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2021-2022学年度浙教版八年级数学第一学期期末考试模拟试卷A含解析
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这是一份2021-2022学年度浙教版八年级数学第一学期期末考试模拟试卷A含解析，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图标中轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．如果a＜b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣1＞b﹣1B．＜C．﹣a＜﹣bD．﹣a+5＜﹣b+5
4．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
5．直角三角形两直角边长分别为3cm和5cm，则这个直角三角形的周长是（ ）
A．12cmB．（8+）cm
C．12cm或（8+）cmD．11cm或13cm
6．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．75°
7．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜0B．x＞0C．x＜2D．x＞2
8．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝100m，PB＝90m，那么点A与点B之间的距离可能是（ ）
A．10mB．120mC．190mD．220m
9．如图，△ABC顶角为120°，AB＝AC，EC＝4，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．D．
10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B的坐标分别是（2，0），（4，2），若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是（ ）
A．（4，﹣2）B．（﹣4，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣2，﹣2）D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．一元一次不等式x﹣5＜0的解是 ．
12．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”是 ．（填“真命题”或“假命题”）
13．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 ．
14．点A的坐标为（﹣1，2），点A到x轴的距离是 ．
15．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，则∠BOQ＝ 度．
16．甲、乙两人相约周末登全旺饭甄山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）b＝ 米；
（2）若乙提速后，乙登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，则甲、乙两人相遇后，再经过 分钟，他们俩距离地面的高度差为70米．
三、解答题（本大题共有8小题，共52分务必写出解答过程）
17．解一元一次不等式组．
18．如图，AF＝DC，∠BCA＝∠EFD，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．
19．已知y是关于x的一次函数，且当x＝1时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝8．
（1）求该函数表达式；
（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设该一次函数与x轴、y轴交点分别是A、B两点，求△ABO的面积．
20．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD．若AB＝10，AC＝17，BD＝6，AD＝8．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求BC的长．
21．如图（1），矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，
（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）折叠后重合部分是什么图形？说明理由．
22．我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据．
（1）在图2中将表x，y的数据通过描点的方法表示，观察判断x，y的函数关系，并求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？
（2）已知秤砣到秤纽的最大水平距离为50厘米，这杆秤的可称物重范围是多少斤？
23．近期疫情防控形势严峻．妈妈让小明到惠民药店购买口罩．某种包装的口罩标价每袋10元，请认真阅读老板与小明的对话．
（1）结合两人的对话内容，小明原计划购买几袋口罩？
（2）小明正准备结账时，妈妈来电话说还需要购买消毒液和洗手液共5瓶，三种物品购买总价不超过200元，现已知消毒液标价每瓶20元，洗手液标价每瓶35元，经过沟通，三种物品老板都给予8折优惠，那么小明最多可购买洗手液多少瓶？
24．定义：到三角形两个顶点距离相等的点叫做此三角形的准心．举例：如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准心．
（1）判断：如图2，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点P在AD上，则点P △ABC的准心（填“是”或“不是”）；
（2）应用：如图3，CD为正△ABC的高，准心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数；
（3）探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准心P在AC边上，试探究PA的长．
参考答案
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图标中轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．找不到这样一条直线，翻折后使直线两方的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．找不到这样一条直线，翻折后使直线两方的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．找不到这样一条直线，翻折后使直线两方的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．图形沿着一条直线翻折，直线两方的部分能够完全重合，所以它是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由平面直角坐标系中点的坐标的符号特点进行判断，因为3＞0，﹣2＜0，所以点P（3，﹣2）在第四象限．
