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专题32 四边形中的三角形相似问题(原卷版)
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这是一份专题32 四边形中的三角形相似问题(原卷版)，共31页。
（1）如图1，若∠ABC＝90°，求证：△AEM∽△AFB；
（2）若E为AB中点．
①如图2，若AF⊥BC，＝，求的值；
②如图3，若∠ABC＝60°，＝n，请直接写出的值（用n的式子表示）．
2、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．
（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；
（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
3、如图，在矩形ABCD中，点P为BC边上一点（BP＞CP），∠APD＝90⁰，将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，PC′的延长线交AD于点M，过点A作AN∥PM交BC于点N．
（1）试判断四边形AMPN的形状并说明理由；
（2）如图2，连接BD，分别交MP，AP于点E，F，若tan∠PDC＝，求的值．
4、已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE（1）如图1，过点E作EN⊥AE交CD于点N
①若BE＝1，求CN的长；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，求BE的长；
（2）如图2，连接BD，设BE＝m，试用含m的代数式表示S四边形CDFE：S△ADF值．
5、如图①，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝3，点E是边AD靠近A的三等分点，点P是BC延长线上一点，且EP⊥EB，点G是BE上任意一点，过G作GH∥BP，交EP于点H．将△EGH绕点E逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到△EMN（M、N分别是G、H的对应点）
（1）求BP的长；
（2）求的值；
（3）如图②当α＝60°时，点M恰好落在GH上，延长BM交NP于点Q，取EP的中点K，连接QK．若点G在线段EB上运动，问QK是否有最小值？若有最小值，请求出点G运动到EB的什么位置时，QK有最小值及最小值是多少，若没有最小值，请说明理由．
6、在矩形ABCD中，G为AD上一点，连接BG，CG，过作CE⊥BG于点E，连接ED交GC于点F．
（1）如图1，若点G为AD的中点，则线段BG与CG有何数量关系？请说理由．
（2）如图2，若点E恰好为BG的中点，且AB＝3，AG＝k（0＜k＜3）求的值（用含k的代数式表示）；
（3）在（2）有条件下，若M、N分别为GC、EC上的任意两点，连接NF、NM，当k＝时，求NF+NM的最小值．
7、如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点D与原点O重合，AD，CD分别在x轴，y轴上，且AD＝8，CD＝6．将矩形ABCD绕点O按顺时针方向旋转a度得到矩形A′B′C′D，此时A′D与直线BC相交于点P．
（1）当a＝60°时，的值是 ．
（2）如图2，当矩形A'B′C′D的顶点B'落在y轴正半轴时，求的值；
（3）如图3，当矩形A'B′C′D的顶点B'落在直线BC上时，求△OPB′的面积．
8、如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠CBD＝60°，点E是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G
（1）求证：△ADE∽△CDF；
（2）设AE的长为x，△DEF的面积为y．求y关于x的函数关系式；
（3）当△BEF的面积S取得最大值时，连接BG，请判断此时四边形BGDE的形状，并说明理由．
9、如图1，△ABC为等边三角形，AB＝6，直角三角板DEF中∠F＝90°，∠FDE＝60°，点D在边BC上运动，边DF始终经过点A，DE交AC于点G．
（1）求证：△ABD∽△DCG；
（2）设BD＝x，若，求x的值；
（3）如图2，当D运动到BC中点时，点P为AD上一动点，连接CP，将线段CP绕点C逆时针旋转60°得到CP'，DP'．
①求∠CBP'的度数；
②求DP'的最小值．
10、如图在锐角△ABC中，BC＝6，高AD＝4，两动点M、N分别在AB、AC上滑动（不包含端点），且MN∥BC，以MN为边长向下作正方形MPQN，设MN＝x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y．
（1）如图（1），当正方形MPQN的边P恰好落在BC边上时，求x的值；
（2）如图（2），当PQ落△ABC外部时，求出y与x的函数关系式（写出x的取值范围）并求出x为何值时y最大，最大是多少？
11、如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；
（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
12、如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，O是AB上一点，且AO＝2．
（1）求点O到直线AC的距离OH的长；
（2）若P是边AC上一个动点，作PQ⊥OP交线段BC于Q（不与B、C重合），设AP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）在（2）的条件下，当AP为多少时能使△OPQ与△CPQ相似．
