中考数学复习8：几何初步与尺规作图

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中考数学复习8：几何初步与尺规作图
知识集结
知识元
图形认识初步
知识讲解
直线、射线、线段
1.把线段向两端无限延伸形成的图形叫做直线.
（1）表示方法
①用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如直线AB，如下图⑴也可以写作直线BA．

② 用一个小写字母来表示，如直线，如上图⑵．
注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字；用两个大写字母表示时字母不分先后顺序．
（2）点与直线的关系：点在直线上、点在直线外.
（3）交点：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共的顶点叫做他们的交点.
2.射线：把线段向一方无限延伸的图形叫做射线.
（1）表示方法：端点字母必须写在前面.
① 用两个大写字母来表示．第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点．如射线OA，如图⑶，但不能写作射线AO．
② 用一个小写字母来表示，如射线，如图⑷．

注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字．用两个大写字母表示射线时字母有先后顺序，射线的端点在前．
（2）射线可以看作是直线的一部分，识别射线是否相同——端点相同、延伸方向也相同.
3.线段：直线上两个点和他们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点.
（1）表示方法
① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后顺序之分，如线段AB，如图⑸，也可以写作线段BA．
② 也可以用一个小写字母来表示：如线段，如图⑹．

注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．用两个大写字母表示线段时字母不分先后顺序．
（2）画法
4.直线、射线、线段三者之间的区别与联系
类型
端点
延长线及反向延长线
用两个大写字母表示
直线
个
无
无顺序
射线
个
有反向延长线
第一个表示端点
线段
个
两者都有
无顺序
5.直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）
6.（1）线段的基本性质：两点之间，线段最短.
（2）两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.
例题精讲
图形认识初步
例1.
（2019∙鄂尔多斯）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（　）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
题干解析:
三角形图案的顶点应与圆形的图案相对，而选项A与此不符，所以错误；
三角形图案所在的面应与正方形的图案所在的面相邻，而选项C与此也不符，
三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项D与此也不符，正确的是B。
例2.
（2019∙济宁）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（　）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
题干解析:
选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；选项B能折叠成原几何体的形式；选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同。
例3.
（2019∙日照）如图，已知AB=8cm，BD=3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为___cm．

【答案】
1
【解析】
题干解析:∵C为AB的中点，AB=8cm，∴BC=AB=×8=4（cm），∵BD=3cm，∴CD=BC-BD=4-3=1（cm），则CD的长为1cm；
例4.
（2019∙苏州）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为___cm（结果保留根号）．

【答案】

【解析】
题干解析:10×10=100（cm2）=（cm）
例5.
（2019∙聊城）数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An．（n≥3，n是整数）处，那么线段AnA的长度为_____（n≥3，n是整数）．

【答案】
4-
【解析】
题干解析:由于OA=4，所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1=OA=×4=2，同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）2×4处，同理跳动n次后，离原点的长度为（）n×4=，故线段AnA的长度为4-（n≥3，n是整数）．
例6.
（2019∙烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），∠AOB的度数是_____．

【答案】
45°
【解析】
题干解析:在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，∠AOB=22.5°×2=45°；
例7.
（2019∙常州）如果∠α=35°，那么∠α的余角等于____°．
【答案】
55
【解析】
题干解析:∵∠α=35°，∴∠α的余角等于90°-35°=55°
例8.
（2019∙广州）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°<α<90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为_________．

