高中数学人教版新课标A必修13.2.1几类不同增长的函数模型教案及反思

3.2.1几类不同增长的函数模型

班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________

课前预习 · 预习案

【温馨寄语】

生活的海洋已铺开金色的路，浪花正分列两旁摇动着欢迎的花束。勇敢地去吧，朋友!前进，已吹响出征的海螺；彩霞，正在将鲜花的大旗飞舞……

【学习目标】

1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们的增长差异.

2．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.

3．恰当运用函数的三类表示法(解析式、图象、表格)并借助信息技术解决一些实际问题.

【学习重点】

1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义

2．集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合

【学习难点】

1．怎样选择数学模型分析解决实际问题

2．难点是集合特征性质的概念，以及运用特征性质描述法表示集合

【自主学习】

1．三类增长型函数图象性质的变化特征

2．三类增长型函数之间增长速度的比较

(1)指数函数和幂函数在区间(0，+∞)上，由于的增长速度           的增长速度，因而总存在一个实数，当时，就会有_____________(，).

(2)对数函数和幂函数，的增长    的增长，因而在区间(0，+∞)上，总存在一个实数，使时有_____________(，).

结论：三类增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个“档次”上，在(0，+∞)上，总会存在一个，当时有               .

【预习评价】

1．下表显示了函数值随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能符合的函数模型为

A.一次函数模型                B.二次函数模型

C.指数函数模型                 D.对数函数模型

2．某种植物生长发育的数量与时间的关系如下表：

下面的函数关系式中，能表达这种关系的是

A.                B.

C.                 D.

3．某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是           .

4．某种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价              .

知识拓展 · 探究案

【合作探究】

1．几类函数模型的特征及其增长差异的比较

观察函数，，在区间(0，+∞)上的图象，思考以下几个问题：

(1)三个函数在区间(0，+∞)上的图象有什么特点？

(2)当趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？

(3)一般情况下，函数，和在区间(0，+∞)上增长速度怎样？

2．几类函数模型的应用

当题目条件中的信息以表格等形式给出时，常常先根据相关数据中的信息进行描点，结合描点后的图象，选择合适的函数模型来解决有关问题，观察下列图象探究有关问题：

(1)根据图象的特点，①②③④应分别选用哪种函数模型较好？

(2)已知函数模型，求函数的解析式一般常用的方法是什么？

【教师点拨】

1．四类不同增长的函数模型

(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.

(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数函数模型.

(3)增长速度较慢的函数模型是对数函数模型.

(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.

2．几类函数模型的选择

(1)一次函数模型：当增加一个单位时，增加或减少的量为定值，则是的一次函数，一次函数的图象为直线.

(2)二次函数模型：二次函数是常用的重要模型，是或其他量的二次函数，常用来求最大值或最小值问题，但要注意定义域.

(3)指数函数模型、对数函数模型：当问题中每期(或每年、每段等)的增长率相同，则为指数函数模型或对数函数模型，一般与增长率、衰减率、利息等现实问题联系紧密.

【交流展示】

1．当自变量足够大时，下列函数中增长速度最快的是

2．若，试分析三个函数模型，，的增长差异，用“＞”把它们的取值大小关系连接起来为           .

3．下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此判断符合这组数据的最恰当的函数模型是

4．2005年1月6日是“中国十三亿人口日”，如果要使我国总人口在2015年以前控制在十四亿之内，那么从2005年1月6日开始的随后10年由我国的年平均人口自然增长率应控制在多少以内.

【学习小结】

1．建立函数模型要遵偱的原则

(1)简化原则

建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.

(2)可推演原则

建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.

(3)反映性原则

建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.

2．三种函数模型的表达式及其增长特点的总结

(1)指数函数模型：表达式为(，，为常数，)，当时，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当时，函数值由快到慢地减少.

(2)对数函数模型：表达式为，，为常数，)，当时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当时，相应函数值逐渐减少，变化得越来越慢.

(3)幂函数模型：表达式为((，，为常数，，，为常数，，)，其增长情况由和的取值确定，常见的有二次函数模型.

【当堂检测】

1．三人赛跑，假设其路过的路程和时间的函数关系分别是，，，他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是

2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售800台，则下列函数模型中能准确地反映销售量与投放市场的月数之间关系的是

答案

课前预习 · 预习案

【自主学习】

1．增函数　增函数　增函数　y轴　x轴

2．(1)快于　ax＞xn

(2)慢于　xn＞logax　ax＞xn＞logax(a＞1，n＞0)

【预习评价】

1．C

2．D

3．

4．11.11％

知识拓展 · 探究案

【合作探究】

1．(1)三个函数在区间(0，＋∞)上的图象都是上升的，即单调递增.

(2)三个函数的增长速度差异很大，其中y＝2x增长速度最快，y＝log2x增长速度最慢.

(3)一般情况下，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，一般称为爆炸式增长，y＝logax(a＞1)增长会越来越慢，y＝xn(n＞0)介于它们两个之间.

2．(1)①随着x值的增大y值的变化越来越大，所以常选用指数型函数来模拟；②随着x值的增大y值的变化越来越近似为零，所以常用对数型函数模拟；③图形中的点先升后降，所以常选用二次函数模拟；④数据点大致都落在一条直线附近，所以常选用一次函数模拟.

(2)已知函数类型求函数的解析式一般常用的方法是待定系数法，根据函数的类型，可设出其函数解析式，用待定系数法求解.

【交流展示】

1．A

2．

3．A

4．74％

【当堂检测】

1．A

2．C