解：∵3＞0，﹣2＜0，
∴点P（3，﹣2）在第四象限．
故选：D．
3．如果a＜b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣1＞b﹣1B．＜C．﹣a＜﹣bD．﹣a+5＜﹣b+5
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
解：A．∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1，故本选项不符合题意；
B．∵a＜b，
∴＜，故本选项符合题意；
C．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，故本选项不符合题意；
D．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴﹣a+5＞﹣b+5，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据在数轴上表示不等式组解集的方法表示出不等式组的解集，再找出符合条件的选项即可．
解：不等式组在数轴上表示为：
故选：A．
5．直角三角形两直角边长分别为3cm和5cm，则这个直角三角形的周长是（ ）
A．12cmB．（8+）cm
C．12cm或（8+）cmD．11cm或13cm
【分析】根据勾股定理求得直角三角形的斜边，进而得出周长即可．
解：5cm是直角边时，第三边＝（cm），
所以，这个直角三角形的周长＝3+5+＝（8+）cm．
故选：B．
6．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．75°
【分析】由题意可求得∠ACD＝30°，利用三角形的外角性质即可求∠α的度数．
解：如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∠ECD＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠ECD＝30°，
∵∠α是△ACD的一个外角，
∴∠α＝∠A+∠ACD＝75°．
故选：D．
7．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜0B．x＞0C．x＜2D．x＞2
【分析】根据函数图象与x轴的交点坐标可直接解答．从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b＜0的解集，就是图象在x轴下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
解：因为直线y＝kx+b与x轴的交点坐标为（2，0），
由函数的图象可知当y＞0时，x的取值范围是x＜2．
故选：C．
8．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝100m，PB＝90m，那么点A与点B之间的距离可能是（ ）
A．10mB．120mC．190mD．220m
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可以确定BC的取值范围，从而可以解答本题．
解：∵在△ABC中，PA＝100m，PB＝90m，
∴100﹣90＜AB＜100+90，
∴10＜AB＜190，
故点A与点B之间的距离可能是120m．
故选：B．
9．如图，△ABC顶角为120°，AB＝AC，EC＝4，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】根据折叠的性质，AE＝BE，∠DAE＝∠B＝30°，又∠BAC＝120°，可知∠EAC＝90°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，可知AE＝2，DE＝1．
解：∵∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
根据折叠的性质，AE＝BE，∠DAE＝∠B＝30°，
∴∠EAC＝90°，
∴AE＝EC＝BE＝2，
∵∠BDE＝90°，∠B＝30°，
∴DE＝BE＝1．
故选：A．
10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B的坐标分别是（2，0），（4，2），若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是（ ）
A．（4，﹣2）B．（﹣4，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣2，﹣2）D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
【分析】先根据题意和全等三角形的判定画出符合的图形，再求出P点的坐标即可．
解：如图所示：有两种情况，
∵A（2，0），B（4，2），以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，
∴P1的坐标是（4，﹣2），P2的坐标是（﹣2，﹣2），
故选：C．
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．一元一次不等式x﹣5＜0的解是 x＜5 ．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项可得．
解：移项，得：x＜5，
故答案为：x＜5．
12．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”是 真命题 ．（填“真命题”或“假命题”）
【分析】根据线段垂直平分线的性质进行判断．
解：命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”是真命题．
故答案为真命题．
13．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 80° ．
【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．
解：∵等腰三角形底角相等，
∴180°﹣50°×2＝80°，
∴顶角为80°．
故填80°．
14．点A的坐标为（﹣1，2），点A到x轴的距离是 2 ．
【分析】根据点A到x轴的距离为纵坐标的绝对值解答即可．
解：∵在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），
∴点A到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值即为2．
故答案为：2．
15．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，则∠BOQ＝ 60 度．
