2021年新初三数学人教新版开学考模拟试卷1

这是一份2021年新初三数学人教新版开学考模拟试卷1，共51页。

2021年新初三数学人教新版开学考模拟试卷1
一．选择题（共10小题）
1．（2021春•海淀区校级期末）若，则x2﹣2x+1＝（　　）
A． B．2 C． D．
2．（2021•柳州）下列计算正确的是（　　）
A．＝ B．3＝3 C．＝ D．2
3．（2021春•海淀区校级期末）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次排球垫球个数，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4．（2021•自贡）如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（　　）

A．（0，5） B．（5，0） C．（6，0） D．（0，6）
5．（2021•通辽）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
6．（2021•鼓楼区二模）如图，OA＝OB＝OC＝OD，∠BOC+∠AOD＝180°．若BC＝4，AD＝6，则OA的长为（　　）

A． B．2 C． D．4
7．（2021•湖北）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021•深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG、BG、BD、DG，下列结论：①BC＝DF；②∠ABG+∠ADG＝180°；③AC：BG＝：1；④若，则4S△BDG＝25S△DGF．正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2021•江阴市模拟）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（t，3）、（t，0），点D是直线y＝kx+1与y轴的交点，点B在直线y＝kx+1上，若点A关于直线y＝kx+1的对称点A′恰好落在四边形OABC内部（不包括正好落在边上），则t的取值范围为（　　）

A．﹣2＜t＜2 B．﹣2＜t＜2
C．﹣2＜t＜﹣2或2＜t＜2 D．以上答案都不对
10．（2020•武昌区校级自主招生）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．20 B．18 C．10 D．9
二．填空题（共5小题）
11．（2021•包头）某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10．若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为 　 　．
12．（2021•威海）计算的结果是 　 　．
13．（2021•宿迁）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 　 　尺．

14．（2021•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为 　 　．

15．（2021•滨湖区模拟）甲，乙两车分别从A，B两地同时出发，以各自的速度匀速相向而行．当甲车到达B地后，发现有重要物品需要送给乙车，于是甲车司机立即通知乙车（通知时间忽略不计），乙车接到通知后将速度降50%继续匀速行驶，甲车司机花一定的时间准备好相关物品后，以原速的倍匀速前去追赶乙车，当甲车追上乙车时，乙车恰好到达A地．如图反映的是两车之间的距离y（千米）与乙车行数时间x（小时）之同的函数关系，则甲车在B地准备好相关物品共花了　 　小时．

三．解答题（共10小题）
16．（2021春•海淀区校级期末）计算：
（1）（）；
（2）．
17．（2021•射阳县三模）（1）计算：﹣（π﹣3）0++|﹣1|；
（2）化简：÷﹣．
18．（2021春•海淀区校级期末）计算：
（1）7a﹣2a2+7a；
（2）．
19．（2021春•茅箭区校级期末）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？

20．（2021•广西）某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：kg）如下：
4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7
4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0
整理数据：
质量（kg）
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
数量（箱）
2
1
7
a
3
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
4.75
b
c
（1）直接写出上述表格中a，b，c的值．
（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？
（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？
21．（2021•贵阳）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．

22．（2021春•裕华区校级期末）如图，A，B，C都在网格点上，
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A'　 　B'　 　C'　 　．
（3）求△ABC的面积是多少？

23．（2021春•江都区月考）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．
（1）如图1，若∠ABC＝50°，求∠BOD的度数；
（2）如图1，若∠ABC＝n°，求∠BOD的度数；
（3）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．求证：BF∥OD；
（4）若∠F＝∠ABC＝40°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α后得△B'OD'（0°＜α＜360°），B'D'所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．
24．（2021•道里区三模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣3x+3交x轴于点C，交y轴于点B，点A在x轴负半轴上，∠BAC＝2∠OBC．

（1）如图（1），求直线AB的解析式；
（2）如图（2），点P在第二象限，点P的横坐标为t，点P在AB上，点D与点B关于x轴对称，过点P作AD的垂线，点H为垂足，PH的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图（3），在（2）的条件下，点E在第三象限，DE∥AC，过点E作直线BC的垂线，点F为垂足，若五边形AEDOP的面积为12，tan∠BPF＝2，求点P的坐标．
25．（2021春•简阳市 期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．
（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；
（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）


