中考数学二轮复习重难点复习题型09 二次函数综合题 类型九 二次函数与菱形有关的问题（专题训练）（2份打包，原卷版+解析版）

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1.（2022·湖南湘潭）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图①，若抛物线图象与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交点 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 ．
①求该抛物线所表示的二次函数表达式；
②若点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上一动点（与点 SKIPIF 1 < 0 不重合），过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，与线段 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．是否存在点 SKIPIF 1 < 0 使得点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点？若存在，请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)如图②，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，同时与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，以线段 SKIPIF 1 < 0 为边作菱形 SKIPIF 1 < 0 ，使点 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上，若该抛物线与线段 SKIPIF 1 < 0 没有交点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1)① SKIPIF 1 < 0 ，②存在，点P坐标为(2，-3)或（ SKIPIF 1 < 0 ，- SKIPIF 1 < 0 ），理由见解析
(2)b< SKIPIF 1 < 0 或b> SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P（m，m2-2m-3）若点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，代入求解即可；
（2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是菱形，由此得出点E的坐标．再根据该抛物线与线段 SKIPIF 1 < 0 没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）进行讨论，求出b的取值范围．
(1)
①解：把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
②解：存在，理由如下，
设直线AB的解析式为y=kx+b，把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入，得
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线AB的解析式为y=x-3，
设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3）
若点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得：m=2或m= SKIPIF 1 < 0 或m=3，
经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，
∴m=2或m= SKIPIF 1 < 0
∴点P坐标为(2，-3)或（ SKIPIF 1 < 0 ，- SKIPIF 1 < 0 ）
(2)解：把点D（-3，0）代入直线 SKIPIF 1 < 0 ，解得n=4，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 ，
当x=0时，y=4，即点C（0，4）
∴CD= SKIPIF 1 < 0 =5，
∵四边形CDFE是菱形，
∴CE=EF=DF=CD=5，
∴点E（5，4）
∵点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴（-3）2-3b+c=0，
∴c=3b-9，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵该抛物线与线段 SKIPIF 1 < 0 没有交点，
分情况讨论
当CE在抛物线内时
52+5b+3b-9<4
解得：b< SKIPIF 1 < 0
当CE在抛物线右侧时，
3b-9>4
解得：b> SKIPIF 1 < 0
综上所述，b< SKIPIF 1 < 0 或b> SKIPIF 1 < 0
【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论．
2．（2021·湖南中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与x轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点C．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线 SKIPIF 1 < 0 于点Q．
①当 SKIPIF 1 < 0 时，求当P点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时m的值；
②是否存在m，使得以点 SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．
【答案】（1）b= SKIPIF 1 < 0 ，c= SKIPIF 1 < 0 ；（2）① SKIPIF 1 < 0 ；②不存在，理由见解析
【分析】
（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；
（2）①设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；
②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴b= SKIPIF 1 < 0 ，c= SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2 SKIPIF 1 < 0 ，
设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵0∴PQ=m-( m2-2m-3)=-m2+3m+3=- SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ，
∵-1<0，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，PQ有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
②∵抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3，
∴C（0，-3），
∴OB=OC=3，
由题意，点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵PQ∥OC，
当OC为菱形的边，则PQ=OC=3，
当点Q在点P上方时，
∴PQ= SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，点P与点O重合，菱形不存在，
当 SKIPIF 1 < 0 时，点P与点B重合，此时BC= SKIPIF 1 < 0 ，菱形也不存在；
当点Q在点P下方时，
若点Q在第三象限，如图，
∵∠COQ=45°，
根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合，
此时OA=1 SKIPIF 1 < 0 OC=3，菱形不存在，
若点Q在第一象限，如图，
同理，菱形不存在，
综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键．
3.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且与直线 SKIPIF 1 < 0 交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） SKIPIF 1 < 0 为抛物线对称轴上一点， SKIPIF 1 < 0 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是以 SKIPIF 1 < 0 为边的菱形．若存在，请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴上一点，过点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．探究 SKIPIF 1 < 0 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是以 SKIPIF 1 < 0 为边的菱形，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 存在最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】
（1）由题意易得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，然后把点B、D代入求解即可；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ，当以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是以 SKIPIF 1 < 0 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当 SKIPIF 1 < 0 时，②当 SKIPIF 1 < 0 时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；
（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有 SKIPIF 1 < 0 ，若使 SKIPIF 1 < 0 的值为最小，即 SKIPIF 1 < 0 为最小，则有当点D、M、O三点共线时， SKIPIF 1 < 0 的值为最小，然后问题可求解．
【详解】
解：（1）∵四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴OB=1，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
把点B、D坐标代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，则有抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴由两点距离公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，当以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是以 SKIPIF 1 < 0 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：
①当 SKIPIF 1 < 0 时，如图所示：
∴由两点距离公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，如图所示：
∴由两点距离公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述：当以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是以 SKIPIF 1 < 0 为边的菱形，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由题意可得如图所示：
连接OM、DM，
由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，DM=EM，
∵过点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形BOMP是平行四边形，
∴OM=BP，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
若使 SKIPIF 1 < 0 的值为最小，即 SKIPIF 1 < 0 为最小，
∴当点D、M、O三点共线时， SKIPIF 1 < 0 的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
