百师联盟2022届高三上学期开学摸底联考（全国1卷）数学（理）+Word版含答案

2022届高三开学摸底联考 全国卷1

理科数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|－2<x<2}，则∁BA＝

A.(－2，0)     B.(－2，0]     C.(－2，2]     D.(0，2)

2.已知z＝1－i，则·(2－i)的虚部为

A.1     B.i     C.－1     D.－i

3.已知函数f(x)＝，则f(2021)＝

A.2     B.     C.     D.3

4.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝l，a1，a3，a6成等比数列，则a5＝

A.     B.     C.2     D.3

5.已知实数x，y满足约束条件，则z＝x＋2y的最大值为

A.－1     B.2     C.     D.

6.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为

A.－4     B.－2     C.2     D.4

7.在△ABC中，，P为BD上一点，若，则实数λ的值为

A.     B.     C.     D.

8.四色定理(Four color theorem)又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里(Francis Guthrie)提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理。现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的“四色问题”：要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方案有

A.18种     B.36种     C.48种     D.72种

9.将函数y＝cos(2x＋)的图象向左平移φ个单位后，得到的函数图象关于y轴对称，则φ的可能取值为

A.     B.     C.     D.

10.已知实数x，y满足lnx<lny，则下列结论正确的是

A.tanx<tany     B()x<()y     C.     D.y2＋≥8

11.已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则|AB|＝

A.9     B.4     C.2     D.

12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P为线段A1C1上的动点(点P与A1，C1不重合)，则下列说法不正确的是

A.BD⊥CP

B.三棱锥C－BPD的体积为定值

C.过P，C，D1三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形

D.DP与平面A1B1C1D1所成角的正弦值最大为

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线f(x)＝lnx＋2x在点(1，f(1))处的切线方程为           。

14.写出一个与椭圆C：有公共焦点的椭圆方程           。

15.在(x2－2x＋1)(x＋1)4的展开式中，x5的系数为           (用数字作答)。

16.已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝，若关于x的方程(f(x))2－(a＋1)f(x)＋a＝0有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是           。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：60分。

17.(12分)

已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cosB－1＝sin(A＋C)，b＝4。

(1)求sinB；

(2)若C－A＝，求△ABC的面积。

18.(12分)

电视传媒公司为了解某地区观众对“中国诗词大会”的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，将日均收看该节目时间不低于40分钟的观众称为“诗词迷”，已知“诗词迷”中有15名男性，“非诗词迷”共有75名。

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为是否为“诗词迷”与性别有关？

(2)采用分层抽样的方式从“诗词迷"中任意选取5人进行问卷调查，若再从这5人中任意选取2人奖励诗词大礼包，用x表示获得大礼包的男性人数，y表示获得大礼包的女性人数，设ξ＝|x－y|，求ξ的分布列及期望。

附：，其中n＝a＋b＋c＋d。

19.(12分)

如图，在底面为梯形的四棱锥P－ABCD中，AD//BC，PA＝PD＝AD＝DC＝2BC＝2，CD⊥平面PAD，Q为AD的中点。

(1)证明：AD⊥平面PBQ；

(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值。

20.(12分)

已知双曲线C：(a>0，b>0)的离心率为，且该双曲线经过点P(，)。

(1)求双曲线C的方程；

(2)设斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2均经过点Q(2，1)，且直线l1，l2与双曲线C分别交于A，B两点(A，B异于点Q)，若k1＋k2＝1，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由。

21.(12分)

已知函数f(x)＝mex－－1。

(1)当m＝0时，求f(x)的单调区间；

(2)若对任意的x∈(0，＋∞)，均有f(x)≥0，求实数m的最小值。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为(t为参数)。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ。

(1)求直线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)设P(0，1)，曲线C1与C2交于A，B两点，求||PA|－|PB||。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－3|。

(1)求不等式f(x)≥6的解集；

(2)设函数f(x)的最小值为t，已知a2＋b2＋c2＝t，求a＋2b＋3c的最大值。