湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中2020-2021学年高一下学期5月月考数学试卷+答案

汉阳一中2020-2021学年度下学期5月月考

高一数学试卷

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．在中，，，，则的面积为（    ）

A．15    B．        C．40       D．

2．已知为虚数单位，则下列结论错误的是（    ）

A．复数的虚部为

B．复数的共轭复数

C．复数在复平面对应的点位于第二象限

D．复数z满足，则

3．已知空间两条不同的直线和平面，则下列命题中正确的是（    ）

A．若则 B．若则

C．若则 D．若则

4．三棱锥中，则在底面的投影一定在三角形的（    ）

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

5．在长方体中，已知直线与平面所成角的正切值为，直线与平面所成角的正弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知正三棱柱，底面正三角形的边长为，侧棱长为，则点到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

7．点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

8．在        中，   ，，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有几项是符合题目要求的.

9．在中，角所对的边分别为，已知，下列结论正确的是（    ）

A．

B． 

C．若，则的面积是

D．若，则的外接圆半径是

10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（　　）

A．直线BD1⊥平面A1C1D

B．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值

C．异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[45°，90°]

D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为

11．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（    ）

A．直线D1D与直线AF垂直 

B．直线A1G与平面AEF平行

C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 

D．点C与点G到平面AEF的距离相等

12．对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．过点的直线交于，若，，则

D．与共线

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知外接圆的圆心为，且，则_________．

14．已知正方体的棱的中点为与交于点，平面过点，且与直线垂直，若，则平面截该正方体所得截面图形的面积为______．

15．点在△内部，且满足，则△的面积与△、

△面积之和的比为________

16.棱长为的正方体容器中盛满水，把半径为的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出的水量最多，这个铁球半径应该为______．

 四、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分10分）已知，又二次函数的图象是开口向上，其对称轴为的抛物线，当时，求使不等式成立的x的取值范围

18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形的中心，平面，，分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，求点到平面的距离．

19．（本小题满分12分）已知函数.

(1)若方程在上有解,求的取值范围;

(2)在中,分别是所对的边,当(1)中的取最大值且时,求的最小值.

20.（本小题满分12分）如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B，线段AB的长为10cm．（提示：本题的数据有长度单位）

（1）求圆台的体积和圆台的侧面积；

（2）把一根绳从线段AB的中点M开始到点A，沿着侧面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度；

21．（本小题满分12分）已知向量与共线，其中是的内角.

（1）求角的大小； 　　

（2）若，求的最大值.

22．（本小题满分12分）在直三棱柱中，，，D为线段AC的中点.

（1）求证：：

（2）求直线与平面所成角的余弦值；

（3）求二面角的余弦值.

高一数学参考答案

1．B2．C3．A4．C5．A6．A7．D8．D

9．ACD10．ABD11．BC12．ACD

13．14．15．

16．

17．

当时 是增函数

根据向量的数量积可得

18．（Ⅰ）因为四边形是正方形，所以．

因为平面，平面，所以．

因为平面，平面，且，

所以平面．

所以平面平面．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，为点到平面的高．

所以．

连接．

因为平面，平面，所以．

因为，，所以．

又因，所以．

在中，，，

所以．

设点到平面的距离为，

由，得，

所以．

所以点到平面的距离为．

19．(1===,

因为,所以,

则,

因为方程在上有解,

所以,则,

故的取值范围是;

(2)由(1)可得取最大值3,,

则,则,

由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,

当时有最小值1.

20．（1）；（2）25cm；【分析】

（1）作出圆锥的轴截面和沿剪开的侧面展开图，如下图

由底面半径是5cm，上底半径为2.5cm，AB的长为10 cm，可得： cm，

所以，圆锥的高为：＝，小圆锥的高为．

因此圆台的体积为：，

侧面积为：．

（2）由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为，

所以，侧面展开图的圆心角为，

在直角三角形中，可得，所以最短时候，绳长为25cm

21．（1）

由是的内角，可得，

，则.

（2）由正弦定理，可得

.

当，即时，取得最大值为.

22．（1）见解析；（2）；（3）

（1）证明：由直三棱柱,可得底面,

∴.

∵,D为线段的中点.

∴,又,

∴平面,

∴.