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苏教版 (2019)必修 第二册9.1 向量概念精品教学设计及反思
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这是一份苏教版 (2019)必修 第二册9.1 向量概念精品教学设计及反思，共29页。教案主要包含了课前基础演练，题组训练，解题策略，补偿训练，变式探究，跟踪训练，思路导引等内容，欢迎下载使用。
1、理解并掌握向量的概念．
2、理解并掌握零向量与单位向量．
3、理解并掌握相等向量与共线向量．
4、理解并掌握向量的应用.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：相等向量与共线向量；
难点：向量的应用．
教学过程
基础知识点
1.向量与数量的概念
(1)既有大小又有_________的量叫作向量.
(2)只有大小没有_________的量叫作数量.
2.有向线段
(1)定义:具有___________的线段叫作有向线段.
(2)表示方法:以A为起点、B为终点的有向线段记作.
(3)长度:线段AB的长度也叫作有向线段的长度,记作_____________.
(4)三个要素:_____________、方向、长度.
【思考】
向量与有向线段的联系和区别是什么?
3.向量的表示方法
(1)用有向线段表示:用有向线段表示的向量记作_________.有向线段的长度
表示向量的__________,有向线段的方向表示向量的_____________.
(2)字母表示法:在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,…表示向量,手写时,可写成带箭头的小写字母，….
4.向量的模及两个特殊向量
(1)向量的模:向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.
(2)零向量:长度为__________的向量叫作零向量,记作__________.
(3)单位向量:长度等于_________个单位长度的向量,叫作单位向量.
【思考】
0与相同吗?0是不是没有方向?
5.相等向量
(1)定义:长度___________且方向_____________的向量叫作相等向量.
(2)表示方法:向量与相等,记作_______________.
6.平行向量(或共线向量)
(1)定义和表示方法
(2)本质:平行向量反映的是两个向量的方向关系,表示两个共线向量的有向线段所在直线可以平行,也可以重合.
(3)应用:
①证明直线与直线平行;②证明三点共线.
【思考】
“向量平行”与“几何中的平行”一样吗?
7.向量的夹角
(1)定义:已知两个__________向量,O是平面上的任意一点,作,
则_____________________叫作向量与的夹角(如图所示).
(2)三种特殊情况:
【思考】
(1)等边△ABC中,向量所成的角是60°吗?
(2)向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同吗?
8.相反向量
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. 两个向量不能比较大小.
B. 任意两个单位向量都相等.
C. 向量与向量是相等向量.
D. 若,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点.
题2.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是( )
A.也可以用表示
B.方向是由M指向N
C.起点是M
D.终点是M
题3.如图所示,四边形ABCD和BCEF都是平行四边形.
(1)写出与相等的向量:________;
(2)写出与共线的向量:________.
关键能力·合作学习
类型一 向量的概念、零向量与单位向量(数学抽象)
【题组训练】
题4.下列说法中正确的是( )
A.0与表示的含义相同
B.长度为0的向量都是零向量
C.单位向量的模等于1 cm
D.单位向量的方向都相同
题5.如图,O为边长为1的正六边形ABCDEF的中心.根据图中标出的向量,回答下列
问题:
(1) 与的长度相等吗?它们是相等向量吗?
(2) 与的长度相等吗?它们平行吗?它们是相等向量吗?
题6.判断下列各命题是否正确.
(1)因为,所以;
(2)因为,所以.
【解题策略】
1.判断一个量是否为向量的两个关键条件
(1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.
2.理解零向量和单位向量应注意的问题
(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.
(2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向.
提醒:两个单位向量的模相等,但这两个单位向量不一定相等.
【补偿训练】题7.出下列说法:
①零向量是没有方向的;
②零向量的长度为0;
③零向量的方向是任意的;
④单位向量的模都相等.
其中正确的是________(填序号).
类型二 相等向量与共线向量(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
角度1 概念辨析
【典例】题8.（多选）有下列说法: 其中,正确的说法是 ( )
A.,则一定不与共线;
B.在▱ABCD中,一定有;
C.若,则;
D.共线向量是在一条直线上的向量.
【变式探究】
题9.若,则.判断此说法是否正确.
角度2 相等向量、平行向量
【典例】
题10.如图所示,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.在图中
所示的向量中:
(1)分别写出与相等的向量;
(2)写出与共线的向量.
【解题策略】
1.相等向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向的.
2.共线向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量.
3.共线向量与相等向量的关系
相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.若两向量相等,则两向量方向相同,模相等;若两向量共线,则两向量方向相同或相反.
【题组训练】
题11.给出以下5个条件:①;②;③与的方向相反;④或;
⑤与都是单位向量.其中能使成立的是________.(填序号)
题12.如图,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形.
(1)找出与相等的向量.
(2)找出与共线的向量.
题13.如图,以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中:
(1)写出与相等的向量;
(2)写出与模相等的向量.
