2023-2024学年湖北省武汉市江夏一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市江夏一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a，b满足|a−b|=3，|a+2b|=6，|a|= 2，则|b|=( )
A. 5B. 6C. 2 2D. 2 3
2.已知点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则( )
A. OA=OCB. AB=CDC. OD//BOD. |AC|=|BD|
3.α=π6是sin(α+π6)= 32的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数y=f(x)的部分图象如图所示.则y=f(x)的解析式可能是( )
A. f(x)=sin(πx)2(3x+3−x)
B. f(x)=cs(πx)2(3x−3−x)
C. f(x)=(3x+3−x)sin(πx)2
D. f(x)=(3x−3−x)cs(πx)2
5.如图所示的△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE=( )
A. −13BA−16BCB. −16BA−13BCC. −56BA−13BCD. −56BA+13BC
6.已知θ∈(0,π4)，且sin2θ=23，则tanθ=( )
A. 55B. 3+ 52C. 3− 52D. 55或 5
7.已知a，b是平面向量，满足|a|=2，|b|≤1，且|3b−2a|≤2，记a与b的夹角为θ，则csθ的最小值是( )
A. 1116B. 78C. 158D. 3 1516
8.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b.若f(3)+f(4)=6，则f(133)=( )
A. −43B. 329C. 149D. 43
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，下面四个结论正确的是( )
A. a=2，A=30°，则△ABC的外接圆半径是4
B. 若acsA=bsinB，则A=45°
C. 若a2+b2D. 若A10.已知函数f(x)=sinxcsx+ 3cs2x，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的图像关于直线x=−11π12对称
B. f(x)的图像的一个对称中心是(5π6,0)
C. f(x)在区间(π6,π3)上单调递减
D. 若y=af(x)+2的最大值为5+2 3，则y=af(x)+2的最小值为5−2 3
11.已知函数f(x)=|cs2x+csx|，有下列四个结论正确的是( )
A. f(x)图像关于直线x=−2π对称B. f(x)的值域为[0,98]
C. f(x)在[−5π4,−π]上单调递减D. f(x)在[−3π,3π]上恰有10个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=(1, 2)，若向量b满足(a+b)⊥a，则b在a方向上的投影向量的坐标为______．
13.将函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)的图象向左平移π4ω个单位长度后，所得函数在(−π15,π16)内不是单调函数，则ω的取值范围是______．
14.已知函数f(x)=2cs2x−2 3sinxcsx−1，当x∈[−π4,π6]时，关于x的方程f(x)+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的三个内角A，B，C满足：csA=17,tanC=5 311．
(1)求cs(A+B)的值；
(2)求角B的大小．
16.(本小题15分)
已知向量a，b的夹角为60°，且a=(1,0)．
(1)若|b|=2，求b的坐标；
(2)若(a+b)⊥(a−b)，λ∈R，求|a+λb|的最小值．
17.(本小题15分)
设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.设S为△ABC的面积，满足S= 34(a2+c2−b2)．
(Ⅰ)求B；
(Ⅱ)若b= 3，求( 3−1)a+2c的最大值．
18.(本小题17分)
函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，
(1)求函数f(x)的解析式和单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g(x)的图像，若x∈[−11π6,2π3]时，g(x)的图像与直线y=43恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为x1，x2，x3且x119.(本小题17分)
设x∈R，我们常用[x]来表示不超过x的最大整数.如：[−4.1]=−5，[2.3]=2．
(1)求证：[2x]=[x]+[x+12]；
(2)解方程：x2−[x]−2=0；
(3)已知f(x)=x2+2x|x−a|−15，g(x)=cs2x+sinx，若对∀x1∈[1,2],∃x2∈[−π2,π2]，使不等式f(x1)≤[g(x2)]成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：向量a，b满足|a−b|=3，|a+2b|=6，|a|= 2，
