初中数学人教版九年级上册24.1 圆的有关性质综合与测试同步达标检测题

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第二十四章 圆
圆的有关性质
知识梳理


考点1 圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．









例题剖析


【例题1】 （2020秋•宜州区期末）下列4个说法中：①直径是弦；②弦是直径；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④弧是半圆；正确的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据弧的分类、圆的性质对各小题进行逐一分析即可．
【解答】解：①直径是最长的弦，故本小题说法正确；
②弦是不一定是直径，故本小题说法错误；
③经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故本小题说法正确；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，故本小题说法错误．
故选：．
【点评】本题考查的是圆的认识，熟知轴对称的性质以及弦的定义．注意熟记定理是关键．
【例题2】 （2020秋•武安市期末）如图，是圆弦的是　　

A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【分析】根据弦的定义确定答案即可．
【解答】解：弦是圆上两点间的的线段，图中是弦，其他均不是，
故选：．
【点评】考查了圆的认识，了解弦的定义是解答本题的关键，难度不大．
【例题3】 （2020秋•雨花区月考）对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是　　
A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D．将车轮设计为圆形是运用了“圆上所有的点到圆心的距离相等”的原理
【分析】利用两点之间线段最短、两点确定一条直线、三角形的稳定性和圆的性质可对四种生活现象进行解释．
【解答】解：、把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理，所以选项说法正确；
、木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原理，所以选项的说法错误；
、将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，所以选项说法正确；
、将车轮设计为圆形是运用了“圆上所有的点到圆心的距离相等”的原理，所以选项说法正确．
故选：．
【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了线段的性质．
















知识梳理


考点2 垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

考点3 垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．














例题剖析


【例题1】 （2021•南岗区模拟）如图，的直径垂直弦于点，且为半径的中点，若，则直径的长为　　

A． B．6 C． D．
【分析】连接，设的半径为，则，根据垂径定理求出，在中，由勾股定理得出方程，求出即可．
【解答】解：连接，设的半径为，

则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：（负值舍去），
即的直径，
故选：．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线构造直角三角形，用了方程思想．
【例题2】 （2021•碑林区校级模拟）如图，经过圆心，于，若，，则所在圆的半径为　　

A．3 B．4 C． D．
【分析】连接，设弧所在圆的半径为，则，，根据垂径定理求出，再在中，根据勾股定理得出方程，求出即可．
【解答】解：如图，连接，
设弧所在圆的半径为，则，，
经过圆心，于，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
故选：．

【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
【例题3】 （2021•广州模拟）如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为　　

A． B． C． D．
【分析】设圆弧的圆心为，过作于，交于，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可．
【解答】解：设圆弧的圆心为，过作于，交于，连接，如图所示：
则，，
，
，
即这些钢索中最长的一根为，
故选：．

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．














知识梳理


考点4 弧、弦、圆心角的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．

考点5 圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．




例题剖析


【例题1】 （2021•浦东新区模拟）下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质，难度不大．
【例题2】 （2020秋•郁南县期末）如图，为半圆的直径，点、为的三等分点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】求出，可得结论．
【解答】解：点、为的三等分点，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【例题3】 （2021•泰安）如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为　　

A． B． C． D．2
【分析】延长、交于，先利用直角三角形的性质求得的长，然后再求得的长，从而求得答案．
【解答】解：延长、交于，
，
，
，
，，
在中，，
在中，，
，
故选：．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【例题4】 （2021•南沙区一模）如图，四边形内接于，为延长线上一点．若，则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】首先利用邻补角求得的度数，然后利用圆周角定理求得答案即可．
【解答】解：，
，
，
故选：．
【点评】考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，难度不大．

















好题速递


基础巩固

1. （2020秋•斗门区校级期中）下列说法中，不正确的是　　
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．
【解答】解：、直径是最长的弦，说法正确；
、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；
、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
、长度相等的弧是等弧，说法错误；
故选：．
【点评】此题主要考查了圆的认识，关键是掌握能重合的弧叫等弧．
2. （2020秋•吴兴区期末）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，则长为　　

A．10 B．9 C． D．8
【分析】过作于，在和中列方程求出，从而可得答案．
【解答】解：过作于，如图：

中，，
而，，
，
中，，
而，
，
，
解得，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，列方程求是解题的关键．
3. （2020秋•荔湾区期末）“衢州有礼”已成为一块金名片，如图所示，在一块圆形宣传标志牌中，点，，在上，垂直平分于点，现测得，，则圆形标志牌的半径为　　

