人教版八年级下册17.1 勾股定理精练

这是一份人教版八年级下册17.1 勾股定理精练，共24页。

新人教版八年级下第17章勾股定理练习B卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题（本大题共12小题）
如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
在△ABC中，三个角和三条边分别满足下列条件：
①∠A=∠B，a：c=1：；②a：b：c=1：2：3；③（a+b）2﹣c2=2ab；④a+b=14，ab=48，c=10．其中能证明△ABC是直角三角形的有（　　）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（　　）

A． B． C． D．
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，B的边长为5cm，C的边长为5cm，则正方形D的边长为（　　）

A． cm B．4cm C． cm D．3cm
2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．13 B．19 C．25 D．169
如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（　　）

A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里
若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是（ ）
A． 7cm B． 10cm C． cm D． 12cm
在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（　　）
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是
A．13cm B．cm C．cm D．cm

如图，已知AD是△ABC的高，把三角形纸片ABC折叠，使A点落在D处折痕为EF，则下列结论中错误的是（　　）

A． EF⊥AD B． EF=BC C． DF=AC D． DF=AB
已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），
其中结论正确的个数是（　　）

A．1 B． 2 C． 3 D． 4
二 、填空题（本大题共6小题）
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为　　．

已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（　　）
A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0 C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=0
如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．
（Ⅰ）AE的长等于　　　　　　；
（Ⅱ）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）　　　　　　．

如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是　　　　　　．

如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是　　　　　　米．

如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍　　　　　　放入（填“能”或“不能”）．

三 、解答题（本大题共8小题）
已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．





在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．






张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a=　　　　　　，b=　　　　　　，c=　　　　　　；
猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．




如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A．B．C．D均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以AB为斜边的直角三角形ABE，点E小正方形的顶点上，且△ABE的面积为5；
（2）在方格纸中画出以CD为一边的△CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为4，CF与（1）中所画线段BE平行，连接AF，请直接写出线段AF的长．





已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：2CD2=AD2+DB2．





某校规划在一块长AD为18m，宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮。
（1）如图1，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM:AN=8:9，问通道的宽是多少？
（2）为了建造花坛，要修改（1）中的方案，如图2，将三条通道改为两条通道，纵向的宽度改为横向宽度的2倍，其余四块草坪相同，且每一块草坪均有一边长为8m，这样能在这些草坪建造花坛。如图3，在草坪RPCQ中，已知RE⊥PQ于点E，CF⊥PQ于点F，求花坛RECF的面积。




已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．
（1）求证：AB=BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．









请阅读下列材料：
问题：如图（1），圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：
路线1：高线AB+底面直径BC，如图（1）所示．
路线2：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示．

设路线1的长度为l1，则l1=AB+BC=2+8=10；
设路线2的长度为l2，则l2===；
∵=102﹣（4+16π2）=96﹣16π2=16（6﹣π2）＜0
∴即l1＜l2
所以选择路线1较短．
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）
①此时，路线1：l1=．路线2：l2=．
②所以选择哪条路线较短？试说明理由．
（2）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2cm，高为hcm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．
新人教版八年级下第17章勾股定理练习B卷答案解析
一 、选择题
1. 分析：根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AB=5，AD=3，
∴BD==4，
∴BC=2BD=8，
故选C．
2. 分析： 根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形分别进行分析即可．
解：①∵∠A=∠B，
∴a：b：c=1：1：，
∵12+12=（）2，
∴△ABC是直角三角形；
②∵12+22≠32，
∴△ABC不是直角三角形；
③∵（a+b）2﹣c2=2ab，
∴a2+2ab+b2﹣c2=2ab，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形；
④∵a+b=14，
∴a2+2ab+b2=196，
∵ab=48，
∴a2+b2=100=c2，
∴△ABC是直角三角形．
能证明△ABC是直角三角形的有①③④，共3个，
故选：C．
3.分析：直接利用勾股定理得出OC的长，进而得出答案．
解：如图所示：连接OC，
由题意可得：OB=2，BC=1，
则AC==，
故点M对应的数是：．
故选：B．

