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2022年中考数学专题复习类型九 二次函数与菱形有关的问题（解析版）
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这是一份2022年中考数学专题复习类型九 二次函数与菱形有关的问题（解析版），共25页。
类型九 二次函数与菱形有关的问题
【典例1】如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点是直线下方的抛物线上一动点（不点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为.
①用含的代数式表示线段的长；
②连接，，求的面积最大时点的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）①用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m；②△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）；（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．
【解析】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）①设P（m，m2﹣4m+3），
将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为yBC＝﹣x+3．
∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，
∴D（m，﹣m+3），
∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．
答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．
②S△PBC＝S△CPD+S△BPD
＝OB•PD＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+．
∴当m＝时，S有最大值．
当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣．
∴P（，﹣）．
答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）．
（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．
根据题意，点E（2，1），
∴EF=CF=2，
∴EC=2，
根据菱形的四条边相等，
∴ME=EC=2，∴M（2，1-2）或（2，1+2）
当EM=EF=2时，M（2，3）
∴点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．
（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形,求点P的坐标．
（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2）（2）（，-）（3）P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）
【解析】（1）将B、C点代入函数解析式，得：，解得：，这个二次函数y＝x2+bx+c的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵四边形POP′C为菱形，∴OC与PP′互相垂直平分，∴yP，即x2﹣2x﹣3，解得：x1，x2（舍），P（）；
（3）∵∠PBC＜90°，∴分两种情况讨论：
①如图1，当∠PCB＝90°时，过P作PH⊥y轴于点H，BC的解析式为y＝x﹣3，CP的解析式为y＝﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），将点P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，解得：m1＝0（舍），m2＝1，即P（1，﹣4）；
AO＝1，OC＝3，CB，CP，此时3，△AOC∽△PCB；
②如图2，当∠BPC＝90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D．
∵PC⊥PB，∴△PHC∽△BDP，∴．设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则PH=m，HC=－（m2﹣2m﹣3）－（－3）=－m2+2m，BD=－（m2﹣2m﹣3），PD=3－m，∴，∴，解得：m或（舍去）．当m时，m2﹣2m﹣3=．
∵△PHC∽△BDP，∴== 3，以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似．
综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）．
【典例3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点的坐标为（﹣3，0），B点在原点的左侧，与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC上方的抛物线上一动点
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C（如图1所示），那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请此时点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大，并求出其最大值．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在．P点的坐标为（﹣，）；（3）P点的坐标为（﹣，），四边形ABPC的面积的最大值为．
【方法点拨】
（1）利用待定系数法直接将B、C两点直接代入y＝x2+bx+c求解b，c的值即可得抛物线解析式；
（2）利用菱形对角线的性质及折叠的性质可以判断P点的纵坐标为﹣，令y＝﹣即可得x2﹣2x﹣3＝﹣，解该方程即可确定P点坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABCP的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线AC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ABCP的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABCP的最大面积及对应的P点坐标．
【解析】
（1）∵C点坐标为（0，3），
∴y＝﹣x2+bx+3，
把A（﹣3，0）代入上式得，0＝9﹣3b+3，
解得，b＝﹣2，
∴该二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在．如图1，
设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），PP′交CO于E，
当四边形POP'C为菱形时，则有PC＝PO，连接PP′，则PE⊥CO于E，
∴OE＝CE＝，
令﹣x2﹣2x+3＝，
解得，x1＝﹣，x2＝（不合题意，舍去）．
∴P点的坐标为（﹣，）．
（3）如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OA交于点F，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），设直线AC的解析式为：y＝kx+t，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
则Q点的坐标为（x，x+3），
当0＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴AO＝3，OB＝1，则AB＝4，
S四边形ABCP＝S△ABC+S△APQ+S△CPQ
＝AB•OC+QP•OF+QP•AF
＝×4×3+[（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）]×3
＝﹣（x+）2+．
当x＝﹣时，四边形ABCP的面积最大，
此时P点的坐标为（﹣，），四边形ABPC的面积的最大值为．
【思路引导】
此题考查了二次函数综合题，需要掌握二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．
【典例4】如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由
【答案】（1）；（2） （0≤t≤3）；（3）t=1或2时；四边形BCMN为平行四边形；t=1时，平行四边形BCMN是菱形，t=2时，平行四边形BCMN不是菱形，理由见解析.