[来源:学*科*网Z*X*X*K]
（1）如图1，若∠ABC＝90°，求证：△AEM∽△AFB；
（2）若E为AB中点．
①如图2，若AF⊥BC，＝，求的值；
②如图3，若∠ABC＝60°，＝n，请直接写出的值（用n的式子表示）．
2、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．
（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；
（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
3、如图，在矩形ABCD中，点P为BC边上一点（BP＞CP），∠APD＝90⁰，将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，PC′的延长线交AD于点M，过点A作AN∥PM交BC于点N．
（1）试判断四边形AMPN的形状并说明理由；
（2）如图2，连接BD，分别交MP，AP于点E，F，若tan∠PDC＝，求的值．
4、已知四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE（1）如图1，过点E作EN⊥AE交CD于点N
①若BE＝1，求CN的长；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，求BE的长；
（2）如图2，连接BD，设BE＝m，试用含m的代数式表示S四边形CDFE：S△ADF值．
5、如图①，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝3，点E是边AD靠近A的三等分点，点P是BC延长线上一点，且EP⊥EB，点G是BE上任意一点，过G作GH∥BP，交EP于点H．将△EGH绕点E逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到△EMN（M、N分别是G、H的对应点）
（1）求BP的长；
（2）求的值；
（3）如图②当α＝60°时，点M恰好落在GH上，延长BM交NP于点Q，取EP的中点K，连接QK．若点G在线段EB上运动，问QK是否有最小值？若有最小值，请求出点G运动到EB的什么位置时，QK有最小值及最小值是多少，若没有最小值，请说明理由．
6、在矩形ABCD中，G为AD上一点，连接BG，CG，过作CE⊥BG于点E，连接ED交GC于点F．
（1）如图1，若点G为AD的中点，则线段BG与CG有何数量关系？请说理由．
（2）如图2，若点E恰好为BG的中点，且AB＝3，AG＝k（0＜k＜3）求的值（用含k的代数式表示）；
（3）在（2）有条件下，若M、N分别为GC、EC上的任意两点，连接NF、NM，当k＝时，求NF+NM的最小值．
7、如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点D与原点O重合，AD，CD分别在x轴，y轴上，且AD＝8，CD＝6．将矩形ABCD绕点O按顺时针方向旋转a度得到矩形A′B′C′D，此时A′D与直线BC相交于点P．
（1）当a＝60°时，的值是 ．
（2）如图2，当矩形A'B′C′D的顶点B'落在y轴正半轴时，求的值；
（3）如图3，当矩形A'B′C′D的顶点B'落在直线BC上时，求△OPB′的面积．
8、如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠CBD＝60°，点E是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G
（1）求证：△ADE∽△CDF；
（2）设AE的长为x，△DEF的面积为y．求y关于x的函数关系式；
（3）当△BEF的面积S取得最大值时，连接BG，请判断此时四边形BGDE的形状，并说明理由．
9、如图1，△ABC为等边三角形，AB＝6，直角三角板DEF中∠F＝90°，∠FDE＝60°，点D在边BC上运动，边DF始终经过点A，DE交AC于点G．
（1）求证：△ABD∽△DCG；
（2）设BD＝x，若，求x的值；
（3）如图2，当D运动到BC中点时，点P为AD上一动点，连接CP，将线段CP绕点C逆时针旋转60°得到CP'，DP'．
①求∠CBP'的度数；
②求DP'的最小值．
10、如图在锐角△ABC中，BC＝6，高AD＝4，两动点M、N分别在AB、AC上滑动（不包含端点），且MN∥BC，以MN为边长向下作正方形MPQN，设MN＝x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y．
（1）如图（1），当正方形MPQN的边P恰好落在BC边上时，求x的值；
（2）如图（2），当PQ落△ABC外部时，求出y与x的函数关系式（写出x的取值范围）并求出x为何值时y最大，最大是多少？
11、如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；
（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
12、如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，O是AB上一点，且AO＝2．
（1）求点O到直线AC的距离OH的长；
（2）若P是边AC上一个动点，作PQ⊥OP交线段BC于Q（不与B、C重合），设AP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）在（2）的条件下，当AP为多少时能使△OPQ与△CPQ相似．
[来源:学*科*网Z*X*X*K]
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