人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示教学设计及反思

专题09函数的概念及其表示（讲）

1．函数的概念

[知识点拨]　(1)对数集的要求：集合A、B为非空数集．

(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．

(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．

(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．

(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．

2．区间及有关概念

(1)一般区间的表示．

设a，b∈R，且a<b，规定如下：

(2)特殊区间的表示.

[知识点拨]　(1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．

(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．

(3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．

3.函数的表示法

[知识点拨]　三种表示法的优缺点如下表：

4. 分段函数

所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．

[知识点拨]　分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

1．设函数，则______.

【答案】2

【解析】

,

.

故答案为:.
2．用区间表示数集{x|2<x≤4}=____________．

【答案】（2，4]

【解析】

数集{x|2<x≤4}=（2，4]，

故答案为（2，4]．

3．设，则＝________.

【答案】 (，且)

【解析】

∵，∴.

由于中，∴中，即，∴，且，

故答案为： (，且)
4．设函数则的值为________．

【答案】

【解析】

因为函数，

所以，

则，故答案为.
5．函数的定义域是________.

【答案】

【解析】

由题意可得，解得或，

因此，函数的定义域是.

故答案为：.

重要考点一：函数概念的理解

【典型例题】函数的图象与直线的公共点有（    ）

A．个 B．个 C．至多个 D．至少个

【答案】C

【解析】

若函数在处有定义，则函数的图象与直线的公共点个数是；

若函数在处没有定义，则函数的图象与直线没有公共点，

因此，函数的图象与直线的公共点至多个.

故选：C.

【题型强化】可作为函数的图象的是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

A,B,C不可作为函数图像；因为在图像对应的自变量x的取值范围内存在自变量，有两个y值与之对应，不符合函数的概念；D符合函数概念；故选D

【收官验收】下列四组函数中，表示同一函数的是（    ）

A．f（x）=1与g（x）=x0 B．与

C．f（x）=x与g（x）= D．与

【答案】B

【解析】

A选项：两个函数定义与不同：f(x)定义域为R，g(x)定义域，排除A

C选项：f(x)定义域为R，g(x)定义域，定义域不同，故排除C

D选项：：f(x)定义域为，g(x)定义域，故排除D，

故选：B

【名师点睛】

1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．

2．函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．

重要考点二：求函数的定义域

【典型例题】函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由已知，，解得且，所以的定义域为.

故选：C.

【题型强化】函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由题意可得，解得，所以，函数的定义域为.

故选：D.

【收官验收】已知函数的定义域为，则的定义域为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

的定义域为，即，，

所以，函数的定义域为，故选C.

【名师点睛】

求函数的定义域：

(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.

(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．

(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

重要考点三：求函数值

【典型例题】若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由，可得；

所以；

.

故选C.

【题型强化】已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为(　　)

A．－2 B．6

C．1 D．0

【答案】B

【解析】

令，则,

,

,故选B.

【收官验收】若满足关系式，则的值为

A．1 B． C． D．

【答案】B

【解析】

∵f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，

∴，

①﹣②×2得﹣3f（2）=3，

∴f（2）=﹣1，

故选B．

【名师点睛】

解题时，(一)要注意审题，观察分析、发现规律．

(二)要注意一题多问时，有时前面问题的结论可作为后面问题的条件使用．

重要考点四：求函数定义域时非等价化简解析式而致误

【典型例题】已知函数的定义域为，且，则______．

【答案】

【解析】

在，用代替x，得，联立得    ，

将代入中，可求得．

故填：

【题型强化】若对于任意实数都有，则__________.

【答案】3

【解析】

对于任意实数都有，

，

解得，

．

故答案为：．

【收官验收】已知，则______________.

【答案】8

【解析】

，则，代入得：

，∴，

∴．

故答案为：8．

重要考点五：求函数值域的方法（分离常数法）

【典型例题】函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

，即的值域为

故选：

【题型强化】函数的值域是（    ）

A． B． 

C． D．R

【答案】B

【解析】

，，值域为．

【收官验收】函数的值域为________．

【答案】

【解析】

，

因为，所以或，

则或，即.

故答案为：

【名师点睛】

求y＝这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化简为y＝d＋的形式．

重要考点六：求函数值域的方法（配方法）

【典型例题】求下列函数的值域

，；

【答案】；【解析】

（3）因为，，

画出其图象如图：

观察图象可知值域为.

【题型强化】作出下列函数图象，并指出其值域.

（1）y＝x2＋x(－1≤x≤1)；

（2）y＝ (－2≤x＜1且x≠0).

【答案】（1）图象见解析，值域为；（2）图象见解析，值域为.

【解析】

（1）由题意，

当时，；当时，；

当时，；

函数的图象为抛物线的一部分，如图：

由图象可知，函数的值域为；

（2）由题意函数 (－2≤x＜1且x≠0)的图象为反比例函数图象的一部分，

当时，；当时，；

所以该函数图象如图：

由图象可知，函数 (－2≤x＜1且x≠0)的值域为.

【收官验收】求下列函数值域：

（1）y＝2x2－2x＋3；

（2）y＝；

（3）y＝2x－；

（4）y＝2－.

