高一期末复习 追击与相遇1学案

模型01  追击与相遇(解析版)

在追及问题中,若后者能追上前者,则追上时,两者处于同一位置。若恰好能追上,则相遇时后者的速度等于前者的速度;若后者追不上前者,则当后者的速度与前者的速度相等时,两者相距最近。在相遇问题中,同向运动的两物体追及即相遇;相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体之间的距离时相遇。

用数学方法判断追及问题时可先假设能够相遇,列出物体间的位移方程,如果位移方程是关于时间t的二次方程,则当t有唯一正解时,物体相遇一次;当t有两个正解时,物体相遇两次;当t无正解时,物体不能相遇。

1.相遇问题的常见情况

(1)同向运动的两物体追及并相遇:两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离。

(2)相向运动的两物体相遇:各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离。

2.追及问题的两类情况

(1)若后者能追上前者,则追上时,两者处于同一位置,且追上时后者的速度一定不小于前者的速度。

(2)若后者追不上前者,则当后者的速度与前者的速度相等时,两者相距最近。

【易错点】　(1)若被追赶的物体做匀减速运动,则一定要注意被追上前该物体是否已停止运动。

(2)仔细审题,注意抓住题目中的关键字(如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等),充分挖掘题目中的隐含条件。

【典例1】（18年全国3卷）甲乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是（    ）

A．在t1时刻两车速度相等B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等

C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等

D．从t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等

【答案】CD

【解析】速度大小等于图象的斜率，A错误，应该是位置相同；因为初始位置不同，虽然t1时刻位置相同，但从0到t1时间内，两车走过的路程不相等,B错误；起、终位置相同，都是直线运动，所以位移相等，C正确；当甲的斜率与乙相等时，速度相等，D正确；

【变式训练1】.A、B两个物体在水平面上沿同一直线运动,它们的v-t图象如图所示。在t=0时刻,B在A的前面,两物体相距7 m,B物体做匀减速运动的加速度大小为2 m/s2。则A物体追上B物体所用的时间是(　　)。

A.5 s     B.6.25 s C.7 s     D.8 s

【答案】D

【解析】B减速到零的时间

在5s内，

A追上B的时间为

【典例2】(多选)甲、乙两车在一平直道路上同向运动,其v-t图象如图所示,图中△OPQ和△OQT的面积分别为s1和s2(s2>s1)。初始时,甲车在乙车前方s0处。则(　　)。

A.若s0=s1+s2,两车不会相遇    B.若s0<s1,两车相遇2次

C.若s0=s1,两车相遇1次       D.若s0=s2,两车相遇1次

【答案】ABC

【解析】由图线可知:在T时间内,甲车前进了s2,乙车前进了s1+s2;若s0+s2>s1+s2,即s0>s1,两车不会相遇,A项正确;若s0+s2<s1+s2,即s0<s1,在T时刻之前,乙车会超过甲车,但甲车速度增加得快,所以甲车还会超过乙车,则两车会相遇2次,B项正确;若s0+s2=s1+s2,即s0=s1两车只能相遇一次,C项正确,D项错误。

【变式训练2】某汽车性能测试场有两辆同型号汽车甲和乙,在平直测试轨道上同时同向运动,它们的v-t图象如图所示,下列说法正确的是(　　)。

A.开始时,若甲车在乙车前方5 m处,则两车不会相遇

B.开始时,若甲车在乙车前方10 m处,则两车相遇2次

C.开始时,若甲车在乙车前方30 m处,则两车相遇1次

D.开始时,若乙车在甲车前方25 m处,则两车不会相遇

【答案】B

【解析】初始时,若甲车在前,乙车在后,甲从静止启动做匀加速直线运动,而乙车以一定的初速度匀加速追赶甲车,在5 s时刻两车速度相等,此后甲车速度大于乙车,所以如果在5 s时刻乙车还没有追上甲车,两车就不可能相遇;根据题图可知,在0~5 s时间内,甲车的位移为30 m,乙车的位移为55 m,乙车相对于甲车的追赶距离为25 m,A、C两项错误;若开始时,甲车在乙车前方10 m处,说明在5 s时乙车已经超过了甲车,此后因为甲车速度大于乙车速度,所以两车会再次相遇,即两车共相遇2次,B项正确;若开始时,乙车在甲车前方25 m处,则在5 s后,甲车速度大于乙车速度,两车一定相遇,D项错误。