【答案】
15°或60°
【解析】
题干解析:分情况讨论：①当DE⊥BC时，∠BAD=180°-60°-45°=75°，∴α=90°-∠BAD=15°；②当AD⊥BC时，α=90°-∠C=90°-30°=60°。
相交线与平行线
知识讲解
三线八角的识别
两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角.
如图，直线被直线所截
①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，叫做同位角（位置相同）.
②∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）.
③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角.
④三线八角也可以成模型中看出.同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型.
两直线平行的性质与判定
1、平行线的性质：
　性质1：两直线平行，同位角相等；
　性质2：两直线平行，内错角相等；
　性质3：两直线平行，同旁内角互补.　　　　　　　　　　　　　　　　
几何符号语言：
　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD
　　　　　　　　　　　 　　　　　∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD
　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD
　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
2、两条平行线的距离
　如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.
　注意：直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD的垂线段GH，则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离.
二、两直线平行的判定方法
方法一　两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
　　　　简称：同位角相等，两直线平行
方法二　两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
　　　　简称：内错角相等，两直线平行
方法三　两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
　　　　简称：同旁内角互补，两直线平行
　　　　　　　　　　　　　　几何符号语言：
　　　　　　　　　　　　　　∵　∠3＝∠2
　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
　　　　　　　　　　　　　　∵　∠1＝∠2
　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
　　　　　　　　　　　　　　∵　∠4＋∠2＝180°
　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
垂线的性质及相关计算
一、垂线
⑴定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O

⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)
⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
二、垂线的画法：
⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线.
注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；
②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上.
画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，
⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，
⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线.
三、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长.PO是垂线段.PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.

现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用.

例题精讲
相交线与平行线
例1.
（2019∙遵义）如图，∠1+∠2=180°，∠3=104°，则∠4的度数是（　）

A．74°
B．76°
C．84°
D．86°
【答案】B
【解析】
题干解析:

∵∠1+∠2=180°，∠1+∠5=180°，
∴∠2=∠5，
∴a∥b，
∴∠4=∠6，
∵∠3=104°，
∴∠6=180°-∠3=76°，
∴∠4=76°，
例2.
（2019∙新疆）如图，AB∥CD，∠A=50°，则∠1的度数是（　）

A．40°
B．50°
C．130°
D．150°
【答案】C
【解析】
题干解析:
∵AB∥CD，
∴∠2=∠A=50°，
∴∠1=180°-∠2=180°-50°=130°，
例3.
（2019∙孝感）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠1=70°，则∠2的度数为（　）

A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
【答案】B
【解析】
题干解析:
∵l1∥l2，
∴∠1=∠CAB=70°，
∵BC⊥l3交l1于点B，
∴∠ACB=90°，
∴∠2=180°-90°-70°=20°，
例4.
（2019∙天门）如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=110°，则∠AOF的度数是（　）

A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【答案】D
【解析】
题干解析:
∵CD∥AB，
∴∠AOD+∠D=180°，
∴∠AOD=70°，
∴∠DOB=110°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=55°，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE=90°，
∴∠DOF=90°-55°=35°，
∴∠AOF=70°-35°=35°，
例5.
（2019∙乐山）如图，直线a∥b，点B在a上，且AB⊥BC．若∠1=35°，那么∠2等于（　）

A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
【答案】C
【解析】
题干解析:
∵a∥b，∠1=35°，
∴∠BAC=∠1=35°。
∵AB⊥BC，
∴∠2=∠BCA=90°-∠BAC=55°．
例6.
（2019∙济宁）如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数是（　）

A．65°
B．60°
C．55°
D．75°
【答案】C
【解析】
题干解析:
∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠4=∠5，
∵∠5=180°-∠3=55°，
∴∠4=55°，

例7.
（2019∙益阳）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1=142°，则∠2=____度。

【答案】
52
【解析】
题干解析:∵AB∥CD，∴∠3=∠2，∵OA⊥OB，∴∠O=90°，∵∠1=∠3+∠O=142°，∴∠2=∠1-∠O=142°-90°=52°，
例8.
（2019∙台州）如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且=，则m+n的最大值为___。