2021年新初三数学人教新版开学考模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021春•海淀区校级期末）若，则x2﹣2x+1＝（　　）
A． B．2 C． D．
【考点】分母有理化；二次根式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】数与式；运算能力．
【分析】先化简x的值，再将x2﹣2x+1因式分解，代入即得答案．
【解答】解：∵＝＝+1，
∴x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＝（）2＝2，
故选：B．
【点评】本题考查化简求值，解题的关键是将已知的x的值化简．
2．（2021•柳州）下列计算正确的是（　　）
A．＝ B．3＝3 C．＝ D．2
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的加减运算以及乘法运算即可求出答案．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意．
B、3与不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意．
C、原式＝，故C符合题意．
D、﹣2与2不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
3．（2021春•海淀区校级期末）为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次排球垫球个数，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【考点】算术平均数；中位数；众数；方差；统计量的选择．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；应用意识．
【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．
【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差．
故选：D．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
4．（2021•自贡）如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（　　）

A．（0，5） B．（5，0） C．（6，0） D．（0，6）
【考点】坐标与图形性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；三角形；应用意识．
【分析】根据已知可得AB＝AC＝10，OA＝8．利用勾股定理即可求解．
【解答】解：根据已知可得：AB＝AC＝10，OA＝8．
在Rt△ABO中，＝6．
∴B（0，6）．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．
5．（2021•通辽）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；运算能力．
【分析】在Rt△APQ中，利用勾股定理可求出PQ2的长度，分0≤x≤3、3≤x≤4及4≤x≤7三种情况找出y关于x的函数关系式，对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，
∴PQ2＝2x2．
当0≤x≤3时，AP＝AQ＝x，
∴y＝PQ2＝2x2；
当3≤x≤4时，DP＝x﹣3，AP＝x，
∴y＝PQ2＝32+32＝18；
当4≤x≤7时，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，
∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象以及勾股定理，分0≤x≤3、3≤x≤4及4≤x≤7三种情况找出y关于x的函数关系式是解题的关键．
6．（2021•鼓楼区二模）如图，OA＝OB＝OC＝OD，∠BOC+∠AOD＝180°．若BC＝4，AD＝6，则OA的长为（　　）

A． B．2 C． D．4
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】过O作OF⊥BC于F，OE⊥AD于E，由等腰三角形的性质得到BF＝CF＝2，AE＝DE＝3，∠AOE＝∠DOE，∠BOF＝∠COF，由∠BOC+∠AOD＝180°，得到∠AOE+∠BOF＝90°，进而得到∠A＝∠BOF＝90°﹣∠AOE，根据全等三角形判定证得△AOE≌△OBF，得到OE＝BF＝2，在Rt△AOE中，根据勾股定理即可求得OA．
【解答】解：过O作OF⊥BC于F，OE⊥AD于E，
∴∠AEO＝∠OFB＝90°，
∴∠A+∠AOE＝90°，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴BF＝CF＝BC＝×4＝2，AE＝DE＝AD＝×6＝3，∠AOE＝∠DOE，∠BOF＝∠COF，
∵∠BOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
∴∠A＝∠BOF＝90°﹣∠AOE，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴OE＝BF＝2，
在Rt△AOE中，∠AEO＝90°，OE＝2，AE＝3，
∴OA＝＝＝，
故选：C．

【点评】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
7．（2021•湖北）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】垂线段最短；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】①连接BE，易知四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；
③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；
④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2；
【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图，

∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正确；
②∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB＝∠ADE．
即：∠BFG＝∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝．
∴DE＝AC＝2．
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值为2，
∴④错误．
综上，正确的结论为：①②③．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，垂直的定义．根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法．
8．（2021•深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG、BG、BD、DG，下列结论：①BC＝DF；②∠ABG+∠ADG＝180°；③AC：BG＝：1；④若，则4S△BDG＝25S△DGF．正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】先求出∠BAE＝45°，判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AB＝BE，∠AEB＝45°，从而得到BE＝CD，故①正确；由于∠BGE＝∠DGC，得到∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG＝∠ABC+∠ADC＝180°，故②正确；先根据矩形的对角线相等得：AC＝BD，证明：△DCG≌△BEG，得DG＝BG，∠CGD＝∠EGB，得△DGB是等腰直角三角形，根据勾股定理可得，故③正确；．过点G作GH⊥CD于H，设AD＝4x＝DF，AB＝3x，由勾股定理可求BD＝5x，由等腰直角三角形的性质可得HG＝CH＝FH＝x，DG＝GB＝x，由三角形面积公式可求，故④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AC＝BD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠F＝∠FAD，
∴AD＝DF，
∴BC＝DF，故①正确；
∵∠BGE＝∠DGC，
∴∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG＝∠ABC+∠ADC＝180°，
故②正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵点G为EF的中点，
∴CG＝EG，∠FCG＝45°，
∴∠BEG＝∠DCG＝135°，
在△DCG和△BEG中，
，
∴△DCG≌△BEG（SAS）．
∴DG＝BG，∠CGD＝∠EGB，
∴∠CGD+∠AGD＝∠EGB+∠AGD＝90°，
∴△DGB是等腰直角三角形，
∴BD＝BG，
∴AC＝BG，
∴AC：BG＝：1，故③正确；
过点G作GH⊥CD于H，

