北师大版八年级上册1 探索勾股定理当堂检测题

这是一份北师大版八年级上册1 探索勾股定理当堂检测题，共22页。试卷主要包含了0分），【答案】C，【答案】D，【答案】A，【答案】B等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
直角三角形两直角边分别为5cm和12cm，则其斜边的高为( )
A. 6cmB. 8cmC. 8013cmD. 6013cm
利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图.通过该图形，可以验证公式( )
A. (a+b)(a−b)=a2−b2
B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. c2=a2+b2
D. (a−b)2=a2−2ab+b2
下列说法正确的是( )
A. 若a，b，c是△ABC的三边，则a2+b2=c2
B. 若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2
C. 若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A=90∘，则a2+b2=c2
D. 若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A=90∘，则c2+b2=a2
如图所示，已知Rt△ABC中，AB=4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于( )
A. 2π
B. 4π
C. 8π
D. 16π
有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形(如图 ①)，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形(如图 ②)，如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”.在“生长”了2021次后形成的图形中所有正方形的面积和是( )
A. 2019B. 2020C. 2021D. 2022
如图，在长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm.把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则AF的长为( )
A. 254cm
B. 152cm
C. 7cm
D. 132cm
矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH，若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=( )
A. 1
B. 23
C. 22
D. 52
公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”.如图，设勾a=6，弦c=10，则小正方形ABCD的面积是( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 16
汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=10，则S2的值是( )
A. 113B. 103C. 3D. 83
在Rt△ABC中，以两直角边为边长的正方形面积如图所示，则AB的长为( )
A. 49
B. 31
C. 32
D. 7
在Rt△ABC中，BC=1，AC=2，∠B=90°，则AB的长是( )
A. 5B. 2C. 1D. 3
如图，图中的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形，其中正方形的面积分别记为A、B、C、D，则它们之间的关系为( )
A. A+B=C+DB. A+C=B+D
C. A+D=B+CD. 以上都不对
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
如图，要从电线杆上的C处向地面拉一条钢缆，BC=12 m，要求地面钢缆固定点A与电线杆底部B的距离是5 m，则钢缆的长度为(不计接头) ．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=13，BC=5，点D是斜边AB上的动点，则CD的最大值为 ，最小值为 ．
如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知AB=25，AC=24，其中阴影部分面积是______平方单位．
直角三角形的两直角边是3和4，则斜边是______
如图，每个小正方形的边长都为1，则△ABC的三边长a，b，c的大小关系是______(用“>”连接)．
如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上．
(Ⅰ)线段AB的长为______．
(Ⅱ)请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP=453，并简要说明你的作图方法(不要求证明).______．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AB=13，BD=5，AC=15．
(1)求AD的长．
(2)求BC的长．
【问题探究】
(1)如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．
①请探究AD与BD之间的位置关系：______；
②若AC=BC=10，DC=CE=2，则线段AD的长为______；
【拓展延伸】
(2)如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=21，BC=7，CD=3，CE=1.将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α(0°≤α<360°)，作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．
如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=2c，这时我们把关于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
(1)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0必有实数根．
(2)若x=−1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是62，求△ABC面积．
如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=4，BC=21，求△ABC的面积．
如图，已知△ABF≌△CDE．
(1)若∠B=30°，∠DCF=40°，求∠EFC的度数；
(2)若BD=10，EF=2，求BF的长．
如图所示，在直角三角形ABC中，∠C=90∘，AB=5 cm，AC=3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)求BC边的长;
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．
如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，连结AE.求证：
(1)△ACE≌△BCD；
(2)AD2+DB2=DE2．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了勾股定理的运用及直角三角形的面积的求法，属中学阶段常见的题目，需同学们认真掌握．根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