【解析】
解：（1）x=0时，y=1，
∴点A的坐标为：（0，1），
∵BC⊥x轴，垂足为点C（3，0），
∴点B的横坐标为3，
当x=3时，y=，
∴点B的坐标为（3，），
设直线AB的函数关系式为y=kx+b， ，
解得，，
则直线AB的函数关系式
（2）当x=t时，y=t+1，
∴点M的坐标为（t，t+1），
当x=t时，
∴点N的坐标为
（0≤t≤3）；
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，
∴，
解得t1=1，t2=2，
∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形，
①当t=1时，MP=，PC=2，
∴MC==MN，此时四边形BCMN为菱形，
②当t=2时，MP=2，PC=1，
∴MC=≠MN，此时四边形BCMN不是菱形．
【典例5】已知，在平面直角坐标系内一直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，y轴右侧部分抛物线上有一动点C，过点C作y轴的平行线交直线l1于点D.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，C在第一象限，求以CD为直径的⊙E的最大面积，并判断此时⊙E与抛物线的对称轴是否相切？若不相切，求出使得⊙E与该抛物线对称轴相切时点C的横坐标；
（3）坐标平面内是否存在点M，使B、C、D、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；不存在，请说明理由.
【答案】(1)；（2）不相切， C的横坐标分别为2和；（3）M（0,1），（2,3）（0,1-3），（0,1+3）.
【解析】
解：（1）直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，可得A点（3，0），B点（0，3），将A、B两点坐标代入y=-x2+bx+c，可得
，可得b=2，c=3
抛物线的函数表达式；
（2）①可得抛物线对称轴为：1，
C在第一象限,以CD为直径的⊙E的最大面积，即CD最长时，圆的面积最大，
设直线CD的横坐标为t，0＜t＜3，
D点坐标（t，-t+3），C点坐标（t，-t+2t+3），
=-t+2t+3-(-t+3)= -t+3t（0＜t＜3），
当t==时，CD最长，此时CD最长为，
此时圆E的半径为，此时CD与对称轴的距离为-1=≠，
故不相切.
②当CD在对称轴右边时，即1＜t＜3时
= -t+3t（1＜t＜3）；圆E的半径为t-1，
可得=2r；-t+3t=2（t-1），解得：=-1（舍去）；
=2；
当CD在对称轴左边时，即即0＜t＜1时，
有-t+3t=2（1-t），解得：（舍去），
；
综上所述：t=2或t=，⊙E与该抛物线对称轴相切.
(3)存在，由菱形性质可得M点坐标（0,1），（2,3）（0,1-3），（0,1+3）.
【典例6】如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点
（1）求m的值及C点坐标；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由
（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标(直接写出答案)；
【答案】(1)
(2) 存在,
(3)点坐标为()或()
【解析】解： 将点的坐标代入二次函数，即，解得，故二次函数解析式为，令，解得，故点坐标为;
(2)存在，
理由：，
直线的解析式为，
当直线向上平移单位后和抛物线只有一个公共点时，面积最大，
整理得：
，
如图2、图3所示，连接交于点。
因为四边形是菱形，所以为的中点，
因为点的坐标分别为、，所以由中点坐标公式得点坐标为，
由(2)可知直线的解析式为，
由于，所以设直线的解析式为，
将代入，求得直线的解析式为，
将直线的解析式与抛物线解析式联立得：
，消去得：，
解得：，
将代入直线的解析式得，
将代入直线的解析式得，
故当四边形为菱形时，点坐标为()或().