∵3AD＝4AB，
∴设AD＝4x＝DF，AB＝3x，
∴CF＝CE＝x，BD＝＝5x，
∵△CFG，△GBD是等腰直角三角形，
∴HG＝CH＝FH＝x，DG＝GB＝x，
∴S△DGF＝DF•HG＝x2，S△DGB＝DG•GB＝x2，
∴4S△BDG＝25S△DGF；故④正确；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
9．（2021•江阴市模拟）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（t，3）、（t，0），点D是直线y＝kx+1与y轴的交点，点B在直线y＝kx+1上，若点A关于直线y＝kx+1的对称点A′恰好落在四边形OABC内部（不包括正好落在边上），则t的取值范围为（　　）

A．﹣2＜t＜2 B．﹣2＜t＜2
C．﹣2＜t＜﹣2或2＜t＜2 D．以上答案都不对
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称．菁优网版权所有
【专题】创新题型；解题思想；解题方法；能力层次．
【分析】根据条件，可以求得点A关于直线BD的对称点E的坐标，再根据E在图形中的位置，得到关于t的方程组
【解答】解：∵点B（t，3）在直线y＝kx+1上，
∴3＝kt+1，得到，于是直线BD的表达式是．
于是过点A（0，3）与直线BD垂直的直线解析式为．
联立方程组，解得，则交点M．
根据中点坐标公式可以得到点E，
∵点E在长方形ABCO的内部
∴，解得或者．
本题答案：或者．
故选：C．

【点评】该题涉及直线垂直时“k”之间的关系；直线的交点坐标与对应方程组的解之间的关系；中点坐标公式需要熟悉．计算量较大．
10．（2020•武昌区校级自主招生）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．20 B．18 C．10 D．9
【考点】动点问题的函数图象．菁优网版权所有
【专题】动点型；解直角三角形及其应用；几何直观．
【分析】由图2知：AB+BC＝9，设AB＝m，则BC＝9﹣m，则tan∠MAB＝tan∠NMC，即，即，化简得：y＝﹣x2+﹣9，当x＝﹣＝时，y＝﹣9+＝，即可求解．
【解答】解：由图2知：AB+BC＝9，设AB＝m，则BC＝9﹣m，
如图所示，当点M在BC上时，

则AB＝m，BM＝x﹣m，MC＝9﹣x，NC＝y，
∵MN⊥AM，则∠MAB＝∠NMC，
tan∠MAB＝tan∠NMC，即，
即，化简得：y＝﹣x2+x﹣9，
当x＝﹣＝时，
y＝﹣9+＝，
解得：m＝5，
则AM＝5，BC＝4，
故ABCD的面积＝20，
故选：A．
【点评】本题考查的是动点的图象问题，涉及到一次函数、二次函数、解直角三角形等知识，从图2中，确定AB+BC＝9是本题解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•包头）某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10．若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为 　3.6　．
【考点】中位数；方差．菁优网版权所有
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】根据题意，由中位数的定义可得x的值，计算出这组数据的平均数，再根据方差计算公式列式计算即可．
【解答】解：根据题意，数据5，10，7，x，10的中位数为8，
则有x＝8，
这组数据的平均数为（5+10+7+8+10）＝8，
则这组数据的方差S2＝[5﹣8）2+（10﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2]＝3.6，
故答案为：3.6．
【点评】本题考查数据的方差计算，关键是由中位数的定义求出x的值．
12．（2021•威海）计算的结果是 　﹣　．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝2﹣
＝2﹣3
＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决问题的关键．
13．（2021•宿迁）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 　12　尺．

