2022版高考数学大一轮复习课时作业52《椭圆》(含答案详解)

这是一份2022版高考数学大一轮复习课时作业52《椭圆》(含答案详解)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
A.4 B.3 C.2 D.5
曲线C1：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1与曲线C2：eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)=1(k<9)的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线eq \f(x2,m)＋y2=1的离心率为( )
A.eq \f(\r(30),6) B.eq \r(7) C.eq \f(\r(30),6)或eq \r(7) D.eq \f(5,6)或eq \r(7)
已知点F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|=( )
A.4 B.6 C.8 D.12
焦点在x轴上的椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为eq \f(b,3)，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
正方形ABCD的四个顶点都在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，
则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3)－1,2)))
如图，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，
交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为( )
A.20 B.10 C.2eq \r(5) D.4eq \r(5)
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，
在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3－\r(5),2) C.eq \f(－1＋\r(5),2) D.eq \f(\r(3)－1,2)
二、填空题
与圆C1：(x＋3)2＋y2=1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为 .
已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)=1(0 椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)=1上的一点P到两焦点距离的乘积为m，当m取最大值时，点P坐标是 .
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5=0，弦的中点坐标是
M(－4,1)，则椭圆的离心率是 .
如图，记椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1，eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)=1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个命题：
①P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值；
②曲线C关于直线y=x，y=－x均对称；
③曲线C所围区域的面积必小于36；
④曲线C的总长度不大于6π.
其中正确命题的序号是 .
三、解答题
已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，且椭圆C过点P(1,eq \f(\r(3),2)).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，
求△AOB的面积.
已知椭圆C：eq \f(x2,3m)＋eq \f(y2,m)=1，直线l：x＋y－2=0与椭圆C相交于两点P，Q，与x轴交于点B，点P，Q与点B不重合.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)当S△OPQ=2时，求椭圆C的方程；
(3)过原点O作直线l的垂线，垂足为N.若|PN|=λ|BQ|，求λ的值.
已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：y=kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON=eq \f(5,4)，
求原点O到直线l的距离的取值范围.
\s 0 答案详解
答案为：A.
解析：由题意知|OM|=eq \f(1,2)|PF2|=3，∴|PF2|=6，∴|PF1|=2a－|PF2|=10－6=4.
答案为：D.
解析：因为ceq \\al(2,1)=25－9=16，ceq \\al(2,2)=(25－k)－(9－k)=16，所以c1=c2，
所以两个曲线的焦距相等.
答案为：C.
解析：由题意知m2=36，解得m=±6.当m=6时，该圆锥曲线表示椭圆，
此时a=eq \r(6)，b=1，c=eq \r(5)，则e=eq \f(\r(30),6)；
当m=－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a=1，b=eq \r(6)，c=eq \r(7)，则e=eq \r(7).故选C.
答案为：A.
解析：由|PF1|＋|PF2|=4，
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs60°=|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|=12，
所以|PF1|·|PF2|=4，故选A.
答案为：C.
解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，
又由三角形面积公式得eq \f(1,2)×2c·b=eq \f(1,2)(2a＋2c)·eq \f(b,3)，得a=2c，即e=eq \f(c,a)=eq \f(1,2)，故选C.
答案为：A.
解析：设正方形的边长为2m，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m>c.
又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)上，∴eq \f(m2,a2)＋eq \f(m2,b2)=1>eq \f(c2,a2)＋eq \f(c2,b2)=e2＋eq \f(e2,1－e2)，
整理得e4－3e2＋1>0，e2 答案为：D.
解析：由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，
又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,4)＝1，))得N(c，eq \f(4,a))，∴H(0，eq \f(2,a))，M(－2c，－eq \f(2,a)).
把点M的坐标代入椭圆方程得eq \f(4c2,a2)＋eq \f(－\f(2,a)2,4)=1，化简得c2=eq \f(a2－1,4)，
又c2=a2－4，∴eq \f(a2－1,4)=a2－4，解得a2=5，∴a=eq \r(5).
由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|=|MF2|＋|MF1|=2a，
∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|=|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|=4a=4eq \r(5)，故选D.
答案为：B.
解析：如图，由题意得，A(－a,0)，B(0，b)，
由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，得点P是以点O为圆心，
线段F1F2为直径的圆x2＋y2=c2与线段AB的切点，连接OP，则OP⊥AB，且OP=c，
即点O到直线AB的距离为c.
又直线AB的方程为y=eq \f(b,a)x＋b，整理得bx－ay＋ab=0，
点O到直线AB的距离d=eq \f(ab,\r(b2＋a2))=c，
两边同时平方整理得，a2b2=c2(a2＋b2)=(a2－b2)(a2＋b2)=a4－b4，可得b4＋a2b2－a4=0，
两边同时除以a4，得(eq \f(b2,a2))2＋eq \f(b2,a2)－1=0，可得eq \f(b2,a2)=eq \f(－1＋\r(5),2)，
则e2=eq \f(c2,a2)=eq \f(a2－b2,a2)=1－eq \f(b2,a2)=1－eq \f(－1＋\r(5),2)=eq \f(3－\r(5),2)，故选B.
答案为：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1.
解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|=r＋1，|PC2|=9－r.
所以|PC1|＋|PC2|=10>|C1C2|=6，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，
长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1.
答案为：eq \r(3).