【典例3】甲、乙两辆汽车沿同一平直路面行驶,其v-t图象如图所示,下列对汽车运动状况的描述正确的是(　　)。

A.在第10 s末,乙车改变运动方向   B.在第10 s末,甲、乙两车相距150 m

C.在第20 s末,甲、乙两车相遇     D.若开始时乙车在前,则两车可能相遇两次

【答案】D

【解析】由图可知,在20 s内,乙车一直沿正方向运动,速度方向没有改变,故A项错误;由于不知道初始位置甲、乙相距多远,所以无法判断在10 s末两车相距多远,及在20 s末能否相遇,故B、C两项错误;若刚开始乙在前,设距离为150 m,则在10 s末两车相遇,之后甲在乙的前面,乙做匀加速直线运动,则再过20 s乙与甲再次相遇,故D项正确。

【变式训练3】甲、乙两质点某时刻从相距6 m的两点,相向做直线运动,若以该时刻作为计时起点,得到两质点的速度—时间图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)。

A.乙在第2 s末运动方向不变             B.甲、乙在第2 s末相距4 m

C.乙在前4 s内加速度的大小总比甲的大   D.甲、乙在第4 s末相遇

【答案】C

【解析】速度图象在t轴下方的为反方向运动,故2 s末乙改变运动方向,A项错误;2 s末从图线与坐标轴所围成的面积可知乙运动的位移大小为3 m,甲运动的位移为3 m,相向运动,此时两者相距6 m-3 m-3 m=0,B项错误;从图象的斜率看,斜率大表示加速度大,故乙的加速度在4 s内一直比甲的加速度大,C项正确;4 s末,甲的位移为12 m,乙的位移为3 m,两车原来相距6 m,故此时相距3 m,D项错误。

【典例4】甲、乙两车以相同的速率v0在水平地面上相向做匀速直线运动,某时刻乙车先以大小为a的加速度做匀减速运动,当速率减小到0时,甲车也以大小为a的加速度做匀减速运动。为了避免碰车,在乙车开始做匀减速运动时,甲、乙两车的距离至少应为(　　)。

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】设乙车做减速运动的时间为t1,则t1= = ;乙的位移x1= = ;该时间内,甲做匀速直线运动,位移x2=v0t1= ,之后,甲做减速运动,因为甲与乙的初速度、加速度都相同,所以甲做减速运动的时间和位移都与乙的相同,则甲减速的位移x3=x1= ;甲、乙两车的距离最小是两车位移的和L=x1+x2+x3= + + = ,所以D项正确。

【变式训练4】甲、乙两质点在同一直线上做匀加速直线运动,v-t图象如图所示,3 s末两质点在途中相遇,由图象可知(　　)。

A.甲的加速度等于乙的加速度            B.出发前甲在乙前方6 m处

C.出发前乙在甲前方6 m处              D.相遇前甲、乙两质点的最远距离为2 m

【答案】B

【解析】由图可知,甲的斜率小于乙的斜率,则甲的加速度小于乙的加速度,A项错误。3 s时间内乙、甲通过的位移分别为x乙= ×6×3 m=9 m,x甲= ×3×2 m=3 m,因3 s末两质点在途中相遇,则说明出发前甲在乙前方6 m处,故B项正确,C项错误。由于出发前甲在乙前方6 m处,出发后乙的速度一直大于甲的速度,则两质点间距离不断缩短,所以相遇前甲、乙两质点的最远距离为6 m,D项错误。

【典例5】一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶停在路边的汽车,在跑到距汽车25 m处时,汽车开始以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进,则(　　)。

A.人能追上汽车,追赶过程中人跑了36 m    B.人不能追上汽车,人、车最近距离为7 m

C.人能追上汽车,追上车前人共跑了43 m    D.人不能追上汽车,且车开动后,人车距离越来越远

【答案】B

【解析】当人跑到距汽车25 m处时,汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进,当汽车加速到6.0 m/s时二者相距最近,汽车加速到6.0 m/s所用时间t=6 s,人运动的距离s人=6×6 m=36 m,汽车运动的距离为18 m,二者的最近距离s=18 m+25 m-36 m=7 m,A、C两项错误,B项正确;人不能追上汽车,且车开动后,人车距离先减小后增大,D项错误。

【变式训练5】(多选)2017年1月26日,由于雪天路滑,在哈大高速公路上发生了多车连撞的交通事故。已知一辆小汽车正以30 m/s的速度行驶在高速公路上,突然发现正前方30 m处一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶,小汽车紧急刹车,1 s后刹车失灵。如图所示,a、b分别为小汽车和大卡车的v-t图线,以下说法正确的是(　　)。