【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EC′的长为10尺，则C′B＝5尺，设芦苇长AC＝AC′＝x尺，表示出水深AB，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【解答】解：依题意画出图形，

设芦苇长AC＝AC′＝x尺，
则水深AB＝（x﹣1）尺，
∵C′E＝10尺，
∴C′B＝5尺，
在Rt△AC′B中，
52+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝13，
即芦苇长13尺，水深为12尺，
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合．
14．（2021•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为 　﹣1　．

【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】动点型；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】如图，取AD的中点T，连接BT，GT．首先利用全等三角形的性质证明∠AGD＝90°，求出GT＝1，BT＝，根据BG≥BT﹣GT，可得结论．
【解答】解：如图，取AD的中点T，连接BT，GT．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BD＝2，∠DAE＝∠ABE＝90°，
在△DAE和△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠BAF+∠DAF＝90°，
∴∠DAE+∠DAF＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∵DT＝AT，
∴GT＝AD＝1，
∵BT＝＝＝，
∴BG≥BT﹣GT，
∴BG≥﹣1，
∴BG的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，求出GT，BT是解题的关键．
15．（2021•滨湖区模拟）甲，乙两车分别从A，B两地同时出发，以各自的速度匀速相向而行．当甲车到达B地后，发现有重要物品需要送给乙车，于是甲车司机立即通知乙车（通知时间忽略不计），乙车接到通知后将速度降50%继续匀速行驶，甲车司机花一定的时间准备好相关物品后，以原速的倍匀速前去追赶乙车，当甲车追上乙车时，乙车恰好到达A地．如图反映的是两车之间的距离y（千米）与乙车行数时间x（小时）之同的函数关系，则甲车在B地准备好相关物品共花了　　小时．

【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用．
【分析】（1）点（，200）说明甲用小时走完全程，此时乙走了200千米，则乙的速度为V乙＝200÷＝60；
（2）两车2小时相遇，相遇后甲乙都走了﹣2＝小时，共走了200米，则甲乙的的速度和为200÷＝150，即可求解；
（3）甲乙2小时相遇，则AB的距离为2×（60+90）＝300千米；
（4）设甲准备了x个小时，则甲乙的距离为200+30x，则甲走420米用的时间和乙走300﹣（200+3x）用时间相同，即可求解．
【解答】解：（1）点（，200）说明甲用小时走完全程，此时乙走了200千米，则乙的速度为V乙＝200÷＝60；
（2）两车2小时相遇，相遇后甲乙都走了﹣2＝小时，共走了200米，则甲乙的的速度和为200÷＝150，乙的速度为60．则甲的速度为90；
（3）甲乙2小时相遇，则AB的距离为2×（60+90）＝300千米，
（4）设甲准备了x个小时，则甲乙的距离为200+30x，则甲走300米用的时间和乙走300﹣（200+30x）用时间相同，此时甲的速度为90×＝120，乙的速度为：60×50%＝30，
即，
解得：x＝，
故答案为．
【点评】本题考查的是一次函数应用，本类题目的关键是分清各个点对应的关系，由此求出甲乙的速度，进而求解．
三．解答题（共10小题）
16．（2021春•海淀区校级期末）计算：
（1）（）；
（2）．
【考点】实数的运算；平方差公式．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）先进行开方运算和去括号，再合并同类二次根式即可；
（2）先计算开方运算、利用平方差公式计算，再合并同类二次根式即可；
【解答】解：（1）原式＝3+2﹣
＝2；
（2）原式＝2+5﹣（﹣3）﹣（7﹣3）
＝7+3﹣4
＝6．
【点评】此题考查的是实数的运算及平方差公式，掌握公式结构是解决此题关键．
17．（2021•射阳县三模）（1）计算：﹣（π﹣3）0++|﹣1|；
（2）化简：÷﹣．
【考点】实数的运算；分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
【专题】实数；分式；运算能力．
【分析】（1）根据零指数幂的意义，负整数幂的意义、绝对值的意义以及立方根的定义即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1+2+﹣1
＝2+．
（2）原式＝•﹣
＝﹣
＝﹣
＝．
【点评】本题考查实数的运算以及分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及分式的乘除运算，熟练运用零指数幂的意义，负整数幂的意义、绝对值的意义以及立方根的定义，本题属于基础题型．
18．（2021春•海淀区校级期末）计算：
（1）7a﹣2a2+7a；
（2）．
【考点】二次根式的加减法．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：（1）7a﹣2a2+7a
＝14a﹣2a2×+7a
＝14a﹣2a2×+7a
＝14a﹣+7a
＝；