【答案】

【解析】
题干解析:过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，∵BD=4，∴DM=y-4，DN=4-x，∵∠ABC=∠AEB=∠BFC=∠CMD=∠AND=90°，∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，∴∠EAB=∠CBF，∴△ABE∽△BFC，∴，即=，∴xy=mn，∵∠ADN=∠CDM，∴△CMD∽△AND，∴=，即=，∴y=-x+10，∵=，∴n=m，∴（m+n）最大=m，∴当m最大时，（m+n）最大=m，∵mn=xy=x（-x+10）=-x2+10x=m2，∴当x=-=时，mn最大==m2，∴m最大=，∴m+n的最大值为×=．
尺规作图
知识讲解
尺规作图
一、作线段等于已知线段
已知：线段a 
求作：线段AB，使AB＝a 
作法：1、作射线AC 
2、在射线AC上截取AB＝a，则线段AB就是所要求作的线段
二、作角等于已知角
已知：∠AOB
求作：∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.
作法:
(1)作射线O′A′.
(2)以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D.
(3)以点O′为圆心,以OC长为半径画弧,交O′A′于点C′.
(4)以点C′为圆心,以CD长为半径画弧,交前面的弧于点D′.
(5)过点D′作射线O′B′.∠A′O′B′就是所求作的角. 
三、作角的平分线
已知：∠AOB, 
求作：∠AOB内部射线OC,使：∠AOC=∠BOC, 
作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．
(2)分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．
(3)作射线OC．OC就是所求作的射线．
四、作线段的垂直平分线（中垂线）或中点
已知：线段AB
求作：线段AB的垂直平分线
作法：
(1)分别以A、B为圆心，以大于AB的一半为半
径在AB两侧画弧，分别相交于E、F两点
(2)经过E、F，作直线EF（作直线EF交AB于
点O）直线EF就是所求作的垂直平分线
（点O就是所求作的中点）
五、过直线外一点作直线的垂线.
（1）已知点在直线外
已知：直线a、及直线a外一点A.(画出直线a、点A)
求作：直线a的垂线直线b，使得直线b经过点A.
作法：
(1)以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交直线a
于点C、D.
(2)以点C为圆心，以AD长为半径在直线另一侧画弧.
(3)以点D为圆心，以AD长为半径在直线另一侧画弧，交前一条弧于点B. 
(4)经过点A、B作直线AB.直线AB就是所画的垂线b.(如图)
（2）已知点在直线上
已知：直线a、及直线a上一点A.
求作：直线a的垂线直线b，使得直线b经过点A.
作法：
(1) 以A为圆心，任一线段的长为半径画弧，交a于C、B两点
(2) 点C为圆心，以大于CB一半的长为半径画弧；
(3) 以点B为圆心，以同样的长为半径画弧，
两弧的交点分别记为M
(4) 经过A、M，作直线AM直线AM就是所求作的垂线b
例题精讲
尺规作图
例1.
（2019∙宜昌）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
题干解析:
作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点。
由此可知：选项A符合条件，
例2.
（2019∙长沙）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（　）

A．20°
B．30°
C．45°
D．60°
【答案】B
【解析】
题干解析:
在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，
例3.
（2018∙呼伦贝尔）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（3a，b+1），则a与b的数量关系为（　）

A．3a=2b
B．3a=b+1
C．3a+b-1=0
D．3a=-b-1
【答案】D
【解析】
题干解析:
由作图可知：点P在第二象限的角平分线上，
∴3a+b+1=0，
∴3a=-b-1，
例4.
（2018∙百色）已知∠AOB=45°，求作∠AOP=22.5°，作法：
（1）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于点N，M；
（2）分别以N，M为圆心，以OM长为半径在角的内部画弧交于点P；
（3）作射线OP，则OP为∠AOB的平分线，可得∠AOP=22.5°
根据以上作法，某同学有以下3种证明思路：
①可证明△OPN≌△OPM，得∠POA=∠POB，可得；
②可证明四边形OMPN为菱形，OP，MN互相垂直平分，得∠POA=∠POB，可得；
③可证明△PMN为等边三角形，OP，MN互相垂直平分，从而得∠POA=∠POB，可得。
你认为该同学以上3种证明思路中，正确的有（　）

