中考数学复习13：旋转

中考数学复习13：旋转

知识集结

知识元

图形的旋转

知识讲解

旋转

1.旋转的认识

旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．

【注意】

①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键；

②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．

2.旋转对称图形

（1）旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．

（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．

3.利用旋转设计图案

由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．

利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．

4.中心对称

（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

（2）中心对称的性质：

①关于中心对称的两个图形能够完全重合；

②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．

5.中心对称图形

（1）中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

【注意】中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．

（2）常见的中心对称图形：平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．

6.平面直角坐标系中的旋转变换

（1）关于原点对称的点的坐标：P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）

（2）旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．

7.旋转变换的作图

（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．

8.旋转的性质

（1）旋转的性质：

①对应点到旋转中心的距离相等；

②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

③旋转前、后的图形全等．

（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．

【注意】三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．

旋转线段（直线）

在近几年的中考试题中，以图形为载体、以旋转为手段考查同学们操作、想象、探究能力的中考题层出不穷.旋转变换是一种全等变换，它只改变图形的位置，使原来比较分散的条件相对集中，从而使图形的各种关系明朗化，从而达到化繁为简，化难为易的目的.

旋转是图形之间的一种主要变换，在旋转过程中，图形上的每一点都绕着旋转中心旋转了相同的角度，线段的长度与角的大小都没有改变，图形的形状与大小没有发生变化.

旋转线段是常考的一种类型，主要探究角度，线段之间数量关系等.

旋转三角形

旋转三角形是考查最频繁的一种类型，因为三角形旋转后能够构成特殊的四边形，旋转等腰三角形，等边三角形，直角三角形等最受命题者的青睐，旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口．

旋转四边形

旋转四边形是旋转的又一种类型，虽然没有前两种考得那么频繁，但一些特殊的四边形旋转起来更有难度.特别是旋转菱形与正方形，正方形被人们称为完美的四边形，它集平行四边形及特殊平行四边形特性于一身，中考中有许多题目围绕它的旋转性来.两个正方形绕着某点旋转，图形位置发生变化，但每个正方形自身和特征并没有变化.

例题精讲

图形的旋转

例1.

（2019∙青海）如图，在直角坐标系中，已知点A（3，2），将△ABO绕点O逆时针方向旋转180°后得到△CDO，则点C的坐标是_________．

【答案】

-1

【解析】

题干解析:由题意A，C关于原点对称，∵A（3，2），∴C（-3，-2），故本答案为（-3，-2）．

例2.

（2019∙梧州）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是_____．

【答案】

-1

【解析】

题干解析:连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，∠ACD=∠BAC=∠BAD=30°，OA=OC，AC⊥BD，∴OB=AB=1，∴OA=OB=，∴AC=2，由旋转的性质得：AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，∴CE=AC-AE=2-2，∵四边形AEFG是菱形，∴EF∥AG，∴∠CEP=∠EAG=60°，∴∠CEP+∠ACD=90°，∴∠CPE=90°，∴PE=CE=-1，PC=PE=3-，∴DP=CD-PC=2-（3-）=-1；

例3.

（2019∙贺州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为______．

【答案】

6-2

【解析】

题干解析:作FM⊥AD于M，FN⊥AG于N，如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM=4，∵正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，∴DE=2，∴AE==2，∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，∴AG=AE=2，BG=DE=2，∠3=∠4，∠GAE=90°，∠ABG=∠D=90°，而∠ABC=90°，∴点G在CB的延长线上，∵AF平分∠BAE交BC于点F，∴∠1=∠2，∴∠2+∠4=∠1+∠3，即FA平分∠GAD，∴FN=FM=4，∵AB∙GF=FN∙AG，∴GF==2，∴CF=CG-GF=4+2-2=6-2．

例4.

（2019∙绵阳）如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA=BC，BD=BE，AC=4，DE=2．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，则CE′=___．

【答案】

【解析】

题干解析:如图，连接CE′，∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA=BC，BD=BE，AC=4，DE=2，∴AB=BC=2，BD=BE=2，∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，∴D′B=BE′=BD=2，∠D′BE′=90°，∠D′BD=∠ABE′，∴∠ABD′=∠CBE′，∴△ABD′≌△CBE′（SAS），∴∠D′=∠CE′B=45°，过B作BH⊥CE′于H，在Rt△BHE′中，BH=E′H=BE′=，在Rt△BCH中，CH==，∴CE′=+，

例5.