（2）
＝+×6﹣10×0.2
＝+4﹣2
＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
19．（2021春•茅箭区校级期末）某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？

【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】（1）连接AC，在直角三角形ABC中利用勾股定理可求得AC的长，由AC、AD、CD的长度关系根据勾股定理的逆定理可得三角形ACD为一直角三角形，AD为斜边；由此看，四边形ABCD的面积等于Rt△ABC面积加上Rt△ACD的面积解答即可；
（2）由（1）求出的面积，乘以100即可得到结果．
【解答】解：（1）如图，连接AC，
在直角三角形ABC中，
∵∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，
∴AC＝＝10m，
∵AC2+CD2＝102+242＝676＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝，
答：空地ABCD的面积是144m2．

（2）144×100＝14400（元），
答：总共需投入14400元．

【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
20．（2021•广西）某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：kg）如下：
4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7
4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0
整理数据：
质量（kg）
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
数量（箱）
2
1
7
a
3
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
4.75
b
c
（1）直接写出上述表格中a，b，c的值．
（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？
（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？
【考点】近似数和有效数字；用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数；统计量的选择．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；应用意识．
【分析】（1）根据题意以及众数、中位数的定义分别求出即可；
（2）从平均数、中位数、众数中，任选一个计算即可；
（3）求出成本，根据（2）的结果计算即可得到答案．
【解答】解：（1）a＝20﹣2﹣1﹣7﹣3﹣1＝6，
分析数据：样本中，4.7出现的次数最多；故众数b为4.7，
将数据从小到大排列，找最中间的两个数为4.7，4.8，故中位数c＝＝4.75，
∴a＝6，b＝4.7，c＝4.75；
（2）选择平均数4.7，
这2000箱荔枝共损坏了2000×（5﹣4.7）＝600（千克）；
（3）10×2000×5÷（2000×5﹣600）≈10.7（元），
答：该公司销售这批荔枝每千克定为10.7元才不亏本．
【点评】本题考查的是平均数、众数和中位数的定义及运用．要学会根据统计量的意义分析解决问题．
21．（2021•贵阳）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两队相等的角，利用AAS证得两三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的性质求得AD＝BN＝2，AN＝4，从而利用勾股定理求得AB的长，利用S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD求得答案即可．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△MAD和△ABN中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD，
∵AD＝2，
∴BN＝2，
又∵AN＝4，
在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，
∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，
∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．
【点评】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定，了解矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分是解答本题的关键，难度不大．
22．（2021春•裕华区校级期末）如图，A，B，C都在网格点上，
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A'　（2，3）　B'　（3，1）　C'　（﹣1，﹣2）　．
（3）求△ABC的面积是多少？

【考点】作图﹣轴对称变换．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）分别求出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）根据点的位置写出坐标即可．
（3）利用分割法根据三角形的面积等于矩形面积﹣三个三角形面积求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求．

