中考数学复习12：平移与对称

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中考数学复习12：平移与对称
知识集结
知识元
图形的对称
知识讲解
轴对称（翻折）
1.轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、正方形、等腰梯形、圆等等．
2.生活中的轴对称现象
（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．
（2）轴对称包含两层含义：
①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；
②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．
3.镜面对称
（1）镜面对称的定义：有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．
（2）镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．
（3）关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．
4.利用轴对称设计图案：利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
5.轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
（2）如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
（3）如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
6.平面直角坐标系中的轴对称变换
（1）关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称：
①关于直线x=m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）
②关于直线y=n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）　
7.轴对称变换的作图
几何图形都可看做是有点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
8.翻折变换（折叠问题）
（1）翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
（2）折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
9.最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

【注意】最短距离的问题是一类问题，其变型问题除了和最短问题外，还包括差最大问题，其本质都是对三点共线问题的应用．

例题精讲
图形的对称
例1.
（2019∙大连）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8．则D′F的长为（　）

A．2
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【解析】
题干解析:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
由折叠的性质得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，∠D'=∠D=90°，AD'=CD=4，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE=CE，
设AF=AE=CE=x，则BE=8-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2=AE2，
即42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，
∴AF=5，
在Rt△AFD'中，由勾股定理得：D'F===3；
例2.
（2019∙桂林）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（　）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
题干解析:
由折叠可得，AE=OE=DE，CG=OG=DG，
∴E，G分别为AD，CD的中点，
设CD=2a，AD=2b，则AB=2a=OB，DG=OG=CG=a，BG=3a，BC=AD=2b，
∵∠C=90°，
∴Rt△BCG中，CG2+BC2=BG2，
即a2+（2b）2=（3a）2，
∴b2=2a2，
即b=a，
∴，
∴的值为，
例3.
（2019∙贵港）将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB，重叠部分为△ABC（图中阴影部分），若∠ACB=45°，则重叠部分的面积为（　）

A．2cm2
B．2cm2
C．4cm2
D．4cm2
【答案】A
【解析】
题干解析:
如图，过B作BD⊥AC于D，则∠BDC=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠CBD=45°，
∴BD=CD=2cm，
∴Rt△BCD中，BC==2（cm），
∴重叠部分的面积为×2×2=2（cm），

例4.
（2019∙海南）如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为（　）

A．12
B．15
C．18
D．21
【答案】C
【解析】
题干解析:
由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，
∴∠BAC=90°，
又∵∠B=60°，
∴∠ACB=30°，
∴BC=2AB=6，
∴AD=6，
由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴△ADE的周长为6×3=18，
例5.
（2019∙兰州）如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM=（　）

A．
B．
C．-1
D．-1
【答案】D
【解析】
题干解析:
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，
∴BD=AB=2，
∴OD=BO=OC=1，
∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，
∴DE=DC=，DF⊥CE，
∴OE=-1，∠EDF+∠FED=∠ECO+∠OEC=90°，
∴∠ODM=∠ECO，
在△OEC与△OMD中，，
△OEC≌△OMD（ASA），
∴OM=OE=-1，
例6.
（2019∙湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（　）

A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
题干解析:
如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，
由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD，
∴AM=PB，
∴PM=AB，
∵PM==，
∴AB=，

例7.
（2019∙聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4，4），点C在边AB上，且=，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（　）

A．（2，2）
B．（，）
C．（，）
D．（3，3）
【答案】C
【解析】
题干解析:
∵在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4，4），
∴AB=OB=4，∠AOB=45°，
∵=，点D为OB的中点，
∴BC=3，OD=BD=2，
∴D（2，0），C（4，3），
作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），
∵直线OA的解析式为y=x，
设直线EC的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线EC的解析式为y=x+2，
解得，，
∴P（，），

例8.
（2019∙台湾）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．根据图中标示的角度，求∠EAF的度数为何？（　）

A．113°
B．124°
C．129°
D．134°
【答案】D
【解析】
题干解析:
连接AD，
∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，
∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，
∵∠B=62°，∠C=51°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-62°-51°=67°，
∴∠EAF=2∠BAC=134°，

例9.
（2018∙淄博）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于____．

【答案】
10
【解析】
题干解析:∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，CD=AB=2由折叠，∠DAC=∠EAC∵∠DAC=∠ACB∴∠ACB=∠EAC∴OA=OC∵AE过BC的中点O∴AO=BC∴∠BAC=90°∴∠ACE=90°由折叠，∠ACD=90°∴E、C、D共线，则DE=4∴△ADE的周长为：3+3+2+2=10
例10.
（2018∙十堰）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为___。