可得a2+4a⋅b+4b2=36，
a2−2a⋅b+b2=9，即2a2−4a⋅b+2b2=18，
解得3a2+6b2=54，
所以|b|=2 2．
故选：C．
通过向量的模的运算法则以及向量的数量积求解即可．
本题考查平面向量的数量积的应用，向量的模的求法，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD为▱，
如图：
故OA=−OC，AB=DC，OD//BO，故AB错，C对，
又因为平行四边形对角线不一定相等，故D错．
故选：C．
根据平行四边形的性质以及向量共线即可求解结论．
本题主要考查平行四边形的性质以及向量共线，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：当sin(α+π6)= 32时，α+π6=π3+2kπ(k∈Z)或α+π6=2π3+2kπ(k∈Z)，
即α=π6+2kπ(k∈Z)或α=π2+2kπ(k∈Z)，
即α=π6是sin(α+π6)= 32的充分不必要条件．
故选：A．
解出sin(α+π6)= 32的α的值，即可判断出答案．
本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了特殊角的三角函数值的求解，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由图可知，函数y=f(x)是R上的奇函数，且f(0)=0，f(1)<0，f(2)>0，
若f(x)=sin(πx)2(3x+3−x)，则f(0)=sin02(30+30)=0，f(1)=sinπ2(31+3−1)=0不合题意，故A错误；
若f(x)=cs(πx)2(3x−3−x)，由3x−3−x≠0得x≠0，不合题意，故B错误；
若f(x)=(3x+3−x)sin(πx)2，则f(1)=(3+3−1)sinπ2=0，不合题意，故C错误；
故排除ABC，得D正确．
故选：D．
由图可知，函数y=f(x)是R上的奇函数，且f(0)=0，f(1)<0，f(2)>0，利用排除法求解．
本题主要考查函数的图像，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：依题意，DE=DA+AE=−13AC−12BA=−13BC+13BA−12BA=−16BA−13BC．
故选：B．
根据已知，利用向量的线性运算即可求解．
本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：θ∈(0,π4)，∴2θ∈(0,π2)，
∵sin2θ=23，∴cs2θ= 1−sin22θ= 53，
tanθ=sinθcsθ=2sin2θ2sinθcsθ=1−cs2θsin2θ=1− 5323=3− 52．
故选：C．
利用二倍角公式，同角函数关系即可求值．
本题考查二倍角公式，同角函数关系，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的计算和应用，涉及函数单调性的性质和应用，属于中档题．
根据题意，设|b|=t，则t∈[0,1]，又由|3b−2a|≤2，由数量积的计算公式变形可得csθ=3t2+48t=3t8+12t，设f(x)=12x+3x8，结合f(x)的单调性分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，设|b|=t，则t∈[0,1]，
|3b−2a|≤2，则有9b2−12a·b+4a2=9t2−24tcsθ+16≤4，
变形可得csθ=3t2+48t=3t8+12t，
设f(x)=12x+3x8，其导数f′(x)=−12x2+38=3x2−48x2，
在区间[0,1]上，f′(x)<0，则f(x)=12x+3x8在区间(0,1]上递减，
则t=1时，csθ取得最大值78，
故选：B．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，由f(x+1)为奇函数，得f(−x+1)=−f(x+1)，变形可得f(x)=−f(2−x)①，
故函数f(x)的图象关于点(1,0)对称；
由f(x+2)为偶函数，得f(−x+2)=f(x+2)②，
则函数f(x)的图象关于直线x=2对称；
由①②得f(x+2)=−f(x)，
则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
故f(x)的周期为4，则有f(133)=f(4+13)=f(13)；
又由f(−x+1)=−f(x+1)，令x=0得f(1)=0，即a+b=0③，
已知f(0)+f(3)=6，
由函数f(x)的图象关于直线x=2对称，得f(3)=f(1)=0，
又函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，得f(0)=−f(2)
所以f(0)+f(3)=−f(2)=6，即f(2)=−6，
所以4a+b=−6④，联立③④解得a=−2，b=2
故x∈[1,2]时，f(x)=−2x2+2，则f(53)=−2×(53)2+2=−329，
又由f(−x+1)=−f(x+1)，则f(13)=−f(53)=329，
故f(133)=f(13)=329．
故选：B．
根据题意，由已知奇偶性质得到f(x)的周期性与对称性，借助已知条件f(0)+f(3)=6与f(1)=0待定系数a，b，再利用周期性和解析式求解即得．
本题考查函数的奇偶性和周期性，涉及函数值的计算，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：A.a=2，A=30°，设△ABC的外接圆半径是R，则2R=asinA=2sin30∘=4，解得R=2，因此不正确；
