2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理学案理含解析北师大版

第六节　正弦定理和余弦定理

授课提示：对应学生用书第80页

知识点一　正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

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二级结论

三角形中的常用结论

（1）A＋B＝π－C，＝－．

（2）在三角形中，大边对大角，反之亦然．

（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

（4）在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C．

必明易错

1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．

2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．

1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．  D．

解析：∵cos∠BAC＝＝＝－，

又∵0<∠BAC<π，∴∠BAC＝．

答案：C

2．（易错题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，C＝，则A＝（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．或  D．或

解析：由正弦定理＝，

得sin A＝＝．

∵a<c，∴A<C，∴0<A<，∴A＝．

答案：A

3．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为_________．

解析：由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，

即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，

即A＝B或A＋B＝，

所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．

答案：等腰三角形或直角三角形

知识点二　三角形的面积

　三角形的面积

S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝（a＋b＋c）·r（r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R，r．

1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C＝（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由题可知S△ABC＝absin C＝，所以a2＋b2－c2＝2absin C，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，所以sin C＝cos C．因为C∈（0，π），所以C＝．

答案：C

2．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于_________．

解析：因为＝，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2．

答案：2

授课提示：对应学生用书第81页

题型一　利用正、余弦定理解三角形　

1．（2020·高考全国卷Ⅲ）在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．  D．

解析：由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，所以AB＝3，

所以cos B＝＝＝．

答案：A

2．（2019·高考全国卷Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为_________．

解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B．

又∵b＝6，a＝2c，B＝，

∴36＝4c2＋c2－2×2c2×，

∴c＝2，a＝4，

∴S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝6．

答案：6

3．（2019·高考全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（sin B－sin C）2＝sin2A－sin Bsin C．

（1）求A；

（2）若a＋b＝2c，求sin C．

解析：（1）由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，

故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc．

由余弦定理得cos A＝＝．

因为0°＜A＜180°，所以A＝60°．

（2）由（1）知B＝120°－C，

由题设及正弦定理得sin A＋sin（120°－C）＝2sin C，

即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos（C＋60°）＝－．

因为0°＜C＜120°，所以sin（C＋60°）＝，

故sin C＝sin（C＋60°－60°）

＝sin（C＋60°）cos 60°－cos（C＋60°）sin 60°＝．

　应用正、余弦定理的解题技巧

题型二　利用正、余弦定理判断三角形形状　　

[例]　（2021·秦皇岛模拟）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos B＋acos C＝b＋c，则△ABC的形状为（　　）

A．等边三角形　　　　　　 B．锐角三角形

C．钝角三角形  D．直角三角形

[解析]　法一：由余弦定理及已知得a×＋a×＝b＋c，所以a2b＋c2b－b3＋a2c＋b2c－c3＝2b2c＋2bc2，得b2＋c2＝a2，故A＝90°，所以△ABC为直角三角形．

法二：因为acos B＋acos C＝b＋c，由正弦定理得sin Acos B＋sin Acos C＝sin B＋sin C，即sin Acos B＋sin Acos C＝sin（A＋C）＋sin（A＋B），化简得cos A（sin B＋sin C）＝0，在△ABC中，sin B＋sin C≠0，则cos A＝0，所以△ABC为直角三角形．

[答案]　D

判断三角形形状的常用技巧

若已知条件中既有边又有角，则

（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

（2）化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

[对点训练]

（2021·河南洛阳模拟）在△ABC中，已知2acos B＝c， sin Asin B（2－cos C）＝sin2＋，则△ABC为（　　）

A．等边三角形　　　　　　　 B．等腰直角三角形

C．锐角非等边三角形  D．钝角三角形

解析：将已知等式2acos B＝c利用正弦定理化简得2sin Acos B＝sin C，

因为sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B，

所以2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，

即sin Acos B－cos Asin B＝sin（A－B）＝0，

因为A与B都为△ABC的内角，

所以A－B＝0，即A＝B．

因为sin Asin B（2－cos C）＝sin2＋，

所以sin Asin B（2－cos C）＝（1－cos C）＋＝1－cos C，

所以－（2－cos C）＝1－cos C，

所以－（－cos C－1）（2－cos C）＝1－cos C，

即（cos C＋1）（2－cos C）＝2－cos C，

整理得cos2C－2cos C＝0，即cos C（cos C－2）＝0，所以cos C＝0或cos C＝2（舍去），所以C＝90°，则△ABC为等腰直角三角形．

答案：B

题型三　与三角形面积有关的问题　　

[例]　（2020·高考全国卷Ⅰ）△ABC的内角为A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B＝150°．

