2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：10.2 古典概型

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：10.2 古典概型，共6页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记3个知识点
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是①________的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成②________的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件③________.
(2)每个基本事件出现的可能性④________.
3．古典概型的概率公式
一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)＝⑤________.
二、必明2个易误点
1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件数和事件发生数时，他们是否是等可能的．
2．概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝∅时，A、B互斥，此时P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件．( )
(3)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为eq \f(cardA,cardI).( )
二、教材改编
2．从52张扑克牌(不含大小王)中随机抽一张牌，抽到的牌比6大比9小的概率为( )
A.eq \f(1,13) B.eq \f(2,13) C.eq \f(3,13) D.eq \f(4,13)
3．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为________．

三、易错易混
4．从1,2,3中随机选取一个数a，从4,5中随机选取一个数b，从6,7中随机选取一个数c，则a，b，c成等差数列的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(4,9) C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,4)
5．在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大eq \f(1,22)，则口袋中原有小球的个数为________．

四、走进高考
6．[2020·江苏卷]将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________．
eq \x(考点一) 简单的古典概型问题[自主练透型]
1．[2019·全国卷Ⅱ]生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
2．[2019·全国卷Ⅰ]我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和“阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A.eq \f(5,16) B.eq \f(11,32) C.eq \f(21,32) D.eq \f(11,16)
3．[2021·河南省豫北名校高三质量考评]五色糯米饭，俗称五色饭，因糯米饭呈黑、红、黄、紫、白5种颜色而得名，是壮族人用来招待客人的传统食品．现从该五色糯米饭中任意取出2种颜色的糯米进行品尝，恰有一种为紫色的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,5) C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,5)
悟·技法
基本事件个数的确定方法
(1)列举法：此法适合于基本事件较少的古典概型．
(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法.
考点二 较复杂的古典概型问题[互动讲练型]
[例1] [2018·天津卷]已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160. 现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
悟·技法
1.与平面几何有关概率的求法
(1)结合几何图形的结构特征，找到符合条件的基本事件总数．
(2)根据事件的几何特征求出其基本事件数．
(3)代入古典概型公式．
2．求较复杂事件的概率问题的方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．
(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2021·山东青岛调研]已知某运动员每次投篮投中的概率是40%.现采用随机数法估计该运动员三次投篮中，恰有两次投中的概率：先由计算器随机产生0～9中的整数，指定1,2,3,4表示投中，5,6,7,8,9,0表示未投中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．现产生了如下10组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683.估计该运动员三次投篮恰有两次投中的概率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(3,10) D.eq \f(9,10)
2．[2021·惠州市高三调研考试]不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球，其中2个白球，3个黄球．现从该箱子中随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(7,10)