A． B． C． D．
【分析】连接、，根据题意求出，根据勾股定理列式计算即可．
【解答】解：连接、，
垂直平分，
，、、在同一条直线上，
设的半径为，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
故选：．

【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂径定理的推论、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4. （2020秋•澧县期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的　　

A． B． C． D．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到答案．
【解答】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图，
它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心．
故选：．
【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．
5. （2020秋•兰陵县期末）中，，，，以点为圆心，为半径的圆与、分别交于点、，则的长为　　

A． B． C． D．
【分析】在中，由勾股定理可直接求得的长；过作，交于点，由垂径定理可得为的中点，在中，根据勾股定理得的长，从而得到的长．
【解答】解：在中，
，，
．
过作，交于点，如图所示，
由垂径定理可得为的中点，
，且，，，
，
在中，根据勾股定理得：，即，
解得：，
．
故选：．

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
6. （2021•拱墅区二模）如图，破残的轮子上，弓形的弦为，高为，则这个轮子的半径长为　　

A． B． C． D．
【分析】连接，由垂径定理得出的长；连接，再在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接，如图所示：
由题意得：，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即这个轮子的半径长为，
故选：．

【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
7. （2020秋•西林县期末）下列说法中，正确的是　　
A．等弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等所对的圆心角相等
【分析】根据题意画出符合已知条件的图形，再逐个判断即可．
【解答】解：．如图，

弦弦，但是所对的两段弧不相等，故本选项不符合题意；
．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项符合题意；
．如图，

，但是弦和弦不相等，故本选项不符合题意；
．如图，

弦弦，但是圆心角和不相等，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，如果其中有一对量相等，那么其余两对量也分别相等．
8. （2020秋•道外区期末）下列图形中，为圆心角的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据圆心角定义：角的顶点是圆心，两边与圆相交，即可得结论．
【解答】解：根据圆心角定义可知：
．顶点不是圆心，所以选项不符合题意；
．顶点在圆上，圆周角，所以选项不符合题意；
．顶点是圆心，两边与圆相交，所以选项符合题意；
．顶点在圆上，圆周角，所以选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是掌握圆心角、弧、弦的关系定理．
9. （2021•西湖区校级二模）如图，的顶点、、均在上，若，则的大小是　　

A． B． C． D．
【分析】利用圆周角定理解决问题即可．
【解答】解：，，
，
故选：．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是记住在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10. （2021•北碚区校级模拟）如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】连接，根据圆周角定理，可分别求出，，即可求的度数．
【解答】解：连接，

为的直径，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
11. （2021•福州模拟）如图，是半圆的直径，是半圆上异于，的一点，为中点，延长交的延长线于点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得，可得，由为中点可得，根据三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：连接，

是半圆的直径，
，
，
，
为中点，
，
．
故选：．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质．解题的关键是利用圆周角定理得出的度数．
12. （2021•平凉模拟）如图，是的直径，点，在上，若，则的大小为　　

A． B． C． D．
【分析】连接，由圆周角定理得出，，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
；
故选：．

【点评】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造特殊三角形解决问题．
13. （2021•杭州模拟）如图，是的直径，，是的弦，连接，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】连接，得到，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解．
【解答】解：，
，

故选：．
【点评】本题考查圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14. （2020•牡丹江）如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】连接，，，根据圆周角定理得出，再根据得到，从而得到，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
【解答】解：连接，，，
，
，
，
，
，
．

故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．
二．填空题（共8小题）
15. （2021•开福区模拟）如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为　　．

【分析】作于，连接，先根据勾股定理得的长，再根据垂径定理得的长．
【解答】解：作于，连接．
，，
，
在中
，
．
故答案为：．

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16. （2016•宿迁）如图，在中，已知，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，则的长为　　．

【分析】如图，作于，在中利用30度性质即可求出，再根据垂径定理可以求出．
【解答】解：如图，作于．
，
在中，，，，
，，
，
，
．
故答案为．

【点评】本题考查垂径定理、三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据垂径定理添加辅助线，记住直角三角形30度角性质，属于基础题，中考常考题型．
17. （2020•河池）如图，是的直径，点，，都在上，，则　35　．

【分析】如图，连接．证明即可解决问题．
【解答】解：如图，连接．

是直径，
，
，
，
，
，
故答案为35．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18. （2020•随州）如图，点，，在上，是的角平分线，若，则的度数为　　．

【分析】先根据圆周角定理得到，然后利用角平分线的定义确定的度数．
【解答】解：，
而是的角平分线，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．