类型三 向量的应用(直观想象、逻辑推理)
【典例】题14.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后改变方向向北偏
西40°行驶了200 km到达C点,又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量;
(2)求.
1.准确画出向量的方法和注意事项
(1)方法
①确定向量的起点.
②根据运动方向确定向量的方向,并根据向量的大小确定向量的终点.
(2)注意事项
用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和终点,三者缺一不可.
2.向量的常见应用
(1)相等向量的应用
利用向量的相等,可以证明线段相等或直线平行,但在证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.
(2)平行向量的应用
用平行向量可以证明直线平行和三点共线,证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.
【跟踪训练】
题15.如图所示,在四边形ABCD中,,N,M分别是AD,BC上的点,且.
求证: .
【补偿训练】
题16.如图所示的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格中有定点A,点
C为小正方形的顶点,且,画出所有可能的向量.
课堂检测·素养达标
题17.如图,在▱ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,图中与平行的向量的个数
为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
题18.下列说法中正确的是( )
A.若,则
B.模为0的向量的方向是不确定的
C.向量就是有向线段
D.任意两个单位向量的方向相同
题19.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB和AC边的中点,则下列结论正确的
是( )
A.和共线B.和共线
C.和共线D.和共线
题20.给出下列几种说法:
①若A,B,C三点共线,则;
②任一非零向量都可以平行移动;
③长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量.其中说法正确的是________.(填序号)
题21.在如图所示的坐标纸(每个方格的边长均为1)中,用直尺和圆规画出下列向量.
(1) ,点A在点O正西方向;
(2) ,点B在点O北偏西45°方向;
(3) ,点C在点O南偏东60°方向.
编号：001 课题:§9.1 向量的概念
目标要求
1、理解并掌握向量的概念．
2、理解并掌握零向量与单位向量．
3、理解并掌握相等向量与共线向量．
4、理解并掌握向量的应用.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：相等向量与共线向量；
难点：向量的应用．
教学过程
基础知识点
1.向量与数量的概念
(1)既有大小又有__方向___的量叫作向量.
(2)只有大小没有__方向___的量叫作数量.
2.有向线段
(1)定义:具有__方向___的线段叫作有向线段.
(2)表示方法:以A为起点、B为终点的有向线段记作.
(3)长度:线段AB的长度也叫作有向线段的长度,记作_____.
(4)三个要素:__起点___、方向、长度.
【思考】
向量与有向线段的联系和区别是什么?
提示:(1)有向线段是表示向量的一种图形.
(2)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,这两个向
量就是相同的向量.
(3)有向线段有起点、长度和方向三个要素,起点不同,尽管长度和方向相同,也
是不同的有向线段.
3.向量的表示方法
(1)用有向线段表示:用有向线段表示的向量记作___.有向线段的长度
表示向量的__大小___,有向线段的方向表示向量的__方向___.
(2)字母表示法:在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,…表示向量,手写时,可写成带箭头的小写字母，….
4.向量的模及两个特殊向量
(1)向量的模:向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.
(2)零向量:长度为_零__的向量叫作零向量,记作__.
(3)单位向量:长度等于_1_个单位长度的向量,叫作单位向量.
【思考】
0与相同吗?0是不是没有方向?
提示: 0与不同,0是一个实数, 是一个向量,且||=0. 有方向,其方向是任意的.
5.相等向量
(1)定义:长度__相等___且方向___相同__的向量叫作相等向量.
(2)表示方法:向量与相等,记作____.
6.平行向量(或共线向量)
(1)定义和表示方法
(2)本质:平行向量反映的是两个向量的方向关系,表示两个共线向量的有向线段所在直线可以平行,也可以重合.
(3)应用:
①证明直线与直线平行;②证明三点共线.
【思考】
“向量平行”与“几何中的平行”一样吗?
提示:向量平行与几何中的直线平行不同,向量平行包括所在直线重合的情况,
故也称向量共线.
7.向量的夹角
(1)定义:已知两个__非零___向量,O是平面上的任意一点,作,
则_______叫作向量与的夹角(如图所示).
(2)三种特殊情况:
【思考】
(1)等边△ABC中,向量所成的角是60°吗?
提示:向量所成的角是120°.
(2)向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同吗?
提示:向量的夹角和直线的夹角范围是不同的,它们分别是[0,π]和[0, ].
8.相反向量
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. 两个向量不能比较大小.
B. 任意两个单位向量都相等.
C. 向量与向量是相等向量.
D. 若,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点.
【答案】选BCD
提示:A√. 向量既有大小，还有方向，所以两个向量不能比较大小.
B×.任意两个单位向量只是长度相等,方向不一定相同,故不一定相等.
C×.向量与向量方向相反,不是相等向量.
D×.若,则A,B,C,D也可能落在同一条直线上.
故选BCD.