【答案】

【解析】
题干解析:作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作A'E⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，∴BC==9，S△ABC=AB∙AC=BC∙AF，∴3×=9AF，AF=2，∴AA'=2AF=4，∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE，∴∠A'=∠C，∵∠AEA'=∠BAC=90°，∴△AEA'∽△BAC，∴，∴，∴A'E=，即AD+DE的最小值是；
例11.
（2016∙十堰）如图，将矩形纸片ABCD（AD>AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．
（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE=∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，∴∠GEF=∠FEC，∴∠GFE=∠FEG，∴GF=GE，∵图形翻折后BC与GE完全重合，∴BE=EC，∴GF=EC，∴四边形CEGF为平行四边形，∴四边形CEGF为菱形；（2）由（1）得四边形CEGF是菱形，∴CE=CD=AB=3；如图2，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AE=CE，∵∠B=90°，∴AE2=AB2+BE2，即CE2=32+（9-CE）2，∴CE=5，∴线段CE的取值范围3≤CE≤5。
例12.
（2012∙深圳）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC，由折叠的性质，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，∴∠EFC=∠CEF，∴CF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AFCE为菱形；（2）a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2。理由：由折叠的性质，得：CE=AE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，∵AE=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a，在Rt△DCE中，CE2=CD2+DE2，∴a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．
例13.
（2019∙攀枝花）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，FC，现在有如下4个结论：
①∠EAG=45°；②FG=FC；③FC∥AG；④S△GFC=14．
其中正确结论的个数是（　）

A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】
题干解析:
如图，连接DF。

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°，
由翻折可知：AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，BE=EF=4，∠BAE=∠EAF，
∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF，
∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），
∴DG=FG，∠GAF=∠GAD，设GD=GF=x，
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=（∠BAF+∠DAF）=45°，故①正确，
在Rt△ECG中，∵EG2=EC2+CG2，
∴（4+x）2=82+（12-x）2，
∴x=6，
∵CD=BC=BE+EC=12，
∴DG=CG=6，
∴FG=GC，
易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，
∵GF=GD=GC，
∴∠DFC=90°，
∴CF⊥DF，
∵AD=AF，GD=GF，
∴AG⊥DF，
∴CF∥AG，故③正确，
∵S△ECG=×6×8=24，FG：FE=6：4=3：2，
∴FG：EG=3：5，
∴S△GFC=×24=，故④错误，
例14.
（2019∙台州）如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块B型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为（　）

A．：1
B．3：2
C．：1
D．：2
【答案】A
【解析】
题干解析:
如图，作DC⊥EF于C，DK⊥FH于K，连接DF。
由题意：四边形DCFK是正方形，∠CDM=∠MDF=∠FDN=∠NDK，
∴∠CDK=∠DKF=90°，DK=FK，DF=DK，
∴===（角平分线的性质定理，可以用面积法证明），
∴==，
∴图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为：1，

例15.
（2019∙莱芜区）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF=，则CE=___．

【答案】

【解析】
题干解析:过点F作MN∥AD，交AB、CD分别于点M、N，则MN⊥AB，MN⊥CD，由折叠得：EC=EF，BC=BF=，∠C=∠BFE=90°，∵tan∠BAF==，设FM=x，则AM=2x，BM=4-2x，在Rt△BFM中，由勾股定理得：x2+（4-2x）2=（）2，解得：x1=1，x2=>2舍去，∴FM=1，AM=BM=2，∴FN=-1，易证△BMF∽△FNE，∴，即：，解得：EF==EC．
例16.
（2019∙鸡西）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB=S△PCD，则PC+PD的最小值为____．

【答案】
2
【解析】
题干解析:如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6，∵S△PAB=S△PCD，∴×4×x=××4×（6-x），∴x=2，∴AM=2，DM=EM=4，在Rt△ECD中，EC==4，∵PM垂直平分线段DE，∴PD=PE，∴PC+PD=PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值为4．
例17.
（2019∙陕西）如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6．P为对角线BD上一点，则PM-PN的最大值为___．

【答案】
2
【解析】
题干解析:如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，根据轴对称性质可知，PN=PN'，∴PM-PN=PM-PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“=”，∵正方形边长为8，∴AC=AB=，∵O为AC中点，∴AO=OC=，∵N为OA中点，∴ON=，∴ON'=CN'=，∴AN'=，∵BM=6，∴CM=AB-BM=8-6=2，∴==∴PM∥AB∥CD，∠CMN'=90°，∵∠N'CM=45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM=MN'=2，即PM-PN的最大值为2，
图形的平移
知识讲解
平移
1.生活中的平移现象
（1）平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
（2）平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有的点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
（3）确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点的平移的方向和距离．
（4）利用平移设计图案：确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．
2.平移的性质
（1）平移的条件：平移的方向、平移的距离.
（2）平移的性质：
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
3.坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
（3）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