B.acsA=bsinB，由正弦定理可得：sinAcsA=sinBsinB=1，∴tanA=1，A∈(0°,180°)∴A=45°，因此B正确；
C.∵a2+b2D.∵AcsB，因此D不正确．
故选：BC．
A.设△ABC的外接圆半径是R，利用正弦定理可得2R=asinA，解得R，即可判断出正误；
B.acsA=bsinB，由正弦定理可得：sinAcsA=sinBsinB=1，求出A，即可判断出正误；
C.由a2+b2D.由A本题考查了正弦定理及余弦定理的应用、三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：因为f(x)=sinxcsx+ 3cs2x=12sin2x+ 32(1+cs2x)=sin(2x+π3)+ 32，
对于选项A，由2x+π3=π2+kπ,k∈Z，得到x=π12+kπ2,k∈Z，当k=−2时，x=−11π12，所以选项A正确，
对于选项B，由2x+π3=kπ,k∈Z，得到x=−π6+kπ2,k∈Z，所以f(x)的对称中心为(−π6+kπ2, 32)(k∈Z)，
当k=2时，对称中心为(5π6, 32)，所以选项B错误，
对于选项C，由π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z，得到π12+kπ≤x≤7π12+kπ,k∈Z，
当k=0时，π12≤x≤7π12，又(π6,π3)⊆[π12,7π12]，所以选项C正确，
对于选项D，因为y=af(x)+2=asin(2x+π3)+ 32a+2，
当a>0时，由题有a+ 32a+2=5+2 3，得到a=2 3，
此时y=af(x)+2的最小值为−2 3+ 32×2 3+2=5−2 3，
当a<0时，由题有−a+ 32a+2=5+2 3，得到a=−14 3−24
此时y=af(x)+2的最小值为−14 3−24−21−12 3+2=−26 3−43，所以选项D错误．
故选：AC．
根据条件得到f(x)=sin(2x+π3)+ 32，再利用y=sinx的图象与性质，对各个选项逐一分析判断，即可得到结果．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数的对称性，单调性及最值的求解，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，∵f(x)=|cs2x+csx|，
∴f(−4π−x)=|cs[2(−4π−x)+cs(−4π−x)|=|cs(−2x)+cs(−x)|=|cs2x+csx|=f(x),
∴f(x)图像关于直线x=−2π对称，A正确；
对于B，f(x)=|2cs2x+csx−1|=|2(csx+14)2−98|，
由−1≤csx≤1，得2(csx+14)2−98∈[−98,2]，
∴f(x)的值域为[0,2]，B错误；
对于C，∵f(x+2π)=|cs2(x+2π)+cs(x+2π)|=|cs2x+csx|=f(x)，
∴2π为f(x)的周期，
∴f(x)在[−5π4,−π]上的单调性与它在[3π4,π]上的单调性相同，
当x∈[3π4,π]时，csx∈[−1,− 22]，
又f(x)=|2(csx+14)2−98|，①
令t=csx，则t∈[−1,− 22]，
则①可化为h(t)=|2(t+14)2−98|，当t∈[−1,− 22]时，y=2(t+14)2−98∈[− 22,0]，
∴y=2(t+14)2−98在[−1,− 22]上单调递减，且y<0，
∴h(t)=|2(t+14)2−98|在[−1,− 22]上单调递增，又t=csx在[3π4,π]上单调递减，
由复合函数的单调性可知，f(x)在[3π4,π]上单调递减，即f(x)在[−5π4,−π]上单调递减，C正确；
对于D，令f(x)=|2cs2x+csx−1|=|(csx+1)(2csx−1)|=0，得csx=−1或csx=12，
又f(x)=|cs2x+csx|为偶函数，
∴当x∈[0,3π]时，由f(x)=0，得x=π3，π，5π3，7π3，3π，共5个零点，
∴f(x)在[−3π,3π]上恰有10个零点，D正确．
故选：ACD．
利用余弦函数的单调性、对称性、值域、零点等性质对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查余弦型函数的性质的应用，考查学生的运算能力及逻辑思维能力，属于难题．
12.【答案】(−1,− 2)
【解析】解：由题意可知，(a+b)⋅a=0，
所以a2+a⋅b=0，而a=(1, 2)，则|a|= 12+( 2)2= 3，
故a⋅b=−a2=−3，
则b在a方向上的投影向量为a⋅b|a|⋅a|a|=−3 3⋅(1, 2) 3=(−1,− 2)，
即b在a方向上的投影向量的坐标为(−1,− 2)．
故答案为：(−1,− 2)．
根据数量积的运算律求得a⋅b，根据投影向量的概念，即可求得答案．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
13.【答案】(152,+∞)
【解析】解：由题设可得平移后图象对应的函数解析式为y=sin(ωx+π4−π4)=sinωx，
因为x∈(−π15,π16)，故ωx∈(−ωπ15,ωπ16)，
因为y=sinωx在(−π15,π16)不单调，故−π2∈(−ωπ15,ωπ16)或π2∈(−ωπ15,ωπ16)，
即−ωπ15<−π2或ωπ16>π2，
所以ω>152或ω>8，故ω>152．
故答案为：(152,+∞).