题2.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是( )
A.也可以用表示
B.方向是由M指向N
C.起点是M
D.终点是M
【解析】选D.根据向量的表示方法判断即可.
题3.如图所示,四边形ABCD和BCEF都是平行四边形.
(1)写出与相等的向量:________;
(2)写出与共线的向量:________.
答案:(1) (2)
关键能力·合作学习
类型一 向量的概念、零向量与单位向量(数学抽象)
【题组训练】
题4.下列说法中正确的是( )
A.0与表示的含义相同
B.长度为0的向量都是零向量
C.单位向量的模等于1 cm
D.单位向量的方向都相同
【解析】选B.0与表示的含义是不同的.0表示数量,但表示零向量,其中.
因此A错误;由零向量的定义知B正确;单位向量的模等于1个单位长度,而不是具
体的1 cm,因此C错误;单位向量的方向要因具体情况而定,因此D错误.
题5.如图,O为边长为1的正六边形ABCDEF的中心.根据图中标出的向量,回答下列
问题:
(1) 与的长度相等吗?它们是相等向量吗?
(2) 与的长度相等吗?它们平行吗?它们是相等向量吗?
【解析】(1)与的长度相等,都是1,
即,但与不是相等向量.
(2) ,且,但与不是相等向量,因为与的方向
相反.
题6.判断下列各命题是否正确.
(1)因为,所以;
(2)因为,所以.
【解析】(1)不正确. 表示以A为起点,B为终点,方向从A指向B; 表示以B为
起点,A为终点,方向从B指向A;虽然,但与的方向不同.
(2)不正确.向量是既有大小又有方向的量,而数量只有大小没有方向,故.
【解题策略】
1.判断一个量是否为向量的两个关键条件
(1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.
2.理解零向量和单位向量应注意的问题
(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.
(2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向.
提醒:两个单位向量的模相等,但这两个单位向量不一定相等.
【补偿训练】题7.出下列说法:
①零向量是没有方向的;
②零向量的长度为0;
③零向量的方向是任意的;
④单位向量的模都相等.
其中正确的是________(填序号).
【解析】由零向量的方向是任意的,知①错误,③正确;由零向量的定义知②正确;由单位向量的模是1,知④正确.
答案:②③④
类型二 相等向量与共线向量(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
角度1 概念辨析
【典例】题8.（多选）有下列说法: 其中,正确的说法是 ( )
A.,则一定不与共线;
B.在▱ABCD中,一定有;
C.若,则;
D.共线向量是在一条直线上的向量.
【思路导引】依据相等向量和共线向量的定义逐个判断.要特别注意向量共线与平面几何中多点共线的区别.
【答案】BC
【解析】对于A,两个向量不相等,可能是长度不相等,但方向相同或相反,所以与有共线的可能,故A不正确;对于B,在▱ABCD中, ,与平行且方向相同,所以,故B正确;对于C, ,则,且与方向相同; ,则,且与方向相同,所以与方向相同且模相等,故,故C正确;对于D,共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故D不正确.
故选BC.
【变式探究】
题9.若,则.判断此说法是否正确.
【解析】因为当时, 可以是任意向量,故不一定平行;只有当时,
才有,则.
角度2 相等向量、平行向量
【典例】
题10.如图所示,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.在图中
所示的向量中:
(1)分别写出与相等的向量;
(2)写出与共线的向量.
【思路导引】(1)找与(或)长度相等且方向相同的向量;
(2)找与方向相同或相反的向量.
【解析】(1)因为,且与的方向相同,所以与相等的向量是.同理,与相等的向量是.
(2)因为AO∥DE∥BF,A,O,C三点共线,
所以与共线的向量是.
【解题策略】
1.相等向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向的.
2.共线向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量.
3.共线向量与相等向量的关系
相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.若两向量相等,则两向量方向相同,模相等;若两向量共线,则两向量方向相同或相反.
【题组训练】
题11.给出以下5个条件:①;②;③与的方向相反;④或;
⑤与都是单位向量.其中能使成立的是________.(填序号)
【解析】相等向量一定是共线向量,①能使;方向相同或相反的向量一定是共线向量,③能使;零向量与任一向量平行,④成立.
答案:①③④
题12.如图,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形.
(1)找出与相等的向量.
(2)找出与共线的向量.
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形知, 与的长度相等且方向相同,所以与相等的向量为.
(2)由题干图可知, 与方向相同, 与方向相
反,所以与共线的向量有.
题13.如图,以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中:
(1)写出与相等的向量;
(2)写出与模相等的向量.
【解析】(1)与相等的向量为,与相等的向量为.
(2)与模相等的向量为.
类型三 向量的应用(直观想象、逻辑推理)
【典例】题14.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后改变方向向北偏
西40°行驶了200 km到达C点,又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量;
(2)求.
1.准确画出向量的方法和注意事项
(1)方法
①确定向量的起点.