【典例7】定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2＝ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y＝x2﹣x+1是黄金抛物线
（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；
（2）将黄金抛物线y＝x2﹣x+1沿对称轴向下平移3个单位
①直接写出平移后的新抛物线的解析式；
②新抛物线如图所示，与x轴交于A、B（A在B的左侧），与y轴交于C，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
③当直线BC下方的抛物线上动点P运动到什么位置时，四边形 OBPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形OBPC的最大面积．
【答案】（1）y＝x2+x+1；（2）①：y＝x2﹣x﹣2；②存在P点的坐标为（，﹣1）；当x＝1时，最大值是3，P（1，﹣2）
【解析】
解：（1）不唯一，例如：y＝x2+x+1；
（2）①：y＝x2﹣x﹣2；
②存在点P，如图1，使四边形POP′C为菱形．
设P点坐标为（x，x2﹣x﹣2），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC＝PO．
连结PP′则PE⊥CO于E，
∴OE＝EC＝1，
∴y＝﹣1，
∴x2﹣x﹣2＝﹣1
解得x1＝，x2＝（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，﹣1）；
③过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，如图2
设P（x，x2﹣x﹣2），
易得，直线BC的解析式：y＝x﹣2
则Q点的坐标为（x，x﹣2）．
S四边形OBPC＝S△OBC+S△BPQ+S△CPQ
＝OB•OC+QP•OF+QP•FB＝
＝﹣（x﹣1）2+3，
当x＝1时，四边形OBPC的面积最大
此时P点的坐标为（1，﹣2），
四边形OBPC的面积最大值是3．
【典例8】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
(1)求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)求直线l的函数解析式(其中k，b用含a的式子表示)；
(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
(4)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），x＝1；（2）y＝ax+a；（3）；（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，（1，﹣）或（1，﹣4）．
【思路引导】
（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y＝kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k＝a，得到直线l的函数表达式为y＝ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF＝ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（4）令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．
【解析】
（1）当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
对称轴为直线x＝＝1；
（2）∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），
∴0＝﹣k+b，
即k＝b，
∴直线l：y＝kx+k，
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，
即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴﹣3﹣＝﹣1×4，
∴k＝a，
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a；
（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），
∴EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，
∴△ACE的面积的最大值＝﹣a，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴﹣a＝，
解得；
（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，m），
①若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），
∴m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣，
∴P（1，﹣）；
②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），
∴m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a），
∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD＝90°，
∴AP2+PD2＝AD2，
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣ ，
∴P（1，﹣4），
综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．
【方法总结】
本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
【典例9】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．
【解析】
解：（1）∵=，令y=0，得到，，
∴A（－1，0），B（3，0），
∵直线l经过点A，
∴，，
∴，
令，即，
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴，
∴，
∴直线l的函数表达式为；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），
EF＝=，
S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝
＝＝，
∴△ACE的面积的最大值为，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴ ，解得；
（3）令，即，解得，，
∴D（4，5a），
∵，
∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），