A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】A
【解析】
题干解析:
①由作图得：OM=ON，PM=PN，
∵OP=OP，
∴△OMP≌△ONP（SSS），
∴∠POA=∠POB；
故①正确；
②由作图得：OM=ON=PM=PN，
∴四边形MONP是菱形，
∴OP平分∠MON，
∴∠POA=∠POB，
故②正确；
③∵PM=PN，但MN不一定与PM相等，
∴△PMN不一定是等边三角形，
正确证明：∵OM=ON，PM=PN，
∴OP是MN的中垂线，
∴OP⊥MN，
∴∠POA=∠POB，
故③不正确；
例5.
（2018∙河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（-1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　）

A．（-1，2）
B．（，2）
C．（3-，2）
D．（-2，2）
【答案】A
【解析】
题干解析:
∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（-1，2），
∴AH=1，HO=2，
∴Rt△AOH中，AO=，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG=∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO=∠EOG，
∴∠AGO=∠AOG，
∴AG=AO=，
∴HG=-1，
∴G（-1，2），

例6.
（2018∙荆州）已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是_____．

【答案】
SSS
【解析】
题干解析:由作法①知，OM=ON，由作法②知，CM=CN，∵OC=OC，∴△OCM≌△OCN（SSS），
例7.
（2018∙山西）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB=2，∠ABP=60°，则线段AF的长为____．

【答案】
2
【解析】
题干解析:∵MN∥PQ，∴∠NAB=∠ABP=60°，由题意得：AF平分∠NAB，∴∠1=∠2=30°，∵∠ABP=∠1+∠3，∴∠3=30°，∴∠1=∠3=30°，∴AB=BF，AG=GF，∵AB=2，∴BG=AB=1，∴AG=，∴AF=2AG=2，
例8.
（2018∙淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是___．

【答案】

【解析】
题干解析:连接AD．∵PQ垂直平分线段AB，∴DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（5-x）2，解得x=，∴CD=BC-DB=5-=，
例9.
（2018∙成都）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC的长为___．

【答案】

【解析】
题干解析:连接AE，如图，由作法得MN垂直平分AC，∴EA=EC=3，在Rt△ADE中，AD==，在Rt△ADC中，AC==．
例10.
（2017∙无锡）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）作△ABC的外心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）如图所示：点O即为所求。（2）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．
例11.
（2017∙自贡）两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:作法：①作∠ECD的平分线CF，②作线段AB的中垂线MN，③MN与CF交于点P，则P就是山庄的位置。
例12.
（2016∙盐城）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°
（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）
①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；
②连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD=OB；
③连接DA、DC
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）①如图所示：②如图所示：③如图所示：（2）四边形ABCD是矩形，理由：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC边上的中线，∴BO=AC，∵BO=DO，AO=CO，∴AO=CO=BO=DO，∴四边形ABCD是矩形。
例13.
（2014∙来宾）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．
（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：DE=BF．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）答题如图：（2）∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵EF垂直平分线段BD，∴BO=DO，在△DEO和三角形BFO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴DE=BF。
例14.
（2013∙太原）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）；
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长交AM于点F；
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）如图所示；（2）AF∥BC，且AF=BC，理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C，由作图可得∠DAC=2∠FAC，∴∠C=∠FAC，∴AF∥BC，∵E为AC中点，∴AE=EC，在△AEF和△CEB中，∴△AEF≌△CEB（ASA）。∴AF=BC．
命题与证明
知识讲解
                 
定义的概念
对于一个概念特征性质的描述叫做这个概念的定义。如：“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。
注意：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现。
命题的概念
叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命
如“你是一个学生”、“我们所使用是教科书是湘教版的”等。
注意：（1）命题必须是一个完整的句子。
（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。
命题的结构
每个命题都有条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。
例 把下列命题改写成“如果------，那么-------”的形式，并指出条件与结论。
1、同角的余角相等 2、两点确定一条直线
真命题与假命题
如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题
注意：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。
证明及互逆命题的定义
1、 从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。
注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。
2、 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，其中的一个命题叫作另一个命题的逆命题。
注意：一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，需要具体问题具体分析。
公理与定理
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题称为定理。
注意：（1）公理是不需要证明的，它是判断其他命题真假的依据，定理是需要证明；
(2 ) 定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。
 