②根据运动方向确定向量的方向,并根据向量的大小确定向量的终点.
(2)注意事项
用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和终点,三者缺一不可.
2.向量的常见应用
(1)相等向量的应用
利用向量的相等,可以证明线段相等或直线平行,但在证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.
(2)平行向量的应用
用平行向量可以证明直线平行和三点共线,证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.
【跟踪训练】
题15.如图所示,在四边形ABCD中,,N,M分别是AD,BC上的点,且.
求证: .
【证明】因为,所以,且AB∥CD,所以四边形ABCD是平行
四边形.所以,且DA∥CB.
又因为与的方向相同,所以.
同理可证四边形CNAM是平行四边形,所以.
因为,
所以,DN∥MB,即与的模相等且方向相同,所以.
【补偿训练】
题16.如图所示的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格中有定点A,点
C为小正方形的顶点,且,画出所有可能的向量.
【解析】画出所有的向量,如图:
课堂检测·素养达标
题17.如图,在▱ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,图中与平行的向量的个数
为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.图中与平行的向量为共3个.
题18.下列说法中正确的是( )
A.若,则
B.模为0的向量的方向是不确定的
C.向量就是有向线段
D.任意两个单位向量的方向相同
【解析】选B.与方向不同但模相等时, ,故A错误;模为0的向量为零向量,
零向量的方向是不确定的,B正确;有向线段是向量的几何表示,是个图形,而向量是带方向的量,不是有向线段,C错误;任意两个单位向量的长度相等,但方向不一定相同,D错误.
题19.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB和AC边的中点,则下列结论正确的
是( )
A.和共线B.和共线
C.和共线D.和共线
【解析】选A.因为点D,E分别是AB和AC边的中点,所以DE∥BC,所以和共线;选项B,C,D中的向量不共线.
题20.给出下列几种说法:
①若A,B,C三点共线,则;
②任一非零向量都可以平行移动;
③长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量.其中说法正确的是________.(填序号)
【解析】①正确.由A,B,C三点共线可知, 与方向相同或相反,所以;
②正确.方向相同且长度相等的两个向量是相等向量,这说明任一非零向量都可以平行移动;
③错误.方向相反的两个向量是共线向量.
答案:①②
题21.在如图所示的坐标纸(每个方格的边长均为1)中,用直尺和圆规画出下列向量.
(1) ,点A在点O正西方向;
(2) ,点B在点O北偏西45°方向;
(3) ,点C在点O南偏东60°方向.
【解析】如图所示:
定义
方向__________或__________的非零向量叫作平行向量.
规定:__________与任一向量平行.任一组平行向量
都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也
叫作__________向量.
表示方法
向量与平行,记作_______________
对于任意向量,都有.
与的夹角θ
与的关系
0
与__________
π
与__________
与_________,记作________
定义
与向量长度__________,方向__________的向量,叫作的相反向量,
记作___________
规定
零向量的相反向量仍是零向量
结论
和互为相反向量,于是-(-)=__________
______
如果互为相反向量,那么______
四步
内容
理解
题意
条件:从A点出发,向西行驶100 km到达B点,向北偏西40°行驶200 km到达C点,向东行驶100 km到达D点.结论:(1)作出向量;(2)求.
思路
探求
(1)根据题意作出向量即可.(2)先证四边形ABCD为平行四边形,再求.
书写
表达
(1)向量,如图所示.
(2)由题意,易知与方向相反,故与共线.又,所以在四边形ABCD中, .所以四边形
ABCD为平行四边形.所以 km.
注意书写的规范性:①注意向量加箭头;②画图时注意向
量的方向,也就是箭头的方向.
题后
反思
向量有大小和方向,但是起点、终点不是固定的,可以平行移动.
定义
方向__相同___或__相反___的非零向量叫作平行向量.
规定:___零向量____与任一向量平行.任一组平行向量
都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也
叫作__共线___向量.
表示方法
向量与平行,记作_____
对于任意向量,都有.
与的夹角θ
与的关系
0
与__同向___
π
与__反向___
与__垂直___,记作_____
定义
与向量长度__相等___,方向__相反___的向量,叫作的相反向量,
记作___
规定
零向量的相反向量仍是零向量
结论
和互为相反向量,于是-(-)=__
__
如果互为相反向量,那么__
四步
内容
理解
题意
条件:从A点出发,向西行驶100 km到达B点,向北偏西40°行驶200 km到达C点,向东行驶100 km到达D点.结论:(1)作出向量;(2)求.
思路
探求
(1)根据题意作出向量即可.(2)先证四边形ABCD为平行四边形,再求.
书写
表达
(1)向量,如图所示.
(2)由题意,易知与方向相反,故与共线.又,所以在四边形ABCD中, .所以四边形
ABCD为平行四边形.所以 km.