设线段OD的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，代入点D的坐标得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴线段OD的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．
4.（2021·山西中考真题）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧），与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点的坐标并直接写出直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的函数表达式；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 下方抛物线上的一个动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的平行线 SKIPIF 1 < 0 ，交线段 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
①试探究：在直线 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】（1）点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为： SKIPIF 1 < 0 ；直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为： SKIPIF 1 < 0 ；（2）①存在，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】
（1）分别令 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时即可求解 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点的坐标，然后再进行求解直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的函数表达式即可；
（2）①设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，由题意易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形，进而可根据菱形的性质分当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是菱形，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是菱形，然后分别求解即可；②由题意可作图，则由题意可得抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）可得直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为： SKIPIF 1 < 0 ；直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，然后可求得直线l的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，则可求得点 SKIPIF 1 < 0 ，所以就有 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据面积公式及两点距离公式可进行求解．
【详解】
解：（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，代入点A、C的坐标得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为： SKIPIF 1 < 0 ．
同理可得直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①存在．设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是菱形，如图所示：
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是菱形，如图所示：
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述，存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形为菱形，且点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
②由题意可得如图所示：
由题意可得抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）可得直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为： SKIPIF 1 < 0 ；直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴设直线l的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，把点M的坐标代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线l的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴联立直线l与直线AC的解析式得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 下方抛物线上的一个动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点M在点N的上方才有可能，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （不符合题意，舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴由两点距离公式可得 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合及菱形的性质，熟练掌握二次函数的综合及菱形的性质是解题的关键．
5.（2021·内蒙古）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 交x轴于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及 SKIPIF 1 < 0 的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) P点坐标为(1,2)， SKIPIF 1 < 0 的周长最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；(3) Q点坐标存在，为(2，2)或(4， SKIPIF 1 < 0 )或(4， SKIPIF 1 < 0 )或( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )或( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )
【分析】
(1)将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入即可求解；
(2)连接BP、CP、AP，由二次函数对称性可知，BP=AP，得到BP+CP=AP+CP，当C、P、A三点共线时，△PBC的周长最小，由此求出AC解析式，将P点横坐标代入解析式中即可求解；
(3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，按AC为对角线，AP为对角线，AQ为对角线分三种情况讨论即可求解．
【详解】
解：(1)将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入二次函数表达式中，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴二次函数的表达式为： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)连接BP、CP、AP，如下图所示：
由二次函数对称性可知，BP=AP，
∴BP+CP=AP+CP，
SKIPIF 1 < 0
BC为定直线，当C、P、A三点共线时， SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 的周长也最小，
设直线AC的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线AC的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
二次函数的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
∴P点坐标为(1,2)，
此时 SKIPIF 1 < 0 的周长最小值= SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，
分类讨论：
情况一：AC为菱形对角线时，另一对角线为PQ，
此时由菱形对角互相平分知：AC的中点也必定是PQ的中点，
由菱形对角线互相垂直知： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)；
情况二：AP为菱形对角线时，另一对角线为CQ，
同理有： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴P点坐标为(1， SKIPIF 1 < 0 )或(1， SKIPIF 1 < 0 )，对应的Q点坐标为(4， SKIPIF 1 < 0 )或(4， SKIPIF 1 < 0 )；
情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线为CP，
SKIPIF 1 < 0 设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，
同理有： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴P点坐标为(1， SKIPIF 1 < 0 )或(1， SKIPIF 1 < 0 )，对应的Q点坐标为(-2， SKIPIF 1 < 0 )或(-2， SKIPIF 1 < 0 )；
纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4， SKIPIF 1 < 0 )或(4， SKIPIF 1 < 0 )或( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )或( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题，本题第三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．
6.（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）△PAB面积SPH×（xB﹣xA）（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）x2x，即可求解；
（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．
【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1；
（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+t，则，解得，
故直线AB的表达式为：y＝x﹣1，
过点P作y轴的平行线交AB于点H，
设点P（x，x2+4x﹣1），则H（x，x﹣1），
△PAB面积SPH×（xB﹣xA）（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）x2x，
∵0，故S有最大值，当x时，S的最大值为；
（3）抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2﹣5，
联立上述两式并解得：，故点C（﹣1，﹣4）；
设点D（﹣2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，
联立①③并解得：s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），故点E（﹣1，3）；
联立②④并解得：s＝1，t＝﹣4±，故点E（1，﹣4）或（1，﹣4）；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：﹣1＝s﹣2且﹣4﹣1＝m+t⑤，
此时，BD＝BE，即22+（m+1）2＝s2+（t+1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝﹣3，
故点E（1，﹣3），
综上，点E的坐标为：（﹣1，2）或（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4）或（1，﹣3）