（2）由图知，三点坐标分别为A′（2，3），B′（3，1），C′（﹣1，﹣2）．
故答案为：（2，3），（3，1），（﹣1，﹣2）．

（3）△ABC的面积＝．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
23．（2021春•江都区月考）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．
（1）如图1，若∠ABC＝50°，求∠BOD的度数；
（2）如图1，若∠ABC＝n°，求∠BOD的度数；
（3）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．求证：BF∥OD；
（4）若∠F＝∠ABC＝40°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α后得△B'OD'（0°＜α＜360°），B'D'所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．
【考点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【分析】（1）利用三角形内角和、角平分线的定义、三角形外角性质解题；
（2）将（1）中特殊角改为n°，按步骤解题；
（3）由角平分线的定义和平行线的判定定理证明；
（4）数形结合，分类讨论．
【解答】（1）解：∵∠ABC＝50°，
∴∠BAC+∠BCA＝130°，
∵△ABC的三个内角的平分线交于点O，
∴∠OBD＝25°，∠OAC+∠OCA＝65°，
∴∠AOC＝115°，
∵∠ODC＝∠AOC，
∴∠ODC＝115°，
∵∠ODC是△OBD的一个外角，
∴∠BOD＝∠ODC﹣∠OBD＝115°﹣25°＝90°．
（2）解：∵∠ABC＝n°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣n°，
∵△ABC的三个内角的平分线交于点O，
∴∠OBD＝n°，∠OAC+∠OCA＝90°﹣n°，
∴∠AOC＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°，
∵∠ODC＝∠AOC，
∴∠ODC＝90°+n°，
∵∠ODC是△OBD的一个外角，
∴∠BOD＝∠ODC﹣∠OBD＝90°+n°﹣n°＝90°．
（3）证明：由（2）得，∠BOD＝90°，
∵BO平分∠ABC，BF平分∠ABE，
∴∠ABF＝∠ABE，∠ABO＝∠ABC，
∴∠FBO＝∠ABE+∠ABC＝90°，
由（2）得，∠BOD＝90°，
∴∠FBO＝∠BOD，
∴BF∥OD．
（4）∵∠F＝∠ABC＝40°，∠FBO＝∠BOD＝90°，
∴∠OBD＝∠OB'D'＝20°，∠FOB＝50°，
∴∠ODB＝∠OD'B'＝70°，∠DOC＝180°50°﹣90°＝40°，、
如图（1），∵D'B'∥FC，
∴∠OD'B'＝∠D'OC＝70°，
∴∠DOD'＝∠D'OC﹣∠DOC＝70°﹣40°＝30°，即α＝30°，
如图（2），∵D'B'∥FC，
∴∠OD'B'＝∠D'OF＝70°，
∴α＝∠FOD'+∠FOB+∠DOB＝70°+50°+90°＝210°，
∴旋转角α为30°或210°时，B'D'所在直线与FC平行．


【点评】本题考查了三角形的内角和、角平分线的定义、三角形外角性质和平行线的性质，要求学生学会由特殊到一般的探究思路和分类讨论的思想解题．
24．（2021•道里区三模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣3x+3交x轴于点C，交y轴于点B，点A在x轴负半轴上，∠BAC＝2∠OBC．

（1）如图（1），求直线AB的解析式；
（2）如图（2），点P在第二象限，点P的横坐标为t，点P在AB上，点D与点B关于x轴对称，过点P作AD的垂线，点H为垂足，PH的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图（3），在（2）的条件下，点E在第三象限，DE∥AC，过点E作直线BC的垂线，点F为垂足，若五边形AEDOP的面积为12，tan∠BPF＝2，求点P的坐标．
【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）在x负半轴上取点M，使得OM＝OC，连接BM，可得出AB＝AC，在△AOB中利用勾股定理可求出OA即可；
（2）利用等面积法，求出△ABD中AD边上的高，从而计算sin∠PAD及PH的长度；
（3）设PF交x轴于点Q，过点Q作QM⊥AB于点M，过点P作PN⊥x轴于点N，过点F作FR⊥x轴于点R，延长RF交ED的延长线于点S，延长BF交ED的延长线于点T．设MQ＝m，F（n，﹣3n+3），利用tan∠BPF＝2和五边形AEDOP的面积为12，可以用m表示PN，AN，NQ及ED的长度，得出tan∠RQF＝tan∠PNQ＝，即QR＝2RF，即；另外在Rt△EFT中，根据射影定理得，FS2＝ES•ST，即，利用这两个式子，可解得m＝n＝，从而求出P坐标．
【解答】解：（1）如下图

