数学5.1.2 数据的数字特征学案设计

这是一份数学5.1.2 数据的数字特征学案设计，共6页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1．理解数据的基本数字特征：最值、平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差与标准差等.
2．会用数字特征解决相关问题.
【学习重难点】
1．基本数字特征.
2．数字特征的应用.
【学习过程】
一、问题预习
预习教材，思考以下问题：
1．数据的数字特征主要有哪些？
2．实际问题是如何用数字特征刻画的？
3．方差与标准差有什么关系？
二、新知探究
1．利用概念求平均数、中位数、众数
某电冰箱专卖店出售容积为182 L、185 L、228 L、268 L四种型号的同一品牌的冰箱，每出售一台，售货员就做一个记录，月底得到一组由15个268，66个228，18个185和11个182组成的数据．
（1）这组数据的平均数有实际意义吗？
（2）这组数据的中位数、众数分别是多少？
（3）专卖店总经理关心的是中位数还是众数？
【解】（1）这组数据的平均数没有实际意义，对专卖店经营没有任何参考价值．
（2）这组数据共有110个，中位数为228，众数为228．
（3）专卖店总经理最关心的是众数，众数是228，说明容积为228 L型号的冰箱销售量最大，它能为专卖店带来较多的利润，所以这种型号的冰箱要多进些．
2．利用三数——平均数、众数、中位数解决问题
某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：
（1）如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；
（2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．
【解】（1）甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，
乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，
丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，
所以候选人丙将被录用．
（2）甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76．3，
乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72．2，
丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72．8，
所以候选人甲将被录用．
3．极差、方差与标准差
某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩(单位：环)相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业)．
甲、乙两人射箭成绩统计表
（1）a＝________；eq \(x,\s\up6(－))乙＝________；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）①观察图，可看出________的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”)．参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断．
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
【解】（1）由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30，
则a＝30－7－7－5－7＝4，eq \(x,\s\up6(－))乙＝30÷5＝6，
故答案为：4，6；
（2）如图所示：
（3）①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙；
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)[(7－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2]＝1．6，
由于seq \\al(2,乙)＜seq \\al(2,甲)，所以上述判断正确．
②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
三、学习小结
1．最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反应的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．
2．平均数
（1）eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋x3＋…＋xn)＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )xi＝nt；
其中符号“∑”表示求和，读作“西格玛”.
（2）求和符号的性质：
①eq \i\su(i＝1,n, )(xi＋yi) ＝eq \i\su(i＝1,n, )xi＋eq \i\su(i＝1,n, )yi；
②eq \i\su(i＝1,n, )( kxi) ＝keq \i\su(i＝1,n, )xi ；
③eq \i\su(i＝1,n, )t＝nt；
④eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(axi＋b)＝aeq \(x,\s\up6(－))＋b．
3．中位数、百分位数
（1）如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称eq \f(xn＋xn＋1,2)为这组数的中位数．
（2）设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，x3，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取eq \f(xi＋xi＋1,2)为p%分位数．
特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)．
4．众数
一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．
5．极差、方差与标准差
（1）极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．
（2）方差：s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2．
（3）如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2；
（4）方差的算术平方根为标准差．标准差描述了数据相对于平均数的离散程度．
四、精炼反馈
1．已知一组数据2，1，x，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是( )
A．2 B．2．5
C．3 D．5
解析：选B．由众数的意义可知x＝2，然后按照从小到大的顺序排列这组数据，则中位数应为eq \f(2＋3,2)＝2．5．
2．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是eq \f(1,3)，那么另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数和方差分别为( )
A．2，eq \f(1,3) B．2，1
C．4，eq \f(2,3) D．4，3
答案：D
3．样本101，98，102，100，99的标准差为( )
A．eq \r(2) B．0
C．1 D．2
解析：选A．样本平均数eq \(x,\s\up6(－))＝100，方差为s2＝2，
所以标准差s＝eq \r(2)，故选A．
4．eq \i\su(i＝1,5, )（2i－1）＝ .
解析：eq \i\su(i＝1,5, )(2i－1)＝1＋3＋5＋7＋9＝25．
答案：25
5．甲、乙两人比赛射飞镖，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为13，乙所得环数如下：2，5，6，9，8，则成绩比较稳定的是________．
解析：由题意知eq \(x,\s\up6(－))乙＝6，seq \\al(2,乙)＝6答案：乙测试项目
测试成绩
甲
乙
丙
教学能力
85
73
73
科研能力
70
71
65
组织能力
64
72
84
小宇的作业：
解：eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,5)(9＋4＋7＋4＋6)＝6，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)[(9－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2]
＝eq \f(1,5)(9＋4＋1＋4＋0)
＝3．6．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7