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS证得△ABP≌△CAQ，则对应角∠ABP＝∠CAQ，所以由三角形外角的性质求得∠BOQ＝∠BAO+∠OAP＝∠BAP＝60°．
解：如图，在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAP＝∠C＝60°．
在△ABP与△CAQ中，
，
∴△ABP≌△CAQ（SAS），
∴∠ABP＝∠CAQ．
∵∠BOQ＝∠BAO+∠ABP，
∴∠BOQ＝∠BAO+∠CAQ＝∠BAC＝60°．
故答案为：60．
16．甲、乙两人相约周末登全旺饭甄山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）b＝ 30 米；
（2）若乙提速后，乙登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，则甲、乙两人相遇后，再经过 3或10或13 分钟，他们俩距离地面的高度差为70米．
【分析】（1）由图形可得结果；
（2）先求出乙分段函数解析式、甲函数解析式，再分3种情况讨论甲、乙两人相遇后距离地面的高度差为70米所用的时间．
解：（1）b＝15×2＝30，
故答案为：30；
（2）甲登山上升速度是：（300﹣100）÷20＝10（米/分）
乙提速后速度：10×3＝30，
∴t＝2+（300﹣30）÷30＝11，
设甲关系式：y＝kx+b，
把（0，100），（20.300）代入y＝kx+b得，
，
解得k＝10x+100，（0≤x≤20），
设乙关系式：m＝ax（0≤x≤2），
把（1，15）代入得，a＝15，
∴m＝15x，
设n＝hx+p（2＜x≤11），
把（2，30）（11，300）代入得h＝30，p＝﹣30，
∴n＝30x﹣30，
①10x+100﹣（30x﹣30）＝70，
解得x＝3，
②30x﹣30﹣（10x+100）＝70，
解得x＝10，
③300﹣（10x+100）＝70，
解得x＝13，
综上所述：甲、乙两人相遇后，再经：3分、10分、13分时俩距离地面的高度差为70米．
故答案为：3、10、13．
三、解答题（本大题共有8小题，共52分务必写出解答过程）
17．解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：解不等式3x﹣2≥2x，得：x≥2，
解不等式x＜2，得：x＜6，
∴不等式组的解集为2≤x＜6．
18．如图，AF＝DC，∠BCA＝∠EFD，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．
【分析】求出AC＝DF，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
【解答】证明：∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
19．已知y是关于x的一次函数，且当x＝1时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝8．
（1）求该函数表达式；
（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设该一次函数与x轴、y轴交点分别是A、B两点，求△ABO的面积．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）利用坐标上点的坐标特征求出点A、B的坐标，然后根据三角形面积公式计算．
解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意得，
解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣2x+6；
（2）当y＝0时，﹣2x+6＝0，解得x＝3，则A（3，0），
当x＝0时，y＝﹣2x+6＝6，则B（0，6），
所以S△OAB＝×3×6＝9．
20．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD．若AB＝10，AC＝17，BD＝6，AD＝8．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求BC的长．
【分析】（1）根据AB＝10，BD＝6，AD＝8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形；
（2）利用勾股定理求出CD的长，即可得出答案．
解：（1）∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB＝90°；
（2）在Rt△ACD中，CD＝＝15，
∴BC＝BD+CD＝6+15＝21，
答：BC的长是21．
21．如图（1），矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，
（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）折叠后重合部分是什么图形？说明理由．
【分析】（1）根据折叠的性质，可以作∠BDF＝∠BDC，∠EBD＝∠CBD，则可求得折叠后的图形．
（2）由折叠的性质，易得∠FDB＝∠CDB，又由四边形ABCD是矩形，可得AB∥CD，即可证得∠FDB＝∠FBD，即可证得△FBD是等腰三角形．
解：（1）做法参考：
方法1：作∠BDG＝∠BDC，在射线DG上截取DE＝DC，连接BE；
方法2：作∠DBH＝∠DBC，在射线BH上截取BE＝BC，连接DE；
方法3：作∠BDG＝∠BDC，过B点作BH⊥DG，垂足为E
方法4：作∠DBH＝∠DBC，过，D点作DG⊥BH，垂足为E；
方法5：分别以D、B为圆心，DC、BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE、BE．
∴△DEB为所求做的图形．
（2）等腰三角形．
证明：∵△BDE是△BDC沿BD折叠而成，
∴∠FDB＝∠CDB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴∠FDB＝∠ABD，
∴△BDF是等腰三角形．
22．我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据．
（1）在图2中将表x，y的数据通过描点的方法表示，观察判断x，y的函数关系，并求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？
（2）已知秤砣到秤纽的最大水平距离为50厘米，这杆秤的可称物重范围是多少斤？
【分析】（1）根据x、y的数据描点，根据点的位置求出一次函数的解析式，再把x＝16代入y＝x+，求出结果；
（2）把x＝50代入y＝x+，求出y的值，进而求出这杆秤的可称物重范围．
解：（1）设x，y的函数关系式：y＝kx+b，
∵图像过（2，1），（4，1.5），
∴，
解得k＝，b＝，
∴y＝x+，
把x＝16代入y＝x+，
得y＝4.5，