互逆定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理。
注意：每个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理。如：“对顶角相等”就没逆定理。
证明的含义
从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。推理证明的必要性：判断猜想的数学结论是否正确，仅仅依靠经验是不够的，必须一步一步，有理有据地进行推理。
证明命题的步骤：由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。（证明命题的格式一般为：1）按题意画出图形；2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过程）
证明的四个注意
　　(1)注意：①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题：
　　②公理可以作为判定其他命题真假的根据.
　　(2)注意，定理都是真命题，但真命题不一定都是定理；一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题. 这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的.
　　(3)注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断。如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法. 只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的. 但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等.
　　(4)注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”. ①论据必须是真命题，如；定义、公理、已经学过的定理和已知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由.
反证法
反证法：在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾的结论，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题成立，这种证明方法叫做反正法。
反证法的基本步骤：1.假设命题的结论不成立 2.从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾。
3.有矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
结论的反面不止一种情形的反证法：应用反证法证明命题时，首先要分清命题的题设和结论，再全面地否定结论，如果结论的反面不止一种情形，那么必须把各种可能性都列出来，并且在逐一加以否定之后，才能肯定原结论正确
例题精讲
命题与证明
例1.
（2018∙衡阳）下列命题是假命题的是（　）
A．正五边形的内角和为540°
B．矩形的对角线相等
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．圆内接四边形的对角互补
【答案】C
【解析】
题干解析:
正五边形的内角和=（5-2）×180°=540°，A是真命题；
矩形的对角线相等，B是真命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C是假命题；
圆内接四边形的对角互补，D是真命题；
例2.
（2018∙舟山）某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（　）
A．甲
B．甲与丁
C．丙
D．丙与丁
【答案】B
【解析】
题干解析:
∵甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，
∴甲得分为7分，2胜1平，乙得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平，
∵甲、乙都没有输球，∴甲一定与乙平，
∵丙得分3分，1胜0平，乙得分5分，1胜2平，
∴与乙打平的球队是甲与丁。
例3.
（2018∙眉山）下列命题为真命题的是（　）
A．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
B．相似三角形面积之比等于相似比
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形
【答案】A
【解析】
题干解析:
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，A是真命题；
相似三角形面积之比等于相似比的平方，B是假命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C是假命题；
顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，D是假命题；
例4.
（2018∙重庆）下列命题是真命题的是（　）
A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0
B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
【答案】A
【解析】
题干解析:
A、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；
B、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，例如：-1的倒数也是-1，故是假命题；
C、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0，例如：1的平方也是1，故是假命题；
D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，例如：1的算术平方根也是1，故是假命题；
例5.
（2018∙通辽）下列说法错误的是（　）
A．通过平移或旋转得到的图形与原图形全等
B．“对顶角相等”的逆命题是真命题
C．圆内接正六边形的边长等于半径
D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件
【答案】B
【解析】
题干解析:
通过平移或旋转得到的图形与原图形全等，A正确，不符合题意；
“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，B错误，符合题意；
圆内接正六边形的边长等于半径，C正确，不符合题意；
“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，D正确，不符合题意；
例6.
（2018∙荆门）下列命题错误的是（　）
A．若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是四边形
B．矩形一定有外接圆
C．对角线相等的菱形是正方形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【解析】
题干解析:
A、一个多边形的外角和为360°，若外角和=内角和=360°，所以这个多边形是四边形，故此选项正确；
B、矩形的四个角都是直角，满足对角互补，根据对角互补的四边形四点共圆，则矩形一定有外接圆，故此选项正确；
C、对角线相等的菱形是正方形，故此选项正确；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；而一对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形或是梯形，故此选项错误；
本题选择错误的命题，
例7.
（2019∙安徽）命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________．
【答案】
如果a，b互为相反数，那么a+b=0
【解析】
题干解析:命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0；
例8.
（2018∙鄂尔多斯）下列说法正确的是_____．
①在同一平面内，a，b，c为直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c．
②“若ac>bc，则a>b”的逆命题是真命题．
③若M（a，2），N（1，b）关于x轴对称，则a+b=-1．
④一个多边形的边数增加1条时，内角和增加180°，外角和不变．
⑤的整数部分是a，小数部分是b，则ab=3-3．
【答案】
①③④
【解析】
题干解析:在同一平面内，a，b，c为直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，①正确；“若ac>bc，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac>bc”，是假命题，②错误；若M（a，2），N（1，b）关于x轴对称，则a=1，b=-2，∴a+b=-1，③正确；一个多边形的边数增加1条时，内角和增加180°，外角和不变，④正确；的整数部分是a，小数部分是b，则a=3，b=-3，∴ab=3-9，⑤错误；
当堂练习
单选题
练习1.
（2019∙乐山）如图，直线a∥b，点B在a上，且AB⊥BC．若∠1=35°，那么∠2等于（　）