A.由图象可知,小汽车紧急刹车时和刹车失灵后的加速度大小分别为10 m/s2、2 m/s2

B.在t=3 s时追尾

C.在t=5 s时追尾

D.如果刹车不失灵,那么小汽车不会追尾

【答案】BD

【解析】根据图线的斜率,可知小汽车紧急刹车和刹车失灵时的加速度大小分别为10 m/s2、2.5 m/s2,A项错误;根据图象与坐标轴包围的面积,可知前3 s内小汽车的位移为60 m,大卡车的位移为30 m,正好追尾,B项正确,C项错误;如果刹车不失灵,那么小汽车经过2 s后速度与大卡车速度相等,在这2 s内大卡车的位移为20 m,小汽车的位移为40 m,两者不会相撞,D项正确。

【典例6】(多选)甲、乙两辆车在同一水平直道上运动,其运动的位移—时间图象如图所示,则下列说法中正确的是(　　)。

A.甲车先做匀减速直线运动,后做匀速直线运动

B.乙车在0~10 s内的平均速度大小为0.8 m/s

C.在0~10 s内,甲、乙两车相遇两次

D.若乙车做匀变速直线运动,则图线上P点所对应的瞬时速度大小一定大于0.8 m/s

【答案】BCD

【解析】题图为位移—时间图象,甲车先向负方向做匀速直线运动后静止在x=2m处,乙向负方向做速度逐渐增大的运动,A项错误;乙车在10s内的位移大小为8m,所以平均速度大小为0.8m/s,B项正确;在位移—时间图象上交点表示相遇,所以10s内两车相遇了两次,C项正确;若乙车做匀变速运动,P点为中间位置的点,根据匀变速运动规律可知v平均= < ,所以P点对应的速度一定大于0.8m/s,D项正确。

【变式训练6】（18年全国2卷）甲、乙两汽车同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶，下列说法正确的是（）

A．两车在t1时刻也并排行驶          B．t1时刻甲车在后，乙车在前

C．甲车的加速度大小先增大后减小    D．乙车的加速度大小先减小后增大

【答案】BD 

【解析】因为在 到 之间，两汽车的位移不等，已知两车在t2时刻并排行驶，所以两车在t1时刻不并排行驶，因为 （面积法求位移），所以t1时刻甲车在后，乙车在前，A错误，B正确，根据斜率法求加速度，甲、乙两车的加速度大小都先减小后增大，所以C错误D正确。

【典例7】甲车以10 m/s的速度在平直的公路上前进,乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动,甲车经过乙车旁边时开始以0.5 m/s2的加速度刹车,从甲车刹车开始计时。求:

(1)乙车追上甲车前,两车相距的最大距离。

(2)乙车追上甲车所用的时间。

【答案】(1)36 m　(2)25 s

【解析】(1)在乙车追上甲车之前,当两车速度相等时两车间的距离最大,a=-0.5 m/s2

设此时经过的时间为t1,则由v1=v2+at1

解得t1=12 s

此时甲车的位移x1=v2t1+ a =84 m

乙车的位移x2=v1t1=48 m

所以两车间的最大距离Δx=x1-x2=36 m。

(2)设甲车停止的时间为t2,则有t2= =20 s

甲车在这段时间内发生的位移x= =100 m

乙车发生的位移x'=v1t2=80 m

则乙车追上甲车所用的时间t3=t2+ =25 s。

【变式训练7】在平直乡村公路上一辆卡车正以12 m/s 的速度前进,有货物从车上掉下一段时间后,司机才从后视镜中发现有货物掉下,立即关闭油门做匀减速直线运动,卡车开始做匀减速直线运动的同时,在其后16 m处一辆摩托车上的人立即拾到货物从静止出发,以2 m/s2的加速度同方向追赶卡车,已知摩托车在该路段能达到的最大速度只能为8 m/s,卡车车轮与路面间的动摩擦因数为0.2。

(1)求卡车做匀减速运动的位移大小。

(2)摩托车至少经过多长时间追上货车?

【答案】(1)36m　(2)8.5s

【解析】(1)已知卡车的初速度v1=12m/s,卡车做匀减速运动的加速度大小为a1,根据牛顿第二定律有μmg=ma1,加速度大小a1=2m/s2

卡车做匀减速运动的时间t1= =6s

卡车做匀减速运动的位移x1= v1t1=36m。

(2)已知该摩托车的加速度a2=2m/s2,最大速度v2=8m/s,摩托车做匀加速运动达到最大速度的时间和位移分别为t2= =4s,x2= v2t2=16m

之后摩托车以最大速度做匀速直线运动,到卡车停止运动时,其匀速运动位移x3=v2(t1-t2)=16m

由于x2+x3<x1+x0,故卡车停止运动时,摩托车没有追上卡车,然后摩托车继续以最大速度匀速运动追赶货车,由匀速运动公式得(x1+x0)-(x2+x3)=v2t3

代入数据解得t3=2.5s

摩托车追上卡车的时间t=t1+t3=8.5s。