注意书写的规范性:①注意向量加箭头;②画图时注意向
量的方向,也就是箭头的方向.
题后
反思
向量有大小和方向,但是起点、终点不是固定的,可以平行移动.
1、理解并掌握向量的概念．
2、理解并掌握零向量与单位向量．
3、理解并掌握相等向量与共线向量．
4、理解并掌握向量的应用.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：相等向量与共线向量；
难点：向量的应用．
教学过程
基础知识点
1.向量与数量的概念
(1)既有大小又有_________的量叫作向量.
(2)只有大小没有_________的量叫作数量.
2.有向线段
(1)定义:具有___________的线段叫作有向线段.
(2)表示方法:以A为起点、B为终点的有向线段记作.
(3)长度:线段AB的长度也叫作有向线段的长度,记作_____________.
(4)三个要素:_____________、方向、长度.
【思考】
向量与有向线段的联系和区别是什么?
3.向量的表示方法
(1)用有向线段表示:用有向线段表示的向量记作_________.有向线段的长度
表示向量的__________,有向线段的方向表示向量的_____________.
(2)字母表示法:在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,…表示向量,手写时,可写成带箭头的小写字母，….
4.向量的模及两个特殊向量
(1)向量的模:向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.
(2)零向量:长度为__________的向量叫作零向量,记作__________.
(3)单位向量:长度等于_________个单位长度的向量,叫作单位向量.
【思考】
0与相同吗?0是不是没有方向?
5.相等向量
(1)定义:长度___________且方向_____________的向量叫作相等向量.
(2)表示方法:向量与相等,记作_______________.
6.平行向量(或共线向量)
(1)定义和表示方法
(2)本质:平行向量反映的是两个向量的方向关系,表示两个共线向量的有向线段所在直线可以平行,也可以重合.
(3)应用:
①证明直线与直线平行;②证明三点共线.
【思考】
“向量平行”与“几何中的平行”一样吗?
7.向量的夹角
(1)定义:已知两个__________向量,O是平面上的任意一点,作,
则_____________________叫作向量与的夹角(如图所示).
(2)三种特殊情况:
【思考】
(1)等边△ABC中,向量所成的角是60°吗?
(2)向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同吗?
8.相反向量
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. 两个向量不能比较大小.
B. 任意两个单位向量都相等.
C. 向量与向量是相等向量.
D. 若,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点.
题2.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是( )
A.也可以用表示
B.方向是由M指向N
C.起点是M
D.终点是M
题3.如图所示,四边形ABCD和BCEF都是平行四边形.
(1)写出与相等的向量:________;
(2)写出与共线的向量:________.
关键能力·合作学习
类型一 向量的概念、零向量与单位向量(数学抽象)
【题组训练】
题4.下列说法中正确的是( )
A.0与表示的含义相同
B.长度为0的向量都是零向量
C.单位向量的模等于1 cm
D.单位向量的方向都相同
题5.如图,O为边长为1的正六边形ABCDEF的中心.根据图中标出的向量,回答下列
问题:
(1) 与的长度相等吗?它们是相等向量吗?
(2) 与的长度相等吗?它们平行吗?它们是相等向量吗?
题6.判断下列各命题是否正确.
(1)因为,所以;
(2)因为,所以.
【解题策略】
1.判断一个量是否为向量的两个关键条件
(1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.
2.理解零向量和单位向量应注意的问题
(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.
(2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向.
提醒:两个单位向量的模相等,但这两个单位向量不一定相等.
【补偿训练】题7.出下列说法:
①零向量是没有方向的;
②零向量的长度为0;
③零向量的方向是任意的;
④单位向量的模都相等.
其中正确的是________(填序号).
类型二 相等向量与共线向量(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
角度1 概念辨析
【典例】题8.（多选）有下列说法: 其中,正确的说法是 ( )
A.,则一定不与共线;
B.在▱ABCD中,一定有;
C.若,则;
D.共线向量是在一条直线上的向量.
【变式探究】
题9.若,则.判断此说法是否正确.
角度2 相等向量、平行向量
【典例】
题10.如图所示,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.在图中
所示的向量中:
(1)分别写出与相等的向量;
(2)写出与共线的向量.
【解题策略】
1.相等向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向的.
2.共线向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量.
3.共线向量与相等向量的关系
相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.若两向量相等,则两向量方向相同,模相等;若两向量共线,则两向量方向相同或相反.
【题组训练】
题11.给出以下5个条件:①;②;③与的方向相反;④或;
⑤与都是单位向量.其中能使成立的是________.(填序号)
题12.如图,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形.
(1)找出与相等的向量.
(2)找出与共线的向量.
题13.如图,以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中:
(1)写出与相等的向量;
(2)写出与模相等的向量.
类型三 向量的应用(直观想象、逻辑推理)
【典例】题14.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后改变方向向北偏
西40°行驶了200 km到达C点,又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量;
(2)求.