①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴，
∴，即 ，
∵，
∴，
∴P1（1，）；
②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（ ，），Q（2，），m＝，则P（1，8a），
∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，
∴，
∴，即 ，
∵，∴，∴P2（1，－4）．
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．
【典例10】如图1，抛物线y=﹣x2+x+与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．经过点A的直线l与y轴交于点D（0，﹣）．
（1）求A、B两点的坐标及直线l的表达式；
（2）如图2，直线l从图中的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，运动中直线l与x轴交于点E，与y轴交于点F，点A 关于直线l的对称点为A′，连接FA′、BA′，设直线l的运动时间为t（t＞0）秒．探究下列问题：
①请直接写出A′的坐标（用含字母t的式子表示）；
②当点A′落在抛物线上时，求直线l的运动时间t的值，判断此时四边形A′BEF的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，探究：在直线l的运动过程中，坐标平面内是否存在点P，使得以P，A′，B，E为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点P的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣x﹣；（2）见解析（3）存在
【解析】（1）当y=0时，﹣x2+x+=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），
设直线l的解析式为y=kx+b，
把A（﹣1，0），D（0，﹣）代入得，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣x﹣；
（2）①作A′H⊥x轴于H，如图，
∵OA=1，OD=，
∴∠OAD=60°，
∵EF∥AD，
∴∠AEF=60°，
∵点A 关于直线l的对称点为A′，
∴EA=EA′=t，∠A′EF=∠AEF=60°，
在Rt△A′EH中，EH=EA′=t，A′H=EH=t，
∴OH=OE+EH=t﹣1+t=t﹣1，
∴A′（t﹣1， t）；
②把A′（t﹣1， t）代入y=﹣x2+x+得﹣（t﹣1）2+（t﹣1）+=t，
解得t1=0（舍去），t2=2，
∴当点A′落在抛物线上时，直线l的运动时间t的值为2；
此时四边形A′BEF为菱形，理由如下：
当t=2时，A′点的坐标为（2，），E（1，0），
∵∠OEF=60°
∴OF=OE=，EF=2OE=2，
∴F（0，），
∴A′F∥x轴，
∵A′F=BE=2，A′F∥BE，
∴四边形A′BEF为平行四边形，
而EF=BE=2，
∴四边形A′BEF为菱形；
（3）存在，如图：
当A′B⊥BE时，四边形A′BEP为矩形，则t﹣1=3，解得t=，则A′（3，），
∵OE=t﹣1=，
∴此时P点坐标为（，）；
当A′B⊥EA′，如图，四边形A′BPE为矩形，作A′Q⊥x轴于Q，
∵∠AEA′=120°，
∴∠A′EB=60°，
∴∠EBA′=30°
∴BQ=A′Q=•t=t，
∴t﹣1+t=3，解得t=，
此时A′（1，），E（，0），
点A′向左平移个单位，向下平移个单位得到点E，则点B（3，0）向左平移个单位，向下平移个单位得到点P，则P（，﹣），
综上所述，满足条件的P点坐标为（，）或（，﹣）．
类型九 二次函数与菱形有关的问题
【典例1】如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点是直线下方的抛物线上一动点（不点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为.
①用含的代数式表示线段的长；
②连接，，求的面积最大时点的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）①用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m；②△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）；（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．
【解析】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）①设P（m，m2﹣4m+3），
将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为yBC＝﹣x+3．
∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，
∴D（m，﹣m+3），
∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．
答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．
②S△PBC＝S△CPD+S△BPD
＝OB•PD＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+．
∴当m＝时，S有最大值．
当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣．
∴P（，﹣）．
答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）．
（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．
根据题意，点E（2，1），
∴EF=CF=2，
∴EC=2，
根据菱形的四条边相等，
∴ME=EC=2，∴M（2，1-2）或（2，1+2）
当EM=EF=2时，M（2，3）
∴点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．
（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形,求点P的坐标．
（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2）（2）（，-）（3）P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）
【解析】（1）将B、C点代入函数解析式，得：，解得：，这个二次函数y＝x2+bx+c的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵四边形POP′C为菱形，∴OC与PP′互相垂直平分，∴yP，即x2﹣2x﹣3，解得：x1，x2（舍），P（）；