（2019∙无锡）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　）

【答案】C

【解析】

题干解析:

A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；

D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；

例6.

（2019∙扬州）下列图案中，是中心对称图形的是（　）

【答案】D

【解析】

题干解析:

A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、是中心对称图形，正确。

例7.

（2019∙巴中）在平面直角坐标系中，已知点A（-4，3）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（　）

【答案】C

【解析】

题干解析:

∵点A（-4，3），点A与点B关于原点对称，

∴点B（4，-3）。

例8.

（2019∙白银）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（　）

【答案】B

【解析】

题干解析:

根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换。

例9.

（2019∙济宁）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　）

【答案】A

【解析】

题干解析:

A、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误。

例10.

（2019∙自贡）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　）

【答案】D

【解析】

题干解析:

A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确。

例11.

（2019∙台湾）图1的摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟．若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟後，9号车厢才会运行到最高点？（　）

【答案】B

【解析】

题干解析:

=20（分钟）。

所以经过20分钟後，9号车厢才会运行到最高点．

例12.

（2019∙德州）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　）

【答案】B

【解析】

题干解析:

A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，

B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项正确，

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误，

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误。

当堂练习

单选题

练习1.

（2018∙巴彦淖尔）下列四个汽车图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图标是（　）

【答案】B

【解析】

题干解析:

A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；

B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；

C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误。

练习2.

（2018∙江阴市二模）在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（　）

【答案】D

【解析】

题干解析:

A、B、C是中心对称图形，D不是中心对称图形，

解答题

练习1.

（2016∙凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C。

（1）画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标；

（2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．

【答案】

详见解析

【解析】

题干解析:（1）所求作△A1B1C如图所示：由A（4，3）、B（4，1）可建立如图所示坐标系，则点A1的坐标为（-1，4），点B1的坐标为（1，4）；（2）∵AC===，∠ACA1=90°∴在旋转过程中，△ABC所扫过的面积为：S扇形CAA1+S△ABC=+×3×2=+3。

练习2.

（2015∙阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（-1，5），B（-4，1），C（-1，1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′，

（1）画出△AB′C′；

（2）写出点B′，C′的坐标；

（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．

【答案】

详见解析

【解析】

题干解析:（1）△AB′C′如图所示；（2）点B′的坐标为（3，2），点C′的坐标为（3，5）；（3）点C经过的路径为以点A为圆心，AC为半径的圆弧，路径长即为弧长，∵AC=4，∴弧长为：==2π，即点C经过的路径长为2π。

练习3.

（2015∙潜江）已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．

（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．

①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是__________；

②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．

【答案】

详见解析

【解析】

题干解析:（1）①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN．理由如下：在△ADN与△ABM中，，∴△ADN≌△ABM（SAS），∴AN=AM，∠NAD=∠MAB，∵∠MAN=135°，∠BAD=90°，∴∠NAD=∠MAB=（360°-135°-90°）=67.5°，作AE⊥MN于E，则MN=2NE，∠NAE=∠MAN=67.5°。在△ADN与△AEN中，，∴△ADN≌△AEN（AAS），∴DN=EN，∵BM=DN，MN=2EN，∴MN=BM+DN．故答案为MN=BM+DN；②如图2，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由如下：延长NC到点P，使DP=BM，连结AP．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABM=∠ADC=90°．在△ABM与△ADP中，，∴△ABM≌△ADP（SAS），∴AM=AP，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠4=90°，∴∠3+∠4=90°，∵∠MAN=135°，∴∠PAN=360°-∠MAN-（∠3+∠4）=360°-135°-90°=135°．在△ANM与△ANP中，，∴△ANM≌△ANP（SAS），∴MN=PN，∵PN=DP+DN=BM+DN，∴MN=BM+DN；（2）如图3，以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDA=∠DBA=45°，∴∠MDA=∠NBA=135°．∵∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°，∴∠1=∠3．在△ANB与△MAD中，，∴△ANB∽△MAD，∴=，∴AB2=BN∙MD，∵AB=DB，∴BN∙MD=（DB）2=BD2，∴BD2=2BN∙MD，∴MD2+2MD∙BD+BD2+BD2+2BD∙BN+BN2=MD2+BD2+BN2+2MD∙BD+2BD∙BN+2BN∙MD，∴（MD+BD）2+（BD+BN）2=（DM+BD+BN）2，即MB2+DN2=MN2，∴以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．