解析：由椭圆的方程可知a=2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|=4a=8，
所以|AB|=8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，
则eq \f(2b2,a)=3，所以b2=3，即b=eq \r(3).
答案为：(－3,0)或(3,0).
解析：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
有|PF1|＋|PF2|=2a=10.则m=|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2=25，
当且仅当|PF1|=|PF2|=5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.
所以点P的坐标为(－3,0)或(3,0).
答案为：eq \f(\r(3),2).
解析：设直线x－y＋5=0与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2=－8，y1＋y2=2.易知直线AB的斜率k=eq \f(y2－y1,x2－x1)=1.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得，eq \f(x1＋x2x1－x2,a2)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,b2)=0，
所以eq \f(y1－y2,x1－x2)=－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)，所以eq \f(b2,a2)－=eq \f(1,4)，于是椭圆的离心率e=eq \f(c,a)=eq \r(1－\f(b2,a2))=eq \f(\r(3),2).
答案为：②③.
解析：对于①，若点P在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1上，P到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；
对于②，联立两个椭圆的方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,25)＋\f(y2,9)＝1，,\f(y2,25)＋\f(x2,9)＝1，))得y2=x2，结合椭圆的对称性知，
曲线C关于直线y=x，y=－x均对称，故②正确；
对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；
对于④，曲线C所围区域的内切圆为半径为3的圆，
所以曲线C的总长度必大于圆的周长6π，故④错.
故答案为②③.
解：(1)设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)，
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－b2＝3，,\f(1,a2)＋\f(3,4b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝1.))
故椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2=1.
(2)直线OP的方程为y=eq \f(\r(3),2)x，设直线AB的方程为y=eq \f(\r(3),2)x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).
将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2＋eq \r(3)mx＋m2－1=0，
由Δ=3m2－4(m2－1)>0，得m2<4，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\r(3)m，,x1x2＝m2－1.))
由OA⊥OB，得eq \(OA,\s\up15(→))·eq \(OB,\s\up15(→))=0，eq \(OA,\s\up15(→))·eq \(OB,\s\up15(→))=x1x2＋y1y2
=x1x2＋eq \f(\r(3),2)x2＋meq \f(\r(3),2)x1＋m=eq \f(7,4)x1x2＋eq \f(\r(3),2)m(x1＋x2)＋m2
=eq \f(7,4)(m2－1)＋eq \f(\r(3),2)m·(－eq \r(3)m)＋m2=eq \f(5,4)m2－eq \f(7,4)=0，得m2=eq \f(7,5).
又|AB|=eq \r(1＋\f(3,4))eq \r(x1＋x22－4x1x2)=eq \f(\r(7),2)·eq \r(4－m2)，
O到直线AB的距离d=eq \f(|m|,\r(1＋\f(3,4)))=eq \f(|m|,\f(\r(7),2)).
所以S△AOB=eq \f(1,2)|AB|·d=eq \f(1,2)×eq \f(\r(7),2)×eq \r(4－m2)×eq \f(|m|,\f(\r(7),2))=eq \f(\r(91),10).
解：(1)a2=3m，b2=m，c2=2m，e2=eq \f(c2,a2)=eq \f(2,3)，故e=eq \f(\r(6),3).
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将x＋y－2=0代入椭圆C的方程并整理得4x2－12x＋12－3m=0，依题意，
由Δ=(－12)2－4×4×(12－3m)>0得m>1.
且有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝3，,x1x2＝\f(12－3m,4)，))
|PQ|=eq \r(1＋k2)|x1－x2|=eq \r(2)·eq \r(9－12－3m)=eq \r(6)eq \r(m－1)，
原点到直线l的距离d=eq \r(2)，
所以S△OPQ=eq \f(1,2)|PQ|·d=eq \f(1,2)×eq \r(6)·eq \r(m－1)×eq \r(2)=2，解得m=eq \f(7,3)>1，
故椭圆方程为eq \f(x2,7)＋eq \f(3y2,7)=1.
(3)直线l的垂线为ON：y=x，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x＋y－2＝0，))解得交点N(1,1).
因为|PN|=λ|BQ|，
又x1＋x2=3，
所以λ=eq \f(|PN|,|BQ|)=eq \f(|x1－1|,|x2－2|)=eq \f(|2－x2|,|x2－2|)=1，故λ的值为1.
解：(1)由题知e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(3),2)，2b=2，又a2=b2＋c2，
∴b=1，a=2，
∴椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2=1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4=0，
依题意，Δ=(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化简得m2<4k2＋1，①
x1＋x2=－eq \f(8km,4k2＋1)，x1x2=eq \f(4m2－4,4k2＋1)，
y1y2=(kx1＋m)(kx2＋m)=k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，
若kOM·kON=eq \f(5,4)，则eq \f(y1y2,x1x2)=eq \f(5,4)，即4y1y2=5x1x2，
∴4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2=5x1x2，
∴(4k2－5)·eq \f(4m2－1,4k2＋1)＋4km·(－eq \f(8km,4k2＋1))＋4m2=0，
即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)=0，化简得m2＋k2=eq \f(5,4)，②
由①②得0≤m2∵原点O到直线l的距离d=eq \f(|m|,\r(1＋k2))，
∴d2=eq \f(m2,1＋k2)=eq \f(\f(5,4)－k2,1＋k2)=－1＋eq \f(9,41＋k2)，又eq \f(1,20)∴原点O到直线l的距离的取值范围是[0，eq \f(2\r(14),7)).