，BH＝3m，由勾股定理得：OH2+BH2＝BO2，
即h2+32＝（h+1）2，
解得：h＝4（m），
∴h+1＝5（m），
∴荷叶的高度为5m，
故答案为：5m．

18．解：设AE的长为x米，依题意得CE＝AC﹣x．
∵AB＝DE＝2.5米，BC＝1.5米，∠C＝90°，
∴AC＝2．
∵BD＝0.5，
在Rt△ECD中，CE＝1.5（米）．
∴2﹣x＝1.5，x＝0.5．即AE＝0.5米．
即：滑杆顶端A下滑0.5米．
故答案是：0.5．
19．解：在Rt△ABC中，AB为斜边，
∴AB＝13米，
少走的距离为
AC+BC﹣AB＝（12+5）﹣13（米）＝4米
答：小明在标牌■填上的数字是4．
故答案为：4．
20．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2＝AC2+AB2＝82+82＝128，
∵DC2＝42＝16，BD2＝122＝144，
∴AC2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠DCB＝90°，
在△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠ACD＝∠DCB﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°，
故答案为：45．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．解：在Rt△ABC中，∵AB＝2.5，BC＝0.7，
∴AC＝2.4米，
又∵AA1＝0.4，
∴A1C＝2.4﹣0.4＝2，
在Rt△A1B1C中，B1C＝1.5米，
则BB1＝CB1﹣CB＝1.5﹣0.7＝0.8米．
故：梯子底部B外移0.8米．
22．（1）证明：∵BC＝10，BD＝8，CD＝6，
∴BD2+CD2＝82+62＝102＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥AC；
（2）解：设AB＝x，则AB＝AC＝x，
∵CD＝6，
∴AD＝x﹣6，
∵AB2＝BD2+AD2，
∴x2＝82+（x﹣6）2，
解得：x＝，
∴AB＝．
23．解：（1）设AE＝xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，
由勾股定理，得82+x2＝62+（14﹣x）2，
解得：x＝6．
故E点应建在距A站6千米处；
（2）DE⊥CD，理由如下：
在Rt△DAE和Rt△CBE中，
，
∴Rt△DAE≌Rt△CBE（HL），
∴∠D＝∠BEC，
∵∠D+∠AED＝90°，
∴∠BEC+∠AED＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥CD．
24．解：（1）CH是从村庄C到河边的最近路．
理由如下：
∵CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，
∴CB2＝CH2+HB2，
∴△BCH为直角三角形，∠BHC＝90°，
∴CH⊥AB，
∴CH为C点到AB的最短路线；
（2）设AC＝xkm，则AB＝xkm，AH＝（x﹣0.9）km，
在Rt△ACH中，（x﹣0.9）2+1.22＝x2，
解得x＝1.25，
即AC＝1.25km，
∵AC﹣CH＝1.25﹣1.2＝0.05（km），
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
25．解：（1）学校会受到噪声影响．
理由：作AH⊥MN于H，如图，
在Rt△APH中，
∵∠HPA＝30°，
∴AH＝AP＝×160°＝80（m），
而80＜100，
∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到影响；
（2）以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，如图，则AB＝AC＝100m，
而AH⊥BC，
∴BH＝CH，
在Rt△ABH中，BH＝60（m），
∴BC＝2BH＝120（m），
∵拖拉机的速度＝18km/h＝5m/s，
∴学校受到的影响的时间＝＝24（秒）．

26．解：（1）连接AC，

因为∠B＝90°，所以直角△ABC中，由勾股定理得：
AC2＝AB2+BC2，
AC2＝42+32，
AC2＝25，
∴AC＝5m，又CD＝12m，AD＝13m，
所以△ACD中，AC2+CD2＝AD2，
所以△ACD是直角三角形；
（2）S四边形ABCD＝AC•CD+AB•BC
S四边形ABCD＝×5×12+×4×3
＝30+6
＝36（m2），
答：该花圃的面积为36m2．