1.准确画出向量的方法和注意事项
(1)方法
①确定向量的起点.
②根据运动方向确定向量的方向,并根据向量的大小确定向量的终点.
(2)注意事项
用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和终点,三者缺一不可.
2.向量的常见应用
(1)相等向量的应用
利用向量的相等,可以证明线段相等或直线平行,但在证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.
(2)平行向量的应用
用平行向量可以证明直线平行和三点共线,证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.
【跟踪训练】
题15.如图所示,在四边形ABCD中,,N,M分别是AD,BC上的点,且.
求证: .
【补偿训练】
题16.如图所示的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格中有定点A,点
C为小正方形的顶点,且,画出所有可能的向量.
课堂检测·素养达标
题17.如图,在▱ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,图中与平行的向量的个数
为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
题18.下列说法中正确的是( )
A.若,则
B.模为0的向量的方向是不确定的
C.向量就是有向线段
D.任意两个单位向量的方向相同
题19.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB和AC边的中点,则下列结论正确的
是( )
A.和共线B.和共线
C.和共线D.和共线
题20.给出下列几种说法:
①若A,B,C三点共线,则;
②任一非零向量都可以平行移动;
③长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量.其中说法正确的是________.(填序号)
题21.在如图所示的坐标纸(每个方格的边长均为1)中,用直尺和圆规画出下列向量.
(1) ,点A在点O正西方向;
(2) ,点B在点O北偏西45°方向;
(3) ,点C在点O南偏东60°方向.
编号：001 课题:§9.1 向量的概念
目标要求
1、理解并掌握向量的概念．
2、理解并掌握零向量与单位向量．
3、理解并掌握相等向量与共线向量．
4、理解并掌握向量的应用.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：相等向量与共线向量；
难点：向量的应用．
教学过程
基础知识点
1.向量与数量的概念
(1)既有大小又有__方向___的量叫作向量.
(2)只有大小没有__方向___的量叫作数量.
2.有向线段
(1)定义:具有__方向___的线段叫作有向线段.
(2)表示方法:以A为起点、B为终点的有向线段记作.
(3)长度:线段AB的长度也叫作有向线段的长度,记作_____.
(4)三个要素:__起点___、方向、长度.
【思考】
向量与有向线段的联系和区别是什么?
提示:(1)有向线段是表示向量的一种图形.
(2)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,这两个向
量就是相同的向量.
(3)有向线段有起点、长度和方向三个要素,起点不同,尽管长度和方向相同,也
是不同的有向线段.
3.向量的表示方法
(1)用有向线段表示:用有向线段表示的向量记作___.有向线段的长度
表示向量的__大小___,有向线段的方向表示向量的__方向___.
(2)字母表示法:在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,…表示向量,手写时,可写成带箭头的小写字母，….
4.向量的模及两个特殊向量
(1)向量的模:向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.
(2)零向量:长度为_零__的向量叫作零向量,记作__.
(3)单位向量:长度等于_1_个单位长度的向量,叫作单位向量.
【思考】
0与相同吗?0是不是没有方向?
提示: 0与不同,0是一个实数, 是一个向量,且||=0. 有方向,其方向是任意的.
5.相等向量
(1)定义:长度__相等___且方向___相同__的向量叫作相等向量.
(2)表示方法:向量与相等,记作____.
6.平行向量(或共线向量)
(1)定义和表示方法
(2)本质:平行向量反映的是两个向量的方向关系,表示两个共线向量的有向线段所在直线可以平行,也可以重合.
(3)应用:
①证明直线与直线平行;②证明三点共线.
【思考】
“向量平行”与“几何中的平行”一样吗?
提示:向量平行与几何中的直线平行不同,向量平行包括所在直线重合的情况,
故也称向量共线.
7.向量的夹角
(1)定义:已知两个__非零___向量,O是平面上的任意一点,作,
则_______叫作向量与的夹角(如图所示).
(2)三种特殊情况:
【思考】
(1)等边△ABC中,向量所成的角是60°吗?
提示:向量所成的角是120°.
(2)向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同吗?
提示:向量的夹角和直线的夹角范围是不同的,它们分别是[0,π]和[0, ].
8.相反向量
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. 两个向量不能比较大小.
B. 任意两个单位向量都相等.
C. 向量与向量是相等向量.
D. 若,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点.
【答案】选BCD
提示:A√. 向量既有大小，还有方向，所以两个向量不能比较大小.
B×.任意两个单位向量只是长度相等,方向不一定相同,故不一定相等.
C×.向量与向量方向相反,不是相等向量.
D×.若,则A,B,C,D也可能落在同一条直线上.
故选BCD.
题2.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是( )
A.也可以用表示
B.方向是由M指向N
C.起点是M
D.终点是M
【解析】选D.根据向量的表示方法判断即可.