∴杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤；
（2）把x＝50代入•y＝x+，
得y＝，
∴0≤y≤，
∴这杆秤的可称物重范围是0≤y≤．
23．近期疫情防控形势严峻．妈妈让小明到惠民药店购买口罩．某种包装的口罩标价每袋10元，请认真阅读老板与小明的对话．
（1）结合两人的对话内容，小明原计划购买几袋口罩？
（2）小明正准备结账时，妈妈来电话说还需要购买消毒液和洗手液共5瓶，三种物品购买总价不超过200元，现已知消毒液标价每瓶20元，洗手液标价每瓶35元，经过沟通，三种物品老板都给予8折优惠，那么小明最多可购买洗手液多少瓶？
【分析】（1）设小明原计划购买x袋口罩，由题意：某种包装的口罩标价每袋10元，结合小明和老板的对话，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设小明可购买洗手液y瓶，则购买消毒液（5﹣y）瓶，由题意：妈妈来电话说还需要购买消毒液和洗手液共5瓶，三种物品购买总价不超过200元，现已知消毒液标价每瓶20元，洗手液标价每瓶35元，经过沟通，三种物品老板都给予8折优惠．列出一元一次不等式，解不等式即可．
解：（1）设小明原计划购买x袋口罩，
依题意，得：10x﹣10×0.85（x+1）＝6.5，
解得：x＝10，
答：小明原计划购买10袋口罩；
（2）设小明可购买洗手液y瓶，则购买消毒液（5﹣y）瓶，
由题意得：[10×10+35y+20×（5﹣y）]×80%≤200，
解得：y≤3，
答：小明最多可购买洗手液3瓶．
24．定义：到三角形两个顶点距离相等的点叫做此三角形的准心．举例：如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准心．
（1）判断：如图2，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点P在AD上，则点P 是 △ABC的准心（填“是”或“不是”）；
（2）应用：如图3，CD为正△ABC的高，准心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数；
（3）探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准心P在AC边上，试探究PA的长．
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
（2）利用等边三角形的性质，证明∠BPD＝∠CPD＝45°，可得结论．
（3）先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB＝PC，②PA＝PC，③PA＝PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．
解：（1）如图2中，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴PB＝PC，
∴点P是△ABC的准心，
故答案为：是．
（2）如图3中，
∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝BD，
∵PD＝AB，
∴AD＝PD＝DB，
∴∠APD＝∠BPD＝45°，
∴∠APB＝90°．
（3）如图4中，
∵BC＝5，AB＝3，
∴AC＝＝＝4，
①若PB＝PC，设PA＝x，则x2+32＝（4﹣x）2，
∴x＝，即PA＝，
②若PA＝PC，则PA＝2，
③若PA＝PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．
故PA＝2或．
x（厘米）
1
2
4
8
y（斤）
0.75
1.00
1.50
2.5
x（厘米）
1
2
4
8
y（斤）
0.75
1.00
1.50
2.5
1．下列图标中轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．如果a＜b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣1＞b﹣1B．＜C．﹣a＜﹣bD．﹣a+5＜﹣b+5
4．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
5．直角三角形两直角边长分别为3cm和5cm，则这个直角三角形的周长是（ ）
A．12cmB．（8+）cm
C．12cm或（8+）cmD．11cm或13cm
6．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．75°
7．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜0B．x＞0C．x＜2D．x＞2
8．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝100m，PB＝90m，那么点A与点B之间的距离可能是（ ）
A．10mB．120mC．190mD．220m
9．如图，△ABC顶角为120°，AB＝AC，EC＝4，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．D．
10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B的坐标分别是（2，0），（4，2），若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是（ ）
A．（4，﹣2）B．（﹣4，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣2，﹣2）D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．一元一次不等式x﹣5＜0的解是 ．
12．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”是 ．（填“真命题”或“假命题”）
13．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 ．
14．点A的坐标为（﹣1，2），点A到x轴的距离是 ．
15．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，则∠BOQ＝ 度．
16．甲、乙两人相约周末登全旺饭甄山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）b＝ 米；
（2）若乙提速后，乙登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，则甲、乙两人相遇后，再经过 分钟，他们俩距离地面的高度差为70米．
三、解答题（本大题共有8小题，共52分务必写出解答过程）
17．解一元一次不等式组．
18．如图，AF＝DC，∠BCA＝∠EFD，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．
19．已知y是关于x的一次函数，且当x＝1时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝8．