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

【解析】

（1）由题意，

所以函数的值域为；

（2）由题意，

由可得函数的值域为；

（3）令，则，

所以，

所以当时，函数取最小值，

所以函数的值域为；

（4）由题意，所以，

所以，，

所以函数的值域为.

【名师点睛】

遇到求解一般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化简为y＝m(x＋n)2＋d的形式，从而求得函数的值域．

重要考点七：求函数值域的方法（换元法）

【典型例题】已知，则函数的值域为________．

【答案】

【解析】

设由知，，，

故，

∵ （当且仅当时，等号成立）．

∴函数的值域为．

【题型强化】函数的值域是__________

【答案】

【解析】

设，则，

∴原函数化为

∵，∴，

故答案为：．

【收官验收】函数的值域为_______.

【答案】

【解析】

令，则

,，

函数的值域为

【名师点睛】

求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意根号下变量的取值范围．

重要考点八：求函数解析式的常用方法（待定系数法）

【典型例题】已知是一次函数，且有，则的解析式为______．

【答案】或

【解析】

由题意设，

，

则，解得或，或，

故答案为：或．

【题型强化】已知函数，，则_______．

【答案】3

【解析】

由题意，得，

即，解得，，因此，

故答案为3.

【收官验收】已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为______.

【答案】

【解析】

根据题意可知，

又恒相等，

化简得到恒相等，

所以，故，，，

所以的解析式为.

故答案为：.

【名师点睛】

(1)一次函数可设为y＝kx＋b(k≠0)，正比例函数可设为y＝kx(k≠0)；反比例函数可设为y＝(k≠0)；已知二次函数f(x)的顶点或对称轴、最值时，可设顶点式f(x)＝a(x＋m)2＋n；已知二次函数与x轴两交点坐标时，常设分解(标根)式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)．已知f(x)的图象过某三点时，常设一般式f(x)＝ax2＋bx＋c；

(2)凡是已知函数(或方程、不等式等)的形式时，常用待定系数法求解．

重要考点九：恒成立的应用

【典型例题】不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

∵不等式对任意实数都成立，

∴

∴＜k＜2

故答案为

【题型强化】不等式对任意恒成立的充要条件是__________．

【答案】

【解析】

当时，显然满足条件，

当时，由一元二次不等式恒成立得：，解得：

综上，，

所以不等式对任意恒成立的充要条件是，

故答案为：

【收官验收】不等式x2＋x＋k＞0恒成立时，则k的取值范围为________.

【答案】

【解析】

由题意知＜0，即1－4k＜0，

得k＞，

即k∈.

故答案为：

【名师点睛】

一般地，若f(x)与g(x)是同类型的函数(或具有相同的表达式)，f(x)＝g(x)恒成立，则f(x)与g(x)的对应项系数相等．

重要考点十：分段函数的求值问题

【典型例题】设函数，则（    ）.

A．1 B．3 C．-1 D．9

【答案】D

【解析】

当时，满足，即；当时，；当，，即

故选：D

【题型强化】已知函数，则的值为（    ）

A．6 B．5 C．1 D．0

【答案】A

【解析】

,,

,,.

.

故选:A.

【收官验收】函数，则的值为（    ）

A．4 B．4 C．16 D．16

【答案】C

【解析】

，，

所以.

故选：C

【名师点睛】

求分段函数函数值的方法

(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．

(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．

当出现f[f(x0)]的形式时，应从内到外依次求值．

重要考点十一：分段函数与不等式的应用

【典型例题】已知函数，则满足不等式的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

因为,画出函数图象如下：

所以函数在上为减函数，

由得，

解得，

即取值范围为.

故选：C.

【题型强化】设函数，则满足的的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

画出的大致图像如下图所示，由图可知，，解得，所以满足的的取值范围是.

故选：D

【收官验收】已知函数那么不等式的解集是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

当时，原不等式可化为，解得，

当时，原不等式可化为，解得，

综上不等式的解集为.

【名师点睛】

解决分段函数与不等式的问题，应分段利用函数解析式求得自变量的取值范围，最后再将每段中求得的范围取并集，即可得到所求自变量的取值集合．

重要考点十二：分段函数的图象及应用

【典型例题】设，

（1）在所给直角坐标系中画出的图象；

（2）若，求的值；

（3）若有三个根，求的范围．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据，画出它的图象，如图：

（2）结合图象，由，可得，∴（负的舍去）．

（3）∵方程有三个根，∴函数和直线有三个交点，

观察函数的图象，可知有三个交点时，实数的取值范围为．∴的取值范围为．

【题型强化】已知的最小值为

（1）求的值；

（2）若实数，满足，求的最小值．

【答案】（1）；（2）9

【解析】

（1）

故当时，函数有最小值2，∴．

（1）由(1)可知．即

当且仅当时取等号

故的最小值为9．

【收官验收】已知函数，

（1）求的值；

（2）若，求实数的值.

【答案】（1）.（2）或.

【解析】

（1）由，

知.

，

而，

.

（2）当时，，

即，不合题意，舍去，

当时，，

即，

整理得：，

解得或，

，

符合题意，

当时，，即符合题意，

综上可得，当时，或.

【名师点睛】

1．由分段函数的图象确定函数解析式的步骤

(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型．

(2)设函数式：设出函数的解析式．

(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析．

(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围．

2．作分段函数图象的注意点

作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点．