能力提升


1. （2021•南平模拟）如图，四边形中，连接、，点为的中点，若，则下面结论不一定正确的是　　

A． B．
C． D．点、、到点的距离相等
【分析】由点为的中点，，可知，在以为圆心，为直径的圆上，由圆心角定理可证．
【解答】解：点为的中点，，
，在以为圆心，为直径的圆上，如图，

，，点、、到点的距离相等，
当时，，而题目中未给出．
故选：．
【点评】本题以四边形为背景考查了圆心角定理，关键是能够根据已知条件构造圆．
2. （2021•锡山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为　　

A．3.5 B．2.5 C．2 D．1.2
【分析】连接，由垂径定理得，再由圆周角定理得点在以为直径的圆上（点、除外），以为直角作，过点作直线于，交于、，利用一次函数解析式确定，，则，然后证，利用相似比求出的长，得、的长，当点与点重合时，最大；点与点重合时，最小，然后计算出和得到的范围，即可求解．
【解答】解：连接，如图，
点为弦的中点，
，
，
点在以为直径的圆上（点、除外），
以为直径作，过点作直线于，交于、，
当时，，则，
当时，，
解得，则，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即，
解得，
，，
，，
设面积为，
当点与点重合时，最大；点与点重合时，最小，
的范围为，
面积的最小值为2．
故选：．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和一次函数的性质，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
3. （2021春•鼓楼区校级月考）若弦，是的两条平行弦，的半径为13，，，则，之间的距离为　　
A．7 B．17 C．5或12 D．7或17
【分析】过点作于，交于，连接、，如图，根据平行线的性质得，则利用垂径定理得到，，再利用勾股定理可计算出，，讨论：当圆心在、之间，如图1，；当圆心不在、之间，如图2，．
【解答】解：过点作于，交于，连接、，如图，
，
，
，，
在中，，
在中，，
当圆心在、之间，如图1，，
当圆心不在、之间，如图2，，
综上所述，，之间的距离为7或17．
故选：．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
4. （2021•南岗区校级二模）如图，在圆内有折线，其中，，，则的长为　　

A．16 B．20 C．18 D．22
【分析】延长交于，根据、的度数易证得是等边三角形，由此可求出、的长；过作的垂线，设垂足为；在中，根据的长及的度数易求得的长，进而可求出的长；由垂径定理知，由此得解．
【解答】解：延长交于，作于．

，
；
为等边三角形；
；
，
又，
；
；
；
故选：．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，垂径定理的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
5. （2021•拱墅区校级四模）如图，在中，，，，是上的一点，于点，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为　　

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】当与的交点落在上时，因为是直径，可以判定，再证垂直平分，求出的长度，最后证，即可求出的长度．
【解答】解：如图所示，当与的交点落在上时，
是直径，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
同理可证，
，
垂直平分，
，
在中，
，
，
，，
，
，
即，
，
故选：．

【点评】本题考查了圆周角定理的推论，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够根据题意画出图形，判断出．
6. （2019•梧州）如图，在半径为的中，弦与交于点，，，，则的长是　　

A． B． C． D．
【分析】过点作于点，于，连接、、，由垂径定理得出，，得出，由勾股定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案．
【解答】解：过点作于点，于，连接、、，如图所示：
则，，
，
在中，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在中，，
；
故选：．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
7. （2019秋•仪征市期末）如图，的半径为6，的面积为18，点为弦上一动点，当长为整数时，点有　4　个．

【分析】解法一：过点最长的弦是12，根据已知条件，的面积为18，可以求出，根据三角形面积可得，从而可知的长有两个整数：5，6，且是在或点时，每一个值都有两个点，所以一共有4个．
解法二：根据面积可知，上的高为6，也就是说与互相垂直，然后算出长度即可．
【解答】解：解法一：过作于，则，

设，，
是的一条弦，的半径为6，
，
的面积为18，
，
则，
，
解得或（舍，
，
，
点为弦上一动点，当长为整数时，或6，点有4个．
解法二：设中边上的高为，
则，即，
，
，
，即，
，图中，
同理得：点为弦上一动点，当长为整数时，或6，点有4个．
故答案为：4．
【点评】此题考查了圆的有关概念，三角形的面积，解决本题的关键是确定的最小值和最大值．
8. （2020秋•槐荫区期末）如图，以为圆心，半径为4的圆与轴交于、两点，与轴交于、两点，点为上任意一点，于，则线段的长度的最小值为　　．

