北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数本章综合与测试单元测试习题

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数本章综合与测试单元测试习题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{－1,1}，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)<2x＋1<4，x∈Z))))，则M∩N为( )
A．{－1,1} B．{－1}
C．{0} D．{－1,0}
2．在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是( )
A．(－x)0.5＝－eq \r(x)(x≠0) B.eq \r(6,y2)＝y (y<0)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)))＝eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))3)(xy≠0) D．x＝－eq \r(3,x)
3．已知关于x的不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－4>3－2x，则该不等式的解集为( )
A．[4，＋∞) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4) D．(－4,1]
4．下列函数中，值域为R＋的是( )
A．y＝5 B．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1－x
C．y＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1) D．y＝eq \r(1－2x)
5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·2x，x≥0，,2－x，x<0，))若f(f(－1))＝1，则a＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C．1 D．2
6．已知a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))，c＝π，则下列不等式正确的是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．c>b>a
7．已知函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)，若f(x)是偶函数，记a＝m，若f(x)是奇函数，记a＝n，则m＋2n的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．－1
8．在下图中，二次函数y＝bx2＋ax与指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))x的图象只可能是( )
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．若函数y＝ax＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有( )
A．a>1 B．0C．b>1 D．b≤0
10．已知函数f(x)＝3x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，则f(x)( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．在R上是增函数 D．在R上是减函数
11．设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是( )
A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝eq \f(fx,fy)
C．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q) D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N＋)
12．已知3a＝5b＝15，则a，b可能满足的关系是( )
A．a＋b>4 B．ab>4
C．(a－1)2＋(b－1)2>2 D．a2＋b2<8
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)是指数函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(5),25)，则f(x)＝________.
14．函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))的单调递减区间是________，值域为________．
15．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
16．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－1，x<1，,2x，x≥1，))则满足f[f(a)]＝2f(a)的a的取值范围是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：
(1)eq \f(1,\r(2)－1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))－0.5＋eq \r(4,\r(2)－e4)；
(2)若3a＝4b＝6c，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,2b)－eq \f(1,c).
18．(本小题满分12分)
函数y＝F(x)的图象如图所示，该图象由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xb“拼接”而成．
(1)求F(x)的解析式；
(2)比较ab与ba的大小；
(3)若(m＋4)－b<(3－2m)－b，求m的取值范围．
19．(本小题满分12分)设a>0，f(x)＝eq \f(ex,a)＋eq \f(a,ex)是R上的偶函数．
(1)求a的值；
(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
20．(本小题满分12分)某城市现有人口总数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出x年后该城市的人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万)；
(3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万(精确到1年)．[(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.21]
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)试确定f(x)；
(2)若不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)))x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
22．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝eq \f(2x,4x＋1).
(1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；
(2)求f(x)的值域．
第三章 单元质量评估卷
1．解析：∵eq \f(1,2)<2x＋1<4，∴－1∴N＝{－1,0}，∴M∩N＝{－1}．
答案：B
2．解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))＝eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))3)(xy≠0)，故选C.
答案：C
3．解析：依题意可知，原不等式可转化为3－x＋4>3－2x，由于指数函数y＝3x为增函数，故－x＋4>－2x，x>－4，故选B.
答案：B
4．解析：选项A中函数的值域为(0,1)∪(1，＋∞)，选项C中函数的值域为[0，＋∞)，选项D中函数的值域为[0,1)，故选B.
答案：B
5．解析：根据题意可得f(－1)＝21＝2，∴f(f(－1))＝f(2)＝a·22＝1，解得a＝eq \f(1,4)，故选A.
答案：A
6．解析：因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在R上单调递减，且0b>a.又因为y＝πx在R上单调递增，且eq \f(1,2)>0，所以c>1.所以c>b>a.故选D.
答案：D
7．解析：当f(x)是偶函数时，f(x)＝f(－x)，即x(ex＋ae－x)＝－x·(e－x＋aex)，即(1＋a)(ex＋e－x)x＝0①.因为①式对任意实数x都成立，所以a＝－1，即m＝－1.
当f(x)是奇函数时，f(x)＝－f(－x)，即x(ex＋ae－x)＝x(e－x＋aex)，即 (1－a)(ex－e－x)x＝0②.
因为②式对任意实数x都成立，所以a＝1，即n＝1，所以m＋2n＝1.
答案：B
8．解析：由二次函数常数项为0可知函数图象过原点，排除A，D；B，C中指数函数单调递减，因此eq \f(a,b)∈(0,1)，因此二次函数图象的对称轴x＝－eq \f(a,2b)<0.故选C.
答案：C
9．解析：由题意当y＝ax＋(b－1)不过第二象限时，其为增函数，∴a>1且1＋b－1≤0，即a>1且b≤0，故选AD.
答案：AD
10．解析：f(－x)＝3－x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－x＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x))＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，A正确；又y＝3x为增函数，g＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x为减函数，所以f(x)＝3x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x为增函数，C正确，故选A、C.