先求出平移后图象对应的解析式，根据单调性可求参数的取值范围．
本题考查的知识点：正弦型函数的性质，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】(−2,− 3]
【解析】解：f(x)=2cs2x−2 3sinxcsx−1=cs2x− 3sin2x=2cs(2x+π3)；
由于x∈[−π4,π6]，
所以2x+π3∈[−π6,2π3]，
故函数f(x)在[−π4,−π6]上单调递增，在[−π6,π6]上单调递减；
所以−a∈[ 3,2)，即a∈(−2,− 3]时，关于x的方程f(x)+a=0有两个实数根．
故实数a的取值范围为(−2,− 3]．
故答案为：(−2,− 3]．
首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的单调性求出实数a的取值范围．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)cs(A+B)=cs(π−C)=−csC，
因为tanC=5 311>0，C∈(0,π)，
故C为锐角且csC=11 121+75=1114，
所以cs(A+B)=−1114；
(2)因为csA=17，A∈(0,π)，
故A为锐角且tanA=4 31=4 3，
故tan(A+C)=4 3+5 3111−4 3×5 311=49 3−49=− 3，
故tanB= 3，
而B∈(0,π)，
故B=π3．
【解析】(1)利用诱导公式和同角三角函数基本关系式可求cs(A+B)的值；
(2)先求出tanA，再利用两角和的正切公式及诱导公式可求tanB= 3，故可求角B的大小．
本题主要考查了三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16.【答案】解：(1)向量a，b的夹角为60°，且a=(1,0)，设b=(x,y)，若|b|=2，
则cs60°=a⋅b|a|⋅|b|=x1×2，∴x=1．
∵|b|= x2+y2=2，∴y=± 3，故b=(1,± 3).
(2)若(a+b)⊥(a−b)，λ∈R，则(a+b)⋅(a−b)=a2−b2=0，∴|b|=1．
∴|a+λb|= (a+λb)2= a2+2λa⋅b+λ2⋅b2= 1+2λ⋅12+λ2= (λ+12)2+34，
故当λ=−12时，|a+λb|取得最小值为 32．
【解析】(1)由题意利用两个向量的数量积的定义，求出x的值．
(2)由题意利用两个向量垂直的性质，求得|b|=1.再根据求向量的摸的方法，二次函数的性质，求得|a+λb|取得最小值．
本题主要考查两个向量的数量积，两个向量垂直的性质，求向量的摸，二次函数的性质，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵S=12acsinB，csB=a2+c2−b22ac，即a2+c2−b2=2accsB，
∴由S= 34(a2+c2−b2)变形得：12acsinB= 34×2accsB，
整理得：tanB= 3，
又∵0∴B=π3；
(Ⅱ)∵A+B+C=π，B=π3，
∴0由正弦定理知a=bsinAsinB= 3sinAsinπ3=2sinA，
c=bsinCsinB=2sin(2π3−A)，
∴( 3−1)a+2c=2( 3−1)sinA+4sin(2π3−A)
=2 3sinA+2 3csA=2 6sin(A+π4)≤2 6，
当且仅当A=π4时取最大值，
故( 3−1)a+2c的最大值为2 6．
【解析】本题考查三角形面积公式、正弦定理、余弦定理和三角函数的化简，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
(Ⅰ)利用三角形的面积公式表示出S，利用余弦定理表示出csB，代入已知等式求出tanB的值，即可求出B；
(Ⅱ)先求出A的范围，再根据正弦定理表示出a，c，根据两角和差的正弦公式化简，再由正弦函数的图象和性质即可求出最大值．
18.【答案】解：(1)根据函数的图象：A=2，且T4=7π12−π3=π4，故T=π，解得ω=2；
由于f(π3)=2cs(2×π3+φ)=0，由于|φ|<π2，
故φ=−π6；
故f(x)=2cs(2x−π6).