（3）∵∠PBC＜90°，∴分两种情况讨论：
①如图1，当∠PCB＝90°时，过P作PH⊥y轴于点H，BC的解析式为y＝x﹣3，CP的解析式为y＝﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），将点P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，解得：m1＝0（舍），m2＝1，即P（1，﹣4）；
AO＝1，OC＝3，CB，CP，此时3，△AOC∽△PCB；
②如图2，当∠BPC＝90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D．
∵PC⊥PB，∴△PHC∽△BDP，∴．设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则PH=m，HC=－（m2﹣2m﹣3）－（－3）=－m2+2m，BD=－（m2﹣2m﹣3），PD=3－m，∴，∴，解得：m或（舍去）．当m时，m2﹣2m﹣3=．
∵△PHC∽△BDP，∴== 3，以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似．
综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）．
【典例3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点的坐标为（﹣3，0），B点在原点的左侧，与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC上方的抛物线上一动点
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C（如图1所示），那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请此时点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大，并求出其最大值．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在．P点的坐标为（﹣，）；（3）P点的坐标为（﹣，），四边形ABPC的面积的最大值为．
【方法点拨】
（1）利用待定系数法直接将B、C两点直接代入y＝x2+bx+c求解b，c的值即可得抛物线解析式；
（2）利用菱形对角线的性质及折叠的性质可以判断P点的纵坐标为﹣，令y＝﹣即可得x2﹣2x﹣3＝﹣，解该方程即可确定P点坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABCP的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线AC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ABCP的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABCP的最大面积及对应的P点坐标．
【解析】
（1）∵C点坐标为（0，3），
∴y＝﹣x2+bx+3，
把A（﹣3，0）代入上式得，0＝9﹣3b+3，
解得，b＝﹣2，
∴该二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在．如图1，
设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），PP′交CO于E，
当四边形POP'C为菱形时，则有PC＝PO，连接PP′，则PE⊥CO于E，
∴OE＝CE＝，
令﹣x2﹣2x+3＝，
解得，x1＝﹣，x2＝（不合题意，舍去）．
∴P点的坐标为（﹣，）．
（3）如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OA交于点F，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），设直线AC的解析式为：y＝kx+t，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
则Q点的坐标为（x，x+3），
当0＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴AO＝3，OB＝1，则AB＝4，
S四边形ABCP＝S△ABC+S△APQ+S△CPQ
＝AB•OC+QP•OF+QP•AF
＝×4×3+[（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）]×3
＝﹣（x+）2+．
当x＝﹣时，四边形ABCP的面积最大，
此时P点的坐标为（﹣，），四边形ABPC的面积的最大值为．
【思路引导】
此题考查了二次函数综合题，需要掌握二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．
【典例4】如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由
【答案】（1）；（2） （0≤t≤3）；（3）t=1或2时；四边形BCMN为平行四边形；t=1时，平行四边形BCMN是菱形，t=2时，平行四边形BCMN不是菱形，理由见解析.
【解析】
解：（1）x=0时，y=1，
∴点A的坐标为：（0，1），
∵BC⊥x轴，垂足为点C（3，0），
∴点B的横坐标为3，
当x=3时，y=，
∴点B的坐标为（3，），
设直线AB的函数关系式为y=kx+b， ，
解得，，
则直线AB的函数关系式
（2）当x=t时，y=t+1，
∴点M的坐标为（t，t+1），
当x=t时，
∴点N的坐标为
（0≤t≤3）；
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，
∴，
解得t1=1，t2=2，
∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形，
①当t=1时，MP=，PC=2，
∴MC==MN，此时四边形BCMN为菱形，
②当t=2时，MP=2，PC=1，
∴MC=≠MN，此时四边形BCMN不是菱形．
【典例5】已知，在平面直角坐标系内一直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，y轴右侧部分抛物线上有一动点C，过点C作y轴的平行线交直线l1于点D.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，C在第一象限，求以CD为直径的⊙E的最大面积，并判断此时⊙E与抛物线的对称轴是否相切？若不相切，求出使得⊙E与该抛物线对称轴相切时点C的横坐标；
（3）坐标平面内是否存在点M，使B、C、D、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；不存在，请说明理由.
【答案】(1)；（2）不相切， C的横坐标分别为2和；（3）M（0,1），（2,3）（0,1-3），（0,1+3）.