例题精讲
图形的平移
例1.
（2015∙安顺）点P（-2，-3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（　）
A．（-3，0）
B．（-1，6）
C．（-3，-6）
D．（-1，0）
【答案】A
【解析】
题干解析:
根据题意，得点P（-2，-3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得点的横坐标是-2-1=-3，纵坐标是-3+3=0，即新点的坐标为（-3，0）。
例2.
（2015∙钦州）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（-3，2）重合，则点A的坐标是（　）
A．（2，5）
B．（-8，5）
C．（-8，-1）
D．（2，-1）
【答案】D
【解析】
题干解析:
在坐标系中，点（-3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，-1），则A点的坐标为（2，-1）。

例3.
（2013∙广安）将点A（-1，2）沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′的坐标为________．
【答案】
（2，-2）
【解析】
题干解析:∵点A（-1，2）沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′，∴A′的坐标是（-1+3，2-4），即：（2，-2）．
例4.
（2013∙岳阳）如图，点P（-3，2）处的一只蚂蚁沿水平方向向右爬行了5个单位长度后的坐标为_______．

【答案】
（2，2）
【解析】
题干解析:点P（-3，2）处的一只蚂蚁沿水平方向向右爬行了5个单位长度后的坐标为（-3+5，2），即（2，2）．
例5.
（2015∙甘南州）将点A（2，1）向上平移3个单位长度得到点B的坐标是_______．
【答案】
（2，-2）
【解析】
题干解析:原来点的横坐标是2，纵坐标是1，向上平移3个单位长度得到新点的横坐标不变，纵坐标为1+3=4．即该坐标为（2，4）．故答案填：（2，4）．
例6.
（2014∙宜宾）在平面直角坐标系中，将点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是________．
【答案】
（2，-2）
【解析】
题干解析:点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（-1+3，2），即（2，2），则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，-2），
例7.
（2014∙嘉兴）如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，-1），点B（-2，1），平移线段AB，使点A落在A1（0，-1），点B落在点B1，则点B1的坐标为_______．

【答案】
（1，1）
【解析】
题干解析:通过平移线段AB，点A（-3，-1）落在（0，-1），即线段AB沿x轴向右移动了3格．如图，点B1的坐标为（1，1）．
例8.
（2014∙昆明）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，3），将线段OA向左平移2个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标为________．

【答案】
（-1，3）
【解析】
题干解析:∵点A坐标为（1，3），∴线段OA向左平移2个单位长度，点A的对应点A′的坐标为（1-2，3），即（-1，3），
例9.
（2014∙厦门）在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，3），将线段OA向右平移3个单位，得到线段O1A1，则点O1的坐标是_______，A1的坐标是_______．
【答案】
（3，0），（4，3）
【解析】
题干解析:∵点O（0，0），A（1，3），线段OA向右平移3个单位，∴点O1的坐标是（3，0），A1的坐标是（4，3）．
当堂练习
单选题
练习1.
（2019∙重庆）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE=1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（　）

A．8
B．4
C．2+4
D．3+2
【答案】D
【解析】
题干解析:
∵∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=90°-∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠GBD+∠C=90°，
∵∠EAD+∠C=90°，
∴∠GBD=∠EAD，
∵∠ADB=∠EDG=90°，
∴∠ADB-∠ADG=∠EDG-∠ADG，
即∠BDG=∠ADE，
∴△BDG≌△ADE（ASA），
∴BG=AE=1，DG=DE，
∵∠EDG=90°，
∴△EDG为等腰直角三角形，
∴∠AED=∠AEB+∠DEG=90°+45°=135°，
∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，
∴△AED≌△AEF，
∴∠AED=∠AEF=135°，ED=EF，
∴∠DEF=360°-∠AED-∠AEF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴EF=DE=DG，
在Rt△AEB中，
BE===2，
∴GE=BE-BG=2-1，
在Rt△DGE中，
DG=GE=2-，
∴EF=DE=2-，
在Rt△DEF中，
DF=DE=2-1，
∴四边形DFEG的周长为：
GD+EF+GE+DF
=2（2-）+2（2-1）
=3+2，
练习2.
（2019∙台湾）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．根据图中标示的角度，求∠EAF的度数为何？（　）