由直线y＝﹣3x+3，得B（0，3），C（1，0），即OB＝3，OC＝1．
在x负半轴上取点M，使得OM＝OC，连接BM．则OB垂直平分CM，
∴∠MBC＝2∠OBC，∠BMC＝∠BCM，
∵∠BAC＝2∠OBC，
∴∠BAC＝∠MBC，
∵∠ABC＝∠ABM+∠MBC，
∠BMC＝∠BAC+∠ABM，
∴∠ABC＝∠BMC＝∠BCA，
∴AB＝AC，
设OA＝m，则AB＝，AC＝m+1，
由AB＝AC，解得m＝4，即A（﹣4，0），
设AB：y＝kx+b，将A（﹣4，0），B（0，3）代入，
解得b＝3，k＝，
∴直线AB的解析式为．
（2）过点B作BN⊥AD于点N，
在△ABD中，面积S＝，
而AD＝＝5，AO＝4，BD＝6，
∴BN＝，
∴sin∠BAN＝，
在Rt△APH中，P（t，）
d＝PH＝PA•sin∠BAN＝＝，
d与t之间的函数关系式为d＝ （﹣4＜t＜0）．
（3）设PF交x轴于点Q，过点Q作QM⊥AB于点M，过点P作PN⊥x轴于点N，
过点F作FR⊥x轴于点R，延长RF交ED的延长线于点S，延长BF交ED的延长线于点T．
设MQ＝m，F（n，﹣3n+3），则S（n，﹣3），T（2，﹣3），RF＝﹣（﹣3n+3）＝3n﹣3，
在Rt△AOB中，tan∠BAO＝，sin∠BAO＝，cos∠BAO＝，
在Rt△MPQ中，tan∠MPQ＝＝2，
∴MP＝，
在Rt△MAQ中，tan∠MAQ＝，sin∠MAQ＝，而∠BAO＝∠MAQ，
∴MA＝，AQ＝，
∴AP＝MA﹣MP＝，
同理在Rt△APN中，可求AN＝，PN＝，
∴NQ＝AQ﹣AN＝m，OQ＝OA﹣AQ＝4﹣
∴tan∠RQF＝tan∠PNQ＝，
即QR＝2RF，
即••••••••••••①．
∵五边形AEDOP的面积S＝S△PAO+S梯形AEDO＝＝，
解得ED＝，
在Rt△EFT中，EF⊥FT，FS⊥ET，根据射影定理得，FS2＝ES•ST，
而FS＝﹣3n+6，ES＝，ST＝2﹣n，
∴••••••••••••②．
联立①②，解得m＝n＝，
∴NO＝AO﹣AN＝3，PN＝，
∴P的坐标为（﹣3，）．
【点评】本题考查了一次函数解析式的求法，等腰三角形的性质与判定，锐角三角函数的相关知识，在第三小问中，要通过构造直角三角形来利用tan∠BPF＝2条件解题是关键，充分利用图形的几何特征可以降低运算量．
25．（2021春•简阳市 期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．
（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；
（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】证明题；几何综合题．
【分析】（1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；
（2）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；
（3）在CB截取BE＝AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可．
【解答】
（1）AM+BN＝MN，
证明：延长CB到E，使BE＝AM，
∵∠A＝∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠EBD＝90°，
在△DAM和△DBE中
，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，
∵∠MDN＝∠ADC＝60°，
∴∠ADM＝∠NDC，
∴∠BDE＝∠NDC，
∴∠MDN＝∠NDE，
在△MDN和△EDN中
，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE，
∵NE＝BE+BN＝AM+BN，
∴AM+BN＝MN．

（2）AM+BN＝MN，
证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，
∵∠A＝∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠DBE＝90°，
∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，
∴∠MDN＝∠CDA，
∵∠MDN＝∠BDC，
∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB，
在△DAM和△DBE中
，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，
∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，
∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，
∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，
∵∠CDM＝∠NDB
∴∠MDN＝∠NDE，
在△MDN和△EDN中
，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE，
∵NE＝BE+BN＝AM+BN，
∴AM+BN＝MN．

（3）BN﹣AM＝MN，
证明：在CB截取BE＝AM，连接DE，
∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，
∴∠MDN＝∠CDA，
∵∠ADN＝∠ADN，
∴∠MDA＝∠CDN，
∵∠B＝∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠DAM＝90°，
在△DAM和△DBE中
，
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，
∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，
∴∠MDN＝∠EDN，
在△MDN和△EDN中
，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE，
∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM，
∴BN﹣AM＝MN．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法，题目比较典型，但有一定的难度．

考点卡片
1．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
4．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
5．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
6．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
7．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
8．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
9．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
11．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
12．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
13．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
14．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
15．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
16．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
17．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
18．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
19．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
20．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

21．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
22．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
23．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
24．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
25．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．

26．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
27．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
28．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）
29．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
30．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
31．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
32．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
33．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
34．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
35．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
36．统计量的选择
（1）一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．但这并不是绝对的，有时多数数据相对集中，整体波动水平较小，但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方差或标准差的值．从而导致这些量度数值较大，因此在实际应用中应根据具体问题情景进行具体分析，选用适当的量度刻画数据的波动情况，一般来说，只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用极差、方差或标准差来比较两组数据的波动大小．
（2）平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别：①数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数，描述了数据的离散程度．②极差和方差的不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，数据的历算程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好．
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