答案：AC
11．解析：因为f(x＋y)＝ax＋y，f(x)f(y)＝ax·ay＝ax＋y，所以A正确；f(x－y)＝ax－y＝eq \f(fx,fy)，所以B正确；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，所以C正确；[f(xy)]n＝(axy)n＝axyn＝(ax)n(ay)＝[f(x)]nf(y)，所以D错误，故选ABC.
答案：ABC
12．解析：由3a＝5b＝15，得(3a)b＝15b，(5b)a＝15a，∴3ab＝15b,5ab＝15a，∴3ab·5ab＝15b·15a，即15ab＝15a＋b，∴a＋b＝ab，又a，b为不相等的正数，∴a＋b>2eq \r(ab)，∴ab>2eq \r(ab)，即ab>4，故A，B正确；(a－1)2＋(b－1)2>2等价于a2＋b2>2(a＋b)，又a＋b＝ab，则a2＋b2>2ab，故C正确；因为a2＋b2>2ab，ab>4，∴a2＋b2>8，故D错误．故选A、B、C.
答案：ABC
13．解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(5),25)得a＝5＝5，∴a＝5，∴f(x)＝5x.
答案：5x
14．解析：令u＝x2－2x，其单调递增区间为[1，＋∞)，根据函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))u是定义域上的减函数知，函数f(x)的单调递减区间就是[1，＋∞)．由u≥1，得0答案：[1，＋∞) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))
15．解析：令t＝|x－a|，则t＝|x－a|在区间[a，＋∞)上单调递增，而y＝et在R上为增函数，所以要使函数f(x)＝e|x－a|在[1，＋∞)上单调递增，则有a≤1，所以a的取值范围是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
16．解析：因y＝2x与y＝3x－1在(－∞，1)上没有公共点，故由f[f(a)]＝2f(a)可得f(a)≥1，故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<1,3a－1≥1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥1,2a≥1，))解得a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))
17．解析：(1)原式＝eq \r(2)＋1－1＋eq \f(2,3)＋e－eq \r(2)＝eq \f(2,3)＋e.
(2)设3a＝4b＝6c＝m，则m>0.
∴a＝lg3m，b＝lg4m，c＝lg6m.
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,2b)－eq \f(1,c)＝lgm3＋eq \f(1,2)lgm4－lgm6
＝lgm3＋lgm2－lgm6
＝lgmeq \f(3×2,6)＝lgm1＝0.
18．解析：(1)依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a\f(1,4)＝\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))b＝\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,16),b＝\f(1,2)，))
所以F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))x，x≤\f(1,4),x\f(1,2)，x>\f(1,4).))
(2)因为ab＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2，ba＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，
指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x单调递减，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2(3)由(m＋4) <(3－2m) ，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋4>0,3－2m>0,m＋4>3－2m，))
解得－eq \f(1,3)19．解析：(1)因为f(x)＝eq \f(ex,a)＋eq \f(a,ex)是R上的偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，即eq \f(ex,a)＋eq \f(a,ex)＝eq \f(e－x,a)＋eq \f(a,e－x)，
故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－a))(ex－e－x)＝0，又ex－e－x不可能恒为0，
所以当eq \f(1,a)－a＝0时，f(x)＝f(－x)恒成立，故a＝1.
(2)证明：在(0，＋∞)上任取x1因为f(x1)－f(x2)＝ex1＋eq \f(1,ex1)－ex2－eq \f(1,ex2)
＝(ex1－ex2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,ex1)－\f(1,ex2)))＝(ex1－ex2)＋(ex2－ex1)·eq \f(1,ex1ex2)＝eq \f(ex1－ex2ex1ex2－1,ex1ex2)，
又e>1，x1>0，x2>0，所以10，故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)20．解析：(1)1年后该城市人口总数为
y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；
3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)3；…；
x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x，x∈N＋.
(2)10年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万)．
(3)令y＝120，则有100×(1＋1.2%)x＝120，
解方程可得15故大约16年后该城市人口总数将达到120万．
21．解析：(1)因为f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b·a＝6， ①,b·a3＝24， ②))
②÷①得a2＝4，又a>0且a≠1，所以a＝2，b＝3，
所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)))x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立可化为m≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在x∈(－∞，1]时恒成立．
令g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，
则g(x)在(－∞，1]上单调递减，
所以m≤g(x)min＝g(1)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,6)，
即实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,6))).
22．解析：(1)当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)．
∵函数f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－eq \f(2－x,4－x＋1)＝－eq \f(2x,1＋4x).
又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴2f(0)＝0，f(0)＝0.
故当x∈(－1,1)时，f(x)的解析式为
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2x,4x＋1)，x∈0，1,0，x＝0，,－\f(2x,4x＋1)，x∈－1，0.))
(2)因为f(x)＝eq \f(2x,1＋4x)在(0,1)上单调递减，从而由奇函数的对称性知f(x)在(－1,0)上单调递减．
∴当0即f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(1,2)))；
当－1即f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(2,5))).
而f(0)＝0，故函数f(x)在(－1,1)上的值域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(1,2)))∪{0}∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(2,5))).