A．113°
B．124°
C．129°
D．134°
【答案】D
【解析】
题干解析:
连接AD，
∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，
∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，
∵∠B=62°，∠C=51°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-62°-51°=67°，
∴∠EAF=2∠BAC=134°，

练习3.
（2014∙南宁）如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（　）

A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
【答案】A
【解析】
题干解析:
∵平角∠AOB三等分，
∴∠O=60°，
∵90°-60°=30°，
∴剪出的直角三角形沿折痕展开一次得到底角是30°的等腰三角形，
再沿另一折痕展开得到有一个角是30°的直角三角形，
最后沿折痕AB展开得到等边三角形，
即正三角形。
练习4.
（2012∙乌鲁木齐）如图是一张足够长的矩形纸条ABCD，以点A所在直线为折痕，折叠纸条，使点B落在边AD上，折痕与边BC交于点E；然后将其展平，再以点E所在直线为折痕，使点A落在边BC上，折痕EF交边AD于点F．则∠AFE的大小是（　）

A．22.5°
B．45°
C．60°
D．67.5°
【答案】D
【解析】
题干解析:
以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E点，∠AEB=45°，

∠FEC=∠FEA==67.5°。
∵AF∥EC，
∴∠AFE=∠FEC=67.5°．
练习5.
（2014∙绵阳）线段EF是由线段PQ平移得到的，点P（-1，4）的对应点为E（4，7），则点Q（-3，1）的对应点F的坐标为（　）
A．（-8，-2）
B．（-2，-2）
C．（2，4）
D．（-6，-1）
【答案】C
【解析】
题干解析:
∵点P（-1，4）的对应点为E（4，7），
∴E点是P点横坐标+5，纵坐标+3得到的，
∴点Q（-3，1）的对应点F坐标为（-3+5，1+3），
即（2，4）。
练习6.
（2015∙钦州）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（-3，2）重合，则点A的坐标是（　）
A．（2，5）
B．（-8，5）
C．（-8，-1）
D．（2，-1）
【答案】D
【解析】
题干解析:
在坐标系中，点（-3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，-1），则A点的坐标为（2，-1）。

填空题
练习1.
（2017∙泰安）如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为___．

【答案】

【解析】
题干解析:作点M关于AB的对称点N，过N作NQ⊥AC于Q交AB于P，则NQ的长即为PM+PQ的最小值，连接MN交AB于D，则MD⊥AB，DM=DN，∵∠NPB=∠APQ，∴∠N=∠BAC=30°，∵∠BAC=30°，AM=2，∴MD=AM=1，∴MN=2，∴NQ=MN∙cos∠N=2×=，
练习2.
（2016∙内江）如图所示，已知点C（1，0），直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是____．

【答案】
10
【解析】
题干解析:如图，点C关于OA的对称点C′（-1，0），点C关于直线AB的对称点C″，∵直线AB的解析式为y=-x+7，∴直线CC″的解析式为y=x-1，由解得，∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K（4，3），∵K是CC″中点，∴可得C″（7，6）．连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，△DEC的周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C″==10．
练习3.
（2006∙双流县）如图，将一张直角三角形纸片对折，使点B、C重合，折痕为DE，连接DC，若AC=6cm，∠ACB=90°，∠B=30°，则△ADC的周长是____cm．

【答案】
-x2+3或-x2+2x；
【解析】
题干解析:根据折叠前后角相等可知，∠B=∠DCB=30°，∠ADC=∠ACD=60°，∴AC=AD=DC=6，∴ADC的周长是18cm。
练习4.
（2013∙天水）已知点M（3，-2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是________．
【答案】
（-1，1）
【解析】
题干解析:原来点的横坐标是3，纵坐标是-2，向左平移4个单位，再向上平移3个单位得到新点的横坐标是3-4=-1，纵坐标为-2+3=1．则点N的坐标是（-1，1）．故答案填：（-1，1）．
练习5.
（2014∙嘉兴）如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，-1），点B（-2，1），平移线段AB，使点A落在A1（0，-1），点B落在点B1，则点B1的坐标为_______．

【答案】
（1，1）
【解析】
题干解析:通过平移线段AB，点A（-3，-1）落在（0，-1），即线段AB沿x轴向右移动了3格．如图，点B1的坐标为（1，1）．
练习6.
（2014∙昆明）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，3），将线段OA向左平移2个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标为________．

【答案】
（-1，3）
【解析】
题干解析:∵点A坐标为（1，3），∴线段OA向左平移2个单位长度，点A的对应点A′的坐标为（1-2，3），即（-1，3），
解答题
练习1.
（2012∙海南）如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN，