4. 分析：根据勾股定理的几何意义，SA+SB+SC+SD=S最大正方形．
解：设正方形D的边长为x．则6×6+5×5+5×5+x2=100；
解得x=．
故选A．
5. 分析：根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．
解：根据题意得：c2=a2+b2=13，4×ab=13﹣1=12，即2ab=12，
则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25，
故选C
6. 分析：根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．
解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
故AB=2AP=60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP==30（海里）
故选：D．
7. 分析：设直角三角形的两条直角边为a、b，由面积为6cm2，得出ab=6，进一步由勾股定理得出a2+b2=52，两个式子联立求得a+b即可算出结果．
解：设直角三角形的两条直角边为a、b，
则ab=6，则2ab=24，
又a2+b2=52，
则（a+b）2=49，
a+b=7，
所以该直角三角形的周长是7+5=12cm．
故选：D．
8. 分析：分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形ABC与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长．
解：根据题意画出图形，如图所示，
如图1所示，AB=10，AC=2，AD=6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD==8，CD==2，
此时BC=BD+CD=8+2=10；
如图2所示，AB=10，AC=2，AD=6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD==8，CD==2，此时BC=BD﹣CD=8﹣2=6，
则BC的长为6或10．
故选C．

9. 分析：根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．
解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC===10，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DF∥BM，DE=BC=3，
∴∠EFC=∠FCM，
∵∠FCE=∠FCM，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EC=EF=AC=5，
∴DF=DE+EF=3+5=8．
故选B．

10.分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B=
=
=13（Cm）．
故选：A．

11. 分析： 如图，证明EF⊥AD，且平分AD；证明EF∥BC，得到AF=FC，AE=BE，进而得到EF=BC；证明DF=AC，即可解决问题．
解：如图，由题意得：EF⊥AD，且平分AD，
∵BC⊥AD，
∴EF∥BC，AF=FC，AE=BE，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF=BC；而点F为AC的中点，
∴DF=AC，
综上所述，选项A．B、C均正确．
故选D．

12. 分析：①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．
解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，本选项正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
④∵BD⊥CE，
∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴DE=AD，即DE2=2AD2，
∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2，
而BD2≠2AB2，本选项错误，
综上，正确的个数为3个．
故选C
二 、填空题
13.分析：根据题意首先取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大，进而求出答案．
解：如图所示：取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大，在
Rt△A1OB1中，∵A1B1=AB=4，点OE为斜边中线，
∴OE=B1E=A1B1=2，
又∵B1C1=BC=2，
∴C1E==2，
∴点C到原点的最大距离为：OE+C1E=2+2．
故答案为：2+2．

14. 分析：如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2=（n﹣m）2，整理即可求解
解：如图，
m2+m2=（n﹣m）2，
2m2=n2﹣2mn+m2，
m2+2mn﹣n2=0．
故选：C．

15. 分析：（Ⅰ）根据勾股定理即可得到结论；
（Ⅱ）取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．
解：（Ⅰ）AE==；
故答案为：；
（Ⅱ）如图，AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．
故答案为：AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．

16. 分析：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．构建矩形AEFD和直角三角形，通过含30度角的直角三角形的性质求得AE的长度，然后由三角形的面积公式进行解答即可．
解：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．设AB=AD=x．
又∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形形，
∴AD=EF=x．
在Rt△ABE中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，
∴BE=AB=x，
∴DF=AE==x，
在Rt△CDF中，∠FCD=30°，则CF=DF•cot30°=x．
又∵BC=6，
∴BE+EF+CF=6，即x+x+x=6，
解得 x=2
∴△ACD的面积是： AD•DF=x×x=×22=，
故答案为：．

17. 分析： 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2=22+[（0.2+0.3）×3]2=2.52，
解得x=2.5．

18. 分析：在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较．
解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，
根据题意，得x2=502+402+302=5000，
702=4900，
因为4900＜5000，所以能放进去．
故答案是：能．

三 、解答题
19. 分析：过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，利用△ABC的面积求出AD，再求出∠ABD=45°，然后利用等腰直角三角形的性质求出AB、BD，再求出CD，利用勾股定理列式求解即可得到AC．
解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，
在△ABC中，∵S△ABC=3，BC=2，
∴AD===3，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=180°﹣135°=45°，
∴AB=AD=3，
BD=AD=3，
在Rt△ADC中，CD=2+3=5，
由勾股定理得，AC===．

20. 分析：先证明△DEC是等边三角形，再在RT△DEC中求出EF即可解决问题．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∴△EDC是等边三角形，
∴DE=DC=2，
在RT△DEC中，∵∠DEC=90°，DE=2，
∴DF=2DE=4，
∴EF===2．