考点三 古典概型与代数、几何知识的结合
[互动讲练型]
[例2] (1)已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
(2)若m是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，则椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2)＝1的焦距为整数的概率为________．
悟·技法
解决与古典概型结合的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
[变式练]——(着眼于举一反三)
3．已知m∈{－2，－1,0,1,2}，n∈{－1,0,1}，随机抽取一个m和一个n，使得平面向量a＝(m，n)，满足|a|>2的概率为________．
4．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．
第二节 古典概型
【知识重温】
①互斥 ②基本事件 ③有限 ④相等 ⑤eq \f(m,n)
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)√
2．解析：抽到的牌比6大比9小的有2×4＝8(张)，故P(比6大比9小)＝eq \f(8,52)＝eq \f(2,13).
答案：B
3．解析：将两个红球编号为1,2，三个黄球编号为3,4,5.第一次摸球时有5种等可能的结果，第二次摸球时有4种等可能的结果，两次摸球共有20种等可能的结果，其中两次都摸到红球的有2种等可能结果，即(1,2)，(2,1)，故所求的概率为P＝eq \f(2,20)＝eq \f(1,10).
答案：eq \f(1,10)
4．解析：a，b，c的取法有(1,4,6)，(1,4,7)，(1,5,6)，(1,5,7)，(2,4,6)，(2,4,7)，(2,5,6)，(2,5,7)，(3,4,6)，(3,4,7)，(3,5,6)，(3,5,7)共12种，其中成等差数列的有(1,4,7)，(2,4,6)，(3,5,7)共3种，故所求的概率为eq \f(3,12)＝eq \f(1,4).
答案：D
5．解析：设原来口袋中白球、黑球的个数都为n个，依题意eq \f(n＋1,2n＋1)－eq \f(n,2n)＝eq \f(1,22)，解得n＝5.所以原来口袋中小球共有2n＝10个．
答案：10
6．解析：将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，向上的点数共有36种情况，其中点数和为5的情况有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，则所求概率为eq \f(4,36)＝eq \f(1,9).
答案：eq \f(1,9)
课堂考点突破
考点一
1．解析：记5只兔子分别为A，B，C，D，E，其中测量过某项指标的3只兔子为A，B，C，则从这5只兔子中随机取出3只的基本事件有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种，其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABD，ABE，ACD，ACE，BCD，BCE，共6种，所以所求事件的概率P＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).
答案：B
2．解析：由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为Ceq \\al(3,6)＝eq \f(6×5×4,6)＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝eq \f(20,64)＝eq \f(5,16).故选A.
答案：A
3．解析：设黑、红、黄、紫、白5种颜色的糯米分别为a，b，c，d，e，从中任取2种的所有情况为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种，其中恰有一种为紫色的有4种情况，所以所求概率为eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，故选B.
答案：B
考点二
例1 解析：(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以，事件M发生的概率P(M)＝eq \f(5,21).
变式练
1．解析：随机模拟产生了10组随机数，在这10组随机数中，表示三次投篮恰有两次投中的有191,271,932，共3组，故所求概率为eq \f(3,10)，故选C.
答案：C
2．解析：将2个白球分别记为白球1，白球2，将3个黄球分别记为黄球1，黄球2，黄球3.从该箱子中随机摸出2个球，所有情况是(白球1，白球2)，(白球1，黄球1)，(白球1，黄球2)，(白球1，黄球3)，(白球2，黄球1)，(白球2，黄球2)，(白球2，黄球3)，(黄球1，黄球2)，(黄球1，黄球3)，(黄球2，黄球3)，共10种，摸出的这2个球颜色不同的情况有(白球1，黄球1)，(白球1，黄球2)，(白球1，黄球3)，(白球2，黄球1)，(白球2，黄球2)，(白球2，黄球3)，共6种，故所求概率为eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，选C.
答案：C
考点三
例2 解析：(1)由题意知a2－2<0，解得－eq \r(2)(2)满足椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2)＝1的焦距为整数的m的取值有1,3,11，共3个．故所求的概率为P＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
答案：(1)C (2)eq \f(1,2)
变式练
3．解析：解法一 向量a所有可能是：(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，共15种．满足|a|>2的有(－2，－1)，(－2,1)，(2，－1)，(2,1)，所以所求概率为eq \f(4,15).
解法二 当m＝－2,2，n＝－1,1时，满足|a|>2.所以所求概率为eq \f(2×2,5×3)＝eq \f(4,15).
答案：eq \f(4,15)
4．解析：若直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，则eq \f(|2a|,\r(a2＋b2))≤eq \r(2)，整理得a2≤b2.依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有6×6＝36(种)结果．满足a2≤b2的数组：当a＝1时，b＝1,2,3,4,5,6，共6种结果；当a＝2时，b＝2,3,4,5,6，共5种结果；当a＝3时，b＝3,4,5,6，共4种结果；当a＝4时，b＝4,5,6，共3种结果；当a＝5时，b＝5,6，共2种结果；当a＝6时，b＝6，共1种结果．∴满足a2≤b2的数组共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(种)结果，因此所求的概率P＝eq \f(21,36)＝eq \f(7,12).
答案： eq \f(7,12)