【解答】
解：∵直角三角形的两条直角边分别为5cm，12cm，52+122=132，
∴斜边为13cm，
设斜边上的高为hcm，则
12×5×12=12×13⋅h，
解得h=6013．
故选D．
2.【答案】C
【解析】大正方形的面积可以表示为c2，
也可以表示为12ab×4+(b−a)2，
∴c2=12ab×4+(b−a)2，
即c2=2ab+b2−2ab+a2，
∴c2=a2+b2．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理．勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中，熟记这一点是解题的关键．
根据勾股定理的内容逐项分析可解答．
【解答】
解：A、若△ABC不是直角三角形，则a2+b2=c2不成立，故本选项错误；
B、若c不是Rt△ABC的斜边，则a2+b2=c2不成立，故本选项错误；
C、若 a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则c2+b2=a2，故本选项错误；
D、若 a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则c2+b2=a2，故本选项正确，
故选：D．
4.【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=42=16，
，S2=12BC22π=π8⋅BC2，
∴S1+S2=π8(AC2+BC2)=π8×16=2π．
故选A．
5.【答案】D
【解析】设正方形A、B、C围成的直角三角形的三条边长分别是a、b、c，如图，
根据勾股定理，得a2+b2=c2，
则一次“生长”后，SA+SB=SC=1，
第二次“生长”后，SD+SE+SF+SG=SA+SB=SC=1，
推而广之，“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022×1=2022．
故选D．
6.【答案】A
【解析】解：∵把长方形纸片沿直线AC折叠，
∴AE=AB=8cm，CE=BC=AD=6cm，∠E=∠B=90°，
∵∠E=∠D=90°，AD=CE，∠CFE=∠AFD，
∴△CEF≌△ADF(AAS)
∴CF=AF，
∵AF2=DF2+AD2，
∴AF2=(8−AF)2+36，
∴AF=254cm，
故选：A．
由折叠的性质可得AE=AB=8cm，CE=BC=AD=6cm，∠E=∠B=90°，由“AAS”可证△CEF≌△ADF，可得CF=AF，由勾股定理可求AF的长．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解决问题的关键是作辅助线(倍长中线)，构造全等三角形．
延长GH交AM于M点，证明△AMH≌△FGH，得到GM=2GH，在Rt△GDM中利用勾股定理求出GM长即可解决问题
【解答】
解：延长GH交AM于M点，
在△AMH和△FGH中，
∠HAM=∠HFG AH=FH ∠AHM=∠FHG
∴△AMH≌△FGH(ASA)．
∴MD=FG，MH=GH．
∵四边形CEFG是矩形，
∴FG=CE=1，GD=2−1=1，
在Rt△MDG中，GM=MD2+DG2=2，
∴GH=12GM=22．
故选为C．
8.【答案】A
【解析】[分析]
应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．
本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．
[详解]
解：∵勾a=6，弦c=10，
∴股b=102−62=8，
∴小正方形的边长=8−6=2，
∴小正方形的面积=22=4
故选A．
9.【答案】B
【解析】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，
∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，
∴S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10，
x+4y=103，
所以S2=x+4y=103，
故选：B．
根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=10求出是解决问题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵两个正方形的面积为35和14，
∴AB2=AC2+BC2=35+14=49，
则AB=7(负值舍去)，
故选：D．
根据勾股定理可知：以斜边为边长的正方形的面积等于以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和．
本题考查勾股定理的实际应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
11.【答案】D
【解析】解：∵在Rt△ABC中，BC=1，AC=2，∠B=90°，
∴AB=AC2−BC2=22−12=4−1=3，
故选：D．
根据在Rt△ABC中，BC=1，AC=2，∠B=90°和勾股定理，可以求得AB的长．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．
12.【答案】A
【解析】解：如图，∵a2+b2=e2，c2+d2=e2，
∴a2+b2=c2+d2，
∴A+B=C+D．
故选：A．
根据勾股定理和正方形的面积公式可以得到A+B=C+D．
本题考查了勾股定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
13.【答案】13m
【解析】 在Rt△ABC中，∵∠ABC=90∘，
∴AC2=AB2+BC2=52+122=169=132，
∴AC=13m．
故钢缆的长度为13 m．
14.【答案】12
6013
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，
∴AC2=AB2−BC2=132−52=144，
∴AC=12，
∵D为斜边AB上的动点，
∴当D点运动到A点时，CD取得最大值，
∴CD的最大值为12；
根据垂线段最短可得，CD的最小值为斜边AB上的高h，
由S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅h，
得h=6013，
故CD的最小值为6013．
15.【答案】49
【解析】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
BC2=AB2−AC2=49，
因为图形是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，
所以阴影部分的面积为49．
故答案为49．
根据勾股定理先求得BC2=49，再根据勾股定理可得阴影部分的两个正方形的边长的平方和等于斜边的平方，即阴影部分的面积等于斜边的平方即可．
本题考查了勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理．
16.【答案】5
【解析】解：在直角三角形中，三边边长符合勾股定理，
已知两直角边为3、4，则斜边边长=32+42=5，
故答案为5．
在直角三角形中，已知两直角边根据勾股定理可以计算斜边．
本题考查了直角三角形中的运用，本题中正确的运用勾股定理求斜边的长是解题的关键．
17.【答案】c>a>b
【解析】解：由勾股定理可得：a=22+42=20，b=32+32=18，c=12+52=26，
∴c>a>b．
故答案为：c>a>b．
观察图形根据勾股定理分别计算出a、b、c的值，因为a、b、c大于0，所以分别求a2、b2、c2比较大小即可比较a、b、c的大小．
本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了实数大小的比较，本题中正确的把比较a、b、c的值转化为比较c2、a2、b2的值是解题的关键．