21. 分析： （1）结合表中的数据，观察a，b，c与n之间的关系，可直接写出答案；
分别求出a2+b2，c2，比较即可．
解：（1）由题意有：n2﹣1，2n，n2+1；
猜想为：以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
证明：∵a=n2﹣1，b=2n；c=n2+1
∴a2+b2=（n2﹣1）2+2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2
而c2=（n2+1）2
∴根据勾股定理的逆定理可知以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
22.分析：（1）根据题意可知：AB=，因为、、恰好构成以AB为斜边的直角三角形，由此画出图形即可；
（2）根据题意可知：CD=，以CD为底，高为的三角形面积为4，由此画出图形，根据勾股定理求出AF的长即可．
解：（1）作图如下：

（2）AF==5．
23.分析：（1）本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，则DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD．
（2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，AE=DB，从而求出AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2．
证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△AEC≌△BDC（SAS）；
（2）∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45度．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AD2+AE2=DE2．
由（1）知AE=DB，
∴AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2．
24. 分析：（1）设通道的狂为xm，AM=8ym，由题意可得，解方程组即得；
（2）由已知可确定RQ的长为8，从而可得RP=6，由四边形RPCQ是矩形，可得PQ=10，然后利用矩形的面积的不同表示法求出RE的长，由勾股定理可求得PE的长，从而可得EF的长，即可得面积．
解：（1）设通道的宽为xm，AM=8ym，
∵AM：AN=8：9，
∴AN=9y，
∴，
解得：．
答：通道的宽是1m；
（2）∵四块相同草坪中的每一块，有一条边长为8m，若RP=8，则AB＞13，不合题意，
∴RQ=8，
∴纵向通道的宽为2m，横向通道的宽为1m，
∴RP=6，
∵RE⊥PQ，四边形RPCQ是长方形，
∴PQ=10，
∴RE×PQ=PR×QR=6×8，
∴RE=4.8，
∵RP2=RE2+PE2，
∴PE=3.6，
同理可得：QF=3.6，
∴EF=2.8，
∴S四边形RECF=4.8×2.8=13.44，
即花坛RECF的面积为13.44m2．，
25. 分析：（1）根据勾股定理AB2+BC2=AC2，得出AB2+BC2=2AB2，进而得出AB=BC；
（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出AE=BF，进而证明结论．
证明：（1）连接AC．
∵∠ABC=90°，
∴AB2+BC2=AC2．
∵CD⊥AD，
∴AD2+CD2=AC2．
∵AD2+CD2=2AB2，
∴AB2+BC2=2AB2，
∴BC2=AB2，
∵AB＞0，BC＞0，
∴AB=BC．
（2）过C作CF⊥BE于F．
∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，
∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，
∴四边形CDEF是矩形．
∴CD=EF．
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴在△BAE与△CBF中
∴，
∴△BAE≌△CBF．（AAS）
∴AE=BF．
∴BE=BF+EF=AE+CD．

26. 分析：（1）①l1的长度等于AB的长度与BC的长度的和；l2的长度的平方等于AB的长度的平方与底面周长的一半的平方的和，据此求出l2的长度即可；
②比较出、的大小关系，进而比较出l1、l2的大小关系，判断出选择哪条路线较短即可；
（2）当圆柱的底面半径为2cm，高为hcm时，l1=4+h，l2=，据此求出的值是多少，然后分类讨论，根据h的值判断出l1、l2的大小关系，进而判断出选择哪条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短即可．
解：（1）①l1=4+2×2=8，
l2==；
②∵=82﹣（16+4π2）=48﹣4π2=4（12﹣π2）＞0，
∴，即l1＞l2，
所以选择路线2较短．
（2）当圆柱的底面半径为2cm，高为hcm时，
路线1：l1=4+h，路线2：l2=，
∵=（4+h）2﹣（h2+4π2）
=16+8h+h2﹣h2﹣4π2
=16+8h﹣4π2
=4（2h+4﹣π2）
∴当2h+4﹣π2=0时，即h=时，l1=l2，两条路线一样长，选择哪条路线都可以；
当2h+4﹣π2＞0时，即h＞时，l1＞l2，选择路线2较短；
当2h+4﹣π2＜0时，即h＜时，l1＜l2，选择路线1较短．
故答案为：8、．