（1）若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；

（2）若sin A＋sin C＝，求C．

[解析]　（1）由题设及余弦定理，

得28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°，

解得c＝－2（舍去）或c＝2，从而a＝2．

因此△ABC的面积为×2×2×sin 150°＝．

（2）在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，

所以sin A＋sin C＝sin（30°－C）＋sin C

＝sin（30°＋C），

故sin（30°＋C）＝．

而0°＜C＜30°，所以30°＜30°＋C＜60°，

所以30°＋C＝45°，故C＝15°．

求解与三角形面积有关的问题的步骤

[对点训练]

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos A＝（2c－a）cos B．

（1）求B；

（2）若b＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

解析：（1）由bcos A＝（2c－a）cos B，得2ccos B＝bcos A＋acos B．由正弦定理可得2sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B＝sin（A＋B）＝sin C，因为sin C≠0，所以cos B＝．因为0<B<π，所以B＝．

（2）因为S△ABC＝acsin B＝，所以ac＝4．

又13＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，所以a2＋c2＝17，所以a＋c＝5，故△ABC的周长为5＋．

　正弦定理、余弦定理应用中的核心素养

数学运算——解平面图形问题

[例]　（2020·高考全国卷Ⅰ）如图，在平面四边形ABCD中，0<∠DAB<，AD＝2，AB＝3，△ABD的面积为，AB⊥BC．

（1）求sin∠ABD的值；

（2）若∠BCD＝，求BC的长．

[解析]　（1）因为△ABD的面积S＝AD×ABsin∠DAB＝×2×3sin∠DAB＝，所以sin∠DAB＝．又0<∠DAB<，所以∠DAB＝，所以cos∠DAB＝cos ＝．由余弦定理得BD＝＝，

由正弦定理得sin∠ABD＝＝．

（2）因为AB⊥BC，所以∠ABC＝，sin∠DBC＝sin＝cos∠ABD＝＝．在△BCD中，由正弦定理＝可得CD＝＝．由余弦定理DC2＋BC2－2DC·BCcos∠DCB＝BD2，可得3BC2＋4BC－5＝0，解得BC＝或BC＝－（舍去）．故BC的长为．

求解该题第（2）问时易出现的问题是不能灵活利用“AB⊥BC”，将已知条件和第（1）问中所求值转化为△BCD内的边角关系．解决平面图形中的计算问题时，学会对条件进行分类与转化是非常重要的，一般来说，尽可能将条件转化到三角形中，这样就可以根据条件类型选用相应的定理求解．如该题中，把条件转化到△BCD中后，利用正弦定理和余弦定理就可以求出BC的长．

[对点训练]

如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线，已知BC＝1，且cos∠BCD＝－．

（1）若AC平分∠BCD，且AB＝2，求AC的长；

（2）若∠CBD＝45°，求CD的长．

解析：（1）若对角线AC平分∠BCD，

即∠BCD＝2∠ACB＝2∠ACD，

所以cos∠BCD＝2cos2∠ACB－1＝－，

因为cos∠ACB>0，所以cos∠ACB＝．

因为在△ABC中，BC＝1，AB＝2，cos∠ACB＝，

所以由余弦定理AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos∠ACB可得AC2－AC－3＝0，

解得AC＝，或AC＝－（舍去），

所以AC的长为．

（2）因为cos∠BCD＝－，

所以sin∠BCD＝＝．

又因为∠CBD＝45°，

所以sin∠CDB＝sin（180°－∠BCD－45°）

＝sin（∠BCD＋45°）

＝（sin∠BCD＋cos∠BCD）＝，

所以在△BCD中，

由正弦定理＝，

可得CD＝＝5，即CD的长为5．