题3.如图所示,四边形ABCD和BCEF都是平行四边形.
(1)写出与相等的向量:________;
(2)写出与共线的向量:________.
答案:(1) (2)
关键能力·合作学习
类型一 向量的概念、零向量与单位向量(数学抽象)
【题组训练】
题4.下列说法中正确的是( )
A.0与表示的含义相同
B.长度为0的向量都是零向量
C.单位向量的模等于1 cm
D.单位向量的方向都相同
【解析】选B.0与表示的含义是不同的.0表示数量,但表示零向量,其中.
因此A错误;由零向量的定义知B正确;单位向量的模等于1个单位长度,而不是具
体的1 cm,因此C错误;单位向量的方向要因具体情况而定,因此D错误.
题5.如图,O为边长为1的正六边形ABCDEF的中心.根据图中标出的向量,回答下列
问题:
(1) 与的长度相等吗?它们是相等向量吗?
(2) 与的长度相等吗?它们平行吗?它们是相等向量吗?
【解析】(1)与的长度相等,都是1,
即,但与不是相等向量.
(2) ,且,但与不是相等向量,因为与的方向
相反.
题6.判断下列各命题是否正确.
(1)因为,所以;
(2)因为,所以.
【解析】(1)不正确. 表示以A为起点,B为终点,方向从A指向B; 表示以B为
起点,A为终点,方向从B指向A;虽然,但与的方向不同.
(2)不正确.向量是既有大小又有方向的量,而数量只有大小没有方向,故.
【解题策略】
1.判断一个量是否为向量的两个关键条件
(1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.
2.理解零向量和单位向量应注意的问题
(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.
(2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向.
提醒:两个单位向量的模相等,但这两个单位向量不一定相等.
【补偿训练】题7.出下列说法:
①零向量是没有方向的;
②零向量的长度为0;
③零向量的方向是任意的;
④单位向量的模都相等.
其中正确的是________(填序号).
【解析】由零向量的方向是任意的,知①错误,③正确;由零向量的定义知②正确;由单位向量的模是1,知④正确.
答案:②③④
类型二 相等向量与共线向量(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
角度1 概念辨析
【典例】题8.（多选）有下列说法: 其中,正确的说法是 ( )
A.,则一定不与共线;
B.在▱ABCD中,一定有;
C.若,则;
D.共线向量是在一条直线上的向量.
【思路导引】依据相等向量和共线向量的定义逐个判断.要特别注意向量共线与平面几何中多点共线的区别.
【答案】BC
【解析】对于A,两个向量不相等,可能是长度不相等,但方向相同或相反,所以与有共线的可能,故A不正确;对于B,在▱ABCD中, ,与平行且方向相同,所以,故B正确;对于C, ,则,且与方向相同; ,则,且与方向相同,所以与方向相同且模相等,故,故C正确;对于D,共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故D不正确.
故选BC.
【变式探究】
题9.若,则.判断此说法是否正确.
【解析】因为当时, 可以是任意向量,故不一定平行;只有当时,
才有,则.
角度2 相等向量、平行向量
【典例】
题10.如图所示,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.在图中
所示的向量中:
(1)分别写出与相等的向量;
(2)写出与共线的向量.
【思路导引】(1)找与(或)长度相等且方向相同的向量;
(2)找与方向相同或相反的向量.
【解析】(1)因为,且与的方向相同,所以与相等的向量是.同理,与相等的向量是.
(2)因为AO∥DE∥BF,A,O,C三点共线,
所以与共线的向量是.
【解题策略】
1.相等向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向的.
2.共线向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量.
3.共线向量与相等向量的关系
相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.若两向量相等,则两向量方向相同,模相等;若两向量共线,则两向量方向相同或相反.
【题组训练】
题11.给出以下5个条件:①;②;③与的方向相反;④或;
⑤与都是单位向量.其中能使成立的是________.(填序号)
【解析】相等向量一定是共线向量,①能使;方向相同或相反的向量一定是共线向量,③能使;零向量与任一向量平行,④成立.
答案:①③④
题12.如图,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形.
(1)找出与相等的向量.
(2)找出与共线的向量.
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形知, 与的长度相等且方向相同,所以与相等的向量为.
(2)由题干图可知, 与方向相同, 与方向相
反,所以与共线的向量有.
题13.如图,以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中:
(1)写出与相等的向量;
(2)写出与模相等的向量.
【解析】(1)与相等的向量为,与相等的向量为.
(2)与模相等的向量为.
类型三 向量的应用(直观想象、逻辑推理)
【典例】题14.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后改变方向向北偏
西40°行驶了200 km到达C点,又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量;
(2)求.
1.准确画出向量的方法和注意事项
(1)方法
①确定向量的起点.
②根据运动方向确定向量的方向,并根据向量的大小确定向量的终点.
(2)注意事项
用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和终点,三者缺一不可.