【解析】
解：（1）直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，可得A点（3，0），B点（0，3），将A、B两点坐标代入y=-x2+bx+c，可得
，可得b=2，c=3
抛物线的函数表达式；
（2）①可得抛物线对称轴为：1，
C在第一象限,以CD为直径的⊙E的最大面积，即CD最长时，圆的面积最大，
设直线CD的横坐标为t，0＜t＜3，
D点坐标（t，-t+3），C点坐标（t，-t+2t+3），
=-t+2t+3-(-t+3)= -t+3t（0＜t＜3），
当t==时，CD最长，此时CD最长为，
此时圆E的半径为，此时CD与对称轴的距离为-1=≠，
故不相切.
②当CD在对称轴右边时，即1＜t＜3时
= -t+3t（1＜t＜3）；圆E的半径为t-1，
可得=2r；-t+3t=2（t-1），解得：=-1（舍去）；
=2；
当CD在对称轴左边时，即即0＜t＜1时，
有-t+3t=2（1-t），解得：（舍去），
；
综上所述：t=2或t=，⊙E与该抛物线对称轴相切.
(3)存在，由菱形性质可得M点坐标（0,1），（2,3）（0,1-3），（0,1+3）.
【典例6】如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点
（1）求m的值及C点坐标；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由
（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标(直接写出答案)；
【答案】(1)
(2) 存在,
(3)点坐标为()或()
【解析】解： 将点的坐标代入二次函数，即，解得，故二次函数解析式为，令，解得，故点坐标为;
(2)存在，
理由：，
直线的解析式为，
当直线向上平移单位后和抛物线只有一个公共点时，面积最大，
整理得：
，
如图2、图3所示，连接交于点。
因为四边形是菱形，所以为的中点，
因为点的坐标分别为、，所以由中点坐标公式得点坐标为，
由(2)可知直线的解析式为，
由于，所以设直线的解析式为，
将代入，求得直线的解析式为，
将直线的解析式与抛物线解析式联立得：
，消去得：，
解得：，
将代入直线的解析式得，
将代入直线的解析式得，
故当四边形为菱形时，点坐标为()或().
【典例7】定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2＝ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y＝x2﹣x+1是黄金抛物线
（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；
（2）将黄金抛物线y＝x2﹣x+1沿对称轴向下平移3个单位
①直接写出平移后的新抛物线的解析式；
②新抛物线如图所示，与x轴交于A、B（A在B的左侧），与y轴交于C，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
③当直线BC下方的抛物线上动点P运动到什么位置时，四边形 OBPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形OBPC的最大面积．
【答案】（1）y＝x2+x+1；（2）①：y＝x2﹣x﹣2；②存在P点的坐标为（，﹣1）；当x＝1时，最大值是3，P（1，﹣2）
【解析】
解：（1）不唯一，例如：y＝x2+x+1；
（2）①：y＝x2﹣x﹣2；
②存在点P，如图1，使四边形POP′C为菱形．
设P点坐标为（x，x2﹣x﹣2），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC＝PO．
连结PP′则PE⊥CO于E，
∴OE＝EC＝1，
∴y＝﹣1，
∴x2﹣x﹣2＝﹣1
解得x1＝，x2＝（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，﹣1）；
③过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，如图2
设P（x，x2﹣x﹣2），
易得，直线BC的解析式：y＝x﹣2
则Q点的坐标为（x，x﹣2）．
S四边形OBPC＝S△OBC+S△BPQ+S△CPQ
＝OB•OC+QP•OF+QP•FB＝
＝﹣（x﹣1）2+3，
当x＝1时，四边形OBPC的面积最大
此时P点的坐标为（1，﹣2），
四边形OBPC的面积最大值是3．
【典例8】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
(1)求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)求直线l的函数解析式(其中k，b用含a的式子表示)；
(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
(4)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），x＝1；（2）y＝ax+a；（3）；（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，（1，﹣）或（1，﹣4）．
【思路引导】
（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y＝kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k＝a，得到直线l的函数表达式为y＝ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF＝ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（4）令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．
【解析】
（1）当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
对称轴为直线x＝＝1；
（2）∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），
∴0＝﹣k+b，
即k＝b，
∴直线l：y＝kx+k，
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，
即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴﹣3﹣＝﹣1×4，
∴k＝a，
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a；
