高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试一课一练，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末综合测评(三)　圆锥曲线的方程
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D．
B　[抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，到双曲线x2－＝1的一条渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B．]
2．已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－3,0)，F2(3,0)，点P为椭圆C上一点，且|PF1|＋|PF2|＝10，那么椭圆C的短轴长是(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
C　[设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意得，2a＝10，∴a＝5，又c＝3，
∴b2＝a2－c2＝16，即b＝4，
因此椭圆的短轴长是2b＝8，故选C．]
3．在平面直角坐标系Oxy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且·＝2，则点P的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＝2 B．x2－y2＝2
C．x＋y2＝2 D．x－y2＝2
B　[设P(x，y)，Q(x，－y)，则·＝(x，y)·(x，－y)＝x2－y2＝2，故选B．]
4．椭圆C：＋＝1(a>0)的长轴长为4，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
B　[由椭圆C：＋＝1(a>0)的长轴长为4，可知焦点在x轴上即2a＝4，a＝2.
∴椭圆的标准方程为：＋＝1，a＝2，b＝，c＝＝，
椭圆的离心率为e＝＝，故答案为B．]
5．“m>3”是“曲线mx2－(m－2)y2＝1为双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A　[当m>3时，m－2>0，mx2－(m－2)y2＝1⇒－＝1，则原方程是双曲线方程；当原方程为双曲线方程时，有m(m－2)>0⇒m>2或m<0.故“m>3”是“曲线mx2－(m－2)y2＝1为双曲线”的充分不必要条件．故选A．]
6．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线l1与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是(　　)
A．4 B．3
C．4 D．8
C　[∵y2＝4x，∴焦点F(1,0)，准线l：x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1：y＝(x－1)，将其与y2＝4x联立，解得x＝3或x＝(舍)，故A(3,2)，∴|AK|＝4，∴S△AKF＝×4×2＝4.故选C．]
7．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F与抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点相同，C1与C2交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线C1的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．＋1
D　[由图形的对称性及题设条件得AF⊥x轴，且c＝，则p＝2c.不妨设交点A，代入y2＝2px可得y1＝p，故A，代入双曲线方程可得－＝1，即e2－1＝，即e2－1＝，由此可得(e2－1)2＝4e2，即e2－1＝2e，所以e＝＋1(负值舍去)．故选D．]
8．直线y＝－x与椭圆C：＋＝1(a>b>0)交于A、B两点，以线段AB为直径的圆过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B．
C．－1 D．4－2
C　[直线y＝－x与椭圆C：＋＝1(a>b>0)
联立方程得(3a2＋b2)x2＝a2b2，设A(x0，y0)，∴B(－x0，－y0)，右焦点F(c,0)，由·＝0代入坐标得c2＝，整理得c4－8a2c2＋4a4＝0，
∴e4－8e2＋4＝0，∴e＝－1故选C．]
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分)
9．若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是(　　)
A．若1 B．若t<1，则C为双曲线
C．若C为双曲线，则焦距为4
D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3 BD　[若方程＋＝1表示椭圆，则满足解得1 对于A，当t＝3时，此时方程为x2＋y2＝2表示圆，所以A不正确；
对于B，当t<1时，5－t>0，t－1<0，此时表示焦点在x轴上的双曲线，所以B正确；
对于C，当t＝0时，方程－＝1所表示的曲线为双曲线，此时双曲线的焦距为2，所以C不正确；
若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则满足解得3 故选BD．]
10．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且·＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列各项正确的是(　　)
A．＝2 B．e1e2＝
C．e＋e＝ D．e－e＝1
BD　[因为·＝0且||＝||，所以△MF1F2为等腰直角三角形．
设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝a，所以e1＝.
在焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝，设|PF1|＝x，|PF2|＝y，双曲线C2的实半轴长为a′，
则故xy＝c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝，
所以(a′)2＝，即e2＝，故＝，e1e2＝，e＋e＝2，e－e＝1，故选BD．]
11．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|＝2|PF2|，且△PF1F2的最小内角为30°，则(　　)
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为y＝±x
C．∠PAF2＝45°
D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点
ABD　[依题意得，|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
又∵|F1F2|＝2c，且a ∴在△PF1F2中，PF2是最小的边，
∴∠PF1F2＝30°，
∴4a2＝4c2＋16a2－2×2c×4a×，
整理得c2－2ac＋3a2＝0，即(c－a)2＝0，∴c＝a，
∴|F1F2|＝2c＝2a，b＝＝a.
∴双曲线的离心率e＝＝＝，A正确．
双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x，B正确．
根据前面的分析可知，△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1＝90°，
若∠PAF2＝45°，则|PF2|＝|AF2|.