（1）求该函数表达式；
（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设该一次函数与x轴、y轴交点分别是A、B两点，求△ABO的面积．
20．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD．若AB＝10，AC＝17，BD＝6，AD＝8．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求BC的长．
21．如图（1），矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，
（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）折叠后重合部分是什么图形？说明理由．
22．我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据．
（1）在图2中将表x，y的数据通过描点的方法表示，观察判断x，y的函数关系，并求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？
（2）已知秤砣到秤纽的最大水平距离为50厘米，这杆秤的可称物重范围是多少斤？
23．近期疫情防控形势严峻．妈妈让小明到惠民药店购买口罩．某种包装的口罩标价每袋10元，请认真阅读老板与小明的对话．
（1）结合两人的对话内容，小明原计划购买几袋口罩？
（2）小明正准备结账时，妈妈来电话说还需要购买消毒液和洗手液共5瓶，三种物品购买总价不超过200元，现已知消毒液标价每瓶20元，洗手液标价每瓶35元，经过沟通，三种物品老板都给予8折优惠，那么小明最多可购买洗手液多少瓶？
24．定义：到三角形两个顶点距离相等的点叫做此三角形的准心．举例：如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准心．
（1）判断：如图2，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点P在AD上，则点P △ABC的准心（填“是”或“不是”）；
（2）应用：如图3，CD为正△ABC的高，准心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数；
（3）探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准心P在AC边上，试探究PA的长．
参考答案
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图标中轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．找不到这样一条直线，翻折后使直线两方的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．找不到这样一条直线，翻折后使直线两方的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．找不到这样一条直线，翻折后使直线两方的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．图形沿着一条直线翻折，直线两方的部分能够完全重合，所以它是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由平面直角坐标系中点的坐标的符号特点进行判断，因为3＞0，﹣2＜0，所以点P（3，﹣2）在第四象限．
解：∵3＞0，﹣2＜0，
∴点P（3，﹣2）在第四象限．
故选：D．
3．如果a＜b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣1＞b﹣1B．＜C．﹣a＜﹣bD．﹣a+5＜﹣b+5
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
解：A．∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1，故本选项不符合题意；
B．∵a＜b，
∴＜，故本选项符合题意；
C．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，故本选项不符合题意；
D．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴﹣a+5＞﹣b+5，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据在数轴上表示不等式组解集的方法表示出不等式组的解集，再找出符合条件的选项即可．
解：不等式组在数轴上表示为：
故选：A．
5．直角三角形两直角边长分别为3cm和5cm，则这个直角三角形的周长是（ ）
A．12cmB．（8+）cm
C．12cm或（8+）cmD．11cm或13cm
【分析】根据勾股定理求得直角三角形的斜边，进而得出周长即可．
解：5cm是直角边时，第三边＝（cm），
所以，这个直角三角形的周长＝3+5+＝（8+）cm．
故选：B．
6．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．75°
【分析】由题意可求得∠ACD＝30°，利用三角形的外角性质即可求∠α的度数．
解：如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∠ECD＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠ECD＝30°，
∵∠α是△ACD的一个外角，
∴∠α＝∠A+∠ACD＝75°．
故选：D．
7．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜0B．x＞0C．x＜2D．x＞2
【分析】根据函数图象与x轴的交点坐标可直接解答．从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b＜0的解集，就是图象在x轴下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
解：因为直线y＝kx+b与x轴的交点坐标为（2，0），
由函数的图象可知当y＞0时，x的取值范围是x＜2．
故选：C．
8．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝100m，PB＝90m，那么点A与点B之间的距离可能是（ ）
A．10mB．120mC．190mD．220m
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可以确定BC的取值范围，从而可以解答本题．
解：∵在△ABC中，PA＝100m，PB＝90m，
∴100﹣90＜AB＜100+90，
∴10＜AB＜190，
故点A与点B之间的距离可能是120m．
故选：B．