令−π+2kπ≤2x−π6≤2kπ，(k∈Z)，
整理得−5π12+kπ≤x≤kπ+π12，(k∈Z)，
故函数的单调递增区间为[−5π12+kπ,kπ+π12]，(k∈Z)．
(2)将函数f(x)的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g(x)=2cs(x−π6)的图像；
由于x∈[−11π6,2π3]，
所以x−π6∈[−2π,π2]，
由于g(x)的图像与直线y=43恰有三个公共点，
如图所示：

令t=x−π6∈[−2π,π2]，则y=2cst，由函数y=2cst的图象性质得：t1+t2=−2π，t2+t3=0，
且2cst1=2cst2=2cst3=43，
得到cst1=23，由于t1∈(−2π,−3π2)，
所以sint1= 53，
由于t1=x1−π6，t2=x2−π6，t3=x3−π6，
得到x3−x1=2π，
所以cs(x1+x3)=cs(x1+x2+2π)=cs2x1=2cs2x1−1，
由于csx1=cs(t1+π6)=cst1csπ6−sint1sinπ6=2 3− 56，
所以cs(x1+x3)=−1+4 1518．
【解析】(1)直接利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用整体思想求出函数的单调递增区间；
(2)利用函数图象的伸缩变换求出函数g(x)的解析式，进一步利用函数y=2cst的图象性质求出函数的值．
本题考查的知识点：函数的解析式的求法，函数图象的伸缩变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设x=a+r，a∈Z，r∈[0,1)，
若r∈[0,12)，则2x=2a+2r，2a∈Z，2r∈[0,1)，x+12=a+r+12,r+12∈[12,1),
故[2x]=2a，而[x]=a，[x+12]=a，故[2x]=[x]+[x+12]．
若r∈(12,1)，则2x=2a+2r，2a∈Z，2r∈(1,2)，x+12=a+r+12,r+12∈(1,32)，
故[2x]=2a+1，而[x]=a，[x+12]=a+1，故[2x]=[x]+[x+12]．
综上，[2x]=[x]+[x+12]．
(2)因为x2−[x]−2=0，故x2−2=[x]，
因为[x]≤x，故x2−2≤x，故−1≤x≤2，故[x]=−1，0，1，2，
若[x]=−1，则x2=1，又[1]=1，[−1]=−1，故x=−1符合；
若[x]=0，则x2=2，故x=± 2，又[ 2]=1,[− 2]=−2，不符合[x]=0，均舍；
若[x]=1，则x2=3，故x=± 3，又[ 3]=1,[− 3]=−2，故x= 3符合；
若[x]=2，则x2=4，故x=±2，又[2]=2，[−2]=−2，故x=2符合；
综上，x=−1或x= 3或x=2．
(3)g(x)=cs2x+sinx=−sin2x+sinx+1=−(sinx−12)2+54，
当x∈[−π2,π2]时，−1≤sinx≤1，故−1≤g(x)≤54，故[g(x)]max=1，
因为对∀x1∈[1,2],∃x2∈[−π2,π2]，使不等式f(x1)≤[g(x2)]成立，
故x2+2x|x−a|−15≤1在[1,2]上恒成立，
故|x−a|≤8x−x2在[1,2]上恒成立，而8x−x2>0在[1,2]上恒成立，
故3x2−8x≤a≤8x+x2在[1,2]上恒成立，
设s(x)=3x2−8x，x∈[1,2]，
因为y=3x2,y=−8x在[1,2]上均为增函数，故s(x)=3x2−8x，x∈[1,2]为增函数，
故s(x)max=s(2)=3−4=−1，
设u(x)=8x+x2,x∈[1,2]，
设∀x1，x2∈[1,2]，x1则u(x1)−u(x2)=8(x2−x1)x1x2+x1−x22=(x1−x2)(x1x2−16)2x1x2，
而1≤x10，x1x2−16<0，故u(x1)−u(x2)>0，
即u(x1)>u(x2)，故u(x)=8x+x2,x∈[1,2]为减函数，
故u(x)min=u(2)=5，
故a的取值范围为{a|−1≤a≤5}．
【解析】(1)设x=a+r，a∈Z，r∈[0,1)，就r∈[0,12)、r∈(12,1)分类讨论后可证该恒等式；
(2)利用[x]≤x可得x2−2≤x，求出其解后逐个检验可得原方程的解；
(3)求出[g(x)]的最大值后参变分离，从而可求参数的取值范围．
本题主要考查了与取整函数有关的证明问题，可将实数表示整数部分和小数部分，从而便于证明，而与绝对值有关的不等式恒成立或有解问题，注意利用公式去掉绝对值符号，便于参变分离，属于难题．