【分析】连接，过点作于，连接、、，由垂径定理得，易证，求出，，得，，再由含角直角三角形的性质得，，然后由，得点在以为直径的上，由直角三角形的性质得出，当点在的延长线上时，的长度的最小，即可得出结果．
【解答】解：连接，过点作于，连接、、，如图所示：
，
，，
，
半径为4，
，
，
在中，，，
，，
，
，
，
，
，，
，
点在以为直径的上，
，
，
，
当点在的延长线上时，的长度的最小，
最小值为：，
故答案为：．

【点评】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、含角直角三角形的性质以及锐角三角函数定义等知识；熟练掌握垂径定理和直角三角形的性质是解题的关键．
9. （2021•青田县模拟）已知，有一个井泵如图1所示，它的一个纵向截面如图2，当活塞向上移动时，底面上的阀门打开，上的阀门关闭，外部液体被吸入活塞下方的空间内，活塞上方的液体被上推；当活塞向下移动时，上的阀门关闭，上的阀门打开，液体从活塞下方空间被压入活塞内上方空间．
在图2中，点在直径上，水泵底面直径，活塞直径，为中点．手柄支撑杆长，弧是直径为的半圆，连轴的长为（点，，，四点共线，，，三点共线，水泵材质厚度忽略不计），则　　，当手柄从图2位置按压到与重合（如图过程中井泵的最大出水量是　　．

【分析】如图2中，连接，过点作于．解直角三角形求出，在图3中，求出，求出线段的移动的距离，可得结论．
【解答】解：如图2中，连接，过点作于．

在中，，，，
，
，
，
在中，，
，
，
如图3中，，
，
移动的距离，
井泵的最大出水量．
故答案为：，．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质与判定等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题．
10. （2019•杏花岭区校级三模）如图，矩形中，，，为射线上一动点，连接交以为直径的圆于点，则线段长度的最小值为　　．

【分析】取的中点，连接，，．解直角三角形求出，，根据即可判断．
【解答】解：取的中点，连接，，．

四边形是矩形，
，，，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故答案为．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形的三边关系，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．





















中考真题

1. （2020•台湾）圆上有、、、四点，其位置如图所示，其中与相交于点，且．根据图中标示的角度，判断下列四条线段何者的长度最长？　　

A． B． C． D．
【分析】根据大角对大边判断即可．
【解答】解：如图，

，，
，
，
在中，，
，
同法可得，．，
线段的值最大，
故选：．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2. （2020•梧州）如图，的直径过弦的中点，连接，，，则的长是　　

A．1 B． C．2 D．
【分析】连接，根据垂径定理求出，解直角三角形求出和，根据勾股定理得出关于的方程，求出，再求出答案即可．
【解答】解：连接，

的直径过弦的中点，
，
，
，，
，
由勾股定理得：，
设，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
，
故选：．
【点评】本题考查了垂径定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
3. （2020•无锡）如图，是的直径，弦，若的度数为，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质得出，再根据圆周角定理求出答案即可．
【解答】解：弦，的度数为，
，
（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质和圆周角定理，注意：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，零直线平行，内错角相等．
4. （2020•广西）如图，已知四边形为的内接四边形，平分，于点，，，则的值为　　

A． B． C．2 D．
【分析】延长到，使，连接，如图，根据圆周角定理得到，，再判断为等边三角形得到，于是可证明，所以，接着判断为等边三角形，所以，然后计算出得到的长，从而得到的长．
【解答】解：延长到，使，连接，如图，
平分，
，
，，
为等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
而，
为等边三角形，
，
，
在中，，
，
．
故选：．

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了圆周角定理．
5. （2020•巴中）如图，在中，点、、在圆上，，，则的半径的长是　　

A． B．2 C． D．3
【分析】根据圆周角定理求出，再求出即可．
【解答】解：根据圆周角定理得：，
，
，
，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理和解直角三角形，能求出是直角三角形是解此题的关键．
6. （2020•广安）如图，点，，，四点均在上，，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】接，由，得出，再由，得出，求得，进一步得出，进一步利用圆周角定理得出的度数即可．
【解答】解：如图，

连接，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．
7. （2020•眉山）如图，四边形的外接圆为，，，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到，再利用圆周角定理得到，，然后根据三角形内角和计算的度数．
【解答】解：，
，
和所对的弧都是，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
8. （2020•广州）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为　　

A． B． C． D．
【分析】连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．
【解答】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：
，
，
的直径为，
，
在中，，
，
故选：．

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．