9．如图，△ABC顶角为120°，AB＝AC，EC＝4，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】根据折叠的性质，AE＝BE，∠DAE＝∠B＝30°，又∠BAC＝120°，可知∠EAC＝90°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，可知AE＝2，DE＝1．
解：∵∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
根据折叠的性质，AE＝BE，∠DAE＝∠B＝30°，
∴∠EAC＝90°，
∴AE＝EC＝BE＝2，
∵∠BDE＝90°，∠B＝30°，
∴DE＝BE＝1．
故选：A．
10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B的坐标分别是（2，0），（4，2），若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是（ ）
A．（4，﹣2）B．（﹣4，﹣2）
C．（4，﹣2）或（﹣2，﹣2）D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）
【分析】先根据题意和全等三角形的判定画出符合的图形，再求出P点的坐标即可．
解：如图所示：有两种情况，
∵A（2，0），B（4，2），以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，
∴P1的坐标是（4，﹣2），P2的坐标是（﹣2，﹣2），
故选：C．
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．一元一次不等式x﹣5＜0的解是 x＜5 ．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项可得．
解：移项，得：x＜5，
故答案为：x＜5．
12．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”是 真命题 ．（填“真命题”或“假命题”）
【分析】根据线段垂直平分线的性质进行判断．
解：命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”是真命题．
故答案为真命题．
13．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 80° ．
【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．
解：∵等腰三角形底角相等，
∴180°﹣50°×2＝80°，
∴顶角为80°．
故填80°．
14．点A的坐标为（﹣1，2），点A到x轴的距离是 2 ．
【分析】根据点A到x轴的距离为纵坐标的绝对值解答即可．
解：∵在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），
∴点A到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值即为2．
故答案为：2．
15．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，则∠BOQ＝ 60 度．
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS证得△ABP≌△CAQ，则对应角∠ABP＝∠CAQ，所以由三角形外角的性质求得∠BOQ＝∠BAO+∠OAP＝∠BAP＝60°．
解：如图，在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAP＝∠C＝60°．
在△ABP与△CAQ中，
，
∴△ABP≌△CAQ（SAS），
∴∠ABP＝∠CAQ．
∵∠BOQ＝∠BAO+∠ABP，
∴∠BOQ＝∠BAO+∠CAQ＝∠BAC＝60°．
故答案为：60．
16．甲、乙两人相约周末登全旺饭甄山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）b＝ 30 米；
（2）若乙提速后，乙登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，则甲、乙两人相遇后，再经过 3或10或13 分钟，他们俩距离地面的高度差为70米．
【分析】（1）由图形可得结果；
（2）先求出乙分段函数解析式、甲函数解析式，再分3种情况讨论甲、乙两人相遇后距离地面的高度差为70米所用的时间．
解：（1）b＝15×2＝30，
故答案为：30；
（2）甲登山上升速度是：（300﹣100）÷20＝10（米/分）
乙提速后速度：10×3＝30，
∴t＝2+（300﹣30）÷30＝11，
设甲关系式：y＝kx+b，
把（0，100），（20.300）代入y＝kx+b得，
，
解得k＝10x+100，（0≤x≤20），
设乙关系式：m＝ax（0≤x≤2），
把（1，15）代入得，a＝15，
∴m＝15x，
设n＝hx+p（2＜x≤11），
把（2，30）（11，300）代入得h＝30，p＝﹣30，
∴n＝30x﹣30，
①10x+100﹣（30x﹣30）＝70，
解得x＝3，
②30x﹣30﹣（10x+100）＝70，
解得x＝10，
③300﹣（10x+100）＝70，
解得x＝13，
综上所述：甲、乙两人相遇后，再经：3分、10分、13分时俩距离地面的高度差为70米．
故答案为：3、10、13．
三、解答题（本大题共有8小题，共52分务必写出解答过程）
17．解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：解不等式3x﹣2≥2x，得：x≥2，
解不等式x＜2，得：x＜6，
∴不等式组的解集为2≤x＜6．
18．如图，AF＝DC，∠BCA＝∠EFD，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．
【分析】求出AC＝DF，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
【解答】证明：∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
19．已知y是关于x的一次函数，且当x＝1时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝8．
（1）求该函数表达式；
（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设该一次函数与x轴、y轴交点分别是A、B两点，求△ABO的面积．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）利用坐标上点的坐标特征求出点A、B的坐标，然后根据三角形面积公式计算．
解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意得，
解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣2x+6；
（2）当y＝0时，﹣2x+6＝0，解得x＝3，则A（3，0），