又知|PF2|＝2a，
|AF2|＝a＋c＝a＋a＝(1＋)a≠|PF2|，
∴∠PAF2≠45°，C不正确．
直线x＋2y－2＝0，即y＝－x＋1，其斜率为－，－∈[－，]，
∴直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，D正确．故选ABD．]
12．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D．若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)
A．p＝4 B．＝
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
ABC　[如图，F，直线l的斜率为，则直线方程为y＝，
联立得
12x2－20px＋3p2＝0.
解得xA＝p，xB＝p，
由|AF|＝p＋＝2p＝8，得p＝4，
所以抛物线方程为y2＝8x.
xB＝p＝，
则|BF|＝＋2＝；
|BD|＝，
所以|BD|＝2|BF|，
|BD|＋|BF|＝＋＝8，
则F为AD的中点，＝.
所以运算正确的是ABC．]
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1的渐近线的距离为________．
　[由抛物线y2＝8x可得其焦点为(2,0)，
又双曲线－＝1的渐近线方程为x±y＝0，∴所求距离为d＝＝.]
14．过直线y＝2与抛物线x2＝8y的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．
x2＋(y－2)2＝16　[由题意知，抛物线x2＝8y的焦点(0,2)即为圆心，圆的半径为4，则圆的方程为x2＋(y－2)2＝16.]
15．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是________．
　[如图，设右焦点为F′，连接MF′，NF′，
因为△FMN的周长|MF|＋|NF|＋|MN|＝2a－|MF′|＋2a－|NF′|＋|MN|＝4a＋|MN|－|MF′|－|NF′|，且|MN|≤|MF′|＋|NF′|，当M，N，F′三点共线，即m＝1时，等号成立，所以当△FMN的周长最大时，|MN|＝＝，所以△FMN的面积S＝××2＝.]
16．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．(第一空2分，第二空3分)
－1　2　[如图，六边形ABF1CDF2为正六边形，直线OA、OB是双曲线的渐近线，则△AOF2是正三角形，∴直线OA的倾斜角为，∴其斜率k＝＝，∴双曲线的离心率e1＝＝＝2；连接F1A，∵正六边形的边长为c，∴|F1A|＝c.由椭圆的定义得|F1A|＋|F2A|＝2a，即c＋c＝2a，∴椭圆的离心率e2＝＝＝－1.]
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，求椭圆C的标准方程．
[解]　因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b.所以y＝±b，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1.
18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
[解]　依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
∵点P在抛物线上，∴6＝2p×.∴p＝2，
∴所求抛物线的方程为y2＝4x.
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点P在双曲线上，∴－＝1，
解方程组
得或(舍去)．
∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1.
19．(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值．
[解]　(1)|PF1|·|PF2|≤2＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)，
∴|PF1|·|PF2|的最大值为100.
(2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝，
∴|PF1|·|PF2|＝， ①
由题意知：

∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2. ②
由①②得c＝6，∴b＝8.
20.(本小题满分12分)如图所示，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．

(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．
[证明]　(1)依题意可设AB的方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，
得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，
直线AO的方程为y＝x，
BD的方程为x＝x2，
则交点D的坐标为.
又x1x2＝－8，x＝4y1，
则有＝＝＝－2，
即D点在定直线y＝－2上(x≠0)．
(2)依题意，切线l的斜率存在且不等于0.
设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y，得x2＝4(ax＋b)，
即x2－4ax－4b＝0，由Δ＝0得(－4a)2＋16b＝0，
化简整理，得b＝－a2，故切线的方程为y＝ax－a2.
分别令y＝2，y＝－2，
得N1，N2，
则|MN2|2－|MN1|2＝＋42－2＝8，
即|MN2|2－|MN1|2为定值8.
21．(本小题满分12分)设M(x，y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l1：x＝3的距离的比是常数.记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过定点F的直线l2交曲线C于A，B两点，以O、A、B三点(O为坐标原点)为顶点作平行四边形OAPB，若点P刚好在曲线C上，求直线l2的方程．
[解]　(1)由题意得，＝，
则3[(x－1)2＋y2]＝(x－3)2，
即2x2＋3y2＝6，∴＋＝1，
故曲线C的方程为＋＝1.
(2)设直线l2的方程为x＝my＋1，P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x，
得(2m2＋3)y2＋4my－4＝0.
则y1＋y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝＋2＝，
∴x0＝x1＋x2＝，y0＝y1＋y2＝.
∵P(x0，y0)在椭圆＋＝1上，
∴＋＝1，即2m2＋3＝4，
解得m＝±.
∴直线l2的方程为x＝y＋1或x＝－y＋1，即x－y－＝0或x＋y－＝0.
22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点A在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解]　(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，
∵A在椭圆C上，
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝2，
∴a＝，b2＝a2－c2＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)假设这样的直线存在，设直线l的方程为y＝2x＋t，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，
由，消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，
∴y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)＞0，
故y0＝＝且－3＜t＜3，
由＝，知四边形PMQN为平行四边形，
而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点，
∴y0＝＝，得y4＝，又－3＜t＜3，可得－＜y4＜－1，
∴点Q不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l.