A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
【答案】C
【解析】
题干解析:
∵a∥b，∠1=35°，
∴∠BAC=∠1=35°。
∵AB⊥BC，
∴∠2=∠BCA=90°-∠BAC=55°．
练习2.
（2019∙益阳）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
题干解析:
A、圆柱的侧面展开图可能是正方形，故A错误；
B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误；
C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确；
D、三棱锥的侧面展开图是三角形，故D错误。
练习3.
（2018∙眉山）下列命题为真命题的是（　）
A．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
B．相似三角形面积之比等于相似比
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形
【答案】A
【解析】
题干解析:
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，A是真命题；
相似三角形面积之比等于相似比的平方，B是假命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C是假命题；
顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，D是假命题；
练习4.
（2018∙荆门）下列命题错误的是（　）
A．若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是四边形
B．矩形一定有外接圆
C．对角线相等的菱形是正方形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【解析】
题干解析:
A、一个多边形的外角和为360°，若外角和=内角和=360°，所以这个多边形是四边形，故此选项正确；
B、矩形的四个角都是直角，满足对角互补，根据对角互补的四边形四点共圆，则矩形一定有外接圆，故此选项正确；
C、对角线相等的菱形是正方形，故此选项正确；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；而一对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形或是梯形，故此选项错误；
本题选择错误的命题，
填空题
练习1.
（2019∙张家界）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC=30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1=18°，则∠2的度数是_____．

【答案】
48°
【解析】
题干解析:∵a∥b，∴∠2=∠1+∠CAB=18°+30°=48°，
练习2.
（2019∙广州）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°<α<90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为_________．

【答案】
15°或60°
【解析】
题干解析:分情况讨论：①当DE⊥BC时，∠BAD=180°-60°-45°=75°，∴α=90°-∠BAD=15°；②当AD⊥BC时，α=90°-∠C=90°-30°=60°。
解答题
练习1.
（2016∙盐城）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°
（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）
①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；
②连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD=OB；
③连接DA、DC
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）①如图所示：②如图所示：③如图所示：（2）四边形ABCD是矩形，理由：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC边上的中线，∴BO=AC，∵BO=DO，AO=CO，∴AO=CO=BO=DO，∴四边形ABCD是矩形。
练习2.
（2014∙来宾）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．
（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：DE=BF．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）答题如图：（2）∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵EF垂直平分线段BD，∴BO=DO，在△DEO和三角形BFO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴DE=BF。
练习3.
（2013∙太原）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）；
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长交AM于点F；
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）如图所示；（2）AF∥BC，且AF=BC，理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C，由作图可得∠DAC=2∠FAC，∴∠C=∠FAC，∴AF∥BC，∵E为AC中点，∴AE=EC，在△AEF和△CEB中，∴△AEF≌△CEB（ASA）。∴AF=BC．