当x＝0时，y＝﹣2x+6＝6，则B（0，6），
所以S△OAB＝×3×6＝9．
20．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD．若AB＝10，AC＝17，BD＝6，AD＝8．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求BC的长．
【分析】（1）根据AB＝10，BD＝6，AD＝8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形；
（2）利用勾股定理求出CD的长，即可得出答案．
解：（1）∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB＝90°；
（2）在Rt△ACD中，CD＝＝15，
∴BC＝BD+CD＝6+15＝21，
答：BC的长是21．
21．如图（1），矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，
（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）折叠后重合部分是什么图形？说明理由．
【分析】（1）根据折叠的性质，可以作∠BDF＝∠BDC，∠EBD＝∠CBD，则可求得折叠后的图形．
（2）由折叠的性质，易得∠FDB＝∠CDB，又由四边形ABCD是矩形，可得AB∥CD，即可证得∠FDB＝∠FBD，即可证得△FBD是等腰三角形．
解：（1）做法参考：
方法1：作∠BDG＝∠BDC，在射线DG上截取DE＝DC，连接BE；
方法2：作∠DBH＝∠DBC，在射线BH上截取BE＝BC，连接DE；
方法3：作∠BDG＝∠BDC，过B点作BH⊥DG，垂足为E
方法4：作∠DBH＝∠DBC，过，D点作DG⊥BH，垂足为E；
方法5：分别以D、B为圆心，DC、BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE、BE．
∴△DEB为所求做的图形．
（2）等腰三角形．
证明：∵△BDE是△BDC沿BD折叠而成，
∴∠FDB＝∠CDB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴∠FDB＝∠ABD，
∴△BDF是等腰三角形．
22．我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据．
（1）在图2中将表x，y的数据通过描点的方法表示，观察判断x，y的函数关系，并求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？
（2）已知秤砣到秤纽的最大水平距离为50厘米，这杆秤的可称物重范围是多少斤？
【分析】（1）根据x、y的数据描点，根据点的位置求出一次函数的解析式，再把x＝16代入y＝x+，求出结果；
（2）把x＝50代入y＝x+，求出y的值，进而求出这杆秤的可称物重范围．
解：（1）设x，y的函数关系式：y＝kx+b，
∵图像过（2，1），（4，1.5），
∴，
解得k＝，b＝，
∴y＝x+，
把x＝16代入y＝x+，
得y＝4.5，
∴杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤；
（2）把x＝50代入•y＝x+，
得y＝，
∴0≤y≤，
∴这杆秤的可称物重范围是0≤y≤．
23．近期疫情防控形势严峻．妈妈让小明到惠民药店购买口罩．某种包装的口罩标价每袋10元，请认真阅读老板与小明的对话．
（1）结合两人的对话内容，小明原计划购买几袋口罩？
（2）小明正准备结账时，妈妈来电话说还需要购买消毒液和洗手液共5瓶，三种物品购买总价不超过200元，现已知消毒液标价每瓶20元，洗手液标价每瓶35元，经过沟通，三种物品老板都给予8折优惠，那么小明最多可购买洗手液多少瓶？
【分析】（1）设小明原计划购买x袋口罩，由题意：某种包装的口罩标价每袋10元，结合小明和老板的对话，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设小明可购买洗手液y瓶，则购买消毒液（5﹣y）瓶，由题意：妈妈来电话说还需要购买消毒液和洗手液共5瓶，三种物品购买总价不超过200元，现已知消毒液标价每瓶20元，洗手液标价每瓶35元，经过沟通，三种物品老板都给予8折优惠．列出一元一次不等式，解不等式即可．
解：（1）设小明原计划购买x袋口罩，
依题意，得：10x﹣10×0.85（x+1）＝6.5，
解得：x＝10，
答：小明原计划购买10袋口罩；
（2）设小明可购买洗手液y瓶，则购买消毒液（5﹣y）瓶，
由题意得：[10×10+35y+20×（5﹣y）]×80%≤200，
解得：y≤3，
答：小明最多可购买洗手液3瓶．
24．定义：到三角形两个顶点距离相等的点叫做此三角形的准心．举例：如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准心．
（1）判断：如图2，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点P在AD上，则点P 是 △ABC的准心（填“是”或“不是”）；
（2）应用：如图3，CD为正△ABC的高，准心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数；
（3）探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准心P在AC边上，试探究PA的长．
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
（2）利用等边三角形的性质，证明∠BPD＝∠CPD＝45°，可得结论．
（3）先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB＝PC，②PA＝PC，③PA＝PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．
解：（1）如图2中，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴PB＝PC，
∴点P是△ABC的准心，
故答案为：是．
（2）如图3中，
∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝BD，
∵PD＝AB，
∴AD＝PD＝DB，
∴∠APD＝∠BPD＝45°，
∴∠APB＝90°．
（3）如图4中，
∵BC＝5，AB＝3，
∴AC＝＝＝4，
①若PB＝PC，设PA＝x，则x2+32＝（4﹣x）2，
∴x＝，即PA＝，
②若PA＝PC，则PA＝2，
③若PA＝PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．
故PA＝2或．
x（厘米）
1
2
4
8
y（斤）
0.75
1.00
1.50
2.5
x（厘米）
1
2
4
8
y（斤）
0.75
1.00
1.50
2.5
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