六年级下册数学教案-暑假培优：6.4数不胜数全国通用

这是一份六年级下册数学教案-暑假培优：6.4数不胜数全国通用，共5页。教案主要包含了情景体验，总结等内容，欢迎下载使用。

学习目标:
通过回顾因数、倍数的概念，分解质因数的方法，进一步理解因数、倍数、分解质因数的相关知识。
通过乘法原理，探究如何求一个数的因数的个数，一个数所有因数的和的计算方法。
掌握并理解一个数因数的个数以及所有因数的和的计算公式。
培养学生自主探究的学习方法，让学生养成自主学习的学习习惯，培养学生学习数学的兴趣。
教学重点:
探究如何求一个数的因数的个数，一个数所有因数的和的计算方法。
掌握并理解一个数因数的个数以及所有因数的和的计算公式。
教学难点：
探究如何求一个数的因数的个数，一个数所有因数的和的计算方法。
教学过程：
一、情景体验
师：同学们，你们还记得什么是因数？什么是倍数吗？
生：两个数相乘，这两个数就叫做积的因数，积就叫做这两个数的倍数。
师：说的很正确。比如2×3=6，那么2、3就是6的因数，6就是2、3的倍数（可以请学生举例说明）。那么如何将一个数分解质因数呢？
生：就是把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来。
生：可以用列举法或者短除法。
师：很好！一般情况下我们会用短除法，比如36=2×2×3×3=22×32（可学生举例说明）。
师：刚刚我们一起回顾了因数、倍数、分解质因数的相关知识，那么请同学们思考一下，36的因数有哪些呢？36一共有多少个因数呢？通过这节课的学习，我们就可以轻松的解决这些问题，那么这节课我们就一起来探究一下因数的个数与因数的和相关的数学问题吧！
板书：因数的个数与因数的和。
思维探索（建立知识模型）
展示例题：
例题1：求360的全部因数的个数。
师：现在我们先用短除法把360分解质因数：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5，那么360的因数有哪些呢？分小组探讨一下，比一比，看哪个小组写的多。（学生列举）
师：有规律的列举因数：1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180、360，共有24个因数。你发现什么规律了吗？
生：因数都是成对成对的，比如1与360,2与180,18与20等，360都可以写成两个因数的乘积。
师：很好。那么列举法会不会太麻烦了呢？有不有更简单的方法呢？
观察发现：360=23×32×51，而360 的因数只能是 2a×3b×5c ,这里的(其中 a,b,c 均是整数,且它们的取值只能是： a 为 0～3,b 为 0～2,c 为 0～1)。
师：同学们还记得排列组合中的乘法原理吗？因为a、b、c的取值是相互独立的，由计数问题中的乘法原理可知，23可以是1、2、4、8这四种情况，那么32呢？51又可以怎么取值呢？
生：32可以是1、3、9这三种情况，51可以取值为1、5两种情况。
师：看来同学们理解能力还是不错的。所以因数的个数为：(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24（个），这种方法是不是更为简单一些呢？（是）
板书：总结：一般的一个自然数N可以唯一地表示成为一些质因数的乘积： N=P1a1P2a2…PKak, 那么N的因数个数就有 ：(a1+1) (a2+1)… (an+1)。
展示例题：
例题2：在1与50之间，只有3个因数的自然数有几个？
师：分析题目，你能理解题目的意思吗？
师：上一个问题中我们发现一个数的因数都是成对成对出现的，都可以写成两个数的乘积，对吗？（对）是不是每一个数的因数的个数都是偶数个呢？（不是）
你能举个例子吗？
生：1、4、81。（请几个学生举例）
师：太棒了！1的因数只有1一个因数；4的因数有1、2、4三个因数；81的因数有1、3、9、27、81五个因数；可以发现它们的因数个数都不是偶数个。同学们发现了这些数有什么特点了吗？
生：他们都是完全平方数。
生：它们都可以写成两个相同因数的积。
师：大家说的都很对！而问题中要求的是只有三个因数的自然数，并且在1到50之间的数。他们又有什么特点呢？
生：符合条件的数应该是一个质数的平方。
师：老师非常喜欢你的答案。只有质数的平方，即这个数可以分解为两个相同质数的乘积，才可以满足它的因数是：1、这个质数、它本身。所以符合条件50以内的数有哪些呢？小组间商量一下，告诉我你们的答案。
生：4、9、25、49。
师：很好，共有四个。
板书：总结：只有三个因数的数的条件为：
假设这个数为N，则N=m2，（m为质数）
思维拓展（知识模型拓展）
展示例题：
例题3：求360的所有因数的和。
师：例题1中我们求出了360所有的因数，在这个问题中，我们要求360所有因数的和，是不是把所有的因数加起来呢？这样是不是很麻烦呢？同学们想不想学习一个更为简单的方法呢？
师：同学们还记得360分解质因数的结果吗？
生：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。
师：很好。我们说过360=23×32×51，而360 的因数只能是 2a×3b×5c ,这里的(其中 a,b,c 均是整数,且它们的取值只能是： a 为 0～3,b 为 0～2,c 为 0～1)。
现在我们假设a=1，即只取一个2的时候，360因数的和可以怎么表示呢？3和5又该怎么取呢？（教师引导学生一起书写）
21×30×50+21×30×51+21×31×50+21×31×51+21×32×50+21×32×51=2×（30+31+32）×（50+51）（详细板书中间的计算过程）
师：现在请同学们自己思考一下，当a取0、2、3的时候，360因数的和又该如何表示呢？（学生自主完成）
20×（30+31+32）×（50+51）；
22×（30+31+32）×（50+51）；
23×（30+31+32）×（50+51）
(20+21+22+23)×(50+51)×(30+31+32)=15×6×13=117
板书：总结：如果把自然数N分解质因数为：
N=P1a1P2a2…Pnan, 那么N的所有因数和就有
(1+P11+P12+…+P1n) (1+P21+P22+…+P2n)… (1+Pn1+Pn2+…+Pnn)。
展示例题：
例题4：一个数是5个2、3个3、2个5、1个7的连乘积，这个数的两位数的因数中，最大的是几？
师：分析题目，我们可以假设这个数是M，则M=25×33×52×7。通过前面的学习，我们可以求出这个数的因数的个数吗？（小组为单位自主完成）
生：共有因数：（5+1）×（3+1）×（2+1）×（1+1）=6×4×3×2=144（个）。
师：真棒！我们可以发现这个数的两位数的因数太多，无法一一找出来比较，那我们该怎么办呢？我们可以从最大的两位数入手试一试。最大的两位数是多少呢？（99=3×3×11）而这个数的质因数中没有11，所以不符合条件，接下来同学们知道怎么做了吗？（学生自主探究，教师总结）
师：98=2×72，不满足；97也不是；96=25×3，满足条件；所以96为其最大的两位数因数。
融汇贯通（知识模型的运用）
展示例题：
例5：把144本作业本平均分成若干份，每份在10到40本之间，共有多少种分法？
师：分析题目，你发现了什么？
生：要把144本作业本平均分，也就是去求144的因数，并且这个因数要满足在10到40之间。
师：很好！144分解质因数是多少呢？
生：144分解质因数:144=2×2×2×2×3×3=24×32。
师：每份的本数要为144的因数，要使每份在10到40本之间，即找到144在10到40之间的因数，现在自己动手试一试，可以枚举一下所有的因数（请同学们自主完成）。
生：共有5中分法：12、16、18、24、36。（教师引导学生总结）
五、总结
通过这节课的学习，你收获了什么呢？