（1）求证：△ADN≌△CBM；
（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由；
（3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图
（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的长度．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）证明：由折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∴∠DAN=∠BCM，在Rt△ADN和Rt△CBM中，∵，∴△ADN≌△CBM，（2）连接NE、MF，∵△ADN≌△CBM，∴NF=ME，∵∠NFE=∠MEF，∴NF∥ME，∴四边形MFNE是平行四边形，∵MN与EF不垂直，∴四边形MFNE不是菱形；（3）设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，∵AB=4，BC=3，∴AC=5，∵AF=CE=BC=3，∴2AF-EF=AC，即6-x=5，解得x=1，∴EF=1，∴CF=2，在Rt△CFN中，tan∠NCF===，解得NF=，∵OE=OF=EF=，∴在Rt△NFO中，ON2=OF2+NF2，∴ON=，∴MN=2ON=，∵PQ∥MN，PN∥MQ，∴四边形MQPN是平行四边形，∴MN=PQ=，∵PQ=CQ，∴△PQC是等腰三角形，∴PG=CG，在Rt△QPG中，PG2=PQ2-QG2，即PG==1，∴PC=2PG=2。
练习2.
（2012∙兰州）如图（1），矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，
（1）在图
（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）折叠后重合部分是什么图形？说明理由．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）做法参考：方法1：作∠BDG=∠BDC，在射线DG上截取DE=DC，连接BE；方法2：作∠DBH=∠DBC，在射线BH上截取BE=BC，连接DE；方法3：作∠BDG=∠BDC，过B点作BH⊥DG，垂足为E方法4：作∠DBH=∠DBC，过，D点作DG⊥BH，垂足为E；方法5：分别以D、B为圆心，DC、BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE、BE。∴△DEB为所求做的图形．（2）等腰三角形．证明：∵△BDE是△BDC沿BD折叠而成，∴∠FDB=∠CDB，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，∴∠FDB=∠ABD，∴△BDF是等腰三角形．
练习3.
（2010∙天津）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．
（温馨提示：可以作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，此时△CDE的周长是最小的．这样，你只需求出OE的长，就可以确定点E的坐标了．）
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）如图，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，连接DE。若在边OA上任取点E′与点E不重合，连接CE′、DE′、D′E′由DE′+CE′=D′E′+CE′>CD′=D′E+CE=DE+CE，可知△CDE的周长最小．∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，∴BC=3，D′O=DO=2，D′B=6，∵OE∥BC，∴Rt△D′OE∽Rt△D′BC，有∴∴点E的坐标为（1，0）；（2）如图，作点D关于x轴的对称点D′，在CB边上截取CG=2，连接D′G与x轴交于点E，在EA上截取EF=2，∵GC∥EF，GC=EF，∴四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF，又DC、EF的长为定值，∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小．∵OE∥BC，∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG，有．∴∴∴点E的坐标为（，0），点F的坐标为（，0）
练习4.
（2005∙茂名）如图，有一条小船，

（1）若把小船平移，使点A平移到点B，请你在图中画出平移后的小船；
（2）若该小船先从点A航行到达岸边L的点P处补给后，再航行到点B，但要求航程最短，试在图中画出点P的位置．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）平移后的小船如图所示（5分）（2）如图，点A′与点A关于直线L成轴对称，连接A′B交直线L于点P，则点P为所求．（8分）（注：画图正确，P点的位置为（7，3），可给满分）
练习5.
（2005∙武汉）如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（-4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A、B两点，过点A作直线l与x轴负方向相交成60°角．以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D。

（1）求直线l的解析式；
（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l沿x轴向右平移，当⊙O2第一次与⊙O1相切时，直线l也恰好与⊙O2第一次相切，求直线l平移的速度；
（3）将⊙O2沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E，EG为⊙O2的直径，过点A作⊙O2的切线，切⊙O2于另一点F，连接AO2、FG，那么FG∙AO2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）设直线l与y轴交于点N，直线l经过点A（-12，0），∵∠OAN=60°，∴tan30°=，解得：NO=12，故与y轴交于点（0，），设解析式为y=kx+b，则b=，k=，∴直线l的解析式为y=-x-12；（2）⊙O2第一次与⊙O1相切时，向左平移了5秒（5个单位）如图所示。在5秒内直线l平移的距离计算：8+12-=20-所以直线l平移的速度为每秒（4-）个单位；（3）其值不变．∵Rt△EFG∽Rt△AEO2于是可得：（其中O2E=EG）所以FG∙AO2=EG2=50，即其值不变．