18.【答案】25；取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求
【解析】解：(1)由勾股定理得，AB=42+22=25；
(2)∵AB=25，
所以，AP=453时AP：BP=2：1．
点P如图所示．取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求；
故答案为：取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求．
利用勾股定理列式求出AB=25，然后作一小正方形对角线，使对角线与AB的交点满足AP：BP=2：1即可．
本题考查了应用与设计作图，考虑利用相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)因为AD⊥BC，
所以∠ADB=∠CDA=90∘．
在Rt△ADB中，
因为∠ADB=90∘，
所以AD2+BD2=AB2．
所以AD2=AB2−BD2=144．
因为AD>0，
所以AD=12．
(2)在Rt△ADC中，
因为∠CDA=90∘，
所以AD2+CD2=AC2．
所以CD2=AC2−AD2=81．
因为CD>0，
所以CD=9．
所以BC=BD+CD=5+9=14．
【解析】见答案．
20.【答案】AD⊥BD 4
【解析】解：【问题探究】
(1)∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，且AC=BC，CE=CD
∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴∠ADC=∠BEC=45°
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°
∴AD⊥BD
故答案为：AD⊥BD
②如图，过点C作CF⊥AD于点F，
∵∠ADC=45°，CF⊥AD，CD=2
∴DF=CF=1
∴AF=AC2−CF2=3
∴AD=AF+DF=4
故答案为：4
【拓展延伸】
(2)若点D在BC右侧，
如图，过点C作CF⊥AD于点F，
∵∠ACB=∠DCE=90°，AC=21，BC=7，CD=3，CE=1．
∴∠ACD=∠BCE，ACBC=3=CDCE
∴△ACD∽△BCE
∴∠ADC=∠BEC，
∵CD=3，CE=1
∴DE=DC2+CE2=2
∵∠ADC=∠BEC，∠DCE=∠CFD=90°
∴△DCE∽△CFD，
∴DEDC=DCCF=CEDF
即23=3CF=1DF
∴CF=32，DF=32
∴AF=AC2−CF2=532
∴AD=DF+AF=33
若点D在BC左侧，
∵∠ACB=∠DCE=90°，AC=21，BC=7，CD=3，CE=1．
∴∠ACD=∠BCE，ACBC=3=CDCE
∴△ACD∽△BCE
∴∠ADC=∠BEC，
∴∠CED=∠CDF
∵CD=3，CE=1
∴DE=DC2+CE2=2
∵∠CED=∠CDF，∠DCE=∠CFD=90°
∴△DCE∽△CFD，
∴DEDC=DCCF=CEDF
即23=3CF=1DF
∴CF=32，DF=32
∴AF=AC2−CF2=532
∴AD=AF−DF=23
【问题探究】
(1)①由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC=45°，可得AD⊥BD；
②过点C作CF⊥AD于点F，由勾股定理可求DF，CF，AF的长，即可求AD的长；
【拓展延伸】
(2)分点D在BC左侧和BC右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线．
21.【答案】(1)证明：由题意，得
△=(2c)2−4ab=2c2−4ab，
∵a2+b2=c2，
∴2c2−4ab=2(a2+b2)−4ab=2(a−b)2≥0，
即△≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0必有实数根
(2)解：当x=−1时，有a−2c+b=0，即a+b=2c，
∵2a+2b+2c=62，即2(a+b)+2c=62，
∴32c=62，
∴c=2，
∴a2+b2=c2=4，a+b=22，
∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴ab=2，
∴S△ABC=12ab=1．
【解析】(1)只要证明△≥0即可解决问题．
(2)当x=−1时，有a−2c+b=0，即a+b=2c，由2a+2b+2c=62，即2(a+b)+2c=62，推出c=2，推出a2+b2=c2=4，a+b=22，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可得ab=2，由此即可解决问题．
本题考查勾股定理的应用、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：如图所示：过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠A=60°，∠ADC=90°，
∴∠ACD=30°，
∴设AD=x，则AC=2x，DC=3x，
∴在Rt△ADC中，
BD2+DC2=BC2，
即(4−x)2+(3x)2=(21)2，
解得：x1=−12(不合题意舍去)，x2=52，
故DC=532，
则△ABC的面积为：12×DC×AB=12×4×532=53．
【解析】直接利用直角三角形的性质，30°所对边与斜边的关系分别表示出DC，AC的长，再利用勾股定理求出DC的长，即可得出△ABC的面积．
此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确应用勾股定理得出AD，DC的长是解题关键．
23.【答案】解：(1)∵△ABF≌△CDE，
∴∠D=∠B=30°，
∴∠EFC=∠DCF+∠D=70°；
(2)∵△ABF≌△CDE，
∴BF=DE，
∴BF−EF=DE−EF，即BE=DF，
∵BD=10，EF=2，
∴BE=(10−2)÷2=4，
∴BF=BE+EF=6．
【解析】(1)根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算；
(2)根据全等三角形的对应边相等计算．
本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
24.【答案】解：(1)在直角三角形ABC中，BC2=AB2−AC2=52−32=16，所以BC=4 cm．
(2)由题意知BP=t cm，
如图 ①所示，当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4 cm，即t=4;
如图 ②所示，当∠BAP为直角时，BP=t cm，CP=(t−4) cm，AC=3 cm，
在直角三角形ACP中，AP2=32+(t−4)2，
在直角三角形BAP中，AB2+AP2=BP2，
所以52+[32+(t−4)2]=t2，解得t=254．
综上，当△ABP为直角三角形时，t的值为4或254．
【解析】见答案
25.【答案】证明：(1)∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC.∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE．
∴∠BCD=∠ACE．
∴△ACE≌△BCD(SAS)．
(2)∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45°．
∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°，AE=BD．
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°．
∴AD2+AE2=DE2，
∴AD2+DB2=DE2．
【解析】见答案