（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），
∴EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，
∴△ACE的面积的最大值＝﹣a，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴﹣a＝，
解得；
（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，m），
①若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），
∴m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣，
∴P（1，﹣）；
②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），
∴m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a），
∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD＝90°，
∴AP2+PD2＝AD2，
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣ ，
∴P（1，﹣4），
综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．
【方法总结】
本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
【典例9】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．
【解析】
解：（1）∵=，令y=0，得到，，
∴A（－1，0），B（3，0），
∵直线l经过点A，
∴，，
∴，
令，即，
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴，
∴，
∴直线l的函数表达式为；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），
EF＝=，
S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝
＝＝，
∴△ACE的面积的最大值为，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴ ，解得；
（3）令，即，解得，，
∴D（4，5a），
∵，
∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），
①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴，
∴，即 ，
∵，
∴，
∴P1（1，）；
②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（ ，），Q（2，），m＝，则P（1，8a），
∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，
∴，
∴，即 ，
∵，∴，∴P2（1，－4）．
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．
【典例10】如图1，抛物线y=﹣x2+x+与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．经过点A的直线l与y轴交于点D（0，﹣）．
（1）求A、B两点的坐标及直线l的表达式；
（2）如图2，直线l从图中的位置出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，运动中直线l与x轴交于点E，与y轴交于点F，点A 关于直线l的对称点为A′，连接FA′、BA′，设直线l的运动时间为t（t＞0）秒．探究下列问题：
①请直接写出A′的坐标（用含字母t的式子表示）；
②当点A′落在抛物线上时，求直线l的运动时间t的值，判断此时四边形A′BEF的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，探究：在直线l的运动过程中，坐标平面内是否存在点P，使得以P，A′，B，E为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点P的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣x﹣；（2）见解析（3）存在
【解析】（1）当y=0时，﹣x2+x+=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），
设直线l的解析式为y=kx+b，
把A（﹣1，0），D（0，﹣）代入得，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣x﹣；
（2）①作A′H⊥x轴于H，如图，
∵OA=1，OD=，
∴∠OAD=60°，
∵EF∥AD，
∴∠AEF=60°，
∵点A 关于直线l的对称点为A′，
∴EA=EA′=t，∠A′EF=∠AEF=60°，
在Rt△A′EH中，EH=EA′=t，A′H=EH=t，
∴OH=OE+EH=t﹣1+t=t﹣1，
∴A′（t﹣1， t）；
②把A′（t﹣1， t）代入y=﹣x2+x+得﹣（t﹣1）2+（t﹣1）+=t，
解得t1=0（舍去），t2=2，
∴当点A′落在抛物线上时，直线l的运动时间t的值为2；
此时四边形A′BEF为菱形，理由如下：
当t=2时，A′点的坐标为（2，），E（1，0），
∵∠OEF=60°
∴OF=OE=，EF=2OE=2，
∴F（0，），
∴A′F∥x轴，
∵A′F=BE=2，A′F∥BE，
∴四边形A′BEF为平行四边形，
而EF=BE=2，
∴四边形A′BEF为菱形；
（3）存在，如图：
当A′B⊥BE时，四边形A′BEP为矩形，则t﹣1=3，解得t=，则A′（3，），
∵OE=t﹣1=，
∴此时P点坐标为（，）；
当A′B⊥EA′，如图，四边形A′BPE为矩形，作A′Q⊥x轴于Q，
∵∠AEA′=120°，
∴∠A′EB=60°，
∴∠EBA′=30°
∴BQ=A′Q=•t=t，
∴t﹣1+t=3，解得t=，
此时A′（1，），E（，0），
点A′向左平移个单位，向下平移个单位得到点E，则点B（3，0）向左平移个单位，向下平移个单位得到点P，则P（，﹣），
综上所述，满足条件的P点坐标为（，）或（，﹣）．
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