2.向量的常见应用
(1)相等向量的应用
利用向量的相等,可以证明线段相等或直线平行,但在证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.
(2)平行向量的应用
用平行向量可以证明直线平行和三点共线,证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点.
【跟踪训练】
题15.如图所示,在四边形ABCD中,,N,M分别是AD,BC上的点,且.
求证: .
【证明】因为,所以,且AB∥CD,所以四边形ABCD是平行
四边形.所以,且DA∥CB.
又因为与的方向相同,所以.
同理可证四边形CNAM是平行四边形,所以.
因为,
所以,DN∥MB,即与的模相等且方向相同,所以.
【补偿训练】
题16.如图所示的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格中有定点A,点
C为小正方形的顶点,且,画出所有可能的向量.
【解析】画出所有的向量,如图:
课堂检测·素养达标
题17.如图,在▱ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,图中与平行的向量的个数
为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.图中与平行的向量为共3个.
题18.下列说法中正确的是( )
A.若,则
B.模为0的向量的方向是不确定的
C.向量就是有向线段
D.任意两个单位向量的方向相同
【解析】选B.与方向不同但模相等时, ,故A错误;模为0的向量为零向量,
零向量的方向是不确定的,B正确;有向线段是向量的几何表示,是个图形,而向量是带方向的量,不是有向线段,C错误;任意两个单位向量的长度相等,但方向不一定相同,D错误.
题19.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB和AC边的中点,则下列结论正确的
是( )
A.和共线B.和共线
C.和共线D.和共线
【解析】选A.因为点D,E分别是AB和AC边的中点,所以DE∥BC,所以和共线;选项B,C,D中的向量不共线.
题20.给出下列几种说法:
①若A,B,C三点共线,则;
②任一非零向量都可以平行移动;
③长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量.其中说法正确的是________.(填序号)
【解析】①正确.由A,B,C三点共线可知, 与方向相同或相反,所以;
②正确.方向相同且长度相等的两个向量是相等向量,这说明任一非零向量都可以平行移动;
③错误.方向相反的两个向量是共线向量.
答案:①②
题21.在如图所示的坐标纸(每个方格的边长均为1)中,用直尺和圆规画出下列向量.
(1) ,点A在点O正西方向;
(2) ,点B在点O北偏西45°方向;
(3) ,点C在点O南偏东60°方向.
【解析】如图所示:
定义
方向__________或__________的非零向量叫作平行向量.
规定:__________与任一向量平行.任一组平行向量
都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也
叫作__________向量.
表示方法
向量与平行,记作_______________
对于任意向量,都有.
与的夹角θ
与的关系
0
与__________
π
与__________
与_________,记作________
定义
与向量长度__________,方向__________的向量,叫作的相反向量,
记作___________
规定
零向量的相反向量仍是零向量
结论
和互为相反向量,于是-(-)=__________
______
如果互为相反向量,那么______
四步
内容
理解
题意
条件:从A点出发,向西行驶100 km到达B点,向北偏西40°行驶200 km到达C点,向东行驶100 km到达D点.结论:(1)作出向量;(2)求.
思路
探求
(1)根据题意作出向量即可.(2)先证四边形ABCD为平行四边形,再求.
书写
表达
(1)向量,如图所示.
(2)由题意,易知与方向相反,故与共线.又,所以在四边形ABCD中, .所以四边形
ABCD为平行四边形.所以 km.
注意书写的规范性:①注意向量加箭头;②画图时注意向
量的方向,也就是箭头的方向.
题后
反思
向量有大小和方向,但是起点、终点不是固定的,可以平行移动.
定义
方向__相同___或__相反___的非零向量叫作平行向量.
规定:___零向量____与任一向量平行.任一组平行向量
都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也
叫作__共线___向量.
表示方法
向量与平行,记作_____
对于任意向量,都有.
与的夹角θ
与的关系
0
与__同向___
π
与__反向___
与__垂直___,记作_____
定义
与向量长度__相等___,方向__相反___的向量,叫作的相反向量,
记作___
规定
零向量的相反向量仍是零向量
结论
和互为相反向量,于是-(-)=__
__
如果互为相反向量,那么__
四步
内容
理解
题意
条件:从A点出发,向西行驶100 km到达B点,向北偏西40°行驶200 km到达C点,向东行驶100 km到达D点.结论:(1)作出向量;(2)求.
思路
探求
(1)根据题意作出向量即可.(2)先证四边形ABCD为平行四边形,再求.
书写
表达
(1)向量,如图所示.
(2)由题意,易知与方向相反,故与共线.又,所以在四边形ABCD中, .所以四边形
ABCD为平行四边形.所以 km.
注意书写的规范性:①注意向量加箭头;②画图时注意向
量的方向,也就是箭头的方向.
题后
反思
向量有大小和方向,但是起点、终点不是固定的,可以平行移动.
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