2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：10.1 随机事件的概率

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：10.1 随机事件的概率，共7页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记4个知识点
1．随机事件和确定事件
(1)在条件S下，①____________的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件．
(2)在条件S下，②____________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．
(3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．
(4)在条件S下，③________________________的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件．
2．频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例④____________为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的⑤________fn(A)稳定在某个⑥________上，把这个⑦________记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
3．事件的关系与运算
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：⑬____________.
(2)必然事件的概率P(E)＝⑭____________.
(3)不可能事件的概率P(F)＝⑮____________.
(4)互斥事件概率的加法公式．
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝⑯____________.
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝⑰____________.
二、必明3个易误点
1．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
2．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交，事件A的对立事件eq \(A,\s\up6(－))所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
3．需准确理解题意，特留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等语句的含义．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)事件发生的频率与概率是相同的．( )
(2)随机事件和随机试验是一回事．( )
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )
(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( )
(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( )
(6)两互斥事件的概率和为1.( )
二、教材改编
2．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是( )
A．至多一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶
3．从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方片”，P(A)＝P(B)＝eq \f(1,4)，则P(“抽到红花色”)＝________，P(“抽到黑花色”)＝________.
三、易错易混
4．甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则平局的概率为________；甲赢的概率为________．
5．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________．
四、走进高考
6．[2019·江苏卷]从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．
eq \x(考点一) 随机事件关系的判断[自主练透型]
1．把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是( )
A．A与B是不可能事件
B．A＋B＋C是必然事件
C．A与B不是互斥事件
D．B与C既是互斥事件也是对立事件
2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是eq \f(3,10)，那么概率是eq \f(7,10)的事件是( )
A．至多有一张移动卡
B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡
D．至少有一张移动卡
3．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么( )
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

悟·技法
互斥、对立事件的判别方法
(1)在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件．
(2)两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件.
考点二 随机事件的频率与概率[互动讲练型]
[例1] [2020·全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为eq \f(1,2).
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
悟·技法
计算简单随机事件频率或概率的解题思路
(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数．
(2)由频率公式得所求，由频率估计概率.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成频率分布表．
近20年六月份降雨量频率分布表
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率．
考点三 互斥事件与对立事件的概率
[互动讲练型]
[例2] 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
听课笔记：
悟·技法
(1)求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．
(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))求解．当题目涉及“至多”、“至少”时，多考虑间接法.
[变式练]——(着眼于举一反三)
2．有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示，
假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率)，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为( )
A．公路1和公路2 B．公路2和公路1
C．公路2和公路2 D．公路1和公路1

第十章 概率
第一节 随机事件的概率
【知识重温】
①一定会发生 ②一定不会发生 ③可能发生也可能不发生 ④fn(A)＝eq \f(nA,n) ⑤频率 ⑥常数 ⑦常数 ⑧包含 ⑨B⊇A ⑩并事件
⑪事件A发生 ⑫事件B ⑬0≤P(A)≤1 ⑭1 ⑮0 ⑯P(A)＋P(B) ⑰1－P(B)
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
(5)√ (6)×
2．解析：连续射击两次的结果有四种：①第一次中靶第二次中靶；②第一次中靶第二次没中靶；③第一次没中靶第二次中靶；④第一次没有中靶第二次没有中靶，事件“至少一次中靶”包含①②③，所以事件“至少一次中靶”的对立事件是D.
答案：D
3．解析：因为A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件，则P(“抽到红花色”)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)，又事件“抽到黑花色”与“抽到红花色”是对立事件，则P(“抽到黑花色”)＝1－P(“抽到红花色”)＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2) eq \f(1,2)
4．解析：设平局(用△表示)为事件A，甲赢(用⊙表示)为事件B，乙赢(用※表示)为事件C，容易得到如图．平局含3个基本事件(图中的△)，P(A)＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3)，甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3) eq \f(1,3)
5．解析：∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
答案：0.35
6．解析：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学共有Ceq \\al(2,5)＝10种选法，其中选出的2名同学都是男同学的选法有Ceq \\al(2,3)＝3种，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率P＝1－eq \f(3,10)＝eq \f(7,10).
答案：eq \f(7,10)
课堂考点突破
考点一
1．解析：“A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A、B两项错误；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C项正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，D项错误，故选C.
答案：C
2．解析：“至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．
答案：A
3．解析：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立，故甲是乙的必要不充分条件．
答案：B
考点二
例1 解析：(1)甲连胜四场的概率为eq \f(1,16).
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为eq \f(1,16)；
乙连胜四场的概率为eq \f(1,16)；
丙上场后连胜三场的概率为eq \f(1,8).
所以需要进行第五场比赛的概率为1－eq \f(1,16)－eq \f(1,16)－eq \f(1,8)＝eq \f(3,4).
(3)丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为eq \f(1,8)；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为eq \f(1,16)，eq \f(1,8)，eq \f(1,8).
因此丙最终获胜的概率为eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,8)＝eq \f(7,16).
变式练
1．解析：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
(2)由已知可得Y＝eq \f(X,2)＋425，
故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝eq \f(1,20)＋eq \f(3,20)＋eq \f(2,20)＝eq \f(3,10).
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为eq \f(3,10).
考点三
例2 解析：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq \f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得
P(A1)＝eq \f(15,100)＝eq \f(3,20)，P(A2)＝eq \f(30,100)＝eq \f(3,10)，P(A3)＝eq \f(25,100)＝eq \f(1,4)，
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，
所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq \f(3,20)＋eq \f(3,10)＋eq \f(1,4)＝eq \f(7,10).
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq \f(7,10).
变式练
2．解析：通过公路1的频率为0.2,0.4,0.2,0.2；通过公路2的频率为0.1,0.4,0.4,0.1，设A1，A2分别表示汽车A在约定日期前11天出发，选择公路1,2将货物运往城市乙．B1，B2分别表示汽车B在约定日期前12天出发选择公路1,2将货物运往城市乙，则P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，所以汽车A的最佳路径为选择公路1，汽车B的最佳路径为选择公路2.
答案：A
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B⑧____事件A(或称事件A包含于事件B)
⑨______(或A⊆B)
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的eq \(○,\s\up1(10))______(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当⑪____________且⑫______发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然条件，那么称事件A与事件B互为对立事件
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
eq \f(1,20)
eq \f(4,20)
eq \f(2,20)
一次购
物量
1至
4件
5至
8件
9至
12件
13至
16件
17件
及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
所用时间(天数)
10
11
12
13
通过公路1的频数
20
40
20
20
通过公路2的频数
10
40
40
10
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
eq \f(1,20)
eq \f(3,20)
eq \f(4,20)
eq \f(7,20)